Ôn tập đại số 10 chương 4, phần 2

Muốn giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn ta giải từng bất phương trình của hệ rồi lấy giao các tập nghiệm thu được... 3.. VẤN ĐỀ 2: Giải hệ bất phương trình bậc nhất một ẩn Bài 1. a[r]

1 Giải biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0

2 Hệ bất phương trình bậc ẩn

Muốn giải hệ bất phương trình bậc ẩn ta giải bất phương trình hệ rồi lấy giao tập nghiệm thu được.

3 Dấu nhị thức bậc nhất

VẤN ĐỀ 1: Giải biện luận bất phương trình dạng ax + b < 0 Bài 1. Giải bất phương trình sau:

a)

 x 

x 3

2

5

   

b)

x x

2

3

5



  

c)

x x

5( 1) 1 2( 1)

6

 

 

d)

x x

3( 1)

2

8

 

  

Bài 2. Giải biện luận bất phương trình sau:

a) m x m(  ) x b) mx 6 2x3m c) (m1)x m 3m4 d) mx 1 m2x

e)

m x( 2) x m x

6

  

 

f) 3 mx2(x m ) ( m1)2 Bài 3. Tìm m để bất phương trình sau vơ nghiệm:

a) m x2 4m 3 x m2 b) m x2   1 m (3m 2)x c) mx m mx d) 3 mx2(x m ) ( m1)2 Bài 4.

a)

II BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT MỘT ẨN

Điều kiện Kết tập nghiệm

a > 0

S =

b a

;

 

  

 

 

a < 0

S = b a;

 

 

 

 

a = 0 b  0 S = 

b < 0 S = R

f(x) = ax + b (a  0)

x 

b a

;

 

  

 

  a.f(x) < 0

x  b a;

 

 

 

VẤN ĐỀ 2: Giải hệ bất phương trình bậc ẩn Bài 1. Giải hệ bất phương trình sau:

a) x x x x 15 8 2(2 3)

4            b) x x x x

4 3

7

3 8 5

4            c) x x x x

4 12

3

4

2            d) x x x x

2 19

3         

 e)  

x x

x x

11 2 5

2

8

2

2          

 f)  

x x

x x

1

15 2

3 14            g) x x x x

2 3

4 5          

 h)

x x x

x x x

3 3( 2) 1

4

4 1

3

18 12

                 

 i)

x x

x x

3

4 19

    

   

Bài 2. Tìm nghiệm nguyên hệ bất phương trình sau:

a)

x x

x x

5

6

7

8 3 25

2            b) x x x x

15 2

3 14 2( 4)           

Bài 3. Xác định m để hệ bất phương trình sau có nghiệm: a) {3xm−2+m−1− x>0

>0 b) {

x −1>0

mx−3>0 c)

x m mx

x x

2

4

3 2

         d) x x x m

7 19

2

    

  

 e)

mx

m 0x m

(3 2)

        Bài 4. a)

VẤN ĐỀ 3: Bất phương trình qui bất phương trình bậc ẩn 1 Bất phương trình tích

 Dạng: P(x).Q(x) > (1)(trong P(x), Q(x) nhị thức bậc nhất.)

 Cách giải: Lập bảng xét dấu P(x).Q(x) Từ suy tập nghiệm (1). 2 Bất phương trình chứa ẩn mẫu

 Dạng:

P x

Q x( ) 0( )  (2)

(trong P(x), Q(x) nhị thức bậc nhất.)

 Cách giải: Lập bảng xét dấu P x Q x

( )

Chú ý: Không nên qui đồng khử mẫu. 3 Bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ

 Tương tự giải phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa tính chất GTTĐ để khử dấu GTTĐ.

 Dạng 1:

g x

f x( ) g x( )  ( ) 0g x( ) f x( ) g x( )

  



 Dạng 2:

g x

f x có nghóa

f x g x g x

f x g x f x g x

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

    

 

            

Chú ý: Với B > ta có: A B  B A B  ;

A B

A B  A B  

 .

