Mời các em cùng tham khảo Đề thi HSG cấp huyện đợt 1 môn Toán lớp 9 năm 2015-2016 - Phòng GD&ĐT Lương Tài - Đề số 10 nhằm giúp các bạn học sinh lớp 9 có thêm nhiều đề luyện tập, củng cố kiến thức, chuẩn bị sẵn sàng cho kỳ thi. Hy vọng giúp các em đạt kết quả tốt trong kỳ thi HSG.
UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT Năm học : 2015 - 2016 Mơn thi: Tốn – Lớp Thời gian làm : 150 phút (không kể thời gian giao đề) x −2 x + x2 − 2x +1 − ÷ Bài 1:(2 điểm) Cho A = ÷ x − x + x + a) Rút gọn A b) Tìm x để A > c) Tìm giá trị lớn A Bài 2:(2điểm) a) Giải phương trình sau: x − x + 14 = x + b) Cho đường thẳng (d) có phương trình : y = (m-1)x + (m +1) (d) Chứng minh m thay đổi thì đường thẳng (d) luôn qua điểm cố định Bài 3:(2 điểm) a) Tìm ba số nguyên tố mà tích chúng năm lần tổng chúng b) Tìm số tự nhiên n cho A = n + n + số phương Bài 4: (3 điểm) Cho nửa đường trịn đường kính BC=2R, tâm O cố định Điểm A di động trện nửa đường tròn Gọi H hình chiếu điểm A lên BC Gọi Dvà E hình chiếu H lên AC AB a) Chứng minh: AB EB + AC AD = AB2 b) Chứng minh bốn điểm A,E,H,D thuộc đường trịn c) Xác định vị trí điểm A cho tứ giác AEHD có diện tích lớn nhất? Tính diện tích lớn theo R Bài 5: (1 điểm) Cho x ≠ 0; y ≠ Chứng minh : x10 y10 −5 Q = + ÷+ ( x16 + y16 ) − (1 + x y ) ≥ 2 y x HẾT -(Đề thi gồm có 01trang) Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn thi : Tốn – Lớp Bài 1:(2 điểm) Ý/phần a Đáp án ĐKXĐ: x ≥ 0, x ≠ 0.25đ 0.75đ A = − x ( x − 1) b c Điểm Với x = ta có A = Với x > ta có : A > ⇔ − x ( x − 1) > ⇔ x ( x − 1) < ⇔ x − < 0(do x > 0) ⇔ x < Vậy với < x < thì A > 1 1 1 A = − x ( x − 1) = − x + x − + = −( x − ) + ≤ ⇒ A ≤ 4 4 1 Vậy GTLN A = x = ⇔ x = (t / m) 4 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ Bài 2:(2 điểm) Ý/phần Đáp án x − x + 14 = x + ( x − 3) + ( x + − ) = 0.25đ a ( x − 3) = x + − = x = x = ( 0.25đ ) 0.25đ x=3 Vậy… b Điểm Gọi ( x0 ; y0 ) tọa độ điểm cố định mà (d) qua với m Ta có: y0 = (m − 1) x0 + m + có nghiệm với m ⇔ ( x0 + 1) m + ( − x0 − y0 ) = có nghiệm với m 0.25đ 0.25đ 0.25đ x0 + = x0 = −1 ⇔ ⇔ 1 − x0 − y0 = y0 = 0.25đ Vậy điểm cố định mà (d) qua với m (-1;2) 0.25đ Bài 3:(2 điểm) Ý/phần Đáp án Điểm A = n + n + số phương nên A có dạng A = n + n + = k (k ∈ N * ) 0.25đ ⇔ 4n + 4n + 24 = 4k ⇔ (2k ) − (2n + 1) = 23 a 2 2k + 2n + = 23 ⇔ (2k + 2n + 1)(2k − 2n − 1) = 23 ⇔ k − 2n − = 0.25đ (Vì 23 số nguyên tố 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1) b 2k + 2n = 22 k = ⇔ ⇔ 2k − 2n = n = 0.25đ Vậy với n = thì A số phương Gọi a,b,c ba số nguyên tố cần tìm ta có: abc = 5(a+b+c) Tích ba số nguyên tố abc chia hết có số Do a,b,c số có vai trị nên : Giả sử a = 5bc = 5(5+b+c) ⇔ bc = 5+b+c ⇔ bc -b - c + = ⇔ (b-1)(c-1) = Khi ta có: 0.25đ 0.25đ 0.25đ b − = b = ⇔ ( thỏa mãn) c − = c = b − = b = ⇔ *) ( loại vì hợp số) c − = c = *) 0.25đ 0.25đ Vậy ba số nguyên tố cần tìm 2, 5, Bài 4:(3 điểm) Ý/phần Đáp án Điểm A E D a b c C H O Chứng minh : AB EB = HB2 AC AD = AH2 HB2 + AH2 = AB2 AB EB + AC AD = AB2 Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật Gọi I giao điểm AH DE => IA = ID = IH = IE => Bốn điểm A,E,H,D thuộc đường tròn S(ADHE)= AD.AE ≤ AD + AE DE AH = = 2 B 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.5 đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ 0.25đ AH AO R ≤ = ≤ 2 2 R Vậy Max S(ADHE)= Khi AD = AE ⇒ S(ADHE) 0.25đ 0.25đ Hay A điểm cung AB Bài 5:(1 điểm) Ý/phần Đáp án Điểm x 10 y 10 16 Q = + + ( x + y 16 ) − (1 + x y ) 2 y x 1 x 10 y 10 = + + + 1 + ( x 16 + y 16 + + 1) − (1 + x y ) − 2 y x 0.25đ Áp dụng bắt đẳng thức Cơ-si cho bốn số dương ta có: x 10 y 10 + + + 1 ≥ x y 2 y x 16 ( x + y 16 + + 1) ≥ x y 4 0.25đ 0.25đ => Q ≥ x y + x y − − x y − x y − = − Chú ý : Các cách giải khác cho điểm 0.25đ ... điểm cung AB Bài 5: (1 điểm) Ý/phần Đáp án Điểm x 10 y 10 16 Q = + + ( x + y 16 ) − (1 + x y ) 2 y x 1 x 10 y 10 = + + + 1? ?? + ( x 16 + y 16 + + 1) − (1 + x y ) − 2 y x ... (1 + x y ) − 2 y x 0.25đ Áp dụng bắt đẳng thức Cơ-si cho bốn số dương ta có: x 10 y 10 + + + 1? ?? ≥ x y 2 y x 16 ( x + y 16 + + 1) ≥ x y 4 0.25đ 0.25đ => Q ≥ x y + x y − − x y − x... + 1> 2k – 2n -1 ) b 2k + 2n = 22 k = ⇔ ⇔ 2k − 2n = n = 0.25đ Vậy với n = thi? ? A số phương Gọi a,b,c ba số nguyên tố cần tìm ta có: abc = 5(a+b+c) Tích ba số nguyên tố abc chia hết có số