ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN: TOÁN LỚP 9 – NĂM HỌC 2017 2018SỞ GDĐT VĨNH PHÚCĐỀ CHÍNH THỨCKÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 20172018ĐỀ THI MÔN: TOÁNThời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Câu 1 (2,0 điểm). Rút gọn biểu thức Câu 2 (2,0 điểm). Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn: Chứng minh đẳng thức: Câu 3 (2,0 điểm). Tìm số tự nhiên sao cho Câu 4 (2,0 điểm). Cho hệ phương trình (m là tham số và x,y là ẩn số)Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm (x,y) trong đó x,y là các số nguyên.Câu 5 (2,0 điểm). Giải phương trình Câu 6 (2,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 12 cm, AC = 16cm. Gọi I là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng đường thẳng BI vuông góc với đường thẳng MI. Câu 7 (2,0 điểm). Cho hình thoi ABCD có góc , O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng AB. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M (điểm M không trùng với điểm B), trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho đường thẳng HM song song với đường thẳng AN. a) Chứng minh rằng: MB.DN = BH.AD. b) Tính số đo góc Câu 8 (2,0 điểm). Cho đường tròn (O) cố định và hai điểm phân biệt B, C cố định thuộc đường tròn (O). Gọi A là một điểm thay đổi trên đường tròn (O) (điểm A không trùng với điểm B và C), M là trung điểm của đoạn thẳng AC. Từ điểm M kẻ đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng AB, đường thẳng (d) cắt đường thẳng AB tại điểm H. Chứng minh rằng khi điểm A thay đổi trên đường tròn (O) thì điểm H luôn nằm trên một đường tròn cố định.Câu 9 (2,0 điểm). Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện . Chứng minh rằng: Câu 10 (2,0 điểm). Cho hình vuông ABCD và 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện:1) Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông.2) Mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỉ lệ diện tích bằng .Chứng minh rằng trong 2018 đường thẳng đó có ít nhất 505 đường thẳng đồng quy.Hết SỞ GDĐT VĨNH PHÚCHƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁNĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2017 – 2018Câu 1(2,0 điểm).Rút gọn biểu thức Nội dung trình bàyĐiểmĐiều kiện: 0,5Khi đó: 0,5 0,5 0,5Câu 2(2,0 điểm). Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn: Chứng minh đẳng thức: Nội dung trình bàyĐiểmTa có: 0,5 0,5 0,5 0,5Câu 3(2,0 điểm).Tìm số tự nhiên sao cho Nội dung trình bàyĐiểmTa có: 0,5Vì và nên 0,25 . Thay vào (1) ta được: 0,25Lập luận tương tự ta có: 0,25 Thay vào (2) ta được: 0,25Mà và .0,25Vậy 0,25Câu 4(2,0 điểm). Nội dung trình bàyĐiểmTừ phương trình thứ hai ta có: x = 2 – 2y thế vào phương trình thứ nhất được: 0,25 (3)0,25Hệ có nghiệm là các số nguyên có nghiệm là số nguyên.0,25Với có nghiệm 0,25 0,25 0,25 0,25Vậy có 2 giá trị thoả mãn là 1; 2.0,25Câu 5(2,0 điểm).Giải phương trình Nội dung trình bàyĐiểmĐiều kiện xác định 0,25Với điều kiện (), phương trình đã cho tương đương với: 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25Đối chiếu với điều kiện () ta được 0,25Câu 6(2,0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 12 cm, AC = 16cm. Gọi I là giao điểm các đường phân giác trong của tam giác ABC, Mlà trung điểm của cạnh BC. Chứng minh rằng đường thẳng BI vuông góc với đường thẳng MI. Nội dung trình bàyĐiểmTa có . Gọi E là giao điểm của BI với AC. 0,5Theo tính chất đường phân giác ta có: 0,25 0,25Ta có do: ; ; IC chung. 0,25Suy ra: 0,25Mặt khác hai tam giác đồng dạng0,25 0,25Câu 7(2,0 điểm). Cho hình thoi ABCD có góc , O là giao điểm của hai đường chéo. Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng AB. Trên tia đối của tia BC lấy điểm M ( điểm M không trùng với điểm B), trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho đường thẳng HM song song với đường thẳng AN. a) Chứng minh rằng b) Tính số đo góc Nội dung trình bàyĐiểma)Ta có 0,25 ∽ 0,25 0,25 0,25b) Ta có: ∽ 0,25Từ (1) và (2) ta có: 0,25Ta lại có: nên ∽ 0,25Từ đó suy ra: 0,25Câu 8 (2,0 điểm). Cho đường tròn (O) cố định và hai điểm phân biệt B, C cố định thuộc đường tròn (O). Gọi A là một điểm thay đổi trên đường tròn (O) (A không trùng với B và C), M là trung điểm của đoạn thẳng AC. Từ điểm M kẻ đường thẳng vuông góc với đường thẳng AB, cắt đường thẳng AB tại điểm H. Chứng minh rằng khi điểm A thay đổi trên đường tròn (O) thì điểm H luôn nằm trên một đường tròn cố định. Nội dung trình bàyĐiểmGọi D là trung điểm của đoạn BC, vì tam giác BOC, AOC là các tam giác cân tại O nên .0,25Ta có: Bốn điểm O, D, C, M cùng nằm trên đường tròn có tâm Icố định, đường kính OC cố định. 0,25Gọi E là điểm đối xứng với D qua tâm I, khi đó E cố định và DE là đường kính của đường tròn .0,5Nếu Với 0,25 Với , do . 