Bài 1. Giải bất phương trình sau:

a) (x1)(x1)(3x 6) 0 b) (2x 7)(4 ) 0 x  c) x2 x 20 2( x11) d) (2x x7)(9 ) 0 x  e) x38x217x10 0 f) x36x211x 6 Bài 2. Giải bất phương trình sau:

a)

x x

x

(2 5)( 2) 0

4

 



  b)

x x

x x

3

1

 



  c)

x x

x x

3

5

 



 

d) x x

3 4 1

2

 

 e)

x x

2 1

2

 

 f) x x

2

1 2

 

g) x x

4

3

 

  h)

x x x

x

2 1

1

  

 i)

x x

x x

2

3 2

 



 

Bài 3. Giải bất phương trình sau:

a) 3x 7 b) 5x12 3 c) 2x 7 

d) 3x15 3 e)

x

x 1

2

  

f)

x x

2

  g) 2x  x h) 2x 1 x i) x  x Bài 4. Giải biện luận bất phương trình sau:

a)

x m x

2 1 0

1

  

 b)

mx m

x 1

  

 c) x 1(x m 2) 0 HD: Giải biện luận BPT dạng tích thương:

a x b a x b1 1 2 2

(  )(  ) 0

,

a x b x a x b x21 12

  

(hoặc <  0,  0)

– Đặt

b b

x x

a1 a2

1

1

;

 

Tính x1 x2. – Lập bảng xét dấu chung a a x1 , 1 x2.

– Từ bảng xét dấu, ta chia toán thành nhiều trường hợp Trong trường hợp ta

xét dấu (a x b a x b1  1)(  2)(hoặc

a x b x a x b x21 12



a)

m

m S

m

m S

m S R

3

3 : ( ; 1) ;

2

3 : ; ( 1; )

2 : \ { 1}

   

       

 



  

       

 

  

   

 b)

m

m S

m m

m S

m

m S

1

0 : ( ;1) ;

1

0 : ;1

0 : ( ;1)

   

      

 



    

 

  

     

c)

m S

m 3:3:S (1;(m 2;) )

   

    



Bài 5. Giải bất phương trình sau: a)

1 Dấu tam thức bậc hai

Nhận xét: 

a

ax2 bx c 0, x R

0

         

 



a ax2 bx c 0, x R 00

         

  2 Bất phương trình bậc hai ẩn ax2bx c 0 (hoặc  0; < 0; 0)

Để giải BPT bậc hai ta áp dụng định lí dấu tam thức bậc hai

VẤN ĐỀ 1: Giải bất phương trình, hệ bất phương trình bậc hai ẩn Bài 1. Xét dấu biểu thức sau:

a) 3x2 2x1 b) x24x5 c) 4x212x d) 3x2 2x e) x22x f) 2x2 7x5

g) (3x210x3)(4x 5) h) (3x2 )(2x x2 x 1) i)

x x x

x x

2

2

(3 )(3 )

4

 

  Bài 2. Giải bất phương trình sau:

a) 2x2 5x 2 b) 5x24x12 0 c) 16x240x25 0 d) 2x23x 0 e) 3x2 4x 4 f) x2 x 0

g)

x x

x x

2

3 4 0

3

   

  h)

x x

x x

2

4 1 0

5

  

  i)

x x

x x

2

5 8 0

7

     Bài 3. Giải biện luận bất phương trình sau:

a) x2 mx m  3 b) (1m x) 2 2mx2m0 c) mx2 2x 4 HD: Giải biện luận BPT bậc hai, ta tiến hành sau:

– Lập bảng xét dấu chung cho a .

– Dựa vào bảng xét dấu, biện luận nghiệm BPT.

III BẤT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI f(x) = ax2bx c (a  0)

 < 0 a.f(x) > 0, x  R  = 0

a.f(x) > 0, x 

b R

a

\

 



 

 

Bài 4. Giải hệ bất phương trình sau:

a)

x x

x x

2

2

6



   



   

 b)

x x

x x

2

2

3 10



    

  



 c)

x x

x x

2

2

3 10



    

   

 

d)

x x

x x

x x

2 2

4

2 10

2

    

   



  

 e)

x x

x x

2

2 24 1 07 

    

   

 f)

x x

x x

2

2 6 01 0 

    

   



g)

x x

x

2

2

4

1

 

  

 h)

x x

x x

2

1 2 1

13 5 7

 

 

  i)

x x

x x

2

10

1

3

 

  

   VẤN ĐỀ 2: Phương trình bậc hai – Tam thức bậc hai

Bài 1. Tìm m để phương trình sau: i) có nghiệm ii) vô nghiệm a) (m 5)x2 4mx m  0 b) (m 2)x22(2m 3)x5m 0 c) (3 m x) 2 2(m3)x m  2 d) (1m x) 2 2mx2m0

e) (m 2)x2 4mx2m 0 f) (m22m 3)x22(2 ) m x 0 Bài 2. Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x:

a) 3x22(m1)x m  4 b) x2(m1)x2m 7 c) 2x2(m 2)x m  4 d) mx2(m1)x m  0

e) (m1)x2 2(m1)x3(m 2) 0 f) 3(m6)x2 3(m3)x2m 3 Bài 3. Tìm m để bất phương trình sau vơ nghiệm:

a) (m2)x2 2(m1)x 4 b) (m 3)x2(m2)x 0 c) (m22m 3)x22(m1)x 1 d) mx22(m 1)x 4 e) (3 m x) 2 2(2m 5)x 2m 5 f) mx2 4(m1)x m  0 Bài 4.

a)

VẤN ĐỀ 3: Phương trình – Bất phương trình qui bậc hai 1 Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ

Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu GTTĐ, ta thường sử dụng định nghĩa tính chất GTTĐ để khử dấu GTTĐ.

 Dạng 1:

C g x C f xf x g x

f x g x f x g x f x

f x g x

f x g x

1

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

( ) ( )

( ) ( )

  

  



 

    

 

 

  

  

 

 Dạng 2:

f x g x f x( ) g x( )  f x( )( ) ( )g x( )

 Dạng 3:

g x f x g x

g x f x g x

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

 

  

  



 Dạng 4:

g x

f x có nghóa

f x g x g x

f x g x f x g x

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

    

 

            

Chú ý:  A A  A0; A  A A0

 Với B > ta có:

A B  B A B  ;

A B

A B  A B  

 .

 A B A B  AB0; A B A B  AB0

2 Phương trình – Bất phương trình chứa ẩn dấu căn

Để giải phương trình, bất phương trình chứa ẩn dấu ta thường dùng phép nâng luỹ thừa đặt ẩn phụ để khử dấu căn.

 Dạng 1:  

g x f x g x

f x g x

( ) ( ) ( )

( ) ( )

 



  

 



 Dạng 2:

f x hoặc g x f x( ) g x( ) f x( ) (( )g x( ) ( ) 0)

 

 Dạng 3:

t f x t a f x b f x c

at2 bt c

( ),

( ) ( )

0



  

    

   



 Dạng 4: f x( ) g x( )h x( ) Đặt

u f x u v v g x( )( ) ; ,

  

 

   đưa hệ u, v.

 Dạng 5:  

f x

f x g x g x

f x g x

( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

 



   

 



 Dạng 6:  

g x f x

f x g x g x

f x g x

( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0

( ) ( )

   

 

 

  

  

 

   

Bài 1. Giải phương trình sau:

a) x2 5x4 x26x5 b) x21 x2 2x8 c) 2 3 x2  6 x2 0

d) x  x 3 e) x21 1  x f)

x x

x x 1

1 ( 2)

    

a) 2x2 5x 0 b) x 8 x23x c) x21 2 x0 d) x24x3  x2 4x e) x 3 x 1 f) x2 3x2 x2 2x

g)

x x

x x

2

4 1

2





  h)

x x

2 5 0

3



 

 i)

x x2 x

2 3

5



   Bài 3. Giải phương trình sau:

a) 2x 3 x b) 5x10 8  x c) x 2x 4 d) x22x4  2 x e) 3x2 9x  1 x f)

x2 x x

3    1

g) 3x 7 x 1 h) x2 9 x2 2 i)

x x

x

x x

21 21 21

21 21

  

