Toán học Tích phân39250

Trần Só Tùng Tích phân Nhắc lại Giới hạn – Đạo hàm – Vi phân Các giới hạn đặc bieät: sin x =1 a) lim x →0 x x =1 x →0 sin x Hệ quả: lim sin u(x) =1 u(x)→0 u(x) u(x) =1 u(x)→0 sin u(x) ln(1 + x) =1 x→ x lim lim lim x  1 b) lim  +  = e, x ∈ R x →∞  x Hệ quả: lim (1 + x) x = e x→0 lim ex − =1 x→ x Bảng đạo hàm hàm số sơ cấp hệ quả: (c)’ = (c số) (x α )' = αx α−1 (uα )' = αuα−1u ' 1  ' = − x x ( x )' = x x (e )' = ex u' 1  ' = − u u ( u ) ' = u' u u (e )' = u'.e u (ax )' = a x ln a (a u )' = a u ln a u ' u' (ln x )' = (ln u )' = x u u' (loga x ') = (loga u )' = x.ln a u.ln a (sinx)’ = cosx (sinu)’ = u’.cosu u' = + tg x = (1 + tg u).u' (tgx)' = (tgu)' = 2 cos x cos u −1 − u' (cot gx)' = = −(1 + cot g x) (cot gu)' = = − (1 + cot g u).u' 2 sin x sin u Vi phaân: Cho hàm số y = f(x) xác định khoảng (a ; b) có đạo hàm x ∈ (a; b) Cho số gia Dx x cho x + Dx ∈ (a; b) Ta gọi tích y’.Dx (hoặc f’(x).Dx) vi phân hàm số y = f(x) x, ký hiệu dy (hoặc df(x)) dy = y’.Dx (hoặc df(x) = f’(x).Dx Áp dụng định nghóa vào hàm số y = x, dx = (x)’Dx = 1.Dx = Dx Vì ta có: dy = y’dx (hoaëc df(x) = f’(x)dx) Trang DeThiMau.vn Tích phân Trần Só Tùng  HÀ À ÍCH H §Bài 1: NGUYÊN HÀM Định nghóa: Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a ; b) x thuộc (a ; b), ta có: F’(x) = f(x) Nếu thay cho khoảng (a ; b) đoạn [a ; b] phải có thêm: F '(a+ ) = f(x) F '(b − ) = f(b) Định lý: Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a ; b) : a/ Với số C, F(x) + C nguyên hàm hàm số f(x) khoảng b/ Ngược lại, nguyên hàm hàm số f(x) khoảng (a ; b) viết dạng: F(x) + C với C số Người ta ký hiệu họ tất nguyên hàm hàm số f(x) ∫ f(x)dx Do viết: ∫ f(x)dx = F(x) + C Bổ đề: Nếu F′(x) = khoảng (a ; b) F(x) không đổi khoảng Các tính chất nguyên hàm: • • • • ( ∫ f(x)dx ) ' = f(x) ∫ af(x)dx = a∫ f(x)dx (a ≠ 0) ∫ [ f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx ∫ f(t)dt = F(t) + C ⇒ ∫ f [ u(x)] u'(x)dx = F [ u(x)] + C = F(u) + C (u = u(x)) Sự tồn nguyên hàm: • Định lý: Mọi hàm số f(x) liên tục đoạn [a ; b] có nguyên hàm đoạn Trang DeThiMau.vn Trần Só Tùng Tích phân BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM Nguyên hàm hàm số sơ cấp Nguyên hàm hàm số hợp thường gặp (dưới u = u(x)) ∫ dx = x + C ∫ du = u + C x α+1 ∫ x dx = α + + C (α ≠ −1) uα+1 ∫ u du = α + + C dx = ln x + C x (x ≠ 0) ∫ α ∫ ∫ e dx = e x x ∫ a dx = x α du = ln u + C u ∫ e du = e u +C ax +C ln a u ∫ a du = (0 < a ≠ 1) (α ≠ −1) u (u = u(x) ≠ 0) +C au +C ln a (0 < a ≠ 1) ∫ cos xdx = sin x + C ∫ cos udu = sin u + C ∫ sin xdx = − cos x + C ∫ sin udu = − cos u + C dx ∫ cos2 x = ∫ (1 + tg x)dx = tgx + C du ∫ cos2 u = ∫ (1 + tg u)du = tgu + C dx ∫ sin x = ∫ (1 + cot g x)dx = − cot gx + C dx = x +C x ∫2 du ∫ sin du = u +C u ∫2 (x > 0) ∫ cos(ax + b)dx = a sin(ax + b) + C (a ≠ 0) sin(ax + b)dx = − cos(ax + b) + C ∫ a (a ≠ 0) dx ∫ ax + b = a ln ax + b + C ∫e ∫ ax + b u = ∫ (1 + cot g u)du = − cot gu + C dx = eax + b + C a (a ≠ 0) dx = ax + b + C ax + b a (a ≠ 0) Trang DeThiMau.vn (u > 0) Tích phân Trần Só Tùng Vấn đề 1: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG ĐỊNH NGHĨA Bài toán 1: CMR F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a ; b) PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau: + Bước 1: Xác định F’(x) (a ; b) + Bước 2: Chứng tỏ F '(x) = f(x) với ∀x ∈ (a; b) Chú ý: Nếu thay (a ; b) [a ; b] phải thực chi tiết hơn, sau: + Bước 1: Xác định F’(x) (a ; b) Xác định F’(a+) Xác định F’(b–) F '(x) = f(x), ∀x ∈ (a ; b)  + Bước 2: Chứng tỏ raèng F '(a + ) = f(a)  − F '(b ) = f(b) Ví dụ 1: CMR hàm số: F(x) = ln(x + x + a) với a > nguyên hàm hàm số f(x) = x2 + a R Giải: Ta có: F '(x) = [ln(x + x + a)]' = (x + x + a)' x + x2 + a 2x 1+ x2 + a x + x2 + a = = x2 + a + x x + a(x + x + a) = Vaäy F(x) với a > nguyên hàm hàm số f(x) R ex Ví dụ 2: CMR hàm số: F(x) =   x + x + x ≥ x < ex x ≥ Là nguyên hàm hàm số f(x) =  R 2x + x <  Giải: Để tính đạo hàm hàm số F(x) ta xét hai trường hợp: a/ Với x ≠ , ta có: e x x > F '(x) =  2x + x < b/ Với x = 0, ta coù: Trang DeThiMau.vn x2 + a = f(x) Trần Só Tùng • Tích phân Đạo hàm bên trái hàm số điểm x0 = F '(0 − ) = lim− x→0 • F(x) − F(0) x + x + − e0 = lim− = x →0 x−0 x Đạo hàm bên phải hàm số điểm x0 = F '(0 + ) = lim+ x→0 F(x) − F(0) ex − e0 = lim+ = x→0 x−0 x Nhận xét raèng F '(0 − ) = F '(0 + ) = ⇒ F '(0) = e x x ≥ Tóm lại: F '(x) =  = f(x) 2x + x < Vaäy F(x) nguyên hàm hàm số f(x) R Bài toán 2: Xác định giá trị tham số để F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a ; b) PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước sau: + Bước 1: Xác định F’(x) (a ; b) + Bước 2: Để F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a ; b), điều kiện là: F '(x) = f(x) với ∀x ∈ (a; b) Dùng đồng hàm đa thức ⇒ giá trị tham số Chú ý: Nếu thay (a ; b) [a ; b] phải thực chi tiết hơn, sau: + Bước 1: Xác định F’(x) (a ; b) Xác định F’(a+) Xác định F’(b–) + Bước 2: Để F(x) nguyên hàm hàm số f(x) (a ; b), điều kiện là: F '(x) = f(x), ∀x ∈ (a ; b)  + ⇒ giá trị tham số F '(a ) = f(a)  − F '(b ) = f(b) Bài toán 3: Tìm số tích phân PHƯƠNG PHÁP CHUNG • Dùng công thức học, tìm nguyên hàm: F(x) = G(x) + C • Dựa vào đề cho để tìm số C Thay giá trị C vào (*), ta có nguyên hàm cần tìm Trang DeThiMau.vn Tích phân Trần Só Tùng x2 x ≤ Ví dụ 3: Xác định a , b để hàm số: F(x) =  ax + b x > 2x nguyên hàm hàm số: f(x) =  2 x ≤ x > R Giải: Để tính đạo hàm hàm số F(x) ta xét hai trường hợp: 2x x < a/ Với x ≠ , ta coù: F '(x) =  2 x > b/ Với x = 1, ta có: Để hàm số F(x) có đạo hàm điểm x = 1, trước hết F(x) phải liên tục x = 1, lim− F(x) = lim+ F(x) = f(1) ⇔ a + b = ⇔ b = − a (1) : x →1 x →1 • Đạo hàm bên trái hàm số y = F(x) điểm x = F'(1) = lim x →1 f(x) − F(1) x2 − = lim− = x →1 x − x −1 • Đạo hàm bên phải hàm số y = f(x) điểm x0 = F '(1+ ) = lim+ x →1 F(x) − F(1) ax + b − ax + − a − = lim+ = lim+ = a x →1 x →1 x −1 x −1 x −1 Hàm số y = F(x) có đạo hàm ñieåm x = ⇔ F '(1− ) = F '(1+ ) ⇔ a = (2) Thay (2) vaøo (1), ta b = –1 Vậy hàm số y = F(x) có đạo hàm điểm x = 1, a = 2, b = –1 Khi đó: F’(1) = = f(1) Tóm lại với a = 2, b = F(x) nguyên hàm hàm số f(x) Ví dụ 4: Xác định a , b , c để hàm số: F(x) = (ax + bx + c)e −2x nguyên hàm F(x) = − (2x − 8x + 7)e−2 x R Giải: Ta có: F '(x) = (2ax + b)e−2 x − 2(ax + bx + c)e −2x = −2ax + 2(a − b)x + b − 2ce−2x Do F(x) nguyên hàm f(x) R ⇔ F '(x) = f(x), ∀x ∈ R ⇔ − 2ax + 2(a − b)x + b − 2c = − 2x + 8x − 7, ∀x ∈ R a = a =   ⇔ a − b = ⇔  b = −3  b − 2c = −7 c =   Vaäy F(x) = (x − 3x + 2)e−2x Trang DeThiMau.vn Traàn Só Tùng Tích phân BÀI TẬP  x π Bài Tính đạo hàm hàm số F(x) = ln tg  +  2 4 Từ suy nguyên hàm hàm số f(x) = cos x  ln(x + 1) ,x≠0  Baøi Chứng tỏ hàm số F(x) =  x 0 ,x =   ln(x + 1) − ,x≠0  nguyên hàm hàm soá f(x) =  x + x2  ,x=0 1 Bài Xác định a, b, c cho hàm số F(x) = (ax + bx + c).e− x nguyên hàm hàm số f(x) = (2x − 5x + 2)e− x R ĐS: a = –2 ; b = ; c = –1 Bài a/ b/ Tính nguyên hàm F(x) f(x) = Tìm nguyên hàm F(x) f(x) = sin ĐS: a/ F(x) = Bài a/ x + 3x + 3x − vaø F(0) = (x + 1)2 x2 +x+ ; x +1 x  π π vaø F   = 2 b/ F(x) = (x − sin x + 1) Xác định số a, b, c cho hàm số: F(x) = (ax + bx + c) 2x − nguyên hàm hàm số: f(x) = b/ 20x − 30x + 3  khoảng  ; + ∞  2  2x − Tìm nguyên hàm G(x) f(x) với G(2) = ĐS: a/ a = 4; b = −2; c = 1; b/ G(x) = (4x − 2x + 10) 2x − − 22 Trang DeThiMau.vn Tích phân Trần Só Tùng Vấn đề 2: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG VIỆC SỬ DỤNG BẢNG CÁC NGUYÊN HÀM CƠ BẢN ∫ f(ax + b)dx = a F(ax + b) + C với a ≠ Ví dụ 1: CMR , ∫ f(x)dx = F(x) + C Giải: Ta có: f(ax + b)dx = f(ax + b)d(ax + b) với a ≠ a Áp dụng tính chất 4, ta được: 1 ∫ f(ax + b)dx = a ∫ (ax + b)d(ax + b) a F(ax + b) + C (đpcm) Ghi