BÀI THAM LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHƯƠNG VI GÓC LƯỢNG GIÁC VÀ CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

TRƯỜNG THPT THÁI HÒA BÀI THAM LUẬN ĐẠI SỐ 10 CHƯƠNG VI GĨC LƯỢNG GIÁC VÀ CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC I) Kiến thức trọng tâm cần giảng dạy : A) Góc cung lượng giác : 1) Đơn vị đo góc cung: a) Độ: số đo góc góc bẹt 180 Kí hiệu: 1o đọc độ 1o = 60 ' ; 1' = 60 '' b) Radian: cung có độ dài bán kính đường trịn chứa cung có số đo radian Kí hiệu: rad c) Quan hệ giữ độ radian: o π  180  o o ⇒ = rad , rad =  180 = π rad ÷ 180  π  d) Độ dài cung trịn: Một cung đường trịn bán kính R có số đo α rad độ dài là: l = α R 2) Góc cung lượng giác: a) Góc lượng giác: Trên mặt phẳng quay tia Ox quanh O đến tia Oy theo theo chiều định có góc lượng giác Kí hiệu: (Ox,Oy) Tia Ox tia đầu (tia gốc), Oy tia cuối ( tia ngọn) Quy ước chiều ngược chiều kim đồng hồ chiều dương Hai góc lượng giác có tia đầu tia cuối có số đo khác bội nguyên 360o (hay 2π ) b) Cung lượng giác: Trên đường tròn định hướng tâm O lấy hai điểm A, B Một điểm chạy đường tròn theo chiều định từ A đến B vạch nên cung lượng giác Kí hiệu: Điểm A điểm đầu, B điểm cuối Số đo cung lượng giác AB kí hiệu: sđ AB AB sđ (OA,OB) Hai cung lượng giác có điểm đầu điểm cuối có số đo khác bội 360o hay ( bội 2π ) 3) Hệ thức Salơ Ba tia chung gốc OA, OB, OC thì: sđ(OA,OB)+sđ(OB,OC) = sđ (OA,OC) + k360o ( k 2π ) Ba điểm A, B, C tùy ý đường trịn định hướng thì: sđ AB + sđ BC = sđ AC + k 360o ( hay k 2π ) 4) Biểu diễn cung lượng giác đường tròn lượng giác a) Đường tròn lượng giác đường trịn định hướng có tâm góc O hệ trục tọa độ có bán kính Điểm gốc cung lượng giác điểm A(1;0) b) Biểu diễn cung lượng giác đường trịn lượng giác có số đo α : Chọn điểm gốc điểm A (1;0) Chọn điểm M cho: sđ AM= α B) Giá Trị Lượng Giác Của Một Cung : 1) Định nghĩa: Trên đường trịn cho cung lượng giác AM có sđ AM= α thì: Tung độ y M gọi sin α Kí hiệu: sin α => sin α = y Hoành độ x M gọi cosin α Kí hiệu: cos α => cosα = x sin α gọi tang α cosα sin α Kí hiệu: tan α => tan α = cosα cosα Nếu sin α ≠ , tỉ số gọi cơtang α sin α cosα Kí hiệu: cot α => cot α = sin α sin α , c os α ,tan α ,cotα gọi giá trị lượng giác cung α Các giá trị Nếu cos α ≠ , tỉ số Trục tung gọi trục sin, trục hoành gọi trục côsin 2) Hệ quả: a) −1 ≤ sin α ≤ , −1 ≤ cosα ≤ , ∀α ∈ R sin(α + k 2π ) = sin α , ∀k ∈ Z , cosα (α + k 2π ) = cosα ,∀k ∈ Z π + kπ , k ∈ Z , cot α xác định ∀α ≠ kπ , k ∈ Z tan(α + kπ ) = tan α , ∀k ∈ Z , cot(α + kπ ) = cot α , ∀k ∈ Z b) tan α xác định ∀α ≠ c) Bảng xác định dấu giá trị lượng giác Phần tư I II III GTLG IV sin α + - - - cos α + - - + tan α + - + - cot α + - + - d) Các hệ thức lượng giác bản: sin α + cos 2α = , tan α cot α = 1 + tan α = , cos 2α + cot α = sin α 3) Giá trị lượng giác cung có liên quan đặc biệt: a) Cung đối nhau: α (-α ) cos(−α ) = cos α , sin(−α ) = − sin α , tan(−α ) = − tan α , cot( −α ) = − cot α b) Cung bù nhau: α (π -α ) sin(π − α ) = sin α , cos(π − α ) = − cos α , tan(π − α ) = − tan