Nhằm giúp cho các em chuẩn bị tinh thần tốt nhất để bước vào kỳ thi chọn HSG chính thức trong thời gian tới. Đề thi HSG cấp huyện đợt 1 môn Toán lớp 9 năm 2015-2016 Phòng GD&ĐT Lương Tài Đề số 7 có kèm theo đáp án để học sinh dễ đối chiếu với kết quả làm bài của mình. Mời các bạn cùng tham khảo!
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT Năm học 2015 - 2016 Mơn thi: Tốn - Lớp Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề) �x 2 x � x 1 Bài (2,0đ): Cho P � �: x x x x 1 x � � a/ Rút gọn biểu thức P (0,75đ Khá) b/ Tìm x để P = (0,75đ Khá) c/ So sánh P2 với 2P (0,5 Khá) Bài (2,0đ): 1/ Giải phương trình: x x 1 (1đ Giỏi) x x 2/ Trên mặt phẳng tọa độ, cho điểm M(2; 1), N(3; – 4), P(5; 3) trung điểm cạnh AB, BC CA tam giác ABC a/ Viết phương trình đường thẳng AB; BC (0,5đ Khá) b/ Xác định vị trí điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành (0,5 Khá) Bài (2,0đ): 1/ Giải phương trình nghiệm nguyên: x xy 2014 x 2015 y 2016 (1đ Khá) 2/ Tìm số tự nhiên có chữ số, biết rằng: Tổng số với chữ số 2023 (1đ Giỏi) Bài (3,0đ): Cho đường tròn (O;R) cố định, đường kính AB Lấy điểm I nằm tia đối BA, kẻ tiếp tuyến IC (C tiếp điểm) Gọi M điểm cố định thuộc nửa đường trịn đường kính AB khơng chứa điểm C (M khác A;B) Gọi N giao điểm thứ IM với (O); H hình chiếu C AB; K hình chiếu O IM, E giao điểm CH OK a/ Chứng minh: IC2 =IA.IB (1đ Khá) b/ Chứng minh: IH.IO=IM.IN (1đ Giỏi) c/ Khi I di động tia đối BA, tìm quỹ tích điểm E (1đ SX) Bài (1,0đ): Cho số nguyên a, b thỏa mãn a b 2(ab a b) Chứng minh a; b số phương liên tiếp (1đ SX) Hết - UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT Năm học 2015 - 2016 Mơn thi: Tốn - Lớp Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài (2,0đ): Ý Đáp án � � x x �: x P� � � (với x �0 ; x≠1) x x x � x 1 � � � x x x x x 1 � x 1 x 1 x x 1 Điểm a/ x x 1 x 1 x x 1 � 2 x 1 x x 1 x x 1 Ta có: P (với x �0 ; x≠1) x x 1 2 P � � x x 1 � x x x x 1 Vậy P b/ � x 2 x 3 0� � x4 Vậy với x =4 P = Ta có: P x (vì x �0 nên 0,25đ 0,25đ x 0) 0,5đ ( Với x �0 ; x ≠ 1) x x 1 Do x �0 ; x≠1 nên x x � P c/ 0, 5đ 0 x x 1 Ta lại có x x �0 (vì x �0 ; x≠1) �x�� � x 1 1 P x x 1 x x 1 Ta có P2 – 2P = P(P – 2) �0 (vì 0< P �2 ) => P2 �2P Vậy P2 �2P 0,25đ 0,25đ Bài (2,0đ): Ý Đáp án ĐK: Điểm � �x x �0 � x �1 � � 1 �0 � � 1 �x � � x �x �0 � � 0,25đ TH1: 1 �x VT0 nên PT vô nghiệm 1 1 x 1 x TH2: x 1 PT: x x x x x x 1/ 0,25đ 1 1 x x x – x x 0 x x x 1� x x x � � x x 1 x( x 1) � � x� x x 1 0,25đ x x 1 x x x (vì x 1) � 1 � Vậy S � � � � 0,25đ + Viết phương trình đường thẳng MP y x – 3 0,25đ + Đường thẳng BC song song với MP nên phương trình có dạng 2-a/ x b Vì N thuộc đường thẳng BC tìm b = – Vậy phương trình đường thẳng BC y x – y 2-b/ + Tương tự ta có ptđt AB y x – 0,25đ � y x – � � + Giải hệ � �y x � 0,25đ ta suy tọa độ đỉnh B(0; – 6) Sử dụng công thức tọa độ trung điểm, với P trung điểm AC nên P trung điểm BD, tìm tọa độ điểm D(10;12) Vậy D(10;12) 0,25đ Bài (2,0đ): Ý Đáp án Giải phương trình nghiệm nguyên: x xy 2014 x 