Kinh Toán học Tích phân hàm vô tỉ docx

1 Kinh Toán học Tích phân hàm vô tỉ: 3 1/ 1 ax b I dx x cx d     5 2/ 2 1 ax b I dx cx d x     8 3/ 3 3 dx I x a    9 4/ 3 3 dx I x a    10 5/ 4 4 dx I x a    11 6/ 4 4 dx I x a    13 7/ 6 6 dx I x a    13 8/ 6 6 dx I x a    14 9/ 8 8 dx I x a    14 * 8 dx I 1 x    15 10/ * 2n dx I n 1 x      ¥ 16 11/ n n dx I x a    20 6/ 2 dx I ax bx c     21 7/   2 mx n dx I ax bx c      22 8/   2 dx I x q ax bx c      22 *   3 2 dx I x 4x 7     25 * 3 2 x x 1 I dx x 2x 2       25 *   1 n n n 0 dx I 1 x 1 x     26 * dx I x 1 x 1 2       26 4 1 dx * I x x    * x 2 2 0 I 1 u du 1 x dx       28 * x a I dx x a     29 a x * I dx x a       2000 2004 x .dx * I x 1    2 2 dx * I ax bx c       2 2 dx * I ax bx c     2 mx n * I dx ax bx c      2 2 2 * I x x a .dx      n * I x ax b dx      n x.dx * I ax b      2 x .dx * I ax b      c b a x .dx * I x m    3 1 2 0 x dx * I x x 1     2 2 2 * I x a x .dx    2 2 2 a x .dx * I x    3 2 2 * I x a x .dx    2 2 * I x a x .dx    5 2 2 * I x a x .dx    2 2 dx * I x. x a    Error! Bookmark not defined.   2 2 2 2 x .dx * I x a      2 z * x sin arctan z 1 z      2 1 * x cos arctan y 1 y      3 n 2 2 x .dx * I x a      2m 1 n 2 2 x .dx * I m 1 x a      *   n 1 n n i n 1 i i 0 Cm : a b a b a .b               43   4 2 2 2 x .dx * I x a    Error! 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Dat t x , dx x 1 x 1 x 1 t 1 x 1 x 1 t 1 6t .dt t 1 6t .dt 2t 6t .dt t 1 3dt I t 1 . t 1 t 1 2t t 1 t 1 t 1 t 1 1 1 A B.t C t 1 t 1 t t 1 t t 1                                                                               2 A t t 1 B.t C t 1 1 t 1 1 Cho t 1 3A 1 A cho t 0 A 1 B.t C 1 3 1 2 7 2 1 C 1 C cho t 2 7A 2B C 1 2B 1 B 3 3 3 3 3                                                                 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 d t 1 t 2 dt 1 1 t 2 3dt 3 t 1 t 1 t 1 t 1 3 t t 1 t t 1 d t t 1 1 2t 4 1 3 dt ln t 1 dt ln t 1 2 2 2 t t 1 t t 1 t t 1 1 3 dt ln t 1 ln t t 1 2 2 t t 1 1 d t 3 dt 3 2 2 2 t t 1 1 3 t 2 2                                                                                                2 2 2 2 2 2 3 2 2t 1 dx 1 x . arctg arctg 2 a a 3 3 x a t t 1 1 1 2t 1 2t 1 I ln t 1 ln t t 1 3.arctg ln 3.arctg 2 2 3 3 t 1                                                                n n n n n n n n n ' ' n n n n n 1 n n n 1 2 2 n n n 1 n ax b ax b ax b a / R x, dx doi bien : t t ax b t .cx t .d cx d cx d cx d t .d b x a c.t t .d b x a c.t t .d b a c.t t .d b a c.t n.d.t a c.t t .d b n.c.t dx dt dt a c.t a c.t a.n.d.t b.n.c.t                                                      n 1 1 2 2 n n n.t ad bc dt dt a c.t a c.t       5 1/ 1 ax b I dx x cx d                           n n n n n n n n n ' ' n n n n n 1 n n n 1 2 2 n n n 1 n 1 n 1 ax b ax b ax b a / I . dx doi bien : t t ax b t .cx t .d x cx d cx d cx d t .d b x a c.t t .d b x a c.t t .d b a c.t t .d b a c.t n.d.t a c.t t .d b n.c.t dx dt dt a c.t a c.t and.t bnc.t a c.t                                                              n 1 2 2 n n n 1 n 2 n n n n n.t ad bc dt dt a c.t a c.t .t n.t ad bc dt n.t ad bc dt I t .d b a c.t t .d b a c.t                                          2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 t dt M N Cho n 2 I 2 ad bc 2 ad bc dt a c.t t .d b a c.t t .d b t M N M t .d b N a c.t t a c.t t .d b a c.t t .d b Mb Na Mb 0 N M 0, P 0 a a b M N bc ad bc ad bc ad bc Md Nc 1 M d 1 M 1 a a a I 2                                                                            2 2 b