ĐỀ KIỂM TRA 16 (Thời gian làm bài: 150 phút) Bài 1: Cho hai số tự nhiên m > 0, n > thỏa mãn m+1 n+1 số nguyên + m n Chứng minh rằng: Ước chung lớn m n không lớn m + n Bài 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= x, y số thực lớn (x3 + y3) ‒ (x2 + y2) Bài 3: Cho a, b, c số dương, chứng minh rằng: (x ‒ 1)(y ‒ 1) a b c a+b+c + + ≥ b c a abc Bài 4: Giải phương trình x2 + x ‒ + x ‒ x2 + = x2 ‒ x + Bài 5: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường phân giác kẻ từ đỉnh B cắt cạnh AC điểm D thỏa mãn BC = BD + DA a) Tính góc tam giác ABC b) Chứng minh a3 + b3 = 3ab2 (AB = AC = b; BC = a) DeThiMau.vn ĐÁP ÁN ĐỀ 16 Bài 1: Cho hai số tự nhiên m > 0, n > thỏa mãn m+1 n+1 số nguyên + n m Chứng minh rằng: Ước chung lớn m n không lớn m + n Lời giải: Gọi d = (m, n) ⟹m = dx, n = dy với x, y số tự nhiên x > 0, y > (x, y) = Ta có: 2 m + n + m2 + n2 + m + n d(x + y ) + x + y + = = ⟹x + y ⋮d⟹x + y ≥ d dxy m mn n ⟹ d(x + y) ≥ d2 ⟹ m + n ≥ d2 ⟹d ≤ m + n ĐPCM Bài 2: Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P= x, y số thực lớn (x3 + y3) ‒ (x2 + y2) Lời giải: Đặt a = x – 1, b = y – Khi a > 0, b > x3 – x2 = x2(x –1) = (a + 1)2a = (a –1)2a + 4a2 y3 – y2 = y2(y –1) = (b +1)2b = (b –1)2b + 4b2 ⟹ x3 – x2 + y3 – y2 = (a –1)2a + 4a2 + (b –1)2b + 4b2 ≥ 4(a2 + b2) ≥ 8ab = 8(x –1)(y –1) DeThiMau.vn (x ‒ 1)(y ‒ 1) P= (x3 + y3) ‒ (x2 + y2) (x ‒ 1)(y ‒ 1) ≥8 Dấu đẳng thức xảy a = b = ⟺ x = y = Vậy Pmin = Giá trị đạt x = y = DeThiMau.vn Bài 3: Cho a, b, c số dương, chứng minh rằng: Lời giải: Ta có: a b c a+b+c + + ≥ b c a abc a b c a+b+c + + ≥ b c a abc 2 a2c + b2a + c2b (a + b + c) a b c ≥ ⟺ abc abc ⟺ a2c + b2a + c2b ≥ (a + b + c) a2b2c2 (1) Lại có, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số dương, ta được: a2c + c2b + c2b ≥ 33 a2c.c2b.c2b = 33 a2b2c5 (2) b2a + a2c + a2c ≥ 33 b2a.a2c.a2c = 33 a5b2c2 (3) c2b + b2a + b2a ≥ 33 c2b.b2a.b2a = 33 a2b5c2 (4) Cộng vế theo vế bất đẳng thức (2), (3), (4) , ta được: 3(a2c + b2a + c2b) ≥3(3 a2b2c5 + a5b2c2 + a2b5c2) ⟺ a2c + b2a + c2b ≥ (a + b + c) a2b2c2 Dấu đẳng thức xảy a = b= c.ĐPCM Bài 4: Giải phương trình x2 + x ‒ + x ‒ x2 + = x2 ‒ x + Lời giải: Điều kiện để thức có nghĩa: DeThiMau.vn { x2 + x ‒ ≥ ⇔ x ‒ x2 + ≥ { [ x≥ x≤ 1‒ ‒1+ ‒1‒ ≤x≤ ⟺ 1+ ‒1+ ≤x≤ 1+ 2 Ta có: ( 2 x2 + x ‒ + x ‒ x2 + 1) ≤ 2(( x2 + x ‒ 1) + ( x ‒ x2 + 1) ) = 4x ⟹ x2 + x ‒ + x ‒ x2 + ≤ x (1) Lại có: x2 ‒ x + ‒ x = (x ‒ 1)2 + ( x ‒ 1)2 ≥ ⟹x2 ‒ x + ≥ x (2) (3) Từ (1) (3) suy ra, điều kiện cần để x2 + x ‒ + x ‒ x2 + = x2 ‒ x + là: x2 ‒ x + = x ⟺x = Thử lại, rõ ràng x =1 nghiệm phương trình cho Vậy phương trình cho có nghiệm x = Bài 5: Cho tam giác cân ABC (AB = AC), đường phân giác kẻ từ đỉnh B cắt cạnh AC điểm D thỏa mãn BC = BD + DA a) Tính góc tam giác ABC b) Chứng minh a3 + b3 = 3ab2 (AB = AC = b; BC = a) Lời giải: a) Gọi E giao điểm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD DeThiMau.vn với BC.Vì tứ giác ADEB tứ giác nội tiếp nên: CE.CB = CD.CA ⟹ EC CA = CD CB (1) Mặt khác, BD đường phân giác góc B nên DA AB AC = = DC BC BC (2) Từ (1) (2) suy DA = EC Ta có: BC = BE + EC = BE + DA (3) Mặt khác, theo giả thiết ban đầu BC = BD + DA (4) Từ (3) (4) suy BD = BE ⟹ΔBDE tam giác cân ⟹∠BDE = 900 – ∠EBD B = 900 – Mặt khác, tứ giác ADEB tứ giác nội tiếp nên ∠CDE = ∠ABC = B Lại ∠BDA góc tam giác BCD nên: ∠BDA = ∠DBC + ∠BCD = 3B Ta có: ∠ADB + ∠BDE + ∠EDC = 1800 B 3B + 900 – + B = 1800 ⟹B = 400 Vậy A = 1000, B = C = 400 b) Ở câu a) ta chứng minh ∠CDE = B = C ⟹ΔCED tam giác cân DeThiMau.vn (5) (6) (7) ⟹DE = EC = DA Kẻ DF song song với AB, dễ dàng chứng minh tam giác BDF tam giác CDF tam giác cân ⟹BF = DF = CD Mặt khác, BD đường phân giác góc B nên DA BA b DA b b2 = = ⟹ = ⟹DA = DC BC a DA + DC a + b a+b ab b2 = DC = AC ‒ DA = b ‒ a+b a+b ⟹EF = BC – BF – CE = BC – CD – DA = BC – AC = a ‒ b Dễ dàng chứng minh ΔABE DeThiMau.vn ... ⟹∠BDE = 90 0 – ∠EBD B = 90 0 – Mặt khác, tứ giác ADEB tứ giác nội tiếp nên ∠CDE = ∠ABC = B Lại ∠BDA góc ngồi tam giác BCD nên: ∠BDA = ∠DBC + ∠BCD = 3B Ta có: ∠ADB + ∠BDE + ∠EDC = 1800 B 3B + 90 0 –...ĐÁP ÁN ĐỀ 16 Bài 1: Cho hai số tự nhiên m > 0, n > thỏa mãn m+1 n+1 số nguyên + n m Chứng minh rằng: Ước