ĐÁPÁN ĐỀ 17 Bài 1: Cho các số dương a, b thỏa mãn: . Chứng minh rằng: Lời giải: Ta có: Từ đó suy ra: . ĐPCM. Bài 2: Giả sử x, y là các số thỏa mãn đẳng thức: Tính giá trị của biểu thức S = x + y Lời giải: Ta có: (1) Tương tự như vậy, ta cũng có: (2) Trừ vế theo vế hai đẳng thức (1) và (2) ta được: 2y = –2x x + y = 0 Vậy x + y = 0 Bài 3: Cho phương trình ax 2 + bx + c = 0 có hai nghiệm là x 1 và x 2 thỏa mãn ax 1 + bx 2 + c = 0. Tính giá trị của biểu thức: M = a 2 c + ac 2 + b 3 – 3abc Lời giải: Ta có: ax 1 + bx 2 + c = 0 (ax 1 + bx 2 + c)(ax 2 + bx 1 + c) = 0 (a 2 + b 2 )x 1 x 2 + ab( ) + (ac + bc)(x 1 + x 2 ) + c 2 =0 (1) Vì x 1 , x 2 là hai nghiêm của phương trình ax 2 + bx + c = 0 nên: x 1 x 2 = , x 1 + x 2 = và ta có: = (x 1 + x 2 ) 2 – 2x 1 x 2 = (2) Thay (2) vào (1) ta suy ra: a 2 c + ac 2 + b 3 – 3abc = 0 Vậy M = 0 Bài 4: Cho các số thực dưong a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6. Chứng minh rằng: Lời giải: Bổ đề: Cho các số thực dương x, y, z. Chứng minh rằng: (1) Chứng minh bổ đề: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 số thực dương, ta có: và: Nhân vế theo vế hai bất đẳng thức trên, ta được (1). Bổ đề được chứng minh. Áp dụng bổ đề vào bài toán đã cho, ta có: . ĐPCM. Bài 5: Cho đường tròn (O) và dây AB, M là điểm chuyển động trên đường tròn.Từ M kẻ MH vuông góc với AB(H AB). Gọi E và F là hình chiếu của H trên MA và MB. Qua M kẻ đường vuông góc với EF cắt dây AB tại D a) Chứng minh rằng đường thẳng MD luôn đi qua 1 điểm cố định khi M thay đổi trên đường tròn. b) Chứng minh Lời giải: a) Vì MD vuông góc với EF nên: BMD = 90 0 – MFE (1) Mặt khác, vì tứ giác MEHF là tứ giác nội tiếp ( MFH + MEH = 90 0 + 90 0 = 180 0 ) nên MFE = MHE (2) Lại có: MHE = MAH(Cùng phụ với AMH) (3) Từ (1), (2), (3) suy ra: BMD = 90 0 – MAH = 90 0 – MAB = BMO Đường thẳng MD đi qua O là điểm cố định b) Dễ dàng nhận thấy: BMO = AMH = 90 0 – MAB AMO = BMH = 90 0 – MBA Ta có: (4) Và (5) Thay (5) vào (4) ta được: ĐPCM. . suy ra: BMD = 90 0 – MAH = 90 0 – MAB = BMO Đường thẳng MD đi qua O là điểm cố định b) Dễ dàng nhận thấy: BMO = AMH = 90 0 – MAB AMO = BMH = 90 0 – MBA Ta. Vì MD vuông góc với EF nên: BMD = 90 0 – MFE (1) Mặt khác, vì tứ giác MEHF là tứ giác nội tiếp ( MFH + MEH = 90 0 + 90 0 = 180 0 ) nên MFE = MHE (2) Lại