dt a c.t t .d b                      2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 a a t t adt adt a 1 1 a dx 1 a x c c . .ln . ln ln c 2 c 2a a x a a a a x a c.t a 2 t t c t c c c c b b t t bdt bdt b 1 1 b d d . .ln . ln d 2 d b b b t .d b b 2 t t d t d d d d t dt a I 2 ad bc 2 a c.t t .d b                                                                            2 2 b dt a c.t t .d b a b t t 1 a 1 b c d 2 . ln . ln 2 c 2 d a b t t c d                               1 a a c.t 1 b b d.t 2 . ln . ln 2 c 2 d a c.t b d.t a ax b b ax b 1 ax b a b c cx d d cx d I dx ln ln x cx d c d a ax b b ax b c cx d d cx d                                           6 ' ' ' a ax b b ax b a b c cx d d cx d Kiem tra ket qua : ln ln c d a ax b b ax b c cx d d cx d a ax b b ax b a b c cx d d cx d ln ln c d a ax b b ax b c cx d d cx d a a ax b a ax b ln ln c c cx d c cx d                                                                                        ' ' 2 ' ' b b ax b b ax b ln ln d d cx d d cx d a cx d c ax b ax b cx d cx d a ax b ax b ax b 2 2 c cx d a ax b cx d cx d ln c cx d a ax b a ax b a ax b c cx d c cx d c cx d                                                                                                         2 2 ' 2 ' ' ad bc cx d . 2 ax b cx d ad bc cx d a ax b a ax b 2 cx d ax b c cx d c cx d a cx d c ax b ax b cx d cx d a ax b ax b ax b 2 2 c cx d a ax b cx d cx d ln c cx d a ax b a ax a ax b c cx d c c cx d                                                                                       2 2 b cx d ad bc cx d . 2 ax b cx d ad bc cx d a ax b a ax b 2 cx d ax b c cx d c cx d                                   ' ' 2 2 a ax b a ax b ln ln c cx d c cx d ad bc cx d 1 1 a ax b a ax b 2 cx d ax b c cx d c cx d a ax b a ax b c cx d c cx d ad bc cx d a ax b 2 cx d ax b c cx d                                                                                                                     2 ad bc cx d a 1 .2 a cx d c ax b c 2 cx d ax b c cx d                                7             2 2 ' ad bc cx d ad bc cx d c cx d a 1 a ac . . . c c ad bc cx d. ax b ad bc cx d ax b cx d ax b c cx d a ax b a a c cx d ln c a ax b cx d. ax b c cx d                                                                      ' 2 ' ' 2 2 a cx d c ax b ax b cx d cx d b ax b ax b ax b 2 2 d cx d b ax b cx d cx d ln d cx d b ax b b ax b b ax b d cx d d cx d d cx d ad bc cx d . 2 ax b cx d ad bc cx d b ax b b ax b 2 cx d ax b d cx d d cx d                                                                                 ' 2 ad bc cx d b ax b ln d cx d b ax b 2 cx d ax b d cx d                                           ' ' 2 2 b ax b b ax b ln ln d cx d d cx d ad bc cx d 1 1 b ax b b ax b 2 cx d ax b d cx d d cx d b ax b b ax b d cx d d cx d ad bc cx d b ax b 2 cx d ax b d cx d                                                                                                                     2 ad bc cx d b 1 .2 b cx d d ax b d 2 cx d ax b d cx d                                            ' 2 ' ' b ax b ad bc cx d b 1 bd cx d b d cx d ln x bc ad d d cx d .x ax b b ax b cx d ax b d cx d d cx d b cx d.x ax b a ax b b ax b a b a c cx d d cx d ln ln c d a ax b b ax b cx d a c cx d d cx d                                                                                      b x b cx d .x ax b ax b ax b x cx d ax b x cx d            8 2/ 2 1 ax b I dx cx d x                                 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ax b ax b ax b a / I . dx