    Bài 4. Giải phương trình sau: (nâng luỹ thừa)

a) 3x 5 3x632x11 b) x 1 33x 1 3x1 c) 31 x 31 x 2 d) 3x 1 3x 2 3x 3

Bài 5. Giải phương trình sau: (biến đổi biểu thức căn)

a) x 2 2x 5 x 2 2x 2

b) x 5 x 1 x 2 x 1

c) 2x 2x 2 x 3 2x1 2 x 8 2x1 4

Bài 6. Giải phương trình sau: (đặt ẩn phụ)

a) x2 6x 9 x2 6x6 b) (x4)(x1) 3 x25x2 6 c) (x 3)23x 22 x2 3x7 d) (x1)(x2)x23x Bài 7. Giải phương trình sau: (đặt hai ẩn phụ)

a) 3x25x 8 3x25x 1 b) 35x 7 35x13 1 c) 39 x 1 37 x 1 d) 324 x  35 x 1

e) 447 2 x435 2 x 4 f)

x x x x x

x

2

4356 4356 5

 

   

Bài 8. Giải bất phương trình sau:

a) x2 x 12 8  x b) x2 x12 7  x c) x2 4x21 x d) x2 3x10  x e) 3x213x4  x f) 2x 6x2  1 x g) x 3 7 x  2x h) 2 x  7 x  3 2x i) 2x 3 x2 1

Bài 9. Giải bất phương trình sau:

a)

x x

x 4

2

 

 b)

x x

x

2 15 17 0

3

  

 

c) (x3) x2 x2 d)

x x x x

x x

2 6 6

2

     



 

Bài 11.Giải bất phương trình sau:

a) x 2 2x 8 b) 32x2 1 33x21 c) 3x 1 x Bài 12.Giải phương trình sau:

a)

BÀI TẬP ƠN CHƯƠNG IV Bài 1. Chứng minh bất đẳng thức sau:

a) a3b3c3  a b c, với a, b, c > xyz = 1.

b)

a b c a b c a b c

a b c

     

  

, với a, b, c >

c) p a p b p c a b c

1 1 21 1

      

    , với a, b, c cạnh tam giác, p nửa chu vi. d) a b 1b a1ab, với a  1, b  1.

HD: a) Áp dụng BĐT Cô–si: a3b3c333a b c3 3 3  2(a3b3c3) 6 (1) a3  1 33a3  a3 2 3a (2) Tương tự: b3 2 3b (3), c3 2 3c (4)

Cộng BĐT (1), (2), (3), (4) vế theo vế ta đpcm.

b) BĐT 

b a b c c a

a b c b a c

     

     

     

      Dễ dàng chứng minh.

c) Áp dụng BĐT: x y x y

1

 

 , ta được: p a p b p a p b c

1 4

  

Tương tự: p b p c a p c p a b

1 4; 1

   

    Cộng BĐT  đpcm.

d) Áp dụng BĐT Cô–si:

a ab a ab a b a ab a

2

 

    

.

Tương tự:

ab b a

2

 

Cộng BĐT ta đpcm Dấu "=" xảy  a = b = 2. Bài 2. Tìm GTNN biểu thức sau:

a) A x x

1

 

 , với x > 1. b)

B

x y

4

4

 

, với x, y > x y

5

 

c) C a b a b

1

   

, với a, b > a b 1.

d) D a 3b3c3, với a, b, c > ab bc ca  3.

HD: a) Áp dụng BĐT Cô–si: A = x x

1

( 1)

1

     



Dấu "=" xảy  x = Vậy minA = 3.

b) B =

x y

x y

4 4 4 5

4

   



x y

x y

4

2 4 5

4

  

Dấu "=" xảy 

x 1; y

4

 

Vậy minB = 5.

c) Ta có a b a b

1

 

  B a b a b a b a b a b

4

      

    a b

3

2 5

 .

Dấu "=" xảy  a = b =

1

2 Vậy minC = 5.

d) Áp dụng BĐT Cô–si: a3b3 1 3ab, b3c3 1 3bc, c3a3 1 3ca.  2(a3b3c3) 3(  ab bc ca  ) 9  a3b3c33.

