Toán học Tích phân hàm lượng giác27549

TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC b b Dạng 1: Tính tích phân I   sin xdx I   cosn xdx n a a Ta xét trường hợp sau: Trường hợp 1: n=1 Trường hợp 1: n=2 Trường hợp 1: n=3 Trường hợp 1: n=4 Trường hợp 1: n=5 Trường hợp 1: n=1 b b a a Tính tích phân: I   sin xdx I   cosxdx Cách giải: Áp dụng bảng nguyên hàm Bài 1: Tính tích phân sau:       I   sin   x  dx    I   sin 2 x   dx I   sin xdx 0 Trường hợp 2: n=2 n=4 Tính tích phân: b o a b o b I   sin xdx I   cos2 xdx a b I   sin xdx I   cos4 xdx a a Cách giải: Áp dụng công thức hạ bậc Công thức hạ bậc: cos2 x  1  cos2x  sin x  1  cos2x  cos x  cos x  2 2 1    1  cos2x   1  cos2x  2  2 1  sin x  sin x    1  cos2x   1  cos2x  2  Bài 2: Tính tích phân sau:  I   sin xdx     x I   sin    dx  2 I   sin xdx Bài 3: Tính tích phân sau:  I   cos xdx   x I   cos    dx  4 I   cos xdx Trường hợp 3: n=3 n=5 Tính tích phân: o o b b a b a b a a I   sin3 xdx I   cos3 xdx I   sin xdx I   cos5 xdx Cách giải: Đổi biến số o Phân tích sin3 x sin x thành: I   f sin x .cosx.dx Sau đặt t  f s inx  b a o Phân tích cos x cos x thành: I   f cosx .sin x.dx Sau đặt t  f cosx  b a Ta áp dụng đẳng thức: ThuVienDeThi.com sin x   cos2 x sin x  cos x    2 cos x   sin x sin3x=sin x.s inx  1  cos2 x s inx  cos3 x  cos2 x.cosx  1  sin x .cosx  2 sin 5x=sin x.s inx  1  cos2 x 2 s inx   cos x  cos x.cosx  1  sin x  cosx Lưu ý: f s inx  thức theo sinx, f cosx  biểu thức theo cosx Bài 4: Tính tích phân sau:     I   sin xdx I   sin3 xdx I   sin xdx I   sin x dx Bài 5: Tính tích phân sau:   x dx  x I   cos5 dx I   cos3 xdx I   cos5  I   cos5 xdx b Dạng 2: Tính tích phân I   sin m x.cosn xdx a Ta xét trường hợp sau: TH1: m=n=1 TH2: m=n=2 TH3: m=n=3 TH4: m lẻ n chẵn TH5: m chẵn n lẽ TH6: m  n với m n chẵn TH7: m  n với m n lẻ b Trường hợp 1: m=n=1 Ta có: I   sin x.cosxdx  a b sin xdx a Công thức nhân đôi:  sin x  2sin x.cosx 1  sin x.cosx= 2sin x.cosx= sin x 2 1   sin x.cos x= sinx.cosx  =  2sin x.cosx  = sin 2 x 2  2 1   sin x.cos x= sinx.cosx  =  2sin x.cosx  = sin3 x 2  Bài 6: Tính tích phân sau: 3   I   sin x.cosxdx I   sin x.cos2xdx x x I   sin cos dx 2 I   sin  0  b Trường hợp 2: m=n=2 Ta có: I   sin x.cos2 xdx  a b sin xdx a Cách giải: Hạ bậc ThuVienDeThi.com 3x 3x cos dx 2 Bài 7: Tính tích phân sau:     I   sin x.cos xdx I   4sin 2 x.cos2 2xdx x x I   8sin cos2 dx 2 x x I   3sin cos2 dx 3 2 b Trường hợp 3: m=n=3 Ta có: I   sin3 x.cos3 xdx  a b sin xdx a Cách giải: Đổi biến số dạng Bài 8: Tính tích phân sau:   I   sin3 x.cos3xdx I   sin3 x.cos3 2xdx  0  x x I   sin3 cos3 dx 2 Trường hợp 4: : m lẻ n chẵn Cách giải: Đổi biến số dạng x x I   sin3 cos3 dx 3 b b a a  Biến đổi: I   sin m x.cosn xdx   sin m1 x.cosn x.s inxdx  Đặt t=cosx biểu thức chứa cosx Bài 9: Tính tích phân sau:   I   sin3 x.cos2 xdx I   sin x.cos4 2xdx 0 x x I   sin3 cos6 dx 2 Trường hợp 5: : m chẵn n lẽ Cách giải: Đổi biến số dạng  x x I   sin cos2 dx 3  b b a a  Biến đổi: I   sin m x.cosn xdx   sin m x.cosn-1 x.cosxdx  Đặt t=sinx biểu thức chứa sinx Bài 10: Tính tích phân sau:   I   sin x.cos xdx  x x I   sin cos3 dx 2 Trường hợp 6: m  n với m n chẵn Cách giải: Hạ bậc b b a a I   sin x.cos5 2xdx  x x I   sin cos5 dx 3  Biến đổi: I   sin m x.cosn xdx   sin m x.cosn-1 x.cosxdx dx sin x Khơng giải tích phân cách biến đổi     sin x  cos2 x cos2 x 2 I  2 dx  2 dx  dx  dx   3   sin x sin x sin x sin x 6  Bài : Tính tích phân I  2 ThuVienDeThi.com Tính A  2 dx sin x Tính B     cos2 x cos2 x.s inx cos2 x.s inx 2   dx dx 6 sin4 x 6  cos2 x dx sin3 x      Cách khác: I      s inx s inx dx   dx  2 dx sin x sin x 1  cos x  Ta phải giải tích phân phần   1 I   dx  2 dx sin x sin x sin x  cosx  u  s inx du   dx  Đặt  sin x dv  v   cot x dx  sin x      cosx cos2 x  sin x 1 2 Khi đó: I    dx    dx    dx  2 dx 3 sin x  sin x sin x 6 sin x sin x Suy ra: I      dx sin x   s inx s inx Tính A=  dx   dx  2 dx 2 sin x sin x  cos x Đặt t  cosx  dt=-sinxdx    x   t  Đổi cận:  x=   t     Khi đó: A   1 23  1  t 1 dx    dt  ln    1 t  t 1 t 1  t 1 32 32 Vậy: I   ln  I   ln 2 2  Bài : Tính tích phân I   dx cos3 x ThuVienDeThi.com 32  ln 2 ... sinx, f cosx  biểu thức theo cosx Bài 4: Tính tích phân sau:     I   sin xdx I   sin3 xdx I   sin xdx I   sin x dx Bài 5: Tính tích phân sau:   x dx  x I   cos5 dx I   cos3... x.cosxdx dx sin x Không giải tích phân cách biến đổi     sin x  cos2 x cos2 x 2 I  2 dx  2 dx  dx  dx   3   sin x sin x sin x sin x 6  Bài : Tính tích phân I  2 ThuVienDeThi.com... = sin 2 x 2  2 1   sin x.cos x= sinx.cosx  =  2sin x.cosx  = sin3 x 2  Bài 6: Tính tích phân sau: 3   I   sin x.cosxdx I   sin x.cos2xdx x x I   sin cos dx 2 I   sin  0 