Đề thi Olympic huyện Toán lớp 9 Năm học 20112012 Phòng GD ĐT Đức Thọ12684

phòng gd - đt đức thọ đề thi olympic huyện năm học 2011 - 2012 Môn toán lớp 9; Thời gian làm 120 phút Câu 1: a) Rỳt gn biểu thức: M= (5  )(49  20 )   11 Chứng minh x số tự nhiên b) Cho x= 182  33125  182  33125 x - (m  3)y  C©u 2: Cho hệ phương trình:   (m - 2)x  4y  m - (m tham số) a) Giải hệ m = b) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x > 0; y < C©u 3: a) Giải phương trình: 2x   x  yz x   zx y   xy z  xyz b) Tìm giá trị lớn biểu thức M  C©u 4: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Điểm M thuộc cung BC không chứa điểm A Gọi điểm H K chân đường vng góc hạ từ điểm M đến cạnh BC AC, điểm I chân đường vng góc hạ từ điểm M đến đường thẳng AB Chứng minh: a) Tứ giác BHMI nội tiếp b) Ba điểm H, I, K thẳng hàng c) AB AC BC   MI MK MH C©u 5: Cho ba số a, b, c > thỏa mãn a2+b2+c2= 1 1 a3  b3  c3    3 Chứng minh a  b2 b2  c2 c2  a2 2abc Hết - ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM Đáp án Câu Câu (4 điểm) a) M= (5  )(49  20 )  =  11 (1 điểm) (  ) (5  ) (  ) (1 điểm)  11  (  2)2 (  2)4 (  2)  11 Biểu điểm  (  2)3 11 b) Đặt a= 182  33125 ; b = 182  33125 TÝnh ®­ỵc: a3+b3= ( 182  33125 )3 + ( 182  33125 )3=364 a.b = 182  33125 182  33125 = -1 x3 =(a+b)3 =a3+b3+3ab(a+b)  x3 = 364 -3 x ThuVienDeThi.com (0,5 điểm) (0,5 điểm)  (x-7)(x2+7x+52) =  x=7 Câu (5 điểm) (1 điểm) a) Khi m = ta có:  x= x - 6y  x = 6y x = 6y      x  4y  6y  4y  10y  y =  5 (2 điểm) b) Hệ phương trình có nghiệm m  1 (m  3)   (m  2)(m  3)  4  (m  1)(m  2)    ( m 2  m  2 (1 điểm) *) m 3  x (1 điểm)  x - (m  3)y  x = (m  3)y  m     (m - 2)x  4y  m - (m - 2)(m  3)y  4y  m - y   m 2 Hệ phương trình có nghiệm thỏa mãn x > 0; y < (1 điểm) m 3  m   m     3  m  2  m     0  m  Câu (4 điểm) a) 2x   x  (1) ĐKXĐ x  (0,5 điểm) x  x  x      x  x 5 (1)  2x    x       x x x (8 ) 18x+65=0   (1 điểm)  x  13(loai ) Với x = TMĐK x  Vậy phương trình có nghiệm x = (0,5 điểm) b) §K: x  1; y  2; z  y2 x 1 z 3   x y z x 11 x  Theo bÊt ®¼ng thøc COSI ta cã: x   2 y z y   ; z  3  2 x y z 1 Suy ra: M       x 2 y 3z 2 2 M  yz x   zx y   xy z  = xyz Dấu đẳng thức xẩy khi: x=2; y=4; z=6 VËy: Max M = 1   x=2; y=4; z=6 cho 0,25® 2 2 ThuVienDeThi.com (0,5 điểm) (1 điểm) (0,5 điểm) Câu (2 điểm) a) Ta có A (5 điểm) · · BHM  BIM  90 (gt) · ·  BHM  BIM  180 K  Tứ giác BHMI nội O H C B tiếp I M · · b) Tứ giác BHMI nội tiếp  BHI  BMI (1) · · Tứ giác CKHM nội tiếp  KHC  KMC (2) · · (3) BIM : CKM  BMI  CMK · · Từ (1), (2), (3)  BHI  KHC · · · · · Mà BHK  KHC  180  BHK  BHI  IHK  180  H, I, K thẳng (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) hàng (0,5 điểm) c) Ta có Câu (2 điểm) AB AC AI IB AK KC  AI AK   KC IB           MI MK MI MI MK MK  MI MK   MK MI HB   HC   0   MH MH  1 Ta cã: a2+b2+c2= nªn 2  2  2 = a b b c c a 2 2 2 2 a b c a b c a b c   2 2 a b b c c2  a c2 a2 b2 = 2  2  2 +3 a b b c c a c2 c2 Ta lại có: a2+b2 2ab nên 2 a b 2ab a2 a2 b2 b2 T­¬ng tù: 2  ;  b c 2bc c  a 2ac c2 a2 b2 c2 a2 b2 VËy: 2  2  2 +3    +3 a b b c c a 2ab 2bc 2ac 1 a  b3  c Hay 2  2  2  3 a b b c c a 2abc ThuVienDeThi.com    BC MH (1 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) ... Max M = 1   x=2; y=4; z=6 cho 0,25® 2 2 ThuVienDeThi.com (0,5 điểm) (1 điểm) (0,5 điểm) Câu (2 điểm) a) Ta có A (5 điểm) · · BHM  BIM  90 (gt) · ·  BHM  BIM  180 K  Tứ giác BHMI nội O...   +3 a b b c c a 2ab 2bc 2ac 1 a  b3  c Hay 2  2  2  3 a b b c c a 2abc ThuVienDeThi.com    BC MH (1 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm)