Trường THCS Định Tường Đề thi môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút Họ tên người đề: Lê Thị Thu Các thành viên thẩm định để (đối với môn có từ GV trở lên) Đề thi: Câu 1: (4 điểm) Cho biểu thức x y x y x y xy : 1 A xy xy xy a, Rót gän A b, TÝnh giá trị A x 2 c, Tìm giá trị lớn A Câu 2: (4 điểm) Giải hệ phương trình: x y xy x xy xy Câu 3: (2 điểm) Cho số x,y,z thoả m·n ®ång thêi x y y 2z z 2x Tính giá trị biÓu thøc P x 2010 y 2010 z 2010 Câu 4: (4 điểm): Cho tam giác ABC cã gãc nhän AB = c, AC= b, CB = a Chøng minh r»ng: b a c 2ac cos B C©u 5: (4 điểm): Cho đường tròn (O;R) đường thẳng d cắt (O) điểm A, B Từ điểm M d kẻ tiếp tuyến MN, MP với (O) (N,P tiếp điểm) Gọi K trung điểm AB a, Chøng minh ®iĨm M, N, O, K, P nằm đường tròn b, Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP qua điểm cố định M di động ( d) e, Xác định vị trí M để tứ giác MNOP hình vuông Câu 6: (2 điểm) Tìm tất số nguyên tố p cho tổng tất ước tự nhiên p4 số phương ThuVienDeThi.com Đáp án: Câu 1: a, 1,5 đ Điều kiện để A có nghĩa x 0; y 0; xy (0,5®) x y x y x y xy : 1 Ta cã : A xy 1 xy xy x y xy x y xy x y xy : xy xy (0,25) x x y y y x x x y y y x x y xy : xy xy (0,25) x 2y x xy 1 x y xy x 1 y x 1 x 1 y x (0,25) (0,25) b, 1,5 ® Ta cã : x (0,25) x thoả mÃn điều kiện x 2 42 2 2 1 (0,25) Thay x vµo A ta cã: 2 1 1 A 1 (0,25) 1 52 52 (0,25) ThuVienDeThi.com 25 652 (0,25) 52 3 1 3 1 25 12 13 (0,25) c, ® Víi mäi x ta cã (0,25) x 1 x x 1 x 1 x (0,25) x ( v× x+1>0) 1 x x 1 A 1 1 x 1 (0,25) Vậy giá trị lớn P = x x (0,25) Câu2: đ Hệ phương trình đà cho tương đương víi x y xy x xy xy (0,25) x y 2 x y 2 (0,25) x y 3 x y 2 (0,25) Ta có trường hợp sau: x y ; x y x y x y 3 x y 3 ; ; x y 2 x y x y Ta giải trường hợp: ThuVienDeThi.com y x y 5 y x y x y x y 12 (0,5) x y 5 y y x y 2 x y x (0,5) x y 3 5 y 5 y 1 x y x y x (0,5) y x y 3 5 y x y 2 x y 2 x 12 (0,5) VËy hệ phương trình đà cho có nghiệm x; y 12 ; ; 0;1; 0;1; 12 ; 5 5 (0,5) Câu 3: đ x2 y Tõ gi¶ thiÕt ta cã: y z z 2x (0,5) Cộng vế đẳng thức ta có: x 2x y2 y z2 2z (0,25) x 1 y 1 z 1 2 (0,25) x y 1 z x y x 1 (0,5) P x 2010 y 2010 z 2010 1 2010 1 2010 1 2010 (0,25) ThuVienDeThi.com 111 VËy P = (0,25) C©u4: đ Kẻ AH BC ABC vuông H áp dụng định lí Pi ta go ta có: AC2= AH2+HC2 = AC2+(BC-BH)2 = AH2+ BC2-2BC.BH+BH2 = (AH2+ BH2)+BC2-2BC.BH = AB2+ BC2-2BC.AB cosB = c2+ a2- 2ac cosB (2) Vì tam giác vuông AHB thì: AH2+ BH2=AB2= c2 ; BH = AB cosB VËy b a c 2ac cos B (2) C©u 5: điểm a, Vì MN tiếp (O) (0,25) MN NO; MP OP (0,25) MNO vuông N N nằm đường kính MO (0,25) MPO vuông P P nằm đường kính MO (0,25) Vì AK = KB (gt) OK AB K ( đường kính qua trung điểm dây) (0,25) MKO vuông K K nằm đường tròn đường kÝnh MO (0,25) VËy ®iĨm N, P, K n»m đường tròn đường kính MO (0,25) ThuVienDeThi.com Hay điểm M,N,O,P,K nằm đường tròn đường kính MO (0,25) b, đ Ta có K trung điểm AB nên K cố định (0,25) Mà theo câu a) đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP đường tròn đường kính MO (0,25) Theo câu a) đường tròn đường kính MO qua O; K (0,25) Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP qua ®iĨm cè ®Þnh O, K (0,25) c, ® Tø giác MNOP hình vuông MN= ON, MON 900 MNO vuông cân N (0,25) OM= ON = R ( R bán kính đường tròn (O)) (0,25) M giao điểm (O; R ) với đường thẳng d (0,25) Vậy ta xác định điểm M1; M2 thoả mÃn điều kiện đề (0,25) Câu : đ Vì p số nguyên tố nên p4 có ước 1; p; p2; p3; p4 (0,25) Giả sö p p p p n ( n ) 4n p p p p p p p 2 p p (1) Mặt khác : 4n p p p p p p p p p p p (2) (0,5) Tõ (1) vµ (2) 4n 2 p p 2 (0,25) 4n p p p p p p p p (0,25) p p p 3p 1 (0,25) V× p N p ThuVienDeThi.com ... x y x y 3 x y 3 ; ; x y 2 x y x y Ta giải trường hợp: ThuVienDeThi.com y x y 5 y x y x y x y 12 (0,5) x y ... nằm đường tròn ®êng kÝnh MO (0,25) ThuVienDeThi.com Hay ®iÓm M,N,O,P,K cïng nằm đường tròn đường kính MO (0,25) b, đ Ta có K trung điểm AB nên K cố định (0,25) Mà theo câu a) đường tròn ngoại... qua O; K (0,25) Vậy đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP qua điểm cố định O, K (0,25) c, đ Tứ giác MNOP hình vuông MN= ON, MON 90 0 MNO vuông cân N (0,25) OM= ON = R ( R bán kính đường tròn (O))