2015 y 2016 � x xy x 2015 x 2015 y 2015 Điểm � x y 1 x 2015 0,25đ �x y �x y 1 � x; y 2016; 2016 �� � �x 2015 �x 2015 1 � x; y 2014; 2016 0,25đ � x x y 1 2015 x y 1 1/ 2/ Vậy x; y 2016; 2016 x; y 2014; 2016 Tìm số tự nhiên có chữ số, biết rằng: Tổng số với chữ số 2023 N ;1 a 9;0 b; c; d Gọi số cần tìm abcd ĐK: a; b; c; d Σ��� Theo ta có: abcd a b c d 2023 (1) Vì abcd a b c d 2023 nên abcd 3000 �a �9 nên a=1; TH1: a=1 Thay vào (1) ta được: 1bcd b c d 2023 � bcd b c d 1022 (2) � bcd 1022 (b c d ) 1022 995 nên b=9 Thay vào (2) ta được: 9cd c d 1022 � cd c d 113 (3) � cd 113 c d 113 95 nên c=9 Thay vào (3) ta được: 9d d 113 � d d 14 � d Suy số cần cần tìm là: 1997 TH2: a=2 Thay vào (1) ta được: 2bcd b c d 2023 � bcd b c d 21 (4) � bcd 21 (b c d ) 21 21 100 nên b=0 Thay vào (4) ta được: 0cd c d 21 � cd c d 21 (5) � cd 21 c d 21 21 nên c=0;1;2 + Nếu c=0 Thay vào (5) ta được: 0d d 21 � d d 21 � d 10,5 � (loại) + Nếu c=1 Thay vào (5) ta được: 1d d 21 � d d 10 � d Suy số cần cần tìm là: 2015 + Nếu c=2 Thay vào (5) ta được: 2d d 21 � d d 1 � (loại) Vậy có số tmycbt là: 1997 2015 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Bài (3,0đ): Ý Đáp án Điểm 0,25đ a/ b/ Chứng minh: IC2 =IA.IB 2 2 Chỉ ra: IC IO OC IO OA IO OA IO OA IA.IB � đpcm Chứng minh: IH.IO=IM.IN Chỉ ra: OCI vuông C, đường cao CH nên IC IH IO (1) 2 Chỉ ra: IM IN IK KM IK KN IK KM IK OA2 OK IK OK OA2 IO OA2 IO OA IO OA IA.IB IC (2) c/ Từ (1) (2) suy ra: IH.IO=IM.IN � đpcm Khi I di động tia đối BA, tìm quỹ tích điểm E + Chỉ ra: OHE đồng dạng với OKI suy OK.OE=OH.OI (3) + OCI vuông C, đường cao CH nên OH.OI=OC2= OM2 (4) + Từ (3); (4) suy ra: OK.OE=OM2 Chỉ OKM đồng dạng với OME � OKM � 900 suy ra: ME OM Nên OME Vì (O); AB ; M cố định nên đường thẳng qua M vng góc với OM cố định tức đường thẳng ME cố định Nên quỹ tích điểm E nằm đường thẳng qua M vng góc với OM Giới hạn quỹ tích: Phần đường thẳng ME nằm giới hạn đường tiếp tuyến đường tròn (O) A B 0,75 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Bài (1,0đ): Cho số nguyên a, b thỏa mãn a b2 2(ab a b) Chứng minh a; b số phương liên tiếp (1đ SX) Ý Đáp án Điểm Cho số nguyên a,b thỏa mãn a b 2(ab a b) � a b 2ab 2a 2b 4a � a b 1 4a Suy a �0 a b 1 4a số phương suy a số phương Nên đặt a = x2 (x số nguyên) Khi đó: x2 b 1 x � x b �2 x � b x m1 Ta thấy x (x+1) (x-1) x số nguyên liên tiếp Suy ra: x2 (x+1)2 (x-1)2 x2 số phương liên tiếp Vậy a b hai số phương liên tiếp Ghi chú: Các cách giải khác, cho điểm tối đa 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ ...UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT Năm học 2 015 - 2 016 Môn thi: Tốn - Lớp Thời gian làm bài :15 0 phút (khơng kể thời gian giao đề) ... d 10 22 � cd c d 11 3 (3) � cd 11 3 c d 11 3 95 nên c =9 Thay vào (3) ta được: 9d d 11 3 � d d 14 � d Suy số cần cần tìm là: 19 97 TH2: a=2 Thay vào (1) ta... ? ?1 � x; y 2 016 ; 2 016 �� � �x 2 015 �x 2 015 ? ?1 � x; y 2 014 ; 2 016 0,25đ � x x y 1? ?? 2 015 x y 1? ?? 1/ 2/ Vậy x; y 2 016 ; 2 016 x; y 2 014 ;