Tích phân hàm lượng giác27896

TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Dạng 1: Tính tích phân b I   sin n xdx a Ta xét trường hợp sau: b b I   cosn xdx a b Trường hợp 1: n=1 I   sin xdx Trường hợp 2: n=2 I   sin xdx I   cos2 xdx Trường hợp 3: n=3 I   sin xdx I   cos3 xdx Trường hợp 4: n=4 I   sin xdx I   cos4 xdx Trường hợp 5: n=5 I   sin xdx I   cos5 xdx a b a b a b a b a I   cosxdx a b a b a b a b a Trường hợp 1: n=1 b b a a Tính tích phân: I   sin xdx I   cosxdx Cách giải: Áp dụng bảng nguyên hàm Bài 1: Tính tích phân sau:   I   sin 2 x   dx I   sin xdx 0 Trường hợp 2: n=2 n=4 Tính tích phân: b     I   sin   x  dx    b I   sin xdx I   cos2 xdx o a b a b I   sin xdx I   cos4 xdx o a a Cách giải: Áp dụng công thức hạ bậc Công thức hạ bậc: cos2 x  1  cos2x  sin x  1  cos2x  2 2 1  cos x  cos x    1  cos2x   1  cos2x  2  sin x  sin x  2 2 1    1  cos2x   1  cos2x  2  Bài 2: Tính tích phân sau:  I   sin xdx  I   sin 2 xdx   x I   sin    dx  2 Bài 3: Tính tích phân sau:  I   cos2 xdx  I   cos2 xdx   x I   cos2    dx  4 Bài 4: Tính tích phân sau:  I   cos xdx  I   sin xdx  I   sin x dx Trường hợp 3: n=3 n=5 ThuVienDeThi.com Tính tích phân: o o b b a b a b a a I   sin3 xdx I   cos3 xdx I   sin xdx I   cos5 xdx Cách giải: Đổi biến số o Phân tích sin3 x sin x thành: I   f sin x .cosx.dx Sau đặt t  f s inx  b a o Phân tích cos3 x cos5 x thành: I   f cosx .sin x.dx Sau đặt t  f cosx  b a Ta áp dụng đẳng thức thường áp dụng: sin x   cos2 x sin x  cos2 x    2 cos x   sin x sin3x=sin x.s inx  1  cos2 x s inx  cos3 x  cos2 x.cosx  1  sin x .cosx  sin 5x=sin x.s inx  1  cos2 x 2 s inx   cos x  cos x.cosx  1  sin x  cosx Lưu ý: f s inx  thức theo sinx, f cosx  biểu thức theo cosx Bài 4: Tính tích phân sau:   I   sin3 xdx I   sin3 xdx I   sin xdx I   sin  0  x dx Bài 5: Tính tích phân sau:   x dx  x I   cos5 dx I   cos xdx I   cos5  I   cos5 xdx Bảng tóm tắt TT b Dạng tốn I   sin n xdx a n=1 n=2 n=4 n=3 n=5 b I   cosn xdx b b a a I   sin xdx I   cosxdx b b a a b b a a b b I   sin xdx I   cos2 xdx I   sin xdx I   cos4 xdx I   sin3 xdx I   cos3 xdx a b a b I   sin xdx I   cos5 xdx a Cách giải a Áp dụng bảng nguyên hàm Áp dụng công thức hạ bậc Đổi biến số dạng a ThuVienDeThi.com Dạng 2: Tính tích phân Ta xét trường hợp sau: b I   sin m x.cosn xdx a b TH1: m=n=1 I   sin x.cosxdx TH2: m=n=2 I   sin x.cos2 xdx TH3: m=n=3 I   sin3 x.cos3 xdx a b a b a b TH4: m lẻ n chẵn I   sin3 x.cos2 xdx TH5: m chẵn n lẽ I   sin x.cos5 xdx a b a b TH6: m  n với m n chẵn I   sin x.cos2 xdx TH7: m  n với m n