Kinh Toán học Tích phân hàm vô tỉ docx

n.t ad bc dtdt... n.t ad bc dtdt.

x a

 

 10 5/ I 4dx 4

x a

 

 11 6/ I 4dx 4

 

 13 7/ I 6dx 6

x a

 

 13 8/ I 6dx 6

 

 14 9/ I 8dx 8

1 x

 ¥ 16 11/ I ndx n

2 0

n.t ad bc dtdt

n.t ad bc dtdt

a c.t

a c.t t n.t ad bc dt n.t ad bc dtI

2

2 2

2/ I 12 ax bdx

cx dx



3 2

k n

Vay can bac n cua z là n so phuc : w r.e , k 0, 1, 2, 3 n 1

With r là can thuc duong duy nhat

e e cos i sin cos i sin

cos cos sin sin i sin cos cos sin

2n k

2n k

2n2k

sin

dx2n

2k

2k2n

k 1 2

2kn

2ksin

With k :1 n thay k tu 1 den n 1 x x x

Vay can bac n cua z là n so

k n

phuc : w r.e , k 0, 1, 2, 3 n 1With r là can thuc duong duy nhat

e e cos i sin cos i sin

cos cos sin sin i sin cos cos sin

bx

*

dxI

2 3

x 2 33.cos t.dt sin t u 3

1 / p là so nguyen khi ay dat x t voi s là boi chung nho nhat cua m, n

(cm công thức của nhà toán học Trebushep làm sao vậy?)

Người ta cm được công thức sau:

 

2 n

Để xác định p và các hệ số của Qn 1  x , ta đạo hàm (1) và cân bằng hệ số 2 vế để được hệ pt

(Cm công thức này làm sao vậy?)

*

3 2

2

2 2

4 4

1du

2 2

2

1

1

1u

I Ln u u Ln 1 du Ln6 ln 2 Ln ln 2 ln 3 ln Ln

Ta có: I  Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  1 x 2 và trục Ox

Mà y  1 x 2  y2  x2 1 lay phan y  0là một nửa hình tròn bán kính R = 1

Ta có hình vẽ như sau:

2 x

Cách 2 : I dx dat x a.cos 2t dx 2a.sin2t.dt t arccos

x a a cos 2t 1 a 1 2sin t 1 2a.sin t

x a a 1 cos 2t a 1 2 cos t 1 2a.cos t

2a.sin t i.sin t

I 2a sin2t.dt 2a 2sin t.cos t.dt 4a.i sin t.d

cos t2a.cos t

Cách 2 : I dx dat x a.cos 2t dx 2a.sin2t.dt t arccos

a x a 1 cos 2t a 1 1 2sin t 2a.sin t

a x a 1 cos 2t a 1 2 cos t 1 2a.cos t

I 2a sin2t.dt 2a 2sin t.cos t.dt 4a sin t.dt 4a

cos t2a.cos t

2a.x b b 4ac 2a.x b b 4ac

2 b 4ac 2a.x b b 4ac 2 b 4ac 2a.x b b 4ac

2a.d 2a.x b b 4ac 2a.d 2a.x b b 4ac

b 4ac 2a.x b b 4ac b 4ac 2a.x b b 4ac

ln 2a.x b b 4ac ln 2a.x b b

2 2

a.dxdat u ln ax b , dv d ax b du , v ax b

2 1

2 0

2 2 1Vay T

I a sin t a 1 sin t a cos t.dt a sin t.cos t.dt sin 2t dt

a 1 sin t a cos t.dt cos t.dt

1 3

1a

1

cos tcos t

3 2

acos t

1a

1cos t a tan t 1 a cos t

cos tcos t

2n 1

2k 1 k

k k

n n

2k 1 2

k k

2k 1a

* I x a b x dx dat x a b a sin t dx 2 b a sin t.cos t.dt

x a b a sin t 0 sin t 0 t 0 x b sin t 1 t

b 2x a1

7 0

* I x a b x dx dat x a b a sin t dx 2 b a sin t.cos t.dt

x a b a sin t 0 t 0, x b sin t 1 t

2

b a sin 8t sin 4t 6t 3 b a 3 b aI

2 3