Dấu "=" xảy  a = b = c = Vậy minD = 3. Bài 3. Tìm GTLN biểu thức sau:

a) A a 1 b1, với a, b  –1 a b 1 b) B x 2(1 ) x , với < x <

1 2.

c) C(x1)(1 ) x , với x

1

2

  

HD: a) Áp dụng BĐT (B) cho số 1,1, a1, b1 ta được:

A1 a 1 b 1 (1 1)( a  1 b 1) 6 Dấu "=" xảy  a = b =

1 2.

 maxA = .

b) Áp dụng BĐT Cô–si: B =

x x x

x x x

3

1

(1 )

3 27

    

   

1

3 Vậy maxB = 27.

c) Áp dụng BĐT Cô–si: C =

x x

x x

2

1(2 2)(1 ) 2

2 2

    

     

  .

Dấu "=" xảy  x =

1



Vậy maxC =

9 8.

Bài 4. Tìm m để hệ bất phương trình sau có nghiệm: a)

x m mx

x x

2

4

3 2

         b) x x m x

2 3 4 0

( 1)

         c) x x x m

7 19

2

    

  

 d)

x x

m x2 12

    

  

Bài 5. Tìm m để hệ bất phương trình sau vơ nghiệm: a)

mx x m

x x

2

9

4

          b) x x mx m

2 10 16 0

3

   



 

 Bài 6. Giải bất phương trình sau:

a) x

x x2 x

2

3

6

 



  b)

x x x

x

x x

2

5

5       c) x x

x2 x x3

2

1

1



 



   d) x x x

2 1 0

1

  

 

Bài 7. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

a) (m1)x2 2(m3)x m  2 b) (m1)x22(m 3)x m  3 Bài 8. Tìm m để biểu thức sau ln khơng âm:

a) (3m1)x2 (3m1)x m 4 b) (m1)x2 2(m1)x3m Bài 9. Tìm m để biểu thức sau ln âm:

a) (m 4)x2(m1)x2m1 b) (m24m 5)x2 2(m 1)x2 Bài 10.Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x:

a)

x x

mx m x m

2

8 20 0

2( 1)

 



    b)

x x

m x m x m

2

3 0

( 4) (1 )

        c) x mx x x

2 1

2

  

  d)

x mx x x 2 4         Bài 11.Tìm m để phương trình sau có:

i) Một nghiệm ii) Hai nghiệm phân biệt iii) Bốn nghiệm phân biệt a) (m 2)x4 2(m1)x22m 0 b) (m3)x4 (2m 1)x2 0

Bài 12.Giải phương trình sau:

a) (x1) 16x17 ( x1)(8x 23) b)

x x

x x

2

21 4 6 0

4 10   

 

c)

x x

x2 x x2 x

2 13 6

2  3 2  3 d)

x x x 2 1        

Bài 13.Giải phương trình sau:

c) 2x 1 3  d) x 14x 49 x 14x 49  14 e) x 1 x2  2(2x21)

Bài 14.Giải bất phương trình sau:

a) x2 4x 4 x17 b) x 1 x2 3 c) x 3 x  1 x

d)

x x

x

2

5 4 1

4

  

 e)

x x2 x

2 1

2

3

 

  f) x  x2 5x9 g) x2 2x 2  x1 h) 2 x 1 x 3 x1

Bài 15.Giải phương trình sau:

a) x 2x 3 b) 2x 3 x 1 3x2 (2x3)(x1) 16 c) x 4 1 x  2 x d) x 1 4 x  (x1)(4 x) 5

e) 4x 1 4x2 1 f) 3x 2 x 4 x 3 x2 5x2 g) (x5)(2 x) 3 x23x h) x x(  4) x24x (x 2)22

i) x2 x211 31 k) x 9 x  x29x9 Bài 16.Giải bất phương trình sau

a) x2 8x 12 x b) 5x261x 4x2 c)

x x

x

2 4  3 2 

d)

x x

x 2

3(4 9) 3

3



 

 e) (x 3) x24 x2 f)

x x

x 2

9 3 2

5



  