doi bien : t t cx d cx d cx d x 2.t ad bc dt t .d b x dx a c.t a c.t a c.t .t 2.t ad bc dt t dt I 2 ad bc t .d b a c.t t .d b t M.t N P.t Q M.t N t .d b P.t Q t t .d b t .d b t .d b Md.                                             3 2 2 t Nd.t Mb.t Nb P.t Q t                  2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Md 0, Nd 1 M 0, P 0 P Mb 0 1 b N , Q Nb Q Nb 0 d d t dt dt b.dt I 2 ad bc 2 ad bc d t .d b t .d b d t .d b b t dt 1 dt 1 1 1 d b d.t d . ln ln b b 2 b b d.t d d d d t .d b b 2 t t d d d                                                                                 2 2 2 22 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 2 2 b.dt b dt b Dat a d d d t .d b b t d b dt b t 1 a x M ln a x d d 4a 2a x a t a b t b t 1 b d .t b 1 1 b d .ln . . .ln b b d d bd d 2b t b b b 2 t t 4 4 d d d d d                                                                                                  2 1 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 d.t b d.t t d b d.t ln 4d b b d.t 2 t b 2 1 dx x x 1 a x I ln a x 2a 4a 2a x a 2a x a x a                                             9                 2 2 2 2 2 2 3 2 dt b.dt I 2 ad bc d t .d b d t .d b 1 d b d.t t d b d.t 2 ad bc ln ln 2 b b d.t 4d b b d.td 2 t b b d.t 1 1 t 2 ad bc ln b d.t 4 bd 2 t b 2 bd ax b b d. 1 ax b cx d I . dx 2 ad bc ln cx d x b d                                                                            3 ax b 1 1 cx d ax b ax b 4 bd 2 bd 2 b . cx d cx d                                  1 x 1 * I .dx x x 1                                        ' ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 t 1 t 1 t 1 t 1 x 1 x 1 1 t * I .dx dat t x , dx dt x x 1 x 1 1 t 1 t 2t 1 t 2t 1 t 4t.dt 4t .dt dt I 1 t 1 t 1 t 1 t 4t a b dat a 1 t b 1 t 4t 1 t 1 t 1 t 1 t a b 0, b a 4 b 2, a 2 4t .dt I 1 t 1 t                                                             2 2 2 2 t 1 ln 2arc tan t C t 1 1 t 1 t x 1 1 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 I .dx ln 2arc tan ln 2arc tan C x x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 1 x 1                                                  3/ 3 3 dx I x a                                 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dx dx 1 m px q 1/ I x a x a x a x ax a x a x ax a x ax a m x ax a px q x a 1 x m p am.x ma ap.x q.x aq 1 1 1 a 2 Sai : Cho x a 3a m 1 m Cho x 0 m a q a 1 q 1 3 3a 3a 7 2a Cho x 2a 7a m 2ap q a 1 2a p 1 7 6 3 3                                                                 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a p 2a 3 6a p 2a 4 1 x m p x am ap q ma aq 1 m p 0 m p 2 am ap q 0 2am q 0 q 2am 3a 1 1 ma aq 1 ma 2ma 1 m , p m 3a 3a                                                   10                 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x 2 d x a dx 1 3a 3a I dx x a 3a x a x ax a x ax a x 2a 2x a 3a dx ln x a ln x a 1 1 dx 3a 3a 3a 6a x ax a x ax a                                         ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x ax a dx x 2aln x a ln x a 1 1 dx dx 3a 3a 3a 3a 6a x ax a x ax a x ax a a d x ln x a 1 1 2 ln x ax a 2a 3a 6a a a 3 x 2 2 2ln x a ln x ax a 1 2 a . .arctg x 2a 2 a 3 6a                                                                              2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 . a 3 ln x a ln x ax a 1 2x a .arctg a 36a a 3 x a dx 1 1 2x a I ln .arctg a 3x a 6a x ax a a 3                                      4/ 3 3 dx I x a                               3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 dx dx 1 m px q 1/ I x a x a x a x ax a x a x ax a x ax a m x ax a px q x a 1 x m p am.x ma ap.x q.x aq 1 1 1 x m p x am ap q ma aq 1 m p 0 m p 2 am ap q 0 2am q 0 q 2am 3a 1 ma aq 1 ma 2ma 1 m , 3a                                                                  2 1 p m 3a                                    2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x 2 d x a dx 1 3a 3a I dx x a 3a x a x ax a x ax a x 2a 2x a 3a dx ln x a ln x a 1 1 dx 3a 3a 3a 6a x ax a x ax a x ax a dx ln x a 1 dx 3a 3a 6a x ax a x ax a d x ln x a 1 1 ln x ax a 2a 3a 6a                                                           2 2 a 2 a a 3 x 2 2                               [...]...   sin  arctg    sin  arctg   3 3  3    n p  m du 2 x 2  4x  7   x  2   3 dat u  x  2  I    dx với m, n, p là các số hữu tỉ Nhà toán học Nga Trebushep cm rằng tích phân trên  x a  bx chỉ lấy được (tức là có thể biểu diễn ở dạng hàm sơ cấp) trong 3 trường hợp sau: 1/ p là so nguyen khi ay dat x  t s voi s là boi chung nho nhat cua m, n m 1 là so nguyen dat a  bx s  t s... 2  8  4 x 1 4  9  9  4 x 1 (cm công thức của nhà toán học Trebushep làm sao vậy?) Người ta cm được công thức sau: Pn  x  dx dx  Q n 1  x  ax 2  bx  c  p. 1  2 2 ax  bx  c ax  bx  c Pn  x  là da thuc bac n Q n 1  x  là da thuc bac n  1 voi cac he so chua xác dinh Để xác định p và các hệ số của Q n 1  x  , ta đạo hàm (1) và cân bằng hệ số 2 vế để được hệ pt (Cm công thức... x  x k x 2n  1 lim 0 x xk x  x k 0   ' dang , dùng LHospital   0    do x k là ngiem cua x 2n  1 1 1 , Bk  voi k :1 n 2n 1 2n 1 2n.x k 2n  x k  Thế các hệ số vừa tìm được vào dạng phân tích, ta có:  Ak  16 n  A Bk  n  A k  x  x k   Bk  x  x k   1 k      2n x  x k x  x k  k 1   x  xk x  xk   1 x k 1    x  A k  Bk    A k x k  Bk x k  ...   4  d 1  t   2t.dt   3 2 1 t2   2 3 d 1 t dx    13    13arcsin t 2 2 2 2 1 t 1 t 1 t 3t.dt dt 1  t 2  13arcsin t  3  x 2  6x  8  13arcsin  x  3   C   Để tính tích phân  R x, ax 2  bx  c ta có thể dùng phép đổi biến lượng giác: 2  b  c b2  ax  bx  c  a   x     2   2a  a 4a    2 2  b  b 2  4ac  2 2  a  x      a u d  2a  4a...  3 1 3 1  2   2   x     x          2  2 2  2        arctg 2x  3  arctg 2x  3  C x * I   1  u 2 du   1  x 2 dx 0 Ta có: I  Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y  1  x 2 và trục Ox Mà y  1  x 2  y 2  x 2  1  lay phan y  0  là một nửa hình tròn bán kính R = 1 Ta có hình vẽ như sau:   Ta có: x  cos      sin     arcsin...  2n 1 2k   i.  2n   e i  2k  1 xk  1  xk  1  1  1  2    2n 1  2n 1 2  xk  xk      n  Do tổng xích ma   f  x;k   này hữu hạn nên ta có thể đem dấu nguyên hàm   dx  vào trong dấu  k 1  xích ma và được:      2k  1   2k  1   x.cos 1  x.cos 1  n   n  dx 2n 2n  dx     I    dx   2n   2k      1 x k 1   k 1 n.... tinh A k và Bk voi k :1 n, ta cho x  x k khi do : xn  a n lim  n.x n 1 k x xk x  x k 0   ' dang , dùng LHospital   0    Ak  1 n.x n 1 k voi k :1 n The cac he so vua tim dc vào dang phan tích, ta có : n  A n   1 1 k         n 1 n n x  x k  k 1  n.x k  x  x k   x a k 1     1 x k n 1   2k   2k   x k  a  cos   i.sin    n  n        1  n . 1 Kinh Toán học Tích phân hàm vô tỉ: 3 1/ 1 ax b I dx x cx d     5 2/ 2 1 ax b I dx cx d x     8 3/. a b x .dx        dx * I x a x b     dx * I x 1 x 1 2       Tích phân hàm vô tỉ:                     n n n n n n n n n ' ' n n n n. 1 x x 1 1 A , B voi k :1 n 2n.x 2n x           Thế các hệ số vừa tìm được vào dạng phân tích, ta có: 17             n n k k k k k k 2n k 1 k 1 k k k k n k k k k k k 2 k