lẻ I   sin x.cos3 xdx a b a Công thức nhân đôi thường áp dụng:  sin x  2sin x.cosx 1  sin x.cosx= 2sin x.cosx= sin x 2 2 1   sin x.cos2 x= sinx.cosx  =  2sin x.cosx  = sin 2 x 2  1   sin x.cos x= sinx.cosx  =  2sin x.cosx  = sin3 x 2  3 1   sin x.cos x= sinx.cosx  =  2sin x.cosx  = sin x 2  32 4 b Trường hợp 1: m=n=1 Ta có: I   sin x.cosxdx  a b sin xdx a Bài 6: Tính tích phân sau:   I   sin x.cosxdx I   sin x.cos2xdx x x I   sin cos dx 2 I   sin  0  b Trường hợp 2: m=n=2 Ta có: I   sin x.cos2 xdx  a 3x 3x cos dx 2 b sin xdx a Cách giải: Hạ bậc Bài 7: Tính tích phân sau:   I   sin x.cos2 xdx I   4sin 2 x.cos2 2xdx x x I   8sin cos2 dx 2 x x I   3sin cos2 dx 3  0  b Trường hợp 3: m=n=3 Ta có: I   sin3 x.cos3 xdx  a b sin xdx a Cách giải: Đổi biến số dạng Bài 8: Tính tích phân sau: ThuVienDeThi.com   I   sin3 x.cos3 2xdx I   sin3 x.cos3xdx  0  x x I   sin3 cos3 dx 2 Trường hợp 4: : m lẻ n chẵn Cách giải: Đổi biến số dạng x x I   sin3 cos3 dx 3 b b a a  Biến đổi: I   sin m x.cosn xdx   sin m1 x.cosn x.s inxdx  Đặt t=cosx biểu thức chứa cosx Bài 9: Tính tích phân sau:   I   sin x.cos xdx I   sin x.cos4 2xdx  x x I   sin3 cos6 dx 2 Trường hợp 5: : m chẵn n lẽ Cách giải: Đổi biến số dạng  x x I   sin cos2 dx 3 b b a a  Biến đổi: I   sin m x.cosn xdx   sin m x.cosn-1 x.cosxdx  Đặt t=sinx biểu thức chứa sinx Bài 10: Tính tích phân sau:  I   sin x.cos3xdx x x I   sin cos3 dx 2 Trường hợp 6: m  n với m n chẵn Cách giải: Hạ bậc Bài 11 Tính tích phân sau:   I   sin x.cos4 xdx  I   sin x.cos5 2xdx  x x I   sin cos5 dx 3  x x I   sin cos2 dx 2 Trường hợp m  n với m n lẻ Cách giải: Hạ bậc Bài 11 Tính tích phân sau:  I   sin x.cos3xdx  I   sin 2x 2x cos3 dx 3  x x I   sin3 cos dx 2  x x I   sin3 cos5 dx 3 ThuVienDeThi.com Bảng tóm tắt TT Cách giải b Dạng toán I   sin m x.cosn xdx a b m=n=1 I   sin x.cosxdx m=n=2 I   sin x.cos2 xdx a b a b m  n với m n chẵn C1: Áp dụng bảng nguyên hàm C2: Đổi biến số dạng I   sin x.cos2 xdx a b Áp dụng công thức hạ bậc I   sin x.cos4 xdx a b m=n=3 I   sin3 x.cos3 xdx a b I   sin x.cos5 xdx Đổi biến số dạng a b I   sin3 x.cos2 xdx m lẻ n chẵn a b I   sin3 x.cos4 xdx a b I   sin x.cos2 xdx a b I   sin x.cos3 xdx m chẵn n lẽ a b I   sin x.cos5 xdx a b Đổi biến số I   sin x.cos3 xdx a b m  n với m n lẻ I   sin x.cos3 xdx a b I   sin3 x.cosxdx a b I   sin x.cos3 xdx a ThuVienDeThi.com Dạng 3: Tính tích phân dạng I  a b Ta xét trường hợp sau: b 1 dx I  dx n  a sin x cosn x b 1 dx I   dx a cosx sin x b b 1 dx I  TH 2: n=2 I   a cos2 x dx a sin x b b 1 dx I   dx TH 3: n=3 