0,25Khi đó thẳng hàng. Suy ra 0,25Vậy ta luôn có: hoặc hoặc do đó H thuộc đường tròn đường kính BE cố định.0,25Câu 9(2,0 điểm). Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện . Chứng minh rằng: Nội dung trình bàyĐiểmVới ta có : , . Đẳng thức xảy ra khi 0,25Ta có: 0,5 Đẳng thức xảy ra khi 0,25Tương tự: Đẳng thức xảy ra khi 0,25 Đẳng thức xảy ra khi 0,25Vậy 0,25 Đẳng thức xảy rakhi . Vậy bất đẳng thức được chứng minh.0,25Câu 10 (2,0 điểm). Nội dung trình bàyĐiểmGiả sử hình vuông ABCD có cạnh là a ( a>0). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Gọi d là một đường thẳng bất kỳ trong 2018 đường thẳng đã cho thỏa mãn yêu cầu bài toán. Không mất tính tổng quát, giả sử d cắt các đoạn thẳng AD, MP, BC lần lượt tại S, E, K sao cho 0,5Từ ta suy ra được: 0,25 suy ra E cố định và d đi qua E.0,5Lấy F, H trên đoạn NQ và G trên đoạn MP sao cho .Lập luận tương tự như trên ta có các đường thẳng thỏa mãn điều kiện của đề bài phải đi qua một trong bốn điểm cố định E, F, G, H.0,25Theo nguyên lý Dirichlet từ 2018 đường thẳng thỏa mãn điều kiện của đề bài phải có ít nhất đường thẳng đi qua một trong bốn điểm E, F, G, Hcố định, nghĩa là 505 đường thẳng đó đồng quy.0,5Hết SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTHANH HÓAĐỀ CHÍNH THỨCKÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 20172018 Môn thi: TOÁN Lớp 9 THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Ngày thi: 10 tháng 3 năm 2018 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu)Câu I (4,0 điểm).1. Cho biểu thức: , với x > 0, x 1 Rút gọn P và tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên.2. Tính giá trị của biểu thức tại Câu II (4,0 điểm).1. Biết phương trình: (m – 2)x2 – 2(m – 1)x + m = 0 có hai nghiệm tương ứng là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Tìm m để độ dài đường cao ứng với cạnh huyền của tam giác vuông đó bằng 2. Giải hệ phương trình: Câu III (4,0 điểm).1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y2 – 5y + 62 = (y – 2)x2 + (y2 – 6y + 8)x.2. Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn p = a2 + b2 là số nguyên tố và p – 5 chia hết cho 8. Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn ax2 by2 chia hết cho p. Chứng minh rằng cả hai số x, y chia hết cho p.Câu IV (6,0 điểm). Cho tam giác ABC có (O), (I), (Ia) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp và đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A của tam giác với các tâm tương ứng là O, I, Ia . Gọi D là tiếp điểm của (I) với BC, P là điểm chính giữa cung BAC của (O), PIa cắt (O) tại điểm K. Gọi M là giao điểm của PO và BC, N là điểm đối xứng với P qua O.1. Chứng minh IBIaC là tứ giác nội tiếp.2. Chứng minh NIa là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác IaMP 3. Chứng minh: .Câu V (2,0 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x z . Chứng minh rằng: HẾT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTHANH HÓAĐỀ CHÍNH THỨCKÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 20172018Môn thi: TOÁN – Lớp 9 THCSThời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Ngày thi: 10 tháng 3 năm 2018HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM(Gồm có 05 trang)CâuNỘI DUNGĐiểmI4,0 điểm1. Cho biểu thức , với Rút gọn P và tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên2,5Với điều kiện , ta có: 0,50 0,50 0,50 0,50Ta có với điều kiện Do nguyên nên suy ra (loại). Vậy không có giá trị của x để P nhận giá trị nguyên. 0,50Chú ý 1: Có thể làm theo cách sau , coi đây là phương trình bậc hai của . Nếu vô lí, suy ra nên để tồn tại thì phương trình trên có Do P nguyên nên (P – 1)2 bằng 0 hoặc 1+) Nếu không thỏa mãn.+) Nếu không thỏa mãnVậy không có giá trị nào của x thỏa mãn.0,502. Tính giá trị của biểu thức tại 1,5Vì 0,50nên là nghiệm của đa thức 0,50Do đó 0,50Chú ý 2: Nếu học sinh không thực hiện biến đổi mà dùng máy tính cầm tay để thay số và tìm được kết quả đúng thì chỉ cho 0,5 đ.II4,0 điểm1. Biết phương trình có hai nghiệm tương ứng là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Tìm m để độ dài đường cao ứng với cạnh huyền của tam giác vuông đó bằng 2,0Phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi Khi đó 2 nghiệm của phương trình là 0,50Hai nghiệm đó là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông suy ra hoặc .0,50Từ hệ thức trong tam giác vuông ta có 0,50Với (thỏa mãn)Với (loại) Vậy là giá trị cần tìm.0,502. Giải hệ phương trình: 2,0ĐKXĐ: Chia phương trình (1) cho ta được hệ 0,25 0,50Đặt (ĐK: ), ta có hệ 0,25Từ (4) rút , thế vào (3) ta được hoặc . Trường hợp loại vì 0,25Với (thỏa mãn). Khi đó ta có hệ 0,25Giải hệ trên bằng cách thế vào phương trình đầu ta được . Vậy hệ có nghiệm duy nhất 0,50III4,0 điểm1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2,0 Ta có 0,25 0,25 0,50Nhận thấy nên ta phải phân tích số 56 thành tích của ba số nguyên mà tổng hai số đầu bằng số còn lại.0,25Như vậy ta có 0,25 0,25 Vậy phương trình có 6 nghiệm nguyên như trên.0,25Chú ý 3: Học sinh có thể biến đổi phương trình đến dạng (được 0,5đ), sau đó xét các trường hợp xảy ra.Khi đó với mỗi nghiệm đúng tìm được thì cho 0,25 đ (tối đa 6 nghiệm = 1,5 đ)2. Cho là các số nguyên dương thỏa mãn là số nguyên tố và p5 chia hết cho 8. Giả sử x,y là các số nguyên thỏa mãn chia hết cho p. Chứng minh rằng cả hai số chia hết cho p.2,0Do nên Vì nên 0,50Nhận thấy 0,25Do và nên 0,25Nếu trong hai số có một số chia hết cho thì từ () suy ra số thứ hai cũng chia hết cho .0,50Nếu cả hai số đều không chia hết cho thì theo định lí Fecma ta có : . Mâu thuẫn với (). Vậy cả hai số và chia hết cho .0,50IV6,0 điểmCho tam giác có theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp và đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh của tam giác với các tâm tương ứng là . Gọi là tiếp điểm của với , là điểm chính giữa cung của , cắt tại điểm . Gọi là giao điểm của và là điểm đối xứng của qua 1. Chứng minh: là tứ giác nội tiếp2,0 là tâm đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC , từ đó suy ra ( Phân giác trong và phân giác ngoài cùng một góc thì vuông góc với nhau). 1,0Xét tứ giác có Từ đó suy ra tứ giác là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính . 1,02. Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác 2,0Nhận thấy bốn điểm thẳng hàng (vì cùng thuộc tia phân giác của ). Do là đường kính của nên , là trung điểm của nên tại 0,25Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có 0,25Vì là góc ngoài tại đỉnh I của tam giác ABI nên = 0,25Xét (O): (cùng chắn cung NC) 0,25 0,25Từ (1) và (2) ta có = nên tam giác cân tại Chứng minh tương tự tam giác NIC cân tại N0,25Từ đó suy ra là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác , cũng chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác 0,25Vậy là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác 0,253. Chứng minh: .2,0Gọi F là tiếp điểm của đường tròn (I) với AB.Xét hai tam giác có: đồng dạng với . 0,50Suy ra mà: , nên 0,50Ta có: nên suy ra đồng dạng với (1).0,50Do là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác nên (2)0,25Từ (1) và (2) ta có 0,25V2,0 điểmCho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng 2,0Ta có 0,25 , trong đó 0,25Nhận xét rằng 0,25Xét 0,25Do đó Đẳng thức xảy ra khi .0,25Khi đó 0,25 0,25Từ và suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi 0,25Chú ý: Các cách làm khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa, điểm thành phần giám khảo tự phân chia trên cơ sở tham khảo điểm thành phần của đáp án. Đối với Câu IV (Hình học): Không vẽ hình, hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm. Các trường hợp khác tổ chấm thống nhất phương án chấm.Hết SỞ GD ĐT TRÀ VINHĐỀ CHÍNH THỨCKỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNHLỚP 9 THCS NĂM HỌC 20172018MÔN THI: TOÁNThời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Bài 1. (3.0 điểm) Giải hệ phương trình: Bài 2.(2.0 điểm) Dân số xã A hiện nay có 10000 ngưới. Ngưới ta dự đoán sau hai năm dân số xã A là 10404 người. Hỏi trung bính hằng năm dân số xã A tăng bao nhiêu phấn trăm ?Bài 3.(3.0 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện xy + yz + zx = 1. Tính giá trị của biểu thức Bài 4.(3.0 điểm) Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: Bài 5.(2.0 diểm) Tìm nghiệm nguyên của phương trình: x2 + 2y2 + 3xy + 3x + 5y = 15 Bài 6.(3.0 điểm) Cho x, y là các số dương thỏa mãn x + y = 2. Chứng minh: x3y3 (x3 + y3) 2 Bài 7.(4.0 diểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O)và có AB < AC. Lấy điểm M thuộc cung BC không chứa điểm A của đưởng tròn (O). Vẽ MH vuông góc với BC, MK vuông góc với CA, MI vuông góc với AB ( H thuôc BC, K thuộc AC, I thuộc AB). Chứng minh: Hết
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MƠN: TỐN - LỚP – NĂM HỌC 2017 - 2018 SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP NĂM HỌC 2017-2018 ĐỀ THI MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) a 2018 a 2018 a Câu (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức P a a a a Câu (2,0 điểm) Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn: x y x y z ; x y z ; y z Chứng minh đẳng thức: x ( x y ( y Câu (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên z) x z) y z z cho Câu (2,0 điểm) Cho hệ phương trình (m tham số x,y ẩn số) Tìm tất giá trị nguyên m để hệ phương trình có nghiệm (x,y) x,y số nguyên Câu (2,0 điểm) Giải phương trình Câu (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, AB = 12 cm, AC = 16cm Gọi I giao điểm đường phân giác tam giác ABC, M trung điểm cạnh BC Chứng minh đường thẳng BI vng góc với đường thẳng MI Câu (2,0 điểm) Cho hình thoi ABCD có góc , O giao điểm hai đường chéo Gọi H chân đường vng góc kẻ từ O đến đường thẳng AB Trên tia đối tia BC lấy điểm M (điểm M không trùng với điểm B), tia đối tia DC lấy điểm N cho đường thẳng HM song song với đường thẳng AN a) Chứng minh rằng: MB.DN = BH.AD b) Tính số đo góc Câu (2,0 điểm) Cho đường tròn (O) cố định hai điểm phân biệt B, C cố định thuộc đường tròn (O) Gọi A điểm thay đổi đường tròn (O) (điểm A không trùng với điểm B C), M trung điểm đoạn thẳng AC Từ điểm M kẻ đường thẳng (d) vng góc với đường thẳng AB, đường thẳng (d) cắt đường thẳng AB điểm H Chứng minh điểm A thay đổi đường tròn (O) điểm H ln nằm đường tròn cố định Câu (2,0 điểm) Cho a,b,c số thực dương thoả mãn điều kiện 1 2 a b c Chứng minh rằng: Câu 10 (2,0 điểm) Cho hình vng ABCD 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: 1) Mỗi đường thẳng cắt hai cạnh đối hình vng 2) Mỗi đường thẳng chia hình vng thành hai phần có tỉ lệ diện tích Chứng minh 2018 đường thẳng có 505 đường thẳng đồng quy -Hết Trang SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN: TỐN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP NĂM HỌC 2017 – 2018 a 2018 Câu 1(2,0 điểm).Rút gọn biểu thức P a a 1 Nội dung trình bày a 2018 a a a Điểm 0,5 Điều kiện: 0,5 Khi đó: 0,5 0,5 Câu 2(2,0 điểm) Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn: x y x y z ; x y z ; y z Chứng minh đẳng thức: x ( x y ( y z )2 x z) y z z Nội dung trình bày Điểm 0,5 Ta có: 0,5 0,5 0,5 Câu 3(2,0 điểm).Tìm số tự nhiên cho Nội dung trình bày Ta có: Vì Thay vào (1) ta được: Lập luận tương tự ta có: Thay vào (2) ta được: Mà nên Điểm 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Trang Vậy Câu 4(2,0 điểm) 0,25 Nội dung trình bày Từ phương trình thứ hai ta có: x = – 2y vào phương trình thứ được: Điểm 0,25 (3) số nguyên Hệ có nghiệm Với có nghiệm số nguyên 0,25 0,25 0,25 có nghiệm 0,25 0,25 0,25 Vậy có giá trị thoả mãn 1; 0,25 Câu 5(2,0 điểm).Giải phương trình Nội dung trình bày Điểm 0,25 Điều kiện xác định Với điều kiện (*), phương trình cho tương đương với: 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Đối chiếu với điều kiện (*) ta Câu 6(2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông A, AB = 12 cm, AC = 16cm Gọi I giao điểm đường phân giác tam giác ABC, Mlà trung điểm cạnh BC Chứng minh đường thẳng BI vng góc với đường thẳng MI Nội dung trình bày Ta có Gọi E giao điểm BI với AC Điểm 0,5 0,25 Theo tính chất đường phân giác ta có: Trang 0,25 Ta có do: Suy ra: Mặt khác hai tam giác ; đồng dạng ; IC chung 0,25 0,25 0,25 0,25 Câu 7(2,0 điểm) Cho hình thoi ABCD có góc , O giao điểm hai đường chéo Gọi H chân đường vng góc kẻ từ O đến đường thẳng AB Trên tia đối tia BC lấy điểm M ( điểm M không trùng với điểm B), tia đối tia DC lấy điểm N cho đường thẳng HM song song với đường thẳng AN a) Chứng minh b) Tính số đo góc Nội dung trình bày a)Ta có Điểm 0,25 0,25 0,25 ∽ 0,25 0,25 ∽ b) Ta có: 0,25 Từ (1) (2) ta có: 0,25 Ta lại có: nên ∽ 0,25 Từ suy ra: Câu (2,0 điểm) Cho đường tròn (O) cố định hai điểm phân biệt