Ôn tập Đại số 10 Chương VI: Góc – cung lượng giác công thức lượng giác (Phần A)29175

Lượng giác cos   x  OH sin   y  OK sin   AT tan   cos  cos   BS cot   sin  sin I Giá trị lượng giác góc (cung) lượng giác Định nghĩa giá trị lượng giác Cho (OA, OM )   Giả sử M ( x; y ) tang CHƯƠNG VI GÓC – CUNG LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC B K        k    T cotang S M    k  cosin H O A Nhận xét:   ,   cos   1;   sin    tan xác định     k , k  Z  cot xác định   k , k  Z  sin(  k 2 )  sin   tan(  k )  tan  cos(  k 2 )  cos  cot(  k )  cot  Dấu giá trị lượng giác Giá trị lượng giác cos sin tan cot Phần tư I II III IV + + + + – + – – – – + + + – – – Giá trị lượng giác góc đặc biệt     00 300 450 sin cos tan 0 cot 2 3  3 2 600 900 1200 1350 1800 2700 3600 2 3 2 –1 2 2 –1 3 3 3   2  –1 3 –1  Trang ThuVienDeThi.com 0 Lượng giác Hệ thức bản: sin2  cos2  ; tan cot  ;  tan2   cos2  Giá trị lượng giác góc có liên quan đặc biệt Góc đối Góc bù cos( )  cos  sin(   )  sin  sin( )   sin  cos(   )   cos  tan( )   tan  tan(   )   tan  cot( )   cot  cot(   )   cot  Góc  ;  cot   sin2  Góc phụ   sin      cos  2    cos      sin  2    tan      cot  2    cot      tan  2  Góc  sin(   )   sin    sin      cos  2  cos(   )   cos    cos       sin  2  tan(   )  tan    tan       cot  2  cot(   )  cot    cot       tan  2  II Công thức lượng giác Công thức cộng sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b Hệ quả: tan a  tan b  tan a.tan b tan a  tan b tan(a  b)   tan a.tan b tan(a  b)     tan  tan      , 4   tan     tan  tan      4   tan  Công thức nhân đôi sin 2  2sin  cos  cos 2  cos2   sin2   cos2     2sin2  tan 2  tan   tan2  ; cot 2  Trang ThuVienDeThi.com cot   cot  Lượng giác Công thức hạ bậc  cos 2 sin2   Công thức nhân ba (*) sin 3  3sin   4sin3  cos3  cos3   3cos  3tan   tan3  tan 3   3tan2  cos 2  cos2    cos 2 tan    cos 2 Cơng thức biến đổi tổng thành tích cos a  cos b  cos ab ab cos 2 ab ab sin 2 ab ab sin a  sin b  2sin cos 2 ab ab sin a  sin b  cos sin 2 cos a  cos b   2sin tan a  tan b  sin(a  b) cos a.cos b tan a  tan b  sin(a  b) cos a.cos b cot a  cot b  sin(a  b) sin a.sin b cot a  cot b  sin(b  a) sin a.sin b     sin   cos   2.sin      2.cos     4 4       sin   cos   sin       cos       4 4 Cơng thức biến đổi tích thành tổng  cos(a  b)  cos(a  b) 2 sin a.sin b   cos(a  b)  cos(a  b) sin a.cos b  sin(a  b)  sin(a  b)  cos a.cos b  Trang ThuVienDeThi.com Lượng giác VẤN ĐỀ 1: Dấu giá trị lượng giác Để xác định dấu giá trị lượng giác cung (góc) ta xác định điểm nhọn cung (tia cuối góc) thuộc góc phần tư áp dụng bảng xét dấu GTLG Bài Xác định dấu biểu thức sau: a) A = sin 500.cos(3000 ) c) C = cot b) B = sin 2150.tan  2  3 