Phương trình bậc – bậc hai Trần Sĩ Tùng VIII HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN Hệ phương trình bậc hai ẩn a x b1y c1 a2 x b2 y c2 (a12 b12 0, a22 b22 0) Giải biện luận: – Tính định thức: D a1 b1 a2 b2 Xét D D0 D=0 Dx Dy Dx = D y = , Dx c1 b1 c2 b2 , Dy a1 c1 a2 c2 Kết Dy D Hệ có nghiệm x x ; y D D Hệ vơ nghiệm Hệ có vơ số nghiệm Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc hai ẩn ta dùng cách giải biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số Hệ phương trình bậc nhiều ẩn Nguyên tắc chung để giải hệ phương trình nhiều ẩn khử bớt ẩn để đưa phương trình hay hệ phương trình có số ẩn Để khử bớt ẩn, ta dùng phương pháp cộng đại số, phương pháp hệ phương trình bậc hai ẩn Giải hệ phương trình sau: 5 x y a) b) 7 x y Bài 2 x y 11 5 x y 3 1x y x y 16 d) e) x y 2 x y 11 2 Bài Giải hệ phương trình sau: 10 1 x y x y 18 a) b) 25 51 x y x y 3 x y c) 6 x y 2 x y 2 x y x y d) e) 5 x y 3 x y x y 17 Bài Giải biện luận hệ phương trình sau: mx (m 1) y m mx (m 2) y a) b) x my (m 2) x (m 1) y 4 x y x y f) 3 x y x y x y f) 5x y 27 32 x y x 3y c) 45 48 1 x y x 3y (m 1) x y 3m c) (m 2) x y m (m 1) x y m mx y m e) f) 2 m x y m 2m 2 x my 2m Bài Trong hệ phương trình sau hãy: i) Giải biện luận ii) Tìm m Z để hệ có nghiệm nghiệm nguyên (m 1) x y m mx y mx y a) b) c) 2 x 4( m 1) y m m x y m 2m x my 2m (m 4) x (m 2) y d) (2m 1) x (m 4) y m Trang 24 ThuVienDeThi.com Trần Sĩ Tùng Bài a) Bài a) d) Phương trình bậc – bậc hai Trong hệ phương trình sau hãy: i) Giải biện luận ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức x, y độc lập m mx y m 6mx (2 m) y mx (m 1) y m b) c) x my 2 x my 2m (m 1) x my Giải biện luận hệ phương trình sau: ax y b y ax b ax y a b b) c) 3 x y 5 2 x y x 2y a ax by a2 b2 ax by a2 b (a b) x (a b) y a e) f) (2a b) x (2a b) y b bx b y 4b bx ay 2ab Giải hệ phương trình sau: 3 x y z a) 2 x y z b) x y 3z Bài x 3y z 2 x y z 3 x y z Bài a) Trang 25 ThuVienDeThi.com x 3y z 7 c) 2 x y 3z 3 x y z Phương trình bậc – bậc hai Trần Sĩ Tùng IX HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc hai Từ phương trình bậc rút ẩn theo ẩn Thế vào phương trình bậc hai để đưa phương trình bậc hai ẩn Số nghiệm hệ tuỳ theo số nghiệm phương trình bậc hai Hệ đối xứng loại f ( x, y) Hệ có dạng: (I) (với f(x, y) = f(y, x) g(x, y) = g(y, x)) g( x , y ) (Có nghĩa ta hốn vị x y f(x, y) g(x, y) khơng thay đổi) Đặt S = x + y, P = xy Đưa hệ phương trình (I) hệ (II) với ẩn S P Giải hệ (II) ta tìm S P Tìm nghiệm (x, y) cách giải phương trình: X SX P Hệ đối xứng loại f ( x, y) (1) Hệ có dạng: (I) f ( y , x ) (2) (Có nghĩa hốn vị x y (1) biến thành (2) ngược lại) Trừ (1) (2) vế theo vế ta được: f ( x , y ) f ( y, x ) (3) (I) (1) f ( x, y) Biến đổi (3) phương trình tích: x y (3) ( x y ).g( x , y ) g( x , y ) f ( x, y) x y Như vậy, (I) f ( x , y ) g( x , y ) Giải hệ ta tìm nghiệm hệ (I) Hệ đẳng cấp bậc hai a x b xy c y d 1 Hệ có dạng: (I) 2 a2 x b2 xy c2 y d2 Giải hệ x = (hoặc y = 0) Khi x 0, đặt y kx Thế vào hệ (I) ta hệ theo k x Khử x ta tìm phương trình bậc hai theo k Giải phương trình ta tìm k, từ tìm (x; y) Chú ý: – Ngồi cách giải thơng thường ta sử dụng phương pháp hàm số để giải (sẽ học lớp 12) – Với hệ phương trình đối xứng, hệ có nghiệm ( x0 ; y0 ) ( y0 ; x0 ) nghiệm hệ Do hệ có nghiệm x0 y0 Trang 26 ThuVienDeThi.com Trần Sĩ Tùng Bài Phương trình bậc – bậc hai Giải hệ phương trình sau: a) x y b) x xy 24 x 2y 2 x y 3 x y d) x xy y x 3y e) xy 3( x y ) 2 x y 2 x y g) y x x h) 2 2 x y 3 x y y Bài Giải biện luận hệ phương trình sau: x y x y m a) b) 2 x y m x y 2x Bài Giải hệ phương trình sau: x xy y 11 x y a) b) 2 x y xy 2( x y ) 31 x xy y 13 d) Bài a) Bài a) d) Bài a) Bài a) d) Bài a) Bài x y 13 3 e) x x y y 17 y x x y xy x y Giải biện luận hệ phương trình sau: x y xy m x y m 1 b) 2 2 x y 2m x y xy 2m m Giải hệ phương trình sau: x x y x y x y b) 2 y 3y x y x y x y2 y y x 3y x x2 e) x y 3x 3 x x y y2 Giải biện luận hệ phương trình sau: x x my x (3 y ) m(3 4m ) b) 2 y 3y mx y(3 x ) m(3 4m ) Giải hệ phương trình sau: x xy y 1 2 x xy y 1 b) 2 3 x xy 3y 13 3 x xy y 3 x xy y 38 x xy 3y e) 2 5 x xy 3y 15 x xy 5y Giải biện luận hệ phương trình sau: x mxy y m xy y 12 b) 2 x (m 1) xy my m x xy m 26 Giải hệ phương trình sau: a) Trang 27 ThuVienDeThi.com c) ( x y ) 49 3 x y 84 2 x y f) xy x y 2 x y i) 2 x xy y 3 x y c) 2 x y m xy x y c) 2 x y x y x x y y 481 f) 2 x xy y 37 ( x 1)( y 1) m c) xy( x y ) 4m x x y c) y y x 2 x y y f) 2 y x x xy x m( y 1) c) xy y m( x 1) y xy c) 2 x xy y 3 x xy y f) 2 5 x xy y x xy y m c) y xy Phương trình bậc – bậc hai Trần Sĩ Tùng BÀI TẬP ÔN CHƯƠNG III Bài Giải biện luận phương trình sau: a) m x 4m x m b) (a b)2 x 2a2 2a(a b) (a2 b2 ) x c) a2 x 2ab b2 x a2 b2 d) a(ax b) 4ax b2 Bài Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 2x m x m 1 a) 1 x 1 x c) Bài 2mx m2 x b) m x 2m x 1 m 1 d) x x m x 1 x 1 Giải biện luận phương trình sau: x 1 a) x 12 x 15m b) x 2(m 1) x m b) x mx m d) x 2(m 2) x m(m 3) Bài Tìm m để phương trình có nghiệm x0 Tính nghiệm lại: a) x mx m 0; x0 b) x 3m x m 0; x0 Bài Trong phương trình sau, tìm m để: i) PT có hai nghiệm trái dấu ii) PT có hai nghiệm âm phân biệt iii) PT có hai nghiệm dương phân biệt iv) PT có hai nghiệm phân biệt x1 , x2 thoả: x13 x23 ; x12 x22 a) x 2(m 2) x m(m 3) b) x 2(m 1) x m c) x 2(m 1) x m d) (m 2) x 2(m 1) x m e) (m 1) x 2(m 4) x m f) x x m Bài Trong phương trình sau, hãy: i) Giải biện luận phương trình ii) Khi phương trình có hai nghiệm x1 , x2 , tìm hệ thức x1 , x2 độc lập với m a) x (m 1) x m c) (m 2) x 2(m 1) x m Bài Giải phương trình sau: b) x 2(m 2) x m(m 3) d) x 2(m 1) x m a) x x 12 b) x x 11 31 c) 16 x 17 x 23 d) x x 3( x 4) f) 51 x x x h) x 3x e) 3x x x g) ( x 3) x x Bài Giải phương trình sau: a) 10 x x b) x x 2x c) 3x x x d) x 3x x 3x e) x x 3x f) 3x x x h) x 1 1 x x g) x x x Bài Giải phương trình sau: Trang 28 ThuVienDeThi.com Trần Sĩ Tùng a) c) Phương trình bậc – bậc hai x x 1 x x 1 x x 1 x x 1 b) x x2 x x2 d) x x x x 13 e) x x x x x 3 f) x x x x g) x x x x h) x x x 23 x Bài 10 Trong hệ phương trình sau: i) Tìm số ngun m để hệ có nghiệm nghiệm nguyên ii) Khi hệ có nghiệm (x, y) , tìm hệ thức x, y độc lập với m mx y m mx y 3m a) b) 2 x my 2a x my 2m x 2y m 2 x y c) d) x y m 2 y x 10m Bài 11 Giải hệ phương trình sau: x y y x 30 x xy y 1 x y a) b) c) 3 2 x x y y 13 x y 35 x y y x 6 x y xy 11 x y x y xy d) e) f) 2 2 x y x y x y x y 21 x y 3( x y ) 28 Bài 12 Giải hệ phương trình sau: y( x 1) x ( y 1) ( x y )(1 xy ) a) b) x y 24 2 ( x y )(1 ) 49 x y 2 x y 1 x y x y c) 1 x y2 4 x y2 2 x y y x y x xy e) y x xy 4 xy x y Bài 13 Giải hệ phương trình sau: x x y a) y 3y x x y 2 d) x y ( x y )(1 ) xy xy xy f) ( x y ) xy x x y b) y y x 2 x y e) 2 y x Bài 14 Giải hệ phương trình sau: a) 2 x y y d) 2 y x x x2 y2 Trang 29 ThuVienDeThi.com x x 8y c) y 3y x y2 3y x2 f) 3 x x y2 ... y z Phương trình bậc – bậc hai Trần Sĩ Tùng IX HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN Hệ gồm phương trình bậc phương trình bậc hai Từ phương trình bậc rút ẩn theo ẩn Thế vào phương trình bậc... ẩn Thế vào phương trình bậc hai để đưa phương trình bậc hai ẩn Số nghiệm hệ tuỳ theo số nghiệm phương trình bậc hai Hệ đối xứng loại f ( x, y) Hệ có dạng: (I) (với f(x, y) = f(y, x)... y) g(x, y) không thay đổi) Đặt S = x + y, P = xy Đưa hệ phương trình (I) hệ (II) với ẩn S P Giải hệ (II) ta tìm S P Tìm nghiệm (x, y) cách giải phương trình: X SX P Hệ đối xứng