B, C cố định thuộc đường tròn (O) Gọi A điểm thay đổi đường tròn (O) (A khơng trùng với B C), M trung điểm đoạn thẳng AC Từ điểm M kẻ đường thẳng vuông góc với đường Trang thẳng AB, cắt đường thẳng AB điểm H Chứng minh điểm A thay đổi đường tròn (O) điểm H ln nằm đường tròn cố định Nội dung trình bày Gọi D trung điểm đoạn BC, tam giác BOC, AOC tam giác cân O nên Điểm 0,25 Ta có: Bốn điểm O, D, C, M nằm đường tròn có tâm Icố định, đường kính OC cố định Gọi E điểm đối xứng với D qua tâm I, E cố định DE đường kính đường tròn Nếu - Với 0,25 - Với , thẳng hàng Suy Vậy ta ln có: kính BE cố định hoặc 0,25 0,25 Khi 0,5 H thuộc đường tròn đường Câu 9(2,0 điểm) Cho a,b,c số thực dương thoả mãn điều kiện 0,25 0,25 Chứng minh rằng: Nội dung trình bày Với ta có : Điểm 0,25 , Đẳng thức xảy 0,5 Ta có: 0,25 Đẳng thức xảy Trang 0,25 Tương tự: Đẳng thức xảy 0,25 Đẳng thức xảy 0,25 Vậy 0,25 Đẳng thức xảy rakhi Vậy bất đẳng thức chứng minh Câu 10 (2,0 điểm) Nội dung trình bày Giả sử hình vng ABCD có cạnh a ( a>0) Gọi M, N, P, Q trung điểm AB, BC, CD, DA Gọi d đường thẳng 2018 đường thẳng cho thỏa mãn u cầu tốn Khơng tính tổng quát, giả sử d cắt đoạn thẳng AD, MP, BC S, E, K cho Từ Điểm 0,5 0,25 ta suy được: 0,5 suy E cố định d qua E 0,25 Lấy F, H đoạn NQ G đoạn MP cho Lập luận tương tự ta có đường thẳng thỏa mãn điều kiện đề phải qua bốn điểm cố định E, F, G, H Theo nguyên lý Dirichlet từ 2018 đường thẳng thỏa mãn điều kiện đề phải có đường thẳng qua bốn điểm E, F, G, Hcố định, nghĩa 505 đường thẳng đồng quy Hết - Trang 0,5 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2017-2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: TỐN - Lớp THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 10 tháng năm 2018 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu) Câu I (4,0 điểm) Cho biểu thức: P x x x 1 2x x , với x > 0, x 1 x x x x x x x2 x Rút gọn P tìm tất giá trị x cho giá trị P số nguyên 4( x 1) x 2018 x 2017 x Tính giá trị biểu thức P x 2 2 2 x 3x Câu II (4,0 điểm) Biết phương trình: (m – 2)x – 2(m – 1)x + m = có hai nghiệm tương ứng độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng Tìm m để độ dài đường cao ứng với cạnh huyền tam giác vng ( x y ) (8 x y xy 13) 0 Giải hệ phương trình: x x y 1 Câu III (4,0 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: y2 – 5y + 62 = (y – 2)x2 + (y2 – 6y + 8)x Cho a, b số nguyên dương thỏa mãn p = a2 + b2 số nguyên tố p – chia hết cho Giả sử x, y số nguyên thỏa mãn ax - by2 chia hết cho p Chứng minh hai số x, y chia hết cho p Câu IV (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có (O), (I), (I a) theo thứ tự đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A tam giác với tâm tương ứng O, I, Ia Gọi D tiếp điểm (I) với BC, P điểm cung BAC (O), PIa cắt (O) điểm K Gọi M giao điểm PO BC, N điểm đối xứng với P qua O Chứng minh IBIaC tứ giác nội tiếp Chứng minh NIa tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác IaMP Chứng minh: Câu V (2,0 điểm) Cho x, y, z số thực dương thỏa mãn x z Chứng minh rằng: HẾT - Trang SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA ĐỀ CHÍNH THỨC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 2017-2018 Môn thi: TỐN – Lớp THCS Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 10 tháng năm 2018 HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM (Gồm có 05 trang) Câu I 4,0 điểm NỘI DUNG Cho biểu thức P Điểm x x x 1 2x x , với x x x x x x x2 x 2,5 Rút gọn P tìm tất giá trị x cho giá trị P số nguyên Với điều kiện , ta có: 0,50 0,50 0,50 0,50 Ta có với điều kiện 0,50 Do ngun nên suy (loại) Vậy khơng có giá trị x để P nhận giá trị nguyên 0,50 Chú ý 1: Có thể làm theo cách sau , coi phương trình bậc hai Nếu vơ lí, suy nên để tồn phương trình có Do P ngun nên (P – 1)2 +) Nếu không thỏa mãn +) Nếu Vậy khơng có giá trị x thỏa mãn Trang khơng thỏa mãn Tính giá trị biểu thức 0,50 Vì nên 0,50 nghiệm đa thức Do Chú ý 2: Nếu học sinh khơng thực biến đổi mà dùng máy tính cầm tay để thay số tìm kết cho 0,5 đ II 4,0 điểm 1,5 Biết phương trình có hai nghiệm tương ứng độ dài hai cạnh góc vng tam giác vng Tìm m để độ dài 0,50 2,0 đường cao ứng với cạnh huyền tam giác vng Phương trình nghiệm có hai Khi nghiệm phương trình 0,50 Hai nghiệm độ dài hai cạnh góc vng tam giác vuông suy 0,50 Từ hệ thức Với tam giác vng ta có 0,50 (thỏa mãn) 0,50 Với