sin      d) D = cos 21  4 4 9 sin tan cot 3 Bài Cho 00    900 Xét dấu biểu thức sau: a) A = sin(  900 ) b) B = cos(  450 ) c) C = cos(2700   ) d) D = cos(2  900 ) Bài Cho     a) A = cos(   ) Xét dấu biểu thức sau: b) B = tan(   )   2  3  c) C = sin    d) D = cos          Bài Cho tam giác ABC Xét dấu biểu thức sau: a) A = sin A  sin B  sin C b) B = sin A.sin B.sin C A B C A B C c) C = cos cos cos d) D = tan  tan  tan 2 2 2 Bài a) VẤN ĐỀ 2: Tính giá trị lượng giác góc (cung) Ta sử dụng hệ thức liên quan giá trị lượng giác góc, để từ giá trị lượng giác biết suy giá trị lượng giác chưa biết I Cho biết GTLG, tính GTLG cịn lại Cho biết sin, tính cos, tan, cot  Từ sin2   cos2    cos     sin2  – Nếu  thuộc góc phần tư I IV cos    sin2  – Nếu  thuộc góc phần tư II III cos     sin2  sin   Tính tan   ; cot   cos  tan  Cho biết cos, tính sin, tan, cot  Từ sin2   cos2    sin     cos2  – Nếu  thuộc góc phần tư I II sin    cos2  – Nếu  thuộc góc phần tư III IV sin     cos2  sin   Tính tan   ; cot   cos  tan  Trang ThuVienDeThi.com Lượng giác Cho biết tan, tính sin, cos, cot  Tính cot   tan  1  Từ   tan2   cos    cos2   tan  – Nếu  thuộc góc phần tư I IV cos    tan  – Nếu  thuộc góc phần tư II III cos     tan2   Tính sin   tan  cos  Cho biết cot, tính sin, cos, tan  Tính tan   cot  1  Từ   cot   sin    sin2   cot  – Nếu  thuộc góc phần tư I II sin    cot  – Nếu  thuộc góc phần tư III IV sin     cot  II Cho biết giá trị lượng giác, tính giá trị biểu thức  Cách 1: Từ GTLG biết, tính GTLG có biểu thức, thay vào biểu thức  Cách 2: Biến đổi biểu thức cần tính theo GTLG biết III Tính giá trị biểu thức lượng giác biết tổng – hiệu GTLG Ta thường sử dụng đẳng thức để biến đổi: A2  B  ( A  B)2  AB A  B  ( A2  B )2  A2 B A3  B3  ( A  B)( A2  AB  B ) A3  B3  ( A  B)( A2  AB  B ) IV Tính giá trị biểu thức cách giải phương trình  Đặt t  sin2 x ,  t   cos2 x  t Thế vào giả thiết, tìm t Biểu diễn biểu thức cần tính theo t thay giá trị t vào để tính  Thiết lập phương trình bậc hai: t  St  P  với S  x  y; P  xy Từ tìm x, y Bài Cho biết GTLG, tính GTLG cịn lại, với: a) cos a  , 2700  a  3600 5  ,  a 13 3 e) tan a  3,   a  c) sin a  g) cot150   b) cos      d) sin    , 1800    2700 f) tan   2, ,    h) cot   3,     Bài Cho biết GTLG, tính giá trị biểu thức, với: Trang ThuVienDeThi.com 3 Lượng giác a) A  cot a  tan a  sin a  ,  a  cot a  tan a 8tan2 a  3cot a  1 sin a  , 900  a  1800 b) B  tan a  cot a c) C  d) e) g) h) Bài sin2 a  2sin a.cos a  cos2 a 2 cot a  3 25 ĐS: ĐS:  2sin a  3sin a.cos a  cos a sin a  5cos a D tan a  sin3 a  cos3 a 8cos3 a  2sin3 a  cos a E tan a  2 cos a  sin3 a cot a  3tan a G cos a   cot a  tan a sin a  cos a H tan a  cos a  sin a Cho sin a  cos a  