I   a sin x a cos3 x b b 1 dx I   dx TH 4: n=4 I   a sin x a cos x b b 1 dx I   dx TH 5: n=5 I   a sin x a cos5 x b b 1 dx I  TH 6: n=6 I   a cos6 x dx a sin x Công thức thường áp dụng   tan x  cos x 1 1    1  tan x  2 cos x cos x cos x cos2 x 1 1   1  tan x   cos x cos x cos x cos2 x 1 1   1  tan x   cos x cos x cos x cos2 x TH 1: n=1 I   b a     cot x sin x 1 1   1  cot x  sin x sin x sin x sin x  1 1   1  cot x  sin x sin x sin x sin x  1 1   1  cot x  sin x sin x sin x sin x Trường hợp 1: n=1.Ta có: I   b a b 1 dx I   dx a cosx sin x Cách giải: Đổi biến số dạng 1: Ta biến đổi sau: b b s inx b s inx dx   dx   dx Đặt t=cosx  I  a sin x a sin x a  cos2 x b b cosx b cosx dx   dx   dx Đặt t=sinx  I  a cosx a cos x a  sin x ThuVienDeThi.com 1 1 1 t     Đặt t= tan t t t sin t sin t 2sin t cos t cos2 tan cos2 t t   2 2 2  sin cos   cos2 t  2 1 1 1      Hoặc cost cos2 t cos2 t  sin t cos2 t  sin t t t  tan cos 2 2 cos2 t 2 t cos2 1 1 1 1  Hoặc      t t t t t cost cos2 t  2sin t cos2 sin cos2  tan cos2 t   2 2 2 2 2   2sin   cos2 t t t  cos cos 2 Bài 12 Tính tích phân sau:   1 dx dx I  3 I   8 s inx 12 s in2x  Hoặc  I   1 dx 12 sin3 x  I    dx x Bài 13 Tính tích phân sau:  1 I  4 dx cosx  I   sin x cos dx cos2x 12  I   8  I    dx x 12 cos dx b 1 dx I   dx a sin x a cos2 x Cách giải: Áp dụng bảng nguyên hàm Bài 13 Tính tích phân sau:   1  dx I  3 I dx    x s in 2x cos2 b b 1 dx I   dx Trường hợp 3: n=2.Ta có: I   a sin x a cos3 x Cách giải: Tích phân phần  u  b b 1  s inx dx   dx Đặt  Phân tích: I   a sin x a sin x sin x dv  dx  sin x  u  b b 1  cosx dx   dx Đặt  Phân tích: I   a cos x a cosx cos x dv  dx  cos2 x Trường hợp 2: n=2.Ta có: I   b ThuVienDeThi.com dx sin x Không giải tích phân cách biến đổi     sin x  cos2 x cos2 x 2 2 I   dx   dx   dx   dx 3 sin3 x sin x 6 sin x sin x  Bài 14: Tính tích phân I  2 Tính A   dx sin x Tính B     cos2 x cos2 x.s inx cos2 x.s inx 2 dx   dx   dx 2 sin3 x sin x 6 1  cos x      Cách khác:  I  2   s inx s inx 2 dx dx dx       sin x sin x os c x  6   Ta phải giải tích phân phần   1 I  2 dx  2 dx sin x sin x sin x  cosx  u  s inx du   dx  Đặt  sin x dv  dx v   cot x  sin x      cosx cos2 x  sin x 1 2 dx dx dx  2 dx   2    Khi đó: I    3   sin x  sin x sin x 6 sin x sin x  Suy ra: I   2 dx sin x   s inx s inx dx  2 dx  2 dx sin x sin x c os x  6 Đặt t  cosx  dt=-sinxdx    x   t  Đổi cận:  x=   t   Tính A=    Khi đó: A   1 23  1  t 1  dx     dt  ln 1 t 2 t 1  t 1 t 1  32  ln 2 32 32 Vậy: I   ln  I   ln 2 2 dx cos3 x b b 1 Trường hợp 4: n=1.Ta có: I   dx I   dx a sin x a cos x Cách giải: Đổi biến số dạng 1: Ta biến đổi sau:  Bài 15: Tính tích phân I   ThuVienDeThi.com b b 1 1 dx  dx  a sin2 x sin2 x a 1  cot x sin2 x dx Đặt t=cotx a sin x b b b 1 1 dx   dx   1  tan x  dx Đặt t=tanx Phân tích: I   2 a cos x a cos x cos x a cos x Bài 16 Tính tích phân sau:   1 dx I dx I     cos x  cos 2x   1 I    I    dx dx 0 x x cos cos Bài 16 Tính tích phân sau:   1 I   I  4 dx dx 4 sin x sin 2x   1 I   dx I   dx x x sin sin b b 1 dx I   dx Trường hợp 5: n=5.Ta có: I   a sin x a cos5 x Cách giải: Tích phân phần  u  b b 1  s in3x dx   dx Đặt  Phân tích: I   a sin x a sin x sin x dv  dx  sin x  u  b b 1  cos3x dx  dx Phân tích: I   Đặt  a cos3 x cos2 x a cos5 x dv  dx  cos2 x   1 dx dx Bài 17: Tính tích phân I   I  3 5 sin x cos x b b 1 dx I   dx Trường hợp 6: n=6.Ta có: I   a sin x a cos6 x Cách giải: Đổi biến số dạng 1: Ta biến đổi sau: b b b 1 1 dx   dx Đặt t=cotx dx   1  cot x  Phân tích: I   a sin x a sin x sin x a sin x b b b 1 1 dx   dx   1  tan x  dx Đặt t=tanx Phân tích: I   a cos6 x a cos x cos2 x a cos2 x Bài 18: Tính tích phân sau:   1 I   I   dx dx  cos6 2x cos6 x   1  I   I    dx dx 0 x x cos6 cos6 Bài 19: Tính tích phân sau: Phân tích: I   b ThuVienDeThi.com dx sin x  I   dx x sin dx sin 2x  I   dx x sin   I  2 I  4 Bảng tóm tắt TT b 1 dx I  a cosn x dx a sin n x b b  dx I   dx a sin x a cosx b b 1  dx I  a cos4 x dx a sin x b b 1  dx I   dx a sin x a cos6 x b b 1  dx I   dx a sin x a cos8 x b b 1  dx I   dx a sin x a cos3 x b b 1  dx I  a cos3 x dx a sin x Dạng toán I   n=1 I n=4 I n=6 I n=8 I n=3 I I n=5 b Cách giải Đổi biến số dạng Tích phân phần sin m x.cosn x dx a sin x cos  x Cách giải: Phân tích tử số sau đưa trường hợp dạng Ví dụ: Tính tích phân sau:  1 I  3 dx Phân tích:  sin x  cos2 x sin x.cosx Dạng 4: I   b  I  2 I   I   cos6 x dx Phân tích: cos6 x  1  sin x  khai triển đẳng thức sin x             1 dx Phân tích:  sin x  cos2 x sin x.cos2 x  sin 2 x sin x.cos x cos3 x dx Phân tích: cos3 x  1  sin x .cosx sinx I   dx Phân tích:  sin x  cos2 x sin x.cosx I   dx Phân tích:  sin x  cos2 x sin x.cos x I   cos2x dx Phân tích: cos2x  cos2 x  sin x 2 sin x.cos x b b a a Dạng 5: Tính tích phân dạng I   tan n xdx I   cot n xdx 10 ThuVienDeThi.com Ta xét trường hợp sau đây: b b a b a TH1: n=1 I   tan xdx I   cot xdx Cách giải: Đổi biến số b TH2: n=2 I   tan xdx I   cot xdx Cách giải: Áp dụng bảng nguyên hàm a b a b TH3: n=3 I   tan xdx I   cot xdx Cách giải: Đổi biến số a b a b TH4: n=4 I   tan xdx I   cot xdx Cách giải: Đổi biến số a b a b