chú: Công thức áp dụng cho hàm số hợp: ∫ f(t)dt = F(t) + C ⇒ ∫ f(u)du = F(u) + C, với u = u(x) Ví dụ 2: Tính tích phân bất định sau: a/ ∫ (2x + 3) dx b/ ∫ cos4 x.sin xdx c/ ∫ 2e x dx ex + d/ ∫ (2 ln x + 1)2 dx x Giaûi: 1 (2x + 3)4 (2x + 3)4 a/ Ta coù: ∫ (2x + 3) dx = ∫ (2x + 3) d(2x + 3) = +C= + C 2 b/ Ta coù: ∫ cos4 x.sin xdx = − ∫ cos xd(cos x) = − c/ Ta coù: cos5 x +C 2ex d(ex + 1) x dx = ∫ ex + ∫ ex + = ln(e + 1) + C (2 ln x + 1)2 1 dx = ∫ (2 ln x + 1)2 d(2 ln x + 1) = (2 ln x + 1)3 + C d/ Ta coù: ∫ x 2 Ví dụ 3: Tính tích phân bất định sau: a/ ∫ 2sin x dx b/ ∫ cot g2 xdx c/ ∫ tgxdx Giải: a/ Ta có: ∫ 2sin x dx = ∫ (1 − cos x)dx = x − sin x + C   b/ Ta coù: ∫ cot g xdx = ∫  −  dx = − cot gx − x + C  sin x  c/ Ta coù: ∫ tgxdx = ∫ sin x d(cos x) dx = − ∫ = − ln cos x + C cos x cos x Trang DeThiMau.vn d/ ∫ tgx dx cos3 x Trần Só Tùng d/ Ta có: Tích phân tgx ∫ cos x dx = ∫ sin x d(cos x) 1 dx = − ∫ = − cos −3 x + C = − + C 4 cos x cos x 3cos3 x Ví dụ 4: Tính tích phân bất định sau: a/ x ∫ + x dx b/ ∫x dx − 3x + Giaûi: a/ Ta coù: x d(1 + x ) dx = = ln(1 + x ) + C ∫ + x2 ∫ 1+ x b/ Ta coù: ∫x 1   dx = ∫ dx = ∫  − dx − 3x + (x − 1)(x − 2)  x − x −1  = ln x − − ln x − + C = ln x−2 + C x −1 BÀI TẬP Bài Tìm nguyên hàm hàm số: x a/ f(x) = cos2 ; b/ ÑS: a/ (x + sin x) + C ; f(x) sin x − cos x + cos3 x + C b/ Bài Tính tích phân bất định : a/ ∫ e (2 − e d/ e2−5x + ∫ ex dx; x −x )dx; b/ e/ x ÑS: a/ 2e − x + C; d/ ex ∫ 2x dx ; c/ 2x.3x.5x ∫ 10x dx ex ∫ ex + 2dx ex + C; (1 − ln 2)2 x b/ − e2−6 x − e− x + C; e/ c/ 6x +C ln ln(ex + 2) + C Bài Tính tích phân bất định : a/ ∫ d/ ∫ (1 − 2x) x + x −4 + dx ; 2001 dx; e/ x3 ÑS: a/ − + C; x d/ ∫ b/ ∫ x x dx ; c/ ∫x x + dx ; − ln x dx x 55 x + C; b/ (1 − 2x)2002 − + C; 2002 e/ Trang DeThiMau.vn c/ (x + 1) x + + C ; (3 + ln x) + ln x + C Tích phân Trần Só Tùng Vấn đề 3: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Phương pháp phân tích thực chất việc sử dụng đồng thức để biến đổi biểu thức dấu tích phân thành tổng biểu thức mà nguyên hàm biểu thức nhận từ bảng nguyên hàm phép biến đổi đơn giản biết Chú ý quan trọng: Điểm mấu chốt phép phân tích rút ý tưởng cho riêng từ vài minh hoạ sau: • Với f(x) = (x − 2)2 viết lại f(x) = x − 4x + • Với f(x) = x − 4x + viết lại f(x) = x − + x −1 x −1 • Với f(x) = 1 viết lại f(x) = − x − 5x + x −3 x −2 • Với f(x) = • Với f(x) = (2 x − 3x )2 viết lại f(x) = x − 2.6 x + x • Với f(x) = cos3 x.sin x viết lại f(x) = 2(cos3x + 3cos x).sin x 1 viết laïi f(x) = ( − 2x − 2x + 1) 2x + + − 2x = cos3x.sin x + cos x.sin x = sin 4x − sin 2x + 3sin 2x = sin 4x + sin 2x • tg x = (1 + tg x) − • cot g x = (1 + cot g x) − • x n (1 + x ) + 1 = xn + 1+ x + x2 Đó vài minh hoạ mang tính điển hình Ví dụ 1: Tính tích phân bất định: I = ∫ x(1 − x)2002 dx Giải: Sử dụng đồng thức : x = – (1 – x) ta được: x(1 − x)2002 = [1 − (1 − x)](1 − x)2002 = (1 − x)2002 − (1 − x)2003 Khi đó: I = ∫ (1 − x)2002 dx − ∫ (1 − x)2003 dx = − ∫ (1 − x)2002 d(1 − x) + ∫ (1 − x)2003 d(1 − x) =− (1 − x)2003 (1 − x)2004 + + C 2003 2004 Tổng quát: Tính tích phân bất định: I = ∫ x(ax + b)α dx, với a ≠ 1 Sử dụng đồng thức: x = ax = [(ax + b) − b] a a Trang 10 DeThiMau.vn Trần Só Tùng Tích phân Ta được: 1 x(ax + b)α = [(ax + b) − b)(ax + b)α = [∫ (ax + b)α+1 d(ax + b) − ∫ (ax + b)α d(ax + d)] a a Ta xét ba trường hợp : • Với α = 2, ta được: I = = • 1 [ln ax + b + ] + C a ax + b Với α = –1, ta được: I= • [ (ax + b)−1 d(ax + b) − ∫ (ax + b)−2 d(ax + b)] ∫ a 1 [ d(ax + b) − ∫ (ax + b)−1 d(ax + b)] = [ax + b − ln ax + b ] + C ∫ a a Với α ∈ R \ {−2; − 1}, ta được: I= Ví dụ 2: Tính tích phân bất định: I = ∫x (ax + b)α+ (ax + b)α+1 [ + ] + C a2 α+2 α +1 dx − 4x + Giaûi: Ta coù: 1 (x − 1) − (x − 3)  1  = = =  −  x − 4x + (x − 3)(x − 1) (x − 3)(x − 1)  x − x −1  dx dx  d(x − 3) d(x − 1) −∫ −∫ ' = (ln x − − ln x − 1) + C Khi đó: I =  ∫  = [∫  x −3 x −1  x −3 x −1 = x −3 ln + C x −1 Ví dụ 3: Tính tích phân bất định: I = ∫ dx x +2 + x −3 Giải: Khử tính vô tỉ mẫu số cách trục thức, ta được: 1 1 I = ∫ ( x + + x − 3)dx = [∫ (x + 2) d(x + 2) + ∫ (x − 3) d(x − 3)] 5 = [ (x + 2)3 + (x − 3)3 ] + C 15 Ví dụ 4: Tính tích phân bất định: I = dx ∫ sin x.cos x Giải: Sử dụng đồng thức: sin x + cos2 x = 1, Trang 11 DeThiMau.vn Tích phân Trần Só Tùng 1 sin x + cos2 x sin x sin x = = + = + Ta được: sin x.cos x sin x.sin x cos2 x sin x cos2 x cos2 x tg x 2  x d  tg  sin x d(cos x) x Suy ra: I = ∫ dx + ∫ dx = − ∫ +∫  2 = + ln tg + C 2 x x x cos x cos x cos x cos2 tg tg 2 Ví dụ 5: Tính tích phân bất định: I = dx ∫ cos x Giải: Sử dụng kết quả: ta được: I = ∫ dx = d(tgx) cos2 x dx = ∫ (1 + tg x)d(tgx) = ∫ d(tgx) + ∫ tg xd(tgx) = tgx + tg3x + C 2 cos x cos x BAØI TẬP Bài Tìm họ nguyên hàm hàm soá: a/ f(x) = (1 − 2x )3 ; b/ f(x) = x − x 3ex − 3x ; x3 (2 + x )2 ; x d/ f(x) = 3x + − 3x + c/ f(x) = 12 x − x +C ; b/ − 24 x x + x x + C; d/ 1 3  (3x − 4) + (3x + 2)  + C ÑS: a/ x − 2x + c/ x + − e x + ln x + C; 3x x Bài 10 Tìm họ nguyên hàm hàm số: a/ f(x) = ; x − 6x + b/ f(x) = 4x + 6x + ; 2x + c/ f(x) = 4x + 4x − ; 2x + d/ f(x) = −4x + 9x + ; − 4x ÑS: a/ x−5 ln + C; x −1 b/ x + 2x − ln 2x + + C; 2 1 