Tính giá trị biểu thức sau: a) A  sin a.cos a ĐS: ĐS: 23 47 55 ĐS:  19 13 ĐS:  ĐS: c) C  sin3 a  cos3 a b) B  sin a  cos a 41 b)  c)  32 128 Bài Cho tan a  cot a  Tính giá trị biểu thức sau: ĐS: a) a) A  tan2 a  cot a b) B  tan a  cot a c) C  tan a  cot a ĐS: a) 11 b)  13 c) 33 13 Bài Tính A  sin x  3cos4 x b) Cho 3sin x  cos4 x  Tính B  sin x  3cos4 x c) Cho 4sin x  3cos4 x  Tính C  3sin x  cos4 x a) Cho 3sin x  cos4 x  ĐS: A  ĐS: B = ĐS: C  57 C 28 Bài a) Cho sin x  cos x  Tính sin x , cos x , tan x , cot x b) Cho tan x  cot x  Tính sin x , cos x , tan x , cot x ĐS: a) 4 ; ; ; 5 b) 2 ; 2 ;  3;   3;  3; Bài a) Trang ThuVienDeThi.com 2 ; 2 2 Lượng giác VẤN ĐỀ 3: Tính giá trị lượng giác biểu thức cung liên kết Sử dụng cơng thức góc (cung) có liên quan đặc biệt (cung liên kết) Bài Tính GTLG góc sau: a) 1200 ; 1350 ; 1500 ; 2100 ; 2250 ; 2400 ; 3000 ; 3150 ; 3300 ; 3900 ; 4200 ; 4950 ; 25500 7 13 5 10 5 11 16 13 29 31 ; ; ; ; ; ; ; ; ; 4 3 3 6 Bài Rút gọn biểu thức sau:   a) A  cos   x   cos(2  x )  cos(3  x ) 2   7   3  b) B  cos x  3cos(  x )  5sin   x   cot   x        3    c) C  2sin   x   sin(5  x )  sin   x   cos   x  2    2   3   3  d) D  cos(5  x )  sin   x   tan   x   cot(3  x )     Bài Rút gọn biểu thức sau: b) 9 ; 11 ; a) A  b) B  sin(3280 ).sin 9580 cot 5720 sin(2340 )  cos 2160 sin144  cos126 cos(5080 ).cos(10220 )  ĐS: A = –1 tan(2120 ) tan 360 ĐS: B  1 c) C  cos 200  cos 400  cos 600   cos1600  cos1800 2 2 d) D  cos 10  cos 20  cos 30   cos 180 0 0 e) E  sin 20  sin 40  sin 60   sin 340  sin 360 0 ĐS: C  1 ĐS: D  0 f) 2sin(790  x )  cos(1260  x )  tan(630  x ).tan(1260  x ) ĐS: E  ĐS: F   cos x Bài a) VẤN ĐỀ 4: Rút gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác Sử dụng hệ thức bản, công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác Trong biến đổi biểu thức, ta thường sử dụng đẳng thức Chú ý: Nếu biểu thức lượng giác góc A, B, C tam giác ABC thì: A B C  A  B  C      2 2 Bài Chứng minh đẳng thức sau: a) sin x  cos4 x   cos2 x b) sin x  cos4 x   cos2 x.sin2 x c) sin6 x  cos6 x   3sin2 x.cos2 x Trang ThuVienDeThi.com Lượng giác d) sin8 x  cos8 x   4sin2 x.cos2 x  2sin x.cos4 x e) cot x  cos2 x  cos2 x.cot x f) tan2 x  sin2 x  tan2 x.sin2 x g)  sin x  cos x  tan x  (1  cos x )(1  tan x ) h) sin2 x.tan x  cos2 x.cot x  2sin x.cos x  tan x  cot x i) k) sin x  cos x  cos x   cos x sin x  cos x  1  sin2 x  sin x   tan2 x Bài Chứng minh đẳng thức sau: a) tan a.tan b  sin a cos a  cot a   sin a  cos a cos a  sin a  cot a sin2 a sin a  cos a   sin a  cos a d) sin a  cos a tan2 a  tan a  tan b cot a  cot b b) sin2 a cos2 a   sin a.cos a c)   cot a  tan a  cos a  (1  cos a)2  e) 1    cot a sin a  sin2 a  f) tan2 a  tan2 a  cot a cot a   tan a tan2 a  cot a   sin a tan2 a  tan2 b sin2 a  sin2 b  sin a   g)     tan2 a h)  sin a    sin a tan2 a.tan2 b sin2 a.sin2 b sin2 a  tan2 a tan3 a cot a  tan6 a    tan3 a  cot a i) k) 2 2 cos a  cot a sin a sin a.cos a cos a sin x cos4 a sin8 x cos8 x   , với a, b  Chứng minh:   Bài Cho 3 a b ab a b (a  b)3 Bài Rút gọn biểu thức sau: a) (1  sin2 x ) cot x   cot x c) e) g) b) (tan x  cot x )2  (tan x  cot x )2 cos2 x  cos2 x.cot x 2 d) ( x.sin a  y.cos a)2  ( x.cos a  y.sin a)2 sin x  sin x.tan x sin2 x  tan2 x f) cos2 a  cot x sin2 x  cos2 x  cos4 x cos2 x  sin2 x  sin x  cos x  cos x  ; x  (0,  ) sin2 x (1  cot x )  cos2 x (1  tan x ) h)  cos x  cos x      3   sin x  sin x  ; x   ;  k) cos x  tan2 x  sin2 x ; x  ;   2 2   sin x  sin x Bài Chứng minh biểu thức sau độc lập x: i) a) 3(sin x  cos4 x )  2(sin6 x  cos6 x ) ĐS: b) 3(sin8 x  cos8 x )  4(cos6 x  2sin6 x )  6sin x ĐS: 4 2 c) (sin x  cos x  1)(tan x  cot x  2) ĐS: –2 d) cos2 x.cot x  3cos2 x  cot x  2sin2 x ĐS: e) sin x  3cos x  6 ĐS: sin x  cos x  3cos x  Trang ThuVienDeThi.com Lượng giác f) g) tan2 x  cos2 x  cot x  sin2 x sin2 x sin6 x  cos6 x  ĐS: cos2 x ĐS: sin x  cos x  Bài Cho tam giác ABC Chứng minh: a) sin B  sin( A  C ) c) sin AB C  cos 2 b) cos( A  B)   cos C d) cos( B  C )   cos( A  2C ) e) cos( A  B  C )   cos 2C g) sin A  B  3C  cos C 3 A  B  C   sin A A  B  2C 3C  cot h) tan 2 f) cos Bài a) VẤN ĐỀ 5: Công thức cộng sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a tan a  tan b tan(a  b)  sin(a  b)  sin a.cos b  sin b.cos a  tan a.tan b cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b tan a  tan b tan(a  b)  cos(a  b)  cos a.cos b  sin a.sin b  tan a.tan b Hệ quả:    tan  tan      , 4   tan     tan  tan      4   tan  Bài Tính giá trị lượng giác góc sau: 5 7 ; 12 12 12 Bài Tính giá trị biểu thức lượng giác, biết:    a) tan     sin   ,      3 a) 150 ; 750 ; 1050 b)  ; ĐS: 38  25 11   (5  12 3) 12 3    2 b) cos     sin    , ĐS: 3  26 13 119 1 c) cos(a  b).cos(a  b) cos a  , cos b  ĐS:  144 d) sin(a  b), cos(a  b), tan(a  b) sin a  , tan b  a, b góc nhọn 17 12 21 140 21 ; ; ĐS: 221 221 220 e) tan a  tan b, tan a, tan b  a, b   , ab  Trang ThuVienDeThi.com  tan a.tan b   2 Từ Lượng giác ĐS: 2  ; tan a  tan b   1, a  b  suy a, b Bài Tính giá trị biểu thức lượng giác sau: ĐS: b) B = cos2 10o  cos110o  cos2 130o c) C = tan 20o.tan 80o  tan 80o.tan140o  tan140o.tan 20o d) D = tan10 tan 70  tan 70 tan130  tan130 tan190 o o o ĐS: –3 o ĐS: –3 cot 225  cot 79 cot 71 o e) E = o o o ĐS:   tan15o ĐS:  tan150 h) H = tan150  cot150 0 0 ĐS: cot 259o  cot 251o f) F = cos2 75o  sin2 75o g) G = 0 3 ĐS: a) A = sin2 20o  sin2 100o  sin2 140o o  0 0 3 