α , cot(π − α ) = − cot α π  c) Cung phụ nhau: α  − α ÷ 2  π  π  π  π  sin  − α ÷ = cosα , cos  − α ÷ = sin α , tan  − α ÷ = cot α , cot  − α ÷ = tan α 2  2  2  2  π α v ( π + α ) d) Cung : sin(π + α ) = − sin α , cos(π + α ) = −cosα , tan (π + α ) = tan α , cot (π + α ) = cot α C) Công thức lượng giác: 1) Công thức cộng : cos(a mb)=cosa.cosb ± sina.sinb sin( a ± b) = sin a.cosb ± cosa.sinb tana − tanb tan(a − b) = + tan a.tan b tan a + tan b tan(a + b) = − tan a.tan b 2) Công thức nhân đôi : sin 2a = 2sin a.cosa cos2a=cos a − sin a = cos a − = − 2sin a tan a tan 2a = − tan a 3) Công thức hạ bậc: cos a = + cos2a , sin a = − cos2a , 4) Công thức biến đổi tổng thành tích: tan a = − cos2a + cos2a [ cos(a − b) + cos(a + b)] sin a sin b = [ cos( a − b) − cos( a + b) ] sin a.cos b = [ sin( a − b) + sin(a + b) ] cos a.cos b = 5) Cơng thức biến đổi tổng thành tích : u +v u −v cos 2 u+v u −v cos u − cos v = −2sin sin 2 u+v u −v sin u + sin v = 2sin cos 2 u+v u −v sin u − sin v = cos sin 2 cos u + cos v = cos II) Phương Pháp Giảng Dạy Phù Hợp: - Chủ yếu phương pháp thuyết trình, khái niệm chương trình hồn tồn lạ em - Chứng minh cho em số cơng thức để từ em tìm cơng thức cịn lại - Hệ thống công thức nhiều, em thường lẫn lộn khó nhớ, nên ta cần cách nhớ cho học sinh III) Hệ Thống Các Bài Tập Cần Trình Bày : A CUNG VÀ GĨC LƯỢNG GIÁC: 1) Bài tập cần trình bày : - Các tập 2, 3/140-Sgk đổi qua lại radian độ - Bài tập 4/140-Sgk nhằm tìm độ dài cung - Bài tập 5,6,7/140-Sgk nhằm biểu diễn cung có số đo cho trước đường trịn lượng giác 2) Bài tập bổ sung: ( Mục đích cho học sinh thấy điểm cuối cung, số đo cung bội 360o hay 2π , điểm cuối cung đặc biệt ) BT1: Trên đường tròn lượng giác, xác định điểm cuối M cung AM có số đo sau: a) k π b) k π (với k số nguyên tùy ý) BT2: Trên đường tròn lượng giác biểu diễn cung có số đo 7π 19π 3 Nêu nhận xét điểm cuối, số đo hai cung BT3: Trên đường trịn lượng giác biểu diễn cung có số đo 390o 750o Nêu nhận xét điểm cuối, số đo hai cung BT4: Trên đường tròn lượng giác biểu diễn các cung có số đo −7π Nêu nhận xét điểm cuối, số đo hai cung 17π B) CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG : 1) Bài tập cần trình bày : Bài tập đề nghị giải cho học sinh: 1,2,3,4,5/148-sgk 2) Bài tập bổ sung: (Do thấy tập chưa dùng hết công thức học ) BT1: Các đẳng thức sau có đơeng thời xảy khơng 3 b) cos α = tanα = 5 12 c) tan α = cotα = 13 a) tan α = cosα = d) tan α = − 1và cotα =1+ BT2: Chứng minh đẳng thức sau: π  π  a ) cos(-α )+cos  − α ÷+ cos(π +2)+cos  + α ÷ = 2  2  π π   b) sin( −α ) + sin  − α ÷+ sin(π − α ) + sin  − ÷ = 2 2   c ) cos88o + cos 89 o + cos 90 o + cos 91o + cos 92 o = d ) sin 88o − sin 89o + s in90o + sin 91o − sin 92 o = C MỘT SỐ BÀI TẬP TỔNG HỢP CỦA CHƯƠNG : Dạng : Xác định dấu giá trị lượng giác cung(góc) lượng giác Phân tích : dạng tìm vị trí điểm cuối cung ( góc ) lượng giác nằm góc phần tư I , II , III , IV Từ biết dấu giá trị lượng giác cung(góc) Bài Xác định dấu giá trị lượng giác cung(góc) sau : a/ a / 600 ,1200 ,, −1200 , −4000 b/ π 3π 3π −21π , ,− , 4 4 Phân tích : dạng tìm vị trí điểm cuối cung ( góc ) lượng giác nằm góc phần tư I , II , III , IV Từ biết dấu giá trị lượng giác cung(góc) Giải : a/ - Điểm cuối góc có số đo 600 nằm góc phần tư I Nên suy sin 600 > 0, cos 600 > 0, tan 600 > 0, cot 600 > - Điểm cuối góc có số đo 1200 nằm góc phần tư II Nên suy sin1200 > 0, cos1200 < 0, tan1200 < 0, cot1200 < - Điểm cuối góc có số đo −1200 nằm góc phần tư III Nên suy sin(−1200 ) < 0, cos(−1200 ) < 0, tan(−1200 ) > 0, cot(−1200 ) > - Điểm cuối góc có số đo −4000 nằm góc phần tư IV Nên suy sin(−4000 ) < 0, cos(−4000 ) > 0, tan(−4000 ) < 0, cot(−4000 ) < b/ π nằm góc phần tư I π π π π Nên suy sin > 0, cos > 0, tan > 0, cot > 4 4 - Điểm cuối góc có số đo Ta làm tương tự góc cịn lại Bài Xác định dấu giá trị lượng giác sin α , cos α , tan α , cot α ,biết a /0 0, cot α > Mặt khác : sin α + cos α = a/ Ta có < α < ⇒ cos α = − sin α = − = 9  2 ( n) cos α = ⇒  −2 (l ) cos α =  Vậy cos α = 2 sin α 1 ; tan α = = ;cot α = =2 cos α 2 tan α π suy điểm cuối góc α nằm góc phần tư thứ I Nên suy cos α > 0,sin α > 0, cot α > Mặt khác : + tan α = cos α d/ Ta có < α <  10 ( n) cos α = 1 10 ⇒ ⇒ cos α = = =  + tan α + 10 10 (l ) cos α = − 10  Vậy cos α = 10 1 10 ; cot α = = ;sin α = tan α cos α = 10 tan α 10 Ta làm tương tự câu lại π Bài Cho − < α < Tính giá trị lượng giác cung(góc) lượng giác, biết : a / sin α = − b / cos α = d / tan α = −2 c / cot α = −4 Dạng : Thu gọn ( tính giá trị ) biểu thức Phương pháp: Dạng cần dùng công thức lượng công thức lượng giác khác Bài : Thu gọn biểu thức sau : a / A = ( − cos x ) ( + cos x ) cot x b / B = ( + cot x ) sin x − cos x c / C = − sin x − cos x d / D = ( tan x + cot x ) − ( tan x − cot x ) 2 Phân tích : a/ Nhìn tổng quan đề ta biến đổi dạng công thức ( a + b ) ( a − b ) = a − b2 Nên ta thấy ( − cos x ) ( + cos x ) = − cos x Ta biết sin α + cos α = Suy − cos x = sin x cos x sin x Cuối ta thu gọn sin x.cot x = cos x Mặt khác ta có cot x = a/ Nhìn tổng quan đề ta biến đổi dạng công thức + co t x = sin x sin x = sin x Và − cos x = sin x Khi Giải : a / A = ( − cos x ) ( + cos x ) cot x = ( − cos x ) cot x = sin x.cot x = cos x b / B = ( + cot x ) sin x − cos x sin x − cos x sin x = − cos x = = sin x Ta làm tương tự câu lại Bài : Rút gọn biểu thức sau : π  A = cos  − x ÷+ sin( x − π ) 2  π  B = sin  + x ÷+ cos(π − x ) 2  π  π  π  C = − cos  − x ÷+ sin  − x ÷− cos  + x ÷ 2       π   3π  D = sin(π + x ) − cos  − x ÷+ tan  − x ÷+ cot ( 3π − x ) 2    Phương pháp: Dạng cần dùng cơng thức lượng giác Cung ( góc ) đối , bù , phụ nhau ( π ) Phân tích : Nhìn tổng quan đề ta biến đổi dạng cơng thức lượng giác Cung ( góc ) đối , bù , phụ nhau ( π ) Và nhớ câu nói có vần “cos đối , sin bù , phụ chéo , tan ( cot)” Giải : π  A = cos  − x ÷+ sin( x − π ) 2  = sin x − sin x =0 π  B = sin  + x ÷+ cos(π − x ) 2  = cos(− x) − cos(− x) =0 π  π  π  C = − cos  − x ÷+ sin  − x ÷− cos  + x ÷ 2  2  2  = − sin x + cos x − sin(− x) = − sin x + cos x + sin x = cos x π   3π  D = sin(π + x ) − cos  − x ÷+ tan  − x ÷+ cot ( 3π − x ) 2    π  = − sin x − sin x + tan  − x ÷+ cot ( − x ) 2  = −2sin x + cot x − cot x = −2sin x Bài : Tính giá trị biểu thức sau : π π π  −π  sin  ÷+ sin cos 6    −π   3π   −π B = cos  ÷cos  ÷+ sin       π π π C = cos sin sin 8 π tan D= π − tan A = cos   −3π  ÷sin  ÷    Phân tích : Nhìn tổng quan đề ta thấy A, B , D có dạng tốn giống câu nói có vần : + sin sin cos cos sin +cos cos cos sin sin dấu trừ + tan tử tổng tan ,dưới trừ tích tan Nên ta áp dụng cơng thức cộng C có dạng sina.cosa nên ta dùng công thức nhân đôi Giải : π π π  −π  sin  ÷+ sin cos 6   π π π π = − cos sin + sin cos 6 π π π π = sin cos − cos sin 6 π π  = sin  − ÷ 6 3  π = sin  − ÷  6 =−  −π   3π   −π   −3π  B = cos  ÷cos  ÷+ sin  ÷sin  ÷         A = cos  −π = cos    −π = cos     3π ÷cos    3π  + ÷    −π ÷− sin      3π  ÷sin  ÷    π  = cos  ÷ 2 =0 D= tan π − tan π = tan π π    − tan ÷   = π tan = Bài ( nâng cao ) : Rút gọn biểu thức sau A= + sin 2a ( sin a + cos a ) B = cos a − sin a C = cos a − cos a sin a + sin a D= 1 1 + cos a + + ,0 ≤ a ≤ π 2 2 Phân tích : Nhìn tổng quan đề ta thấy A: Có thể dùng công thức ( a + b ) = a + 2ab + b để khai triển mẫu thức 2 B : Có thể dùng cơng thức a − b = ( a + b ) ( a − b ) với a = cos2 a, b = sin b C: Có thể biến đổi cos a − cos a sin a + sin a = cos a − cos a sin a + sin a − cos a sin a Sau dùng công thức ( a − b ) = a − 2ab + b với a = cos2 a, b = sin b D: Ta nhớ câu nói có vần : “Cos bình đứng Cos hai cộng , chia đơi tổng ” Giải : A= = + sin 2a ( sin a + cos a ) + sin 2a =1 + sin 2a = + sin 2a sin a + 2sin a.cos a + cos a B = cos a − sin a = ( cos a + sin a ) ( cos a − sin a ) = cos 2a C = cos a − cos a sin a + sin a = cos a − cos a sin a + sin a − cos a sin a = ( cos a − sin a ) − sin 2a = cos 2a − sin 2a = cos 4a D= = = 1 1 + cos a + + ,0 ≤ a ≤ π 2 2 1 1 a + + cos 2 2 1 + 2 a a + cos = + cos a = = cos a 2 + cos BÀI TẬP TƯƠNG TỰ E= sin a + sin 4a + sin a cos a + cos 4a + cos a F= sin 2a cos 2a − sin a cos a G = sin 5a − 2sin a(cos 2a + cos 4a) Dạng : Chứng minh Phương pháp: Dạng cần dùng công thức lượng giác để rút gọn hay biến đổi vế phức tạp thành đơn giản giống vế lại Bài : Chứng minh đẳng thức sau : a / cos 950 + cos 252 − cos 300 = Phân tích : Nhìn tổng quan đề ta thấy vế trái có góc khơng có dạng góc đặc biệt, nên ta biến đổi dạng góc đặc biệt với việc ta nhớ câu nói có vần : “Cos cộng cos hai lần cos cos” Giải : a / cos 950 + cos 252 − cos 300 = Ta có cos 950 + cos 252 − cos 300 = cos 600 cos 300 − cos 300 = cos 300 − cos 30 = cos 30 − cos 30 = ( điều phải chứng minh ) π  b / sin x − cos x = sin  x − ÷ 4  Phân tích : Nhìn tổng quan đề ta thấy vế phải biến đổi theo cơng thức cộng với việc ta nhớ câu nói có vần : “Sin sin cos cos sin” Giải : π  b / sin x − cos x = sin  x − ÷ 4  π π π   sin  x − ÷ =  sin x cos − cos x sin ÷ Ta có 4 4    2 =  sin x − cos x ÷ = sin x − cos x ( điều phải chứng minh ) 2 ÷   sin x + sin x c/ = tan x cos x + cos x Phân tích : Nhìn tổng quan đề ta thấy vế trái biến đổi theo công thức cộng với việc ta nhớ câu nói có vần : “Sin sin cos cos sin cos cos cos sin sin dấu trừ” Giải : sin x + sin x = tan x cos x + cos x sin x + sin 3x 2sin x cos x sin x = = = tan x ( điều phải chứng Ta có cos x + cos x cos x cos x cos x c/ minh ) d / sin x cos3 x − cos x sin x = sin x Phân tích : Nhìn tổng quan đề ta thấy vế trái có nhân tử chung sin x cos x , ta đặt nhân tử chung thấy công thức lượng giác cos x − sin x = cos x Giải : d / sin x cos x − cos x sin x = Ta có sin x sin x cos3 x − cos x sin x = sin x cos x ( cos x − sin x ) sin x = sin x cos x = ( điều phải chứng minh ) Bài : Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào x A = cos x + sin x.cos x + sin x B = cos x + 3sin x.cos x + sin x π  π  π   3π  C = cos  − x ÷cos  + x ÷+ cos  + x ÷cos  + x÷ 3  4  6    Phân tích : Nhìn tổng quan đề ta thấy A , B : áp dụng công thức lượng giác đẳng thức để rút gọn C : Ta biến đổi dựa câu nói có vần : “cos cos cos sin sin dấu trừ” Dạng : Tìm x ( giải phương trình lượng giác ) Phương pháp: Dạng cần dùng đường trịn lượng giác cơng thức lượng giác 2cung đối , cung bù , cung phụ , cung (π ) Bài : Tìm x , biết : a / sin x = b / sin x = −1 c / cos x = d / cos x = −1 e / tan x = f / cot x = −1 g / sin x = h / cos x = k / tan x = Giải : π π + k 2π , k ∈ Z , b / sin x = −1 ⇔ x = − + k 2π , k ∈ Z 2 c / cos x = ⇔ x = k 2π , k ∈ Z , d / cos x = −1 ⇔ x = π + k 2π , k ∈ Z π π e / tan x = ⇔ x = + kπ , k ∈ Z , f / cot x = −1 ⇔ x = − + kπ , k ∈ Z 4 π g / sin x = ⇔ x = kπ , k ∈ Z , h / cos x = ⇔ x = + kπ , k ∈ Z k / tan x = ⇔ x = kπ , k ∈ Z a / sin x = ⇔ x = III.KẾT LUẬN( RÚT KINH NGHIỆM ) - Giảng dạy cho học sinh học phần lượng giác có nhiều kiến thức , cơng thức từ cấp hai ( đẳng thức đáng nhớ ) lên lớp 10 , ta lại kết hợp thêm nhiều kiến thức , công thức lượng giác mà dễ nhầm lẫn Cho nên , để làm tốt phần lượng giác , học sinh cần phải nhìn tổng quan đề ,sau áp dụng cơng thức lượng giác phù hợp ( học sinh giỏi ) Nhưng học sinh trung bình yếu em nhớ câu nói có vần mà từ vận dụng để giải tập tập khó - Tơi cơng tác ngành đến năm học thứ bảy , thấy năm đầu khả nhớ công thức lượng giác em cịn , kỳ kiểm tra, kỳ thi, điểm thấp Và năm sau, hướng dẫn em cách nhớ cơng thức lượng giác thơng qua câu nói có vần mà tơi trình bày phần có kết tích cực - Trong tham luận tơi viết , câu có vần xét tả chưa phát âm có vần Kính mong q đồng nghiệp thông cảm chia sẻ rút kinh nghiệm ... có < α <  10 ( n) cos α = 1 10 ⇒ ⇒ cos α = = =  + tan α + 10 10 (l ) cos α = − 10  Vậy cos α = 10 1 10 ; cot α = = ;sin α = tan α cos α = 10 tan α 10 Ta làm tương tự câu lại π Bài Cho −... Hệ Thống Các Bài Tập Cần Trình Bày : A CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC: 1) Bài tập cần trình bày : - Các tập 2, 3/140-Sgk đổi qua lại radian độ - Bài tập 4/140-Sgk nhằm tìm độ dài cung - Bài tập 5,6,7/140-Sgk... hai cung 17π B) CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNG : 1) Bài tập cần trình bày : Bài tập đề nghị giải cho học sinh: 1,2,3,4,5/148-sgk 2) Bài tập bổ sung: (Do thấy tập chưa dùng hết công thức học