c/ x + x − x − ln 2x + + C ; 2 Bài 11 Tìm họ nguyên hàm hàm số: Trang 12 DeThiMau.vn x2 2x − d/ − ln + C 12 2x + Trần Só Tùng Tích phân a/ (sin x + cos x)2 ; π π   b/ cos  2x −  cos  2x +  ; 3  4  d/ cos x; e/ sin x + cos4 x; ÑS: a/ x − cos2x + C ; b/ c/ cos3 x; f/ sin 2x + cos6 2x π 7π    sin  5x +  + sin  x −  + C 10  12   12  c/ sin x + si n3x + C; 12 d/ 1 x + si n2x + si n4x + C; 31 e/ sin 4x x+ + C; 16 f/ x + sin 8x + C 64 Trang 13 DeThiMau.vn Tích phân Trần Só Tùng Vấn đề 4: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Phương pháp đổi biến số sử dụng phổ biến việc tính tích phân bất định Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa định lý sau: Định lý: a/ Nếu ∫ f(x)dx = F(x) + C vaø u = ϕ(x) hàm số có đạo hàm ∫ f(u)du = F(u) + C b/ Nếu hàm số f(x) liên tục đặt x = ϕ(t) ϕ(t) với đạo hàm (ϕ’(t) hàm số liên tục, ta được: ∫ f(x)dx = ∫ f[ϕ(t)].ϕ '(t)dt Từ ta trình bày hai toán phương pháp đổi biến sau: Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng tích tích phân bất định I = ∫ f(x)dx PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước: + Bước 1: Chọn x = ϕ(t), ϕ(t) hàm số mà ta chọn cho thích hợp + Bước 2: Lấy vi phân dx = ϕ’(t)dt + Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t dt Giả sử f(x)dx = g(t)dt + Bước 4: Khi I = ∫ g(t)dt Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu thông thường là: Dấu hiệu Cách chọn π π  x = a sin t với − ≤ t ≤  2 a2 − x   x = x cos t với ≤ t ≤ π a   π π = ∈ x vớ i t   − ;  \ {0} sin t  a π   x = cos t với t ∈[0; π] \ { } π π  x = a tgt vớ i − < t <  2   x = a cot gt với < t < π x − a2 a2 + x a+ x a−x hoaëc a−x a+x (x − a)(b − x) Ví dụ 1: Tính tích phân bất định: I = x = acos2t x = a + (b – a)sin2t ∫ dx (1 − x ) Giaûi: Ñaët x = sin t; − π π ⇒ 2 Ví dụ 2: Tính tích phân bất định: I = ∫ x − x2  cos2 t = cos t  cos t = − sin t = − x x dx x2 − Giaûi: Vì điều kiện x > , ta xét hai trường hợp : • Với x > 1 π cos 2tdt ;0 ⇒  x 2 sin t = tgt.cos t = + x2  Phương pháp áp dụng để giải toán tổng quát: I= ∫ dx (a + x )2 k +1 , với k ∈ Z Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng tích tích phân I = ∫ f(x)dx PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta thực theo bước: + Bước 1: Chọn t = ψ(x), ψ(x) hàm số mà ta chọn cho thích hợp + Bước 2: Xác định vi phân dt = ψ '(x)dx + Bước 3: Biểu thị f(x)dx theo t dt Giả sử f(x)dx = g(t)dt + Bước 4: Khi I = ∫ g(t)dt Dấu hiệu Hàm số mẫu có Hàm số f(x, ϕ(x) a.sin x + b.cos x Haøm f(x) = c.sin x + d.cos x + e Haøm f(x) = (x + a)(x + b) Cách chọn t mẫu số t = ϕ(x) x x t = tg (với cos ≠ 0) 2 • Với x + a > & x + b > 0, đặt: t = x+a + x+b • Với x + a < & x + b < 0, đặt: t = x − a + −x − b Trang 16 DeThiMau.vn Trần Só Tùng Tích phân Ví dụ 4: Tính tích phân bất định: I = ∫ x (2 − 3x )8 dx Giải: Đặt: t = − 3x Suy ra: dt = 6xdx x3 (2 − 3x2 )8 dx = x2 (2 − 3x2 )8 xdx = Khi ñoù: I = 2−t 2−t   = t  − dt  = (t − 2t )dt 3   18 1  10 (t − 2t )dt =  t10 − t  + C = t − t +C ∫ 18 18  10  180 81 Ví dụ 5: Tính tích phân bất định: I = ∫ x 2dx 1− x Giải: Đặt: t = − x ⇒ x = − t Suy ra: dx = − 2tdt & x dx (1 − t )2 ( −2tdt) = = 2(t − 2t + 1)dt t 1− x 2 1  Khi ñoù: I = ∫ (t − 2t + 1)dt = −2  t − t + t  + C = − (3t − 10t + 15)t + C 15 5  =− 2 [3(1 − x)2 − 10(1 − x) + 15] − x + C = − (3x + 4x + 8) −1x + C 15 15 Ví dụ 6: Tính tích phân bất định: I = ∫ x (1 − 2x )2 dx Giải: − t3 Đặt: t = − 2x ⇒ x = Suy ra: 2xdx = − t tdt, 2 2 x (1 − 2x )2 dx = x (1 − 2x )2 xdx = Khi đó: I = (t − t )dt = 8∫ − t3   t  − t dt  = (t − t )dt   31  (5t − 8t )t + C  t − t +C= 88  320 = [5(1 − 2x )2 − 8(1 − 2x )] (1 − 2x )2 + C 320 = (20x − 4x − 3) (1 − 2x )2 + C 320 Ví dụ 7: Tính tích phân bất định: I = ∫ sin x cos xdx Giải: Đặt: t = cos x ⇒ t = cos x dt = sinxdx, Trang 17 DeThiMau.vn Tích phân Trần Só Tuøng sin x cos xdx = sin x cos x sin xdx = (1 − cos2 x) cos x sin x dx = (1 − t ).t.(2tdt) = 2(t − t )dt  1 Khi đó: I = ∫ (t − t )dt =  t − t  + C = (3t − 7t )t + C  21 7 = (cos3 x − cos x) cos x + C 21 cos x.sin xdx Ví dụ 8: Tính tích phân bất định: I = ∫ + sin x Giải: Đặt: t = − x ⇒ x = − t 2at = + sin x Suy ra: dt = 2sin x cos xdx, cos x.sin xdx sin x.cos x.sin xdx (t − 1)dt   = = =  −  dt + sin x + sin x 2t 2 t  Khi đó: I =  1 2  −  dt = f12(t − ln t + C = [1 + sin x − ln(1 + sin x)] + C ∫  t Ví dụ 9: Tính tích phân bất định: I = cos2 xdx ∫ sin8 x Giải: Đặt: t = cotgx dx, sin x cos2 xdx cos2 x dx dx dx = = cot g x = cot g x.(1 + cot g2 x)2 2 sin x sin x sin x sin x sin x sin x = t (1 + t )2 dt Suy ra: dt = −  1 Khi đó: I = ∫ t (1 + t )dt = ∫ (t + 2t + t )dt =  t + t + t  + C  7 = (15cot g x + 42 cot g 5x + 35cot g3 x) + C 105 Ví dụ 10: Tính tích phân bất định: I = ∫e x dx − ex / Giải: Đặt: t = e− x / dx Suy ra: dt = − ex / dx ⇔ − 2dt = x / , e −2tdt dx dx e− x / dx = = = = 2(1 + )dt −x / −x / x x/2 x x/2 e −e e (1 − e ) e (1 − e ) − t t −1 Trang 18 DeThiMau.vn Trần Só Tùng Tích phân   −x / Khi đó: I = ∫  + + ln e− x / + 1) + C  dt = 2(e  t −1  Chú ý: Bài toán dùng tới kinh nghiệm để lựa chọn cho phép đổi biến t = e − x / , nhiên với cách đặt t = ex / thực toán Ví dụ 11: Tính tích phân bất định: I = ∫ dx + ex Giải: Cách 1: Đặt: t = + ex ⇔ t = + e x Suy ra: 2tdt = e x dx ⇔ dx = 2tdt dx 2tdt 2tdt & = = 2 t −1 + ex t(t − 1) t − dt t −1 + ex − Khi đó: I = ∫ = ln + C = ln +C t −1 t +1 + ex + Caùch 2: Đặt: t = e− x / dx Suy ra: dt = e − x / 2dx ⇔ − 2dt = x / , e dx dx dx −2dt = = = + ex ex (e− x + 1) ex / e− x + t2 + Khi đó: I = − ∫ dt t +1 = − ln t + t + + C = −2 ln e− x / + e − x + + C Ví dụ 12: Tính tích phân bất định: I = ∫ dx x +a , với a ≠ Giải: Đặt: t = x + x + a x x2 + a + x dx dt   Suy ra: dt =  + dx ⇔ =  dx = 2 t x +a  x +a x +a  dt Khi ñoù: I = ∫ = ln t + C = ln x + x + a + C t dx Ví dụ 13: Tính tích phân bất định: I = ∫ (x + 1)(x + 2) Giaûi: Ta xét hai trường hợp: x + > • Với  ⇔ x > −1 x + > Đặt: t = x + + x + Trang 19 DeThiMau.vn Tích phân • Trần Só Tùng  ( x + + x + 2)dx dx 2dt  Suy ra: dt =  + ⇔ =  dx = t (x + 1)(x + 2) (x + 1)(x + 2)  x +1 x +  dt Khi đó: I = ∫ = ln t + C = ln x + + x + + C t x + < ⇔ x < −2 Với  + < x  Đặt: t = −(x + 1) + −(x + 2) [ −(x + 1) + −(x + 2)]dx 1   − Suy ra: dt = − dx =  (x + 1)(x + 2)  −(x + 1) −(x + 2)  dx 2dt ⇔ =− t (x + 1)(x + 2) Khi đó: I = − ∫ dt = −2 ln t + C = −2 ln −(x + 1) + −(x + 2) + C t BÀI TẬP Bài 12 Tìm họ nguyên hàm hàm số sau: x4 x2 − x a/ f(x) = x (x − 1) ; b/ f(x) = 10 ; c/ f(x) = ; x −4 (x − 2)3 ÑS: a/ (x − 1)12 + (x − 1)11 + (x − 10)10 + C 12 11 10 x2 − d/ f(x) = ; x +1 b/ x5 − ln + C 20 x + x2 − x + ln + C d/ 2 x2 + x + 2x − c/ ln x − − + C; (x − 2)2 Bài 13 Tìm họ nguyên hàm hàm số sau: a/ f(x) = ĐS: a/ 2x x + x −1 ; b/ f(x) = 2 (x + a ) x − (x − 1)3 + C; 3 b/ (a > 0) ; x a 2 x +a c/ f(x) = + C; 3x  c/  + x + ln x −  + C   Bài 14 Tìm họ nguyên hàm hàm số sau: cos5 x ; a/ f(x) = ; b/ f(x) = cos x sin x c/ f(x) = sin x + cos x ; sin x − cos x cos3 x ; e/ f(x) = d/ f(x) = sin x sin x ÑS: a/ 33 3 sin x + sin14 x − sin x + C; 14 Trang 20 DeThiMau.vn x − x ... ln x) + ln x + C Tích phân Trần Só Tùng Vấn đề 3: XÁC ĐỊNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP PHÂN TÍCH Phương pháp phân tích thực chất việc sử dụng đồng thức để biến đổi biểu thức dấu tích phân thành... được: ∫ f(x)dx = ∫ f[ϕ(t)].ϕ '(t)dt Từ ta trình bày hai toán phương pháp đổi biến sau: Bài toán 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng tích tích phân bất định I = ∫ f(x)dx PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta... tgt.cos t = + x2  Phương pháp áp dụng để giải toán tổng quát: I= ∫ dx (a + x )2 k +1 , với k ∈ Z Bài toán 2: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng tích tích phân I = ∫ f(x)dx PHƯƠNG PHÁP CHUNG Ta