ĐS: HD: 40  60  20 ; 80  60  20 ; 50  60  10 ; 70  60  100 Bài Chứng minh hệ thức sau: a) sin( x  y ).sin( x  y )  sin2 x  sin2 y 2sin( x  y ) cos( x  y )  cos( x  y )      2 c) tan x.tan  x    tan  x   tan  x     3 3 b) tan x  tan y    2   tan  x      tan x           3  d) cos  x   cos  x    cos  x   cos  x  (1  3)      3 4 6  e) (cos 70o  cos 50o )(cos 230o  cos 290o ) (cos 40o  cos160o )(cos320o  cos380o )  f) tan x.tan x  tan2 x  tan2 x  tan2 x.tan2 x Bài Chứng minh hệ thức sau, với điều kiện cho trước: a) tan a  tan(a  b) sin b  sin a.cos(a  b) b) tan a  tan(a  b) 3sin b  sin(2a  b) cos(a  b)  cos(a  b) 1 k cos(a  2b)  k cos a d) tan(a  b).tan b  1 k HD: a) Chú ý: b = (a+b)–a b) Chú ý: b = (a+b)–a; 2a+b=(a+b)+a c) Khai triển giả thiết d) Chú ý: a+2b=(a+b)+a; a=(a+b)–b Bài Cho tam giác ABC Chứng minh: a) sin C  sin A.cos B  sin B.cos A sin C  tan A  tan B ( A, B  900 ) b) cos A.cos B c) tan a.tan b   c) tan A  tan B  tan C  tan A.tan B.tan C ( A, B, C  900 ) d) cot A.cot B  cot B.cot C  cot C.cot A  Trang 10 ThuVienDeThi.com Lượng giác A B B C C A tan  tan tan  tan tan  2 2 2 A B C A B C f) cot  cot  cot  cot cot cot 2 2 2 cos C cos B  cot C  ( A  90o ) g) cot B  sin B.cos A sin C.cos A A B C A B C A B C A B C h) cos cos cos  sin sin cos  sin cos sin  cos sin sin 2 2 2 2 2 2 A B C A B C i) sin2  sin2  sin2   2sin sin sin 2 2 2  A B C HD: a, b, c, d) Sử dụng (A + B) + C = 1800 e, f) Sử dụng      900 2 2 A B C g) VT = VP = tanA h) Khai triển cos     2 2 A B C i) Khai triển sin     2 2 B C A B C A B C Chú ý: Từ cos     sin  cos cos  sin  sin sin 2 2 2 2 2 A B C A A B C  sin cos cos  sin2  sin sin sin 2 2 2 Bài Cho tam giác A, B, C Chứng minh: e) tan a) tan A  tan B  tan C  3,   ABC nhoïn b) tan2 A  tan2 B  tan2 C  9,   ABC nhoïn c) tan6 A  tan6 B  tan6 C  81,   ABC nhoïn A B C  tan2  tan2  2 A B C e) tan  tan  tan  2 HD: a, b, c) Sử dụng tan A  tan B  tan C  tan A.tan B.tan C BĐT Cô–si d) tan2 d) Sử dụng a2  b2  c2  ab  bc  ca A B B C C A tan tan  tan tan  tan tan  2 2 2  A B C e) Khai triển  tan  tan  tan  sử dụng câu c)  2 2 Bài a) Trang 11 ThuVienDeThi.com ... gọn biểu thức lượng giác – Chứng minh đẳng thức lượng giác Sử dụng hệ thức bản, công thức lượng giác để biến đổi biểu thức lượng giác Trong biến đổi biểu thức, ta thường sử dụng đẳng thức Chú... 2 Lượng giác VẤN ĐỀ 3: Tính giá trị lượng giác biểu thức cung liên kết Sử dụng cơng thức góc (cung) có liên quan đặc biệt (cung liên kết) Bài Tính GTLG góc sau: a) 1200 ; 1350 ; 1500 ; 2100 ... 1: Dấu giá trị lượng giác Để xác định dấu giá trị lượng giác cung (góc) ta xác định điểm nhọn cung (tia cuối góc) thuộc góc phần tư áp dụng bảng xét dấu GTLG Bài Xác định dấu biểu thức sau: a)