Vậy (loại) giá trị cần tìm ( x y ) (8 x y xy 13) 0 Giải hệ phương trình: x 1 (2) x y 2,0 0,25 ĐKXĐ: Chia phương trình (1) cho (1) ta hệ Trang 0,50 Đặt Từ (4) rút Trường hợp 0,25 (ĐK: ), ta có hệ , vào (3) ta 0,25 loại 0,25 Với (thỏa mãn) Khi ta có hệ Giải hệ cách vào phương trình đầu ta 0,50 III 4,0 điểm Vậy hệ có nghiệm Tìm nghiệm ngun phương trình 2,0 0,25 Ta có 0,25 0,50 Nhận thấy nên ta phải phân tích số 56 thành tích ba số nguyên mà tổng hai số đầu số lại Như ta có 0,25 0,25 0,25 0,25 Vậy phương trình có nghiệm ngun Chú ý 3: Học sinh biến đổi phương trình đến dạng (được 0,5đ), sau xét trường hợp xảy Khi với nghiệm tìm cho 0,25 đ (tối đa nghiệm = 1,5 đ) Cho số nguyên dương thỏa mãn số nguyên tố p-5 chia hết cho Giả sử x,y số nguyên thỏa mãn chia hết cho p Chứng minh hai số chia hết cho p Trang 10 2,0 Nhận thấy bốn điểm ) thẳng hàng (vì thuộc tia phân giác Do đường kính nên , Áp dụng hệ thức lượng tam giác vuông Vì trung điểm 0,25 0,25 ta có góc ngồi đỉnh I tam giác ABI nên Xét (O): nên 0,25 = 0,25 (cùng chắn cung NC) 0,25 Từ (1) (2) ta có = nên tam giác cân Chứng minh tương tự tam giác NIC cân N Từ suy tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác 0,25 , tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác Vậy 0,25 tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác 2,0 Chứng minh: Gọi F tiếp điểm đường tròn (I) với AB Xét hai tam giác đồng dạng với Suy Ta có: mà: nên Do 0,50 có: , suy 0,50 nên đồng dạng với (1) tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác nên (2) V 2,0 điểm 0,25 0,50 0,25 0,25 Từ (1) (2) ta có Cho số thực dương thỏa mãn Chứng minh 2,0 0,25 Ta có 0,25 , Trang 12 0,25 Nhận xét Xét 0,25 0,25 Do Đẳng thức xảy 0,25 Khi 0,25 Từ suy điều phải chứng minh Đẳng thức xảy Chú ý: - Các cách làm khác cho điểm tối đa, điểm thành phần giám khảo tự phân chia sở tham khảo điểm thành phần đáp án - Đối với Câu IV (Hình học): Khơng vẽ hình, vẽ hình sai không chấm - Các trường hợp khác tổ chấm thống phương án chấm Hết - Trang 13 0,25 SỞ GD & ĐT TRÀ VINH ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2017-2018 MƠN THI: TỐN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài (3.0 điểm) Giải hệ phương trình: Bài 2.(2.0 điểm) Dân số xã A có 10000 ngưới Ngưới ta dự đoán sau hai năm dân số xã A 10404 người Hỏi trung bính năm dân số xã A tăng phấn trăm ? Bài 3.(3.0 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện xy + yz + zx = Tính giá trị biểu thức A x (1 y )(1 z ) (1 z )(1 x ) (1 x )(1 y ) y z x2 1 y2 1 z2 Bài 4.(3.0 điểm) Cho a, b, c số dương thỏa mãn a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức: P ab bc ca c ab a bc b ca Bài 5.(2.0 diểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 + 2y2 + 3xy + 3x + 5y = 15 Bài 6.(3.0 điểm) Cho x, y số dương thỏa mãn x + y = Chứng minh: x3y3 (x3 + y3) Bài 7.(4.0 diểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O)và có AB < AC Lấy điểm M thuộc cung BC không chứa điểm A đưởng tròn (O) Vẽ MH vng góc với BC, MK vng góc với CA, MI vng góc với AB ( H thc BC, K thuộc AC, I thuộc AB) Chứng minh: BC AC AB MH MK MI -Hết Trang 14 SỞ GD & ĐT TRÀ VINH ĐỀ CHÍNH THỨC HƯỚNG DẪN CHẤM KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2017-2018 MƠN THI: TỐN Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài (3.0 điểm) Giải hệ phương trình GIẢI: ĐKXĐ: x>1 Từ (1) *Thế vào (2), ta được: (loại) *Thế vào (2), ta được: Vậy hệ có nghiệm (x=2; y=-1) x=1 (loại) x=2 Bài 2.(2.0 điểm) Dân số xã A có 10000 ngưới Ngưới ta dự đoán sau hai năm dân số xã A 10404 người Hỏi trung bính năm dân số xã A tăng phấn trăm ? GIẢI Gọi x tỉ lệ tăng dân số năm (x>0) Số dân sau năm: 10000(x+1) Số dân sau hai năm: 10000(x+1).(x+1) Vì sau hai năm số dân 10404 nên ta có phương trình: 10000(x+1) =10404 Hay x +2x - 0,0404 = (x=0,02 x=-2,02) Vậy tỉ lệ tăng dân số 2% Bài 3.(3.0 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện xy+yz+zx=1 Tính giá trị biểu thức A x (1 y )(1 z ) (1 z )(1 x ) (1 x )(1 y ) y z x2 1 y2 1 z2 GIẢI Ta có: Tương tự : Do đó: A = x(y+z)+y(z+x)+z(x+y)=2(xy+yz+zx) = 2.1 = Bài 4.(3.0 điểm) Cho a, b, c số dương thỏa mãn a+b+c=1 Tìm giá trị lớn P ab bc ca c ab a bc b ca GIẢI Theo điều đề ta có: 1-a>0 ; 1-b>0 ; 1-c>0 Nên theo BĐT Cơ-si, ta có: Trang 15 Vậy maxP = a = b = c = Bài 5.