TH5: n=5 I   tan xdx I   cot xdx Cách giải: Đổi biến số a b a b a a TH6: n=6 I   tan xdx I   cot xdx Cách giải: Đổi biến số Các công thức thường áp dụng sinx o t anx= cosx cosx o cot x  sinx o  t an x= cos2 x o  cot x  sin x Các cách biến đổi s inx 0 o tan x  cosx o tan x   tan x   1 cos2 x o o o o  t anx cos2 x tan x  tan x  tan x  t an x=tan x 1+tan x  t an x=tan x  t an x cos x tan x  tan x  tan3 x  t an3 x=tan3 x 1+tan x  t an3 x=tan3 x  t an3 x cos2 x tan x  tan x  tan x  t an x=tan x 1+tan x  t an x=tan x  t an x cos x tan3 x  tan3 x  tan x  t anx=tanx 1+tan x  t anx=tanx b b TH1: n=1 I   tan xdx I   cot xdx Cách giải: Đổi biến số a a b b a a Ta phân tích I   tan xdx   s inx dx Đặt t=cosx cosx Bài 20: Tính tích phân sau:   I   t anxdx I   tan xdx I   cot xdx I   cot xdx       b b a a TH2: n=2 I   tan xdx I   cot xdx Cách giải: Áp dụng bảng nguyên hàm Ta phân tích tan cot cách công thêm bớt 11 ThuVienDeThi.com b   1dx a cos x b b b b b b   I   cot xdx   1  cot x  1dx   1  cot x dx   1dx   a 1dx a a a a a sin x Bài 21: Tính tích phân sau: I   tan xdx   1  tan x  1dx   1  tan x dx   1dx    b b b b b a a a a a   I   t an xdx I   tan 2 xdx I   cot xdx I   cot 2 xdx    b    b TH3: n=3 I   tan3 xdx I   cot xdx Cách giải: Đổi biến số a a b Ta phân tích I   tan xdx cách công thêm tanx bớt tanx đặt thừa số chung a I   tan3 xdx   tan3 x  t anx  t anx dx   t anx 1  tan x dx   t anxdx   t anx b b b b b a a a a a b   t anxdx cos x a b Ta phân tích I   cot xdx cách công thêm cotx bớt cotx đặt thừa số chung a I   cot xdx   cot x  cot x  cot x dx   cot x 1  cot x dx   cot xdx   cot x b b b b b a a a a a b  cot xdx sin x a Bài 22: Tính tích phân sau:         I   t an xdx I   tan3 xdx I   cot xdx I   cot xdx b b TH4: n=4 I   tan xdx I   cot xdx Cách giải: Đổi biến số a a b Ta phân tích I   tan xdx cách cơng thêm tan2x bớt tan2x đặt thừa số chung a I   tan xdx   tan x  t an x  t an x dx   t an x 1  tan x dx   t an xdx   t an x b b b b b a a a a a b  t an xdx  a cos x b Ta phân tích I   cot xdx cách công thêm cot2x bớt cot2x đặt thừa số chung a I   cot xdx   cot x  cot x  cot x dx   cot x 1  cot x dx   cot xdx   cot x b b b b b a a a a a b   cot xdx sin x a Bài 23: Tính tích phân sau:   I   t an xdx I   tan xdx I   cot xdx I   cot xdx       12 ThuVienDeThi.com b b TH5: n=5 I   tan xdx I   cot xdx Cách giải: Đổi biến số a a b Ta phân tích I   tan xdx cách công thêm tan3x bớt tan3x đặt thừa số chung a I   tan xdx   tan x  t an3 x  t an3 x dx   t an3 x 1  tan x dx   t an3 xdx   t an3 x b b b b b a a