Đề thi HSG cấp tỉnh môn Toán lớp 9 (15 đề có hướng dẫn chấm chi tiết)

TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THCS MÔN: TOÁN LỚP 9;“15 ĐỀ THI HSG CẤP TỈNH MÔN TOÁN 9” (Có hướng dẫn chấm chi tiết)15 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN: TOÁN LỚP 9.SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTHANH HÓAĐỀ CHÍNH THỨCKÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 20172018 Môn thi: TOÁN Lớp 9 THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Ngày thi: 10 tháng 3 năm 2018 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu)Câu I (4,0 điểm).1. Cho biểu thức: , với x > 0, x 1 Rút gọn P và tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên.2. Tính giá trị của biểu thức tại Câu II (4,0 điểm).1. Biết phương trình: (m – 2)x2 – 2(m – 1)x + m = 0 có hai nghiệm tương ứng là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Tìm m để độ dài đường cao ứng với cạnh huyền của tam giác vuông đó bằng 2. Giải hệ phương trình: Câu III (4,0 điểm).1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y2 – 5y + 62 = (y – 2)x2 + (y2 – 6y + 8)x.2. Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn p = a2 + b2 là số nguyên tố và p – 5 chia hết cho 8. Giả sử x, y là các số nguyên thỏa mãn ax2 by2 chia hết cho p. Chứng minh rằng cả hai số x, y chia hết cho p.Câu IV (6,0 điểm). Cho tam giác ABC có (O), (I), (Ia) theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp và đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A của tam giác với các tâm tương ứng là O, I, Ia . Gọi D là tiếp điểm của (I) với BC, P là điểm chính giữa cung BAC của (O), PIa cắt (O) tại điểm K. Gọi M là giao điểm của PO và BC, N là điểm đối xứng với P qua O.1. Chứng minh IBIaC là tứ giác nội tiếp.2. Chứng minh NIa là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác IaMP 3. Chứng minh: .Câu V (2,0 điểm). Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x z . Chứng minh rằng: HẾT SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTHANH HÓAĐỀ CHÍNH THỨCKÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC 20172018Môn thi: TOÁN – Lớp 9 THCSThời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Ngày thi: 10 tháng 3 năm 2018HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM(Gồm có 05 trang)CâuNỘI DUNGĐiểmI4,0 điểm1. Cho biểu thức , với Rút gọn P và tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên2,5Với điều kiện , ta có: 0,50 0,50 0,50 0,50Ta có với điều kiện Do nguyên nên suy ra (loại). Vậy không có giá trị của x để P nhận giá trị nguyên. 0,50Chú ý 1: Có thể làm theo cách sau , coi đây là phương trình bậc hai của . Nếu vô lí, suy ra nên để tồn tại thì phương trình trên có Do P nguyên nên (P – 1)2 bằng 0 hoặc 1+) Nếu không thỏa mãn.+) Nếu không thỏa mãnVậy không có giá trị nào của x thỏa mãn.0,502. Tính giá trị của biểu thức tại 1,5Vì 0,50nên là nghiệm của đa thức 0,50Do đó 0,50Chú ý 2: Nếu học sinh không thực hiện biến đổi mà dùng máy tính cầm tay để thay số và tìm được kết quả đúng thì chỉ cho 0,5 đ.II4,0 điểm1. Biết phương trình có hai nghiệm tương ứng là độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Tìm m để độ dài đường cao ứng với cạnh huyền của tam giác vuông đó bằng 2,0Phương trình có hai nghiệm khi và chỉ khi Khi đó 2 nghiệm của phương trình là 0,50Hai nghiệm đó là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông suy ra hoặc .0,50Từ hệ thức trong tam giác vuông ta có 0,50Với (thỏa mãn)Với (loại) Vậy là giá trị cần tìm.0,502. Giải hệ phương trình: 2,0ĐKXĐ: Chia phương trình (1) cho ta được hệ 0,25 0,50Đặt (ĐK: ), ta có hệ 0,25Từ (4) rút , thế vào (3) ta được hoặc . Trường hợp loại vì 0,25Với (thỏa mãn). Khi đó ta có hệ 0,25Giải hệ trên bằng cách thế vào phương trình đầu ta được . Vậy hệ có nghiệm duy nhất 0,50III4,0 điểm1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình 2,0 Ta có 0,25 0,25 0,50Nhận thấy nên ta phải phân tích số 56 thành tích của ba số nguyên mà tổng hai số đầu bằng số còn lại.0,25Như vậy ta có 0,25 0,25 Vậy phương trình có 6 nghiệm nguyên như trên.0,25Chú ý 3: Học sinh có thể biến đổi phương trình đến dạng (được 0,5đ), sau đó xét các trường hợp xảy ra.Khi đó với mỗi nghiệm đúng tìm được thì cho 0,25 đ (tối đa 6 nghiệm = 1,5 đ)2. Cho là các số nguyên dương thỏa mãn là số nguyên tố và p5 chia hết cho 8. Giả sử x,y là các số nguyên thỏa mãn chia hết cho p. Chứng minh rằng cả hai số chia hết cho p.2,0Do nên Vì nên 0,50Nhận thấy 0,25Do và nên 0,25Nếu trong hai số có một số chia hết cho thì từ () suy ra số thứ hai cũng chia hết cho .0,50Nếu cả hai số đều không chia hết cho thì theo định lí Fecma ta có : . Mâu thuẫn với (). Vậy cả hai số và chia hết cho .0,50IV6,0 điểmCho tam giác có theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp và đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh của tam giác với các tâm tương ứng là . Gọi là tiếp điểm của với , là điểm chính giữa cung của , cắt tại điểm . Gọi là giao điểm của và là điểm đối xứng của qua 1. Chứng minh: là tứ giác nội tiếp2,0 là tâm đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A và I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC , từ đó suy ra ( Phân giác trong và phân giác ngoài cùng một góc thì vuông góc với nhau). 1,0Xét tứ giác có Từ đó suy ra tứ giác là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính . 1,02. Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác 2,0Nhận thấy bốn điểm thẳng hàng (vì cùng thuộc tia phân giác của ). Do là đường kính của nên , là trung điểm của nên tại 0,25Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có 0,25Vì là góc ngoài tại đỉnh I của tam giác ABI nên = 0,25Xét (O): (cùng chắn cung NC) 0,25 0,25Từ (1) và (2) ta có = nên tam giác cân tại Chứng minh tương tự tam giác NIC cân tại N0,25Từ đó suy ra là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác , cũng chính là tâm của đường tròn ngoại tiếp tứ giác 0,25Vậy là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác 0,253. Chứng minh: .2,0Gọi F là tiếp điểm của đường tròn (I) với AB.Xét hai tam giác có: đồng dạng với . 0,50Suy ra mà: , nên 0,50Ta có: nên suy ra đồng dạng với (1).0,50Do là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác nên (2)0,25Từ (1) và (2) ta có 0,25V2,0 điểmCho là các số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng 2,0Ta có 0,25 , trong đó 0,25Nhận xét rằng 0,25Xét 0,25Do đó Đẳng thức xảy ra khi a = b.0,25Khi đó 0,25 0,25Từ và suy ra điều phải chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi 0,25 Hết Chú ý: Các cách làm khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa, điểm thành phần giám khảo tự phân chia trên cơ sở tham khảo điểm thành phần của đáp án. Đối với Câu IV (Hình học): Không vẽ hình, hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không chấm. Các trường hợp khác tổ chấm thống nhất phương án chấm.Hết ĐỀ SỐ: 02SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOBÌNH ĐỊNHĐỀ CHÍNH THỨCKÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9NĂM HỌC 2016 2017 Môn thi: TOÁN Lớp 9 THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Ngày thi: 18 tháng 3 năm 2017 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu)Bài 1 (6,0 điểm). 1. Cho biểu thức: P = a) Rút gọn P. b) Tìm giá trị tự nhiên của m để P là số tự nhiên. 2. Cho biểu thức: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc với a, b, c là các số nguyên. Chứng minh rằng nếu a + b + c chia hết cho 4 thì P chia hết cho 4.Bài 2 (5,0 điểm). a) Chứng minh rằng: với mọi số thực x, y dương, ta luôn có: b) Cho phương trình: (m là tham số). Có hai nghiệm và . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = Bài 3 (2,0 điểm)Cho x, y, z là ba số dương. Chứng minh rằng: Bài 4 (7,0 điểm).1.Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R. M là một điểm di động trên cung nhỏ BC của đường tròn đó.a)Chứng minh MB + MC = MAb)Gọi H, I, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB, BC, CA. Gọi S, S’ lần lượt là diện tích của tam giác ABC, MBC. Chứng minh rằng: Khi M di động ta luôn có đẳng thức: MH + MI + MK = 2.Cho tam giác ABC có ba góc nhọn. AD, BE, CF là các đường cao. Lấy M trên đoạn FD, lấy N trên tia DE sao cho . Chứng minh MA là tia phân giác của góc SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOBÌNH ĐỊNHHƯỚNG DẪN CHẤMĐỀ CHÍNH THỨCKÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 9NĂM HỌC 2016 2017 Môn thi: TOÁN Lớp 9 THCS Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)Ngày thi: 18 tháng 3 năm 2017 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu)Bài 1 (6,0 điểm).1a) Rút gọn được P = (với m 0, m 1)1b) P = = 1 + Ta có: P N là ước dương của 2 m (TMĐK)Vậy m = 4; m = 9 là giá trị cần tìm.2) a + b + c 4 (a, b, c Z)Đặt a + b + c = 4k (k Z) a + b = 4k – c ; b + c = 4k – a ; a + c = 4k – b Ta có: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc = (4k – c)(4k – a)(4k – b) – abc = = 64 = ()Giả sử a, b, c đều chia 2 dư 1 a+ b + c chia 2 dư 1 (1)Mà: a + b + c 4 a + b + c 2 (theo giả thiết) (2)Do đó (1) và (2) mâu thuẫn Điều giả sử là sai Trong ba số a, b, c ít nhất có một số chia hết cho 2 2abc 4 ()Từ () và () P 4 Bài 2 (5,0 điểm).a) (đúng)b) PT có a, c trái dấu nên luôn có hai nghiệm phân biệt và Ta có: và M = = ......= = ; Dấu “=” xảy ra khi m = 0 Vậy GTNN của M là khi m = 0Bài 3 (2,0 điểm)Áp dụng BĐT Cô si cho các số dương và yz, ta có: + yz Tương tự, ta có: và Suy ra: (1)Ta có: = (2)Ta có: x + y + z (3)Thật vậy: () (BĐT đúng)Dấu “=” xảy ra khi x = y = zTừ (2) và (3) suy ra: (4)Từ (1) và (4) suy ra: Bài 4 (7,0 điểm).1.a) Cách 1: Trên tia đối của tia MC lấy điểm E sao cho ME = MBTa có: BEM là tam giác đều BE = BM = EM BMA = BEC MA = ECDo đó: MB + MC = MACách 2: Trên AM lấy điểm E sao cho ME = MBTa có: BEM là tam giác đều BE = BM = EM MBC = EBA (c.g.c) MC= AEDo đó: MB + MC = MA1.b) Kẻ AN vuông góc với BC tại NVì ABC là tam giác đều nên O là trọng tâm của tam giác A, O, N thẳng hàng AN = Ta có: AN = AB.sin Ta có: = =

TÀI LIỆU BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THCS

MÔN: TOÁN - LỚP 9

*****

“15 ĐỀ THI HSG CẤP TỈNH MÔN TOÁN 9”

(Có hướng dẫn chấm chi tiết)

Năm học: 20 …… - 20…………

15- ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH MÔN: TOÁN - LỚP 9.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Môn thi: TOÁN - Lớp 9 THCS

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 10 tháng 3 năm 2018 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu)

Câu I (4,0 điểm).

Rút gọn P và tìm tất cả các giá trị của x sao cho giá trị của P là một số nguyên.

Câu II (4,0 điểm).

1 Biết phương trình: (m – 2)x2 – 2(m – 1)x + m = 0 có hai nghiệm tương ứng là độ

dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông Tìm m để độ dài đường cao ứng với cạnh

2 Giải hệ phương trình:

Câu III (4,0 điểm).

1 Tìm nghiệm nguyên của phương trình: y2 – 5y + 62 = (y – 2)x2 + (y2 – 6y + 8)x

2 Cho a, b là các số nguyên dương thỏa mãn p = a2 + b2 là số nguyên tố và p – 5

rằng cả hai số x, y chia hết cho p.

Câu IV (6,0 điểm) Cho tam giác ABC có (O), (I), (Ia) theo thứ tự là các đường tròn ngoạitiếp, đường tròn nội tiếp và đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A của tam giác với các tâm

O

1 Chứng minh IBIaC là tứ giác nội tiếp

2 Chứng minh NIa là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác IaMP

3 Chứng minh:

Câu V (2,0 điểm)

Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn x z Chứng minh rằng:

- HẾT

-SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THANH HÓA

ĐỀ CHÍNH THỨC

KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2017-2018 Môn thi: TOÁN – Lớp 9 THCS

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 10 tháng 3 năm 2018

HƯỚNG DẪN CHẤM VÀ THANG ĐIỂM

0,50

0,500,500,50

Ta có với điều kiện

Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn

0,50

2 Tính giá trị của biểu thức tại 1,5

Chú ý 2: Nếu học sinh không thực hiện biến đổi mà dùng máy tính cầm tay để

thay số và tìm được kết quả đúng thì chỉ cho 0,5 đ

II

4,0

điểm

1 Biết phương trình có hai nghiệm tương ứng là

độ dài hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông Tìm m để độ dài

đường cao ứng với cạnh huyền của tam giác vuông đó bằng

2,0

Hai nghiệm đó là độ dài hai cạnh góc vuông của tam giác vuông suy ra

Vậy hệ có nghiệm duy nhất

Như vậy ta có

0,250,25

Vậy phương trình có 6 nghiệm nguyên như trên

0,25

Chú ý 3: Học sinh có thể biến đổi phương trình đến dạng

(được 0,5đ), sau đó xét các trường hợp xảy ra.

Khi đó với mỗi nghiệm đúng tìm được thì cho 0,25 đ (tối đa 6 nghiệm = 1,5

đ)

2 Cho là các số nguyên dương thỏa mãn là số nguyên tố và

p-5 chia hết cho 8 Giả sử x,y là các số nguyên thỏa mãn chia hết

cho p Chứng minh rằng cả hai số chia hết cho p.

Nếu trong hai số có một số chia hết cho thì từ (*) suy ra số thứ hai

Mâu thuẫn với (*) Vậy cả hai số và chia hết cho

0,50

IV

6,0

điểm

Cho tam giác có theo thứ tự là các đường tròn ngoại tiếp,

đường tròn nội tiếp và đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh của tam giác

với các tâm tương ứng là Gọi là tiếp điểm của với , là

điểm chính giữa cung của , cắt tại điểm Gọi là giao

điểm của và là điểm đối xứng của qua

là tâm đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A và I là tâm đường tròn nội tiếp

tam giác ABC , từ đó suy ra

( Phân giác trong và phân giác ngoài cùng một góc thì vuông góc với nhau)

1,0

2 Chứng minh là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác 2,0

Vì là góc ngoài tại đỉnh I của tam giác ABI nên = 0,25

Gọi F là tiếp điểm của đường tròn (I) với AB.

0,50

Ta có:

- Các cách làm khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa, điểm thành phần giám khảo tựphân chia trên cơ sở tham khảo điểm thành phần của đáp án.

- Đối với Câu IV (Hình học): Không vẽ hình, hoặc vẽ hình sai cơ bản thì không

chấm.

- Các trường hợp khác tổ chấm thống nhất phương án chấm

Môn thi: TOÁN - Lớp 9 THCS

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 18 tháng 3 năm 2017 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu)

Bài 1 (6,0 điểm).

1 Cho biểu thức: P =

a) Rút gọn P

b) Tìm giá trị tự nhiên của m để P là số tự nhiên

2 Cho biểu thức: P = (a + b)(b + c)(c + a) – abc với a, b, c là các số nguyên Chứngminh rằng nếu a + b + c chia hết cho 4 thì P chia hết cho 4

Bài 2 (5,0 điểm).

a) Chứng minh rằng: với mọi số thực x, y dương, ta luôn có:

b) Cho phương trình: (m là tham số) Có hai nghiệm và Tìmgiá trị nhỏ nhất của biểu thức: M =

Bài 3 (2,0 điểm)

Cho x, y, z là ba số dương Chứng minh rằng:

Bài 4 (7,0 điểm).

1 Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R M là một điểm di

động trên cung nhỏ BC của đường tròn đó

a) Chứng minh MB + MC = MA

b) Gọi H, I, K lần lượt là chân đường vuông góc hạ từ M xuống AB, BC, CA Gọi

S, S’ lần lượt là diện tích của tam giác ABC, MBC Chứng minh rằng: Khi M di động ta luôn

có đẳng thức:

MH + MI + MK =

2 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn AD, BE, CF là các đường cao Lấy M trên đoạn

FD, lấy N trên tia DE sao cho Chứng minh MA là tia phân giác của góc

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Môn thi: TOÁN - Lớp 9 THCS

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 18 tháng 3 năm 2017 (Đề thi có 01 trang, gồm 05 câu)

Giả sử a, b, c đều chia 2 dư 1 a+ b + c chia 2 dư 1 (1)

Mà: a + b + c 4 a + b + c 2 (theo giả thiết) (2)

Do đó (1) và (2) mâu thuẫn Điều giả sử là sai

Trong ba số a, b, c ít nhất có một số chia hết cho 2

= ; Dấu “=” xảy ra khi m = 0

Vậy GTNN của M là khi m = 0

Từ (1) và (4) suy ra:

Bài 4 (7,0 điểm).

1.a) Cách 1: Trên tia đối của tia MC lấy điểm E sao cho ME = MB

Ta có: BEM là tam giác đều BE = BM = EM

BMA = BEC MA = EC

Do đó: MB + MC = MA

Cách 2:

Trên AM lấy điểm E sao cho ME = MB

Ta có: BEM là tam giác đều

BE = BM = EM

MBC = EBA (c.g.c) MC= AE

Do đó: MB + MC = MA

1.b) Kẻ AN vuông góc với BC tại N

Vì ABC là tam giác đều nên O là trọng tâm của tam giác

A, O, N thẳng hàng AN =

Ta có: AN = AB.sin

= = =

O

E

M

C B

A

O A

M E

N

K I

H

O A

B

C

M

Do đó: MH + MK + MI = + = +

= +

2 Qua M kẻ đường thẳng song song với BC cắt DE tại K

Tứ giác AEDB nội tiếp

A

D

E F

M

N

H

MÔN THI: TOÁN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (3.0 điểm) Giải hệ phương trình:

Bài 2.(2.0 điểm)

Dân số xã A hiện nay có 10000 ngưới Ngưới ta dự đoán sau hai năm dân số xã A

là 10404 người Hỏi trung bính hằng năm dân số xã A tăng bao nhiêu phấn trăm ?

MÔN THI: TOÁN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Vậy hệ có nghiệm duy nhất (x=2; y=-1)

Bài 2.(2.0 điểm) Dân số xã A hiện nay có 10000 ngưới Ngưới ta dự đoán sau hai năm dân

số xã A là 10404 người Hỏi trung bính hằng năm dân số xã A tăng bao nhiêu phấn trăm ?

GIẢI

Gọi x là tỉ lệ tăng dân số hằng năm (x>0)

Số dân sau một năm: 10000(x+1)

Số dân sau hai năm: 10000(x+1).(x+1)

Vì sau hai năm số dân là 10404 nên ta có phương trình: 10000(x+1) =10404

Hay x +2x - 0,0404 = 0 (x=0,02 hoặc x=-2,02)

Vậy tỉ lệ tăng dân số là 2%

Bài 3.(3.0 điểm) Cho ba số dương x, y, z thỏa điều kiện xy+yz+zx=1 Tính giá trị của

Để phương trình có nghiệm nguyên thì

Giải phương trình nghiệm nguyên ta được y=-15 hoặc y=17

*Với y=-15 thì x=12 hoặc x=30

*Với y=17 thì x=-18 hoặc x=-36

Vậy phương trình có 4 nghiệm: (12;-15),(30;-15),(-18;17)và (-36;17)

Bài 6.(3.0 điểm) Cho x, y là các số dương thỏa mãn x + y = 2 Chứng minh:

Bài 7.(4.0 diểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đường tròn (O)và có

AB<AC Lấy điểm M thuộc cung BC không chứa điểm A của đưởng tròn (O) Vẽ MH

vuông góc với BC, MK vuông góc với CA, MI vuông góc với AB ( H thuôc BC, K thuộc

AC, I thuộc AB) Chứng minh:

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1 (2,0 điểm) Rút gọn biểu thức

Câu 2 (2,0 điểm)

Cho ba số thực dương x,y,z thỏa mãn:

Chứng minh đẳng thức:

Câu 3 (2,0 điểm) Tìm số tự nhiên sao cho

Câu 4 (2,0 điểm) Cho hệ phương trình (m là tham số và x,y là ẩn số)

Tìm tất cả các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm (x,y) trong đó x,y là các sốnguyên

Câu 5 (2,0 điểm) Giải phương trình

Câu 6 (2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 12 cm, AC = 16cm Gọi I là giao

điểm các đường phân giác trong của tam giác ABC, M là trung điểm của cạnh BC Chứng

minh rằng đường thẳng BI vuông góc với đường thẳng MI

Câu 7 (2,0 điểm) Cho hình thoi ABCD có góc , O là giao điểm của hai đường chéo Gọi H là chân đường vuông góc kẻ từ O đến đường thẳng AB Trên tia đối của tia BC lấy điểm M (điểm M không trùng với điểm B), trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao cho đường thẳng HM song song với đường thẳng AN

a) Chứng minh rằng: MB.DN = BH.AD

b) Tính số đo góc

Câu 8 (2,0 điểm) Cho đường tròn (O) cố định và hai điểm phân biệt B, C cố định thuộc

đường tròn (O) Gọi A là một điểm thay đổi trên đường tròn (O) (điểm A không trùng với điểm B và C), M là trung điểm của đoạn thẳng AC Từ điểm M kẻ đường thẳng (d) vuông góc với đường thẳng AB, đường thẳng (d) cắt đường thẳng AB tại điểm H Chứng minh rằng khi điểm A thay đổi trên đường tròn (O) thì điểm H luôn nằm trên một đường tròn cố định.

Câu 9 (2,0 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn điều kiện

Chứng minh rằng:

Câu 10 (2,0 điểm) Cho hình vuông ABCD và 2018 đường thẳng thỏa mãn đồng thời hai điều

kiện:

1) Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông.

2) Mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỉ lệ diện tích bằng .

Chứng minh rằng trong 2018 đường thẳng đó có ít nhất 505 đường thẳng đồng quy.

-Hết -Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

LỚP 9 NĂM HỌC 2017 – 2018

HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

(Hướng dẫn chấm gồm 06 trang)

I) Hướng dẫn chung:

1) Hướng dẫn chấm chỉ nêu một cách giải với những ý cơ bản, nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong hướng dẫn chấm nhưng vẫn đúng thì cho đủ số điểm từng phần như thang điểm quy định.

2) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện với tất cả giám khảo.

3) Điểm toàn bài tính đến 0,25 điểm Sau khi cộng điểm toàn bài, giữ nguyên kết quả 4) Với bài hình học nếu học sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm phần đó.

II) Đáp án và thang điểm:

Câu 1(2,0 điểm).Rút gọn biểu thức

Điều kiện:

0,5

Khi đó:

0,50,50,5

Câu 3(2,0 điểm).Tìm số tự nhiên sao cho

Thay vào (1) ta được: 0,25

Từ phương trình thứ hai ta có: x = 2 – 2y thế vào phương trình thứ nhất được: 0,25

Hệ có nghiệm là các số nguyên có nghiệm là số nguyên 0,25

0,250,250,25

Vậy có 2 giá trị thoả mãn là 1; 2. 0,25

Câu 5(2,0 điểm).Giải phương trình

Điều kiện xác định

0,25

Với điều kiện (*), phương trình đã cho tương đương với: 0,25

0,250,250,250,250,25

Đối chiếu với điều kiện (*) ta được 0,25

Câu 6(2,0 điểm) Cho tam giác ABC vuông tại A, AB = 12 cm, AC = 16cm Gọi I là giao

điểm các đường phân giác trong của tam giác ABC, Mlà trung điểm của cạnh BC Chứng

minh rằng đường thẳng BI vuông góc với đường thẳng MI

Nội dung trình bày Điểm

Ta có Gọi E là giao điểm của BI với AC 0,5

Theo tính chất đường phân giác ta có: 0,25

BC lấy điểm M ( điểm M không trùng với điểm B), trên tia đối của tia DC lấy điểm N sao

cho đường thẳng HM song song với đường thẳng AN

Câu 8 (2,0 điểm) Cho đường tròn (O) cố định và hai điểm phân biệt B, C cố định thuộc

đường tròn (O) Gọi A là một điểm thay đổi trên đường tròn (O) (A không trùng với B và

C), M là trung điểm của đoạn thẳng AC Từ điểm M kẻ đường thẳng vuông góc với đường

thẳng AB, cắt đường thẳng AB tại điểm H Chứng minh rằng khi điểm A thay đổi trên đường tròn (O) thì điểm H luôn nằm trên một đường tròn cố định.

Gọi D là trung điểm của đoạn BC, vì tam giác BOC, AOC là các tam giác cân tại O

0,25

Ta có: Bốn điểm O, D, C, M cùng nằm trên đường tròn có

tâm Icố định, đường kính OC cố định

Với ta có : ,

Đẳng thức xảy ra khi

1) Mỗi đường thẳng đều cắt hai cạnh đối của hình vuông.

2) Mỗi đường thẳng đều chia hình vuông thành hai phần có tỉ lệ diện tích bằng

Chứng minh rằng trong 2018 đường thẳng đó có ít nhất 505 đường thẳng đồng quy.

Giả sử hình vuông ABCD có cạnh là a ( a>0) Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm 0,5

của AB, BC, CD, DA Gọi d là một đường thẳng bất kỳ trong 2018 đường thẳng đã

cho thỏa mãn yêu cầu bài toán Không mất tính tổng quát, giả sử d cắt các đoạn

thẳng AD, MP, BC lần lượt tại S, E, K sao cho

suy ra E cố định và d đi qua E.

0,5

Lấy F, H trên đoạn NQ và G trên đoạn MP sao cho

Lập luận tương tự như trên ta có các đường thẳng thỏa mãn điều kiện của đề bài phải

đi qua một trong bốn điểm cố định E, F, G, H.

0,