(2.0 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 + 2y2 + 3xy + 3x + 5y = 15 (*) GIẢI Để phương trình có nghiệm nguyên Giải phương trình nghiệm nguyên ta y=-15 y=17 *Với y=-15 x=12 x=30 *Với y=17 x=-18 x=-36 Vậy phương trình có nghiệm: (12;-15),(30;-15),(-18;17)và (-36;17) Bài 6.(3.0 điểm) Cho x, y số dương thỏa mãn x + y = Chứng minh: GIẢI Do x, y>0 x+y=2 nên Theo BĐT Cơ-si ta có: Hay Vậy Dấu = xảy x=y=1 Bài 7.(4.0 diểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O)và có AB => A2 4 10 10 16 (10 ) a 2.0 0.5 => A2 8 0.25 => A2 8 ( 1) 0.25 => A2 8 => A2 6 => A2 ( 1) 0.25 0.25 0.25 0.25 => A , (do A > 0) ĐIỂM Vì a, b, c dương a+b+c=1 nên biểu thức B có nghĩa < a,b,c < Ta có: 0.25 0.25 b 2.0 0.5 0.25 Ta có: x2 – 3x + = (x – 1)(x – 2) Theo ra: f(x) f(x) chia hết cho x – => f(1) = =>a + b = =>b = –a (1) f(x) chia hết cho x – => f(2) = =>8a + 2b = –15 (2) 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Từ (1) (2) => 8a + 2(–a) = –15 => a = – => b = 0.25 Thử lại: (x4 – x3 + x – 1):(x2 – 3x + 2) = x2 + x – 0.25 0.25 Vậy a = – , b = B = 4x(x + y)(x + y + z)(x + z) + y2z2 B= 4(x2 + xy + xz)(x2 + xy + xz + yz) + y2z2 B= 4(x2 + xy + xz)2 + 4(x2 + xy + xz).yz + y2z2 B= (2x2 + 2xy + 2xz + yz)2 Vì x, y, z số nguyên nên 2x2 + 2xy + 2xz + yz số ngun => B số phương ĐKXĐ: (vì < a,b,c < 1) Tính đúng: B = a 2.0 1.0 a Trang 19 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 + Xét m = 3, phương trình (*) trở thành 0.x = (vơ lí) => m = phương trình cho vơ nghiệm 1.5 + Xét , phương trình (*) có nghiệm Để phương trình cho vơ nghiệm Vậy với m = 3, m = ½ phương trình cho vơ nghiệm ĐKXĐ: 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 B 1.5 0.25 0.25 Áp dụng BĐT Cosi cho số dương ta có: 0.25 C 1.0 Vì x, y, z số nguyên dương nên từ (1) =>x = y = z = Thử lại : Đúng Vậy nghiệm nguyên dương phương trình (x;y;z) = (1;1;1) 0.25 0.25 0.25 Đặt BH = x (0 < x < 6) =>BC = x + 6,4 AB2 = BH.BC =>62 = x(x + 6,4) =>x = 3,6 =>BC = 10cm =>AC = 8cm 0.25 0.5 0.75 0.25 0.75 a 2.5 Trang 20 b 2.0 Chứng minh tứ giác ADHE hình chữ nhật => DE = AH Chứng minh: BH2 = BD.BA, CH2 = CE.CA AH2 = HB.HC =>AH4 = HB2.HC2 = BD.BA.CE.CA =>AH4 = BD.CE.BC.AH =>AH3 = BD.CE.BC Vậy DE3 = BD.CE.BC Chứng minh , HD = AE Gọi giao điểm NA với HD M’ Ta có: c 1.5 0.5 0.5 0.5 0.25 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 d 1.0 2.0 =>M’ trùng M =>M, A, N thẳng hàng Có BM//CN, BD // NE, MD // CE => BDM ~ NEC => BD/NE = DM/EC (1) Gọi I giao MC với DE => DI/EI = DM/EC (2) Gọi I’ giao BN với DE DI’/EI’ = BD/NE (3) Từ (1), (2), (3) => DI/EI = DI’/EI’ => I I’ trùng Vậy BN, CM, DE đồng qui Xét đa thức g(x) = f(x) – 10x =>bậc đa thức g(x) Từ giả thiết => g(1) = g(2) = g(3) = Mà g(x) có bậc nên g(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – a) (với a số thực đó) =>f(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – a) + 10x 0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.5 =>f(8) + f(–4) = 5.6.7.(8 – a + + a) + 40 0.25 Vậy f(8) + f(–4) = 2560 0.25 *) Mọi cách giải khác cho điểm tối đa theo thang điểm *) Tổ giám khảo bám sát biểu điểm thảo luận đáp án thống *) Chấm cho điểm phần, điểm toàn tổng điểm thành phần khơng làm tròn -Hết Trang 21 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG SƠN ĐỀ THI CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2017 – 2018 Môn thi: Toán THCS Thời gian: 150 phút Ngày thi: 05/4/2018 (Đề thi gồm 01 trang, 05 câu) Câu (4,0 điểm) Cho biểu thức: x x x4 x 4 x x x4 x 4 A với x �0, x �1, x �4 23 x x x 23 x x x a) Rút gọn biểu thức A (2 3) 1 Câu (4,0 điểm) Cho phương trình: x 2mx 2m a) Chứng minh phương trình cho ln có nghiệm b) Gọi x1 , x2 nghiệm phương trình Tìm giá trị nhỏ biểu thức: x1 x2 B x1 x22 2(1 x1 x2 ) Câu (4,0 điểm) a) Giải phương trình: x x x b) Cho f ( x) đa thức với hệ số nguyên Biết f (2017) f (2018) 2019 Chứng minh phương trình f ( x) khơng có nghiệm nguyên Câu (6,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có AC AB nội tiếp đường tròn (O) Kẻ phân giác AI tam giác ABC ( I �BC ) cắt (O) E Tại E C kẻ hai tiếp tuyến với (O) cắt F, AE cắt CF N, AB cắt CE M a) Chứng minh tứ giác AMNC nội tiếp đường tròn 1 b) Chứng minh CN CI CF c) Gọi AD trung tuyến tam giác ABC, kẻ DK//AI ( K �AC ) Chứng minh 2AK AC AB Câu (2,0 điểm) Trường trung học phổ thông A tổ chức giải bóng đá cho học sinh nhân ngày thành lập đồn 26 – Biết có n đội tham gia thi đấu vòng tròn lượt (hai đội