a a a b   t an3 xdx a cos x b Ta phân tích I   cot xdx cách công thêm cot3x bớt cot3x đặt thừa số chung a I   cot xdx   cot x  cot x  cot x dx   cot x 1  cot x dx   cot xdx   cot x b b b b b a a a a a b   cot xdx sin x a Bài 24: Tính tích phân sau:         I   t an xdx I   tan xdx I   cot xdx I   cot xdx b b TH6: n=6 I   tan xdx I   cot xdx Cách giải: Đổi biến số a a b Ta phân tích I   tan xdx cách công thêm tan4x bớt tan4x đặt thừa số chung a I   tan xdx   tan x  t an x  t an x dx   t an x 1  tan x dx   t an xdx   t an x b b b b b a a a a a b   t an xdx cos x a b Ta phân tích I   cot xdx cách công thêm cot4x bớt cot4x đặt thừa số chung a I   cot xdx   cot x  cot x  cot x dx   cot x 1  cot x dx   cot xdx   cot x b b b b b a a a a a b   cot xdx sin x a Bài 25: Tính tích phân sau:   I   t an xdx I   tan xdx I   cot xdx I   cot xdx       Dạng 5: Các dạng khác Bài 1: Tính tích phân sau đây:  I   cos2x sin x  cos4 x dx HD: Áp dụng hệ thức đối xứng x  y  x  y   xy  I   1  cos3 x sin xdx HD: Áp dụng công thức nhân đôi  sin4x dx HD: Áp dụng hệ thức đối xứng x  y  x  y   xy sin x  cos x  cos2x I  4 dx HD: Áp dụng công thức nhân đôi sinx  cosx   sin2x I  2 dx HD: Đặt t= cos2 x  cos x  sin3 x I  dx HD: cos x  cos2 x  1  cos2x  cos3 x I  2 dx HD: cos x   2sin x c os2x-1 I   13 ThuVienDeThi.com Bài 2: Tính tích phân sau đây:  3sinx  4cosx dx HD Phân chia tích phân áp dụng đẳng thức đưa đổi biến I   3sin x  4cos2 x  dx I  3 sin x  Cách 1: Nhân tử mẫu cho sin2x chuyển tích phân đổi biến với t=cos2x  Cách 2: Phân tích sin2x=2sinx.cosx Biến đổi tử số sin x  cos2 x chia thành tích phân  Cách 3: Phân tích sin2x=2sinx.cosx Nhân tử mẫu cho cosx Đặt t=sinx  Cách 4: Phân tích sin2x=2sinx.cosx Nhân tử mẫu cho sinx Đặt t=cosx    I   s inx.tanxdx HD: Nhân tử mẫu cho cosx Đặt t=sinx dx cosx.sin x  Cách 1: Nhân tử mẫu cho cosx Đặt t=sinx  Cách 2: Biến đổi tử số sin x  cos2 x chia thành tích phân  sin3 x I   dx HD: Đặt t=cosx sin x  I   14 ThuVienDeThi.com ... giải Đổi biến số dạng Tích phân phần sin m x.cosn x dx a sin x cos  x Cách giải: Phân tích tử số sau đưa trường hợp dạng Ví dụ: Tính tích phân sau:  1 I  3 dx Phân tích:  sin x  cos2... dx Phân tích:  sin x  cos2 x sin x.cosx I   dx Phân tích:  sin x  cos2 x sin x.cos x I   cos2x dx Phân tích: cos2x  cos2 x  sin x 2 sin x.cos x b b a a Dạng 5: Tính tích phân. .. t=cos2x  Cách 2: Phân tích sin2x=2sinx.cosx Biến đổi tử số sin x  cos2 x chia thành tích phân  Cách 3: Phân tích sin2x=2sinx.cosx Nhân tử mẫu cho cosx Đặt t=sinx  Cách 4: Phân tích sin2x=2sinx.cosx