Đề thi môn Toán 9 Trường thcs Yên Lạc41094

Đề thi HSG cấp huyện năm học 2009 2010 Phòng giáo dục yên định Trường THCS Yên Lạc Đề thi môn : Toán Thời gian làm : 150 phút Người đề : Trịnh Văn Hùng Người Thẩm định đề: Trịnh Văn Bằng, Trần Tuyết Anh, Lưu Vũ ChÕnh Bài 1:( ®iĨm ) Cho biểu thức P(x)  2x  x  3x  4x  a) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) b) Chứng minh x > P(x).P(- x) < Bài ( điểm ) Cho hệ phương trình (m 1) x my 2m   mx  y  m a) Giải hệ phương trình với m = b) Tìm giá trị m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mÃn điều kiện xy đạt giá trị lớn Bài ( điểm ) Cho hµm sè : y= mx -2m -1 ( m  ) (1) a) Chøng minh r»ng ®å thị hàm số (1) luôn qua điểm cố dịnh m thay đổi b) Tính theo m tọa độ giao điểm A, B đồ thị hàm số (1) với trục Ox Oy Xác định m để tam giác AOB có diện tích ( đ.v.d.t) Bài ( điểm ) Cho tam giác nhọn ABC ; BC = a; CA = b; AB = c Chøng minh r»ng : b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB Bài ( điểm ) Cho tam giác nhọn ABC có B = 450 Vẽ đường tròn đường kính AC có tâm O, đường tròn cắt BA BC D E Chứng minh AE = EB Gọi H giao điểm CD AE, Chứng minh đường trung trực đoạn HE ®i qua trung ®iĨm I cđa BH Chøng minh OD tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE Bài ( điểm ) CMR, n ≥ , n  N : 1 1     2 (n  1) n ThuVienDeThi.com §Ị thi HSG cấp huyện năm học 2009 2010 Hướng dẫn chấm Câu Tóm tắt lời giải Điểm a) P(x) xác định 3x2- 4x+1 (x-1)(3x-1)   x  1; x  P(x)   khix  o  2x  x  3x   = ( x  1)(3 x  1) khix  x 1 2x  x  = 3x  4x  (4 ®) 2,0 0.5 2x  x  2x  x  1 b) x > P(x)  = = ( x  1)(3 x  1) x  3x  4x  P(x) P(- x) = 0.5 1 1 = < ( v× 9x2-1>0 víi x>1)  x  3(x)  (3x  1)(3x  1) x  3 x  y  ; 2 x  y  a) Víi m=2 ta có hệ 1,0 giải hệ ta x=1; y=0 (m  1) x  my  2m   mx  y  m  b) (3 ®) (m  m  1) x  m3  (m  1) x  m(mx  m  2)  2m      y  mx  m   y  mx  m  x  m   ( v× m2+m+1 = (m+1/2)2+3/4  3/4 nªn m2+m+1  0.) y   m  -m2+3m-2 (m-3/2)2+1/4  1/4 x.y = (m-1)(2-m) = =DÊu “=” x¶y m=3/2 VËy hƯ phương trình đà cho có nghiệm x; y cho x.y lín nhÊt m=3/2 (4 ®) a) Gäi (d) : y= mx 2m -1 I(x0;y0) điểm cố định (d) nên I (d) với m Nªn y0= m x0-2m-1 víi mäi m  y0+1= m (x0-2) víi mäi m  y0  1  y0      x0   x0   0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Vậy I(2;-1) điểm cố định (d) ThuVienDeThi.com Đề thi HSG cấp huyện năm học 2009 – 2010 b) ®iĨm A ( 2m  ;0) vµ B (0;-2m-1) m SAOB =2  OA.OB = 0,5 (2m  1)    4m2+4m +1 = m m 2 0,5 + NÕu m >  4m2+3m +1 = ; v« nghiƯm + NÕu m<  4m2+5m +1 =  (m+1)(4m+1) =  m=-1 ; m= KỴ AH BC Tam giác AHC vuông H ta cã AC2 = AH2 + HC2 = AH2+ (BC- BH )2 = AH2 +BC2 + HB2 -2BC.BH = (AH2+HB2 ) +a2-2a.HB (1) Trong tam giác vuông AHB ta cã: (3 ®) AH2+HB2 = AB2 = c2 HB = AB cosB = c cosB (2) Tõ (1) vµ (2) ta suy b2 = a2 + c2 – 2ac.cosB 1 0,5 0,5 0,5 A 1,0 c b 1,0 B H C a 05 AEC = 900 (Góc tam giác có cạnh đường kính ) => AEB = 900 ( hai góc kỊ bï); Theo gi¶ thiÕt ABE = 450 => AEB tam giác vuông cân E => EA = EB Gọi K trung điểm HE (1) ; I trung điểm HB => IK đường trung bình tam giác HBE 1,0 A D F / B / I _H _K E O 0,5 C => IK // BE mµ AEC = nên BE HE E => IK HE K (2) (4 đ) Từ (1) (2) => IK lµ trung trùc cđa HE VËy trung trực đoạn HE qua trung điểm I cđa BH Theo trªn I thc trung trùc cđa HE => IE = IH mà I trung điểm cña BH => IE = IB ADC = 900 (Gãc tam giác có cạnh đường kính ) => BDH = 900 (kỊ bï ADC) => tam gi¸c BDH vuông D có DI trung tuyến (do I trung điểm BH) => ID = 1/2 BH hay ID = IB => IE = IB = ID => I tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE b¸n kÝnh ID 0,5 900 ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 Đề thi HSG cấp huyện năm học 2009 2010 Ta có ODC cân O (vì OD OC bán kính ) => D1 = C1 (3) IBD cân I (vì ID IB bán kính ) => D2 = B1 (4) Theo trªn ta có CD AE hai đường cao tam giác ABC => H trực tâm tam giác ABC => BH đường cao tam giác ABC => BH  AC t¹i F => 0,5 AFB cã AFB = 900 Theo trªn ADC cã ADC = 900 =>B1 = C1 ( cïng phô BAC) (5) Tõ (3), (4), (5) =>D1 = D2 mµ D2 +IDH =BDC = 900=> D1 +IDH = 900 = IDO 0,5 => OD ID D => OD tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE Tacú : 1   1   1  k  k     k   (k  1)k (k  1) k k   k k 1   k k 1  k  k  1  1   = 1    2    Do :      k k k (k 1) k k k       (2 ®) 1,0 Vậy 1 1            1   2         (n  1) n 2 3 n 1    n    = 1    víi n ≥ , n  N n 1   Tỉng “ NÕu häc sinh cã c¸ch giải khác mà giám khảo cho ®iÓm tèi ®a.” ThuVienDeThi.com 1,0 20 ... = ID => I tâm đường tròn ngoại tiếp tam gi¸c BDE b¸n kÝnh ID 0,5 90 0 ThuVienDeThi.com 0,5 0,5 Đề thi HSG cấp huyện năm học 20 09 2010 Ta có ODC cân O (vì OD OC bán kính ) => D1 = C1 (3) IBD cân... x0   x0   0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Vậy I(2;-1) điểm cố định (d) ThuVienDeThi.com Đề thi HSG cấp huyện năm học 20 09 2010 b) điểm A ( 2m  ;0) vµ B (0;-2m-1) m SAOB =2  OA.OB = 0,5 (2m  1)... => BH AC F => 0,5 AFB cã AFB = 90 0 Theo trªn ADC cã ADC = 90 0 =>B1 = C1 ( cïng phô BAC) (5) Tõ (3), (4), (5) =>D1 = D2 mµ D2 +IDH =BDC = 90 0=> D1 +IDH = 90 0 = IDO 0,5 => OD  ID t¹i D =>