đấu với trận) Đội thắng điểm, đội hòa điểm đội thua không điểm Kết thúc giải, ban tổ chức nhận thấy số trận thắng thua gấp bốn lần số trận hòa tổng số điểm đội 336 Hỏi có tất đội bóng tham gia? Hết -b) Tính giá trị biểu thức A x Trang 22 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LẠNG SƠN ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 2017 – 2018 Câu 1a Nội dung Đặt t x , t �0, t �1, t �2 đó: t t 4t t t 4t � A 3t t 3t t (t 1)(t 2)(t 2) (t 1)(t 2)(t 2) � A (t 1)(t 1)(t 2) (t 1)(t 1)(2 t ) t t 2t � A 2 t 1 t 1 t 1 t 1 � A2 x 1 1b (2 3) (2 3) (2 3) (2 3)(2 3) x 1 1 1 �x 1 1 2 2 2 Do đó: A 11 phương trình: x 2mx 2m có a + b + c = nên có hai nghiệm: x1 1, x2 2m Chứng tỏ PT ln có nghiệm m (hoặc tính theo để biện luận) Do PT ln có nghiệm nên theo ĐL Vi-et ta có: x1 x2 2m, x1.x2 2m 2(2m 1) 4m Suy ra: B ( x1 x2 )2 4m Nhận thấy mẫu số B ln dương, để B nhỏ ta xét 4m hay m 1 / , đặt t m / 0, (nên t 0) Vậy m t / thay vào B, ta được: 4(t / 4) 4t B 2 4(t / 4) 4t 2t / 4t Để B nhỏ C phải lớn nhất, C>0 4t 2t / 4t 2t / Để C lớn D t nhỏ 4t 16t � �1 t 2 Áp dụng BĐT Cô si: D � � �2 t 16t � 16t � 2a 2b Trang 23 Dấu = xảy t 3a � t m = -1, minB = -1/2 m = -1 16t ĐK: x � x x 3x � x (3 x 1) x x Đặt t 3x �0 ta được: x t x t � ( x t )( x t ) ( x t ) � ( x t )( x t 1) 3� t/m Với TH x t hay t x � 3x x , ĐK: x �1 17 17 t/m (loại x ) � 3x x x � x 2 3� 5 17 Vậy phương trình cho có nghiệm: x , x 2 f (2017), f (2018) Từ giả thiết ta có số nguyên x = 2017, x = 2018 không nghiệm PT f ( x) Giả sử PT f ( x) có nghiệm nguyên x a �Z , theo định lý Bơ-zu : f ( x) ( x a ).g ( x) với g ( x) đa thức hệ số nguyên không nhận x = 2017, x = 2018 làm nghiệm Do vậy: f (2017) (2017 a).g (2017), f (2018) (2018 a).g (2018) Nhân vế với vế áp dụng giả thiết f (2017) f (2018) 2019 : 2019 (2017 a).g (2017).(2018 a).g (2018) Điều vơ lý vế trái số lẻ, vế phải số chẵn ( (2017 a ); (2018 a) số nguyên liên tiếp, tích số chẵn) Vậy f ( x) khơng có nghiệm ngun (đpcm) GV mở rộng cho HS: - Số 2017 2018 thay số nguyên có số chẵn số lẻ Số 2019 thay số nguyên lẻ - Liệu có tìm đa thức hệ số nguyên thỏa mãn giả thiết f (2017) f (2018) 2019 ? - Đa số chứng minh phương trình khơng có nghiệm sử dụng phương pháp phản chứng (dựa vào chia hết, số tận ) Với TH x t hay x 3x � x 3x � x 3b Trang 24 4a 4b � CE � , theo tính chất góc ngồi đường tròn, ta Do AI phân giác nên BE có : � � � � � AMC � AC BE AC CE ANC Vậy tứ giác AMNC nội tiếp Do hai tứ giác AMNC ABEC nội tiếp, nên ta có góc nhau: � �; � � � � A1 C A1 C2 ; A2 M Suy : BC//MN//EF, CMN cân N Xét tam giác CIN có CE phân giác EF//IC nên ta có tỉ số CN FN EN CN EN FN � ; EI CI EI FC CI FC CN CN CF CN CN � � 1 CI FC CI FC CN CN 1 Chuyển vế : , chia vế cho CN ta có điều phải chứng minh CI FC Trang 25 4c Gọi H thuộc AC cho K trung điểm AH, Kẻ HG//AI với G thuộc BC, HG lấy điểm L cho CG = CL ( CLG cân) Từ AI//DK//HG K trung điểm AH nên DI = DG, theo giả thiết DB = DC nên BI = GC BI = CL � IAC � LHC � , BIA � EIC � LGC � HLC � AI//HL nên BAI (so le đồng vị) Xét hai tam giác AIB HLC có hai góc nên góc lại nhau, có cạnh BI = CL nên AIB HLC g.c.g Vậy AB = HC Mặt khác HC = AC – AH = AC – 2AK Nên AB = AC – 2AK � 2AK = AC – AB đpcm Gọi số trận hòa x ( x �N * ) � tổng số điểm trận hòa 2x, (1 trận hòa có đội, đội điểm) Theo giả thiết số trận thắng 4x � tổng số điểm trận thắng 12x Tổng số điểm đội 336 � 2x + 12x = 336 � x = 24 Vậy ta có tất 24 + 4.24 = 120 trận đấu diễn Từ giả thiết có n đội, đội đấu với n – đội lại nên số trận đấu diễn n(n – 1) , tính trận lượt lượt về, giả thiết đội đấu với lần nên tổng số trận giảm nửa, có tất n(n 1) trận đấu n(n 1) 120 � n(n 1) 240 � n 16, (n 15 loại) Vậy KL : có tất 16 đội bóng tham gia - HẾT - Trang 26 ... x = 2017, x = 2018 làm nghiệm Do vậy: f (2017) (2017 a).g (2017) , f (2018) (2018 a).g (2018) Nhân vế với vế áp dụng giả thi t f (2017) f (2018) 20 19 : 20 19 (2017 a).g (2017) . (2018. .. - Trang 0,5 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HĨA KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 201 7- 2018 ĐỀ CHÍNH THỨC Mơn thi: TỐN - Lớp THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: ... - Trang 13 0,25 SỞ GD & ĐT TRÀ VINH ĐỀ CHÍNH THỨC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP THCS NĂM HỌC 201 7- 2018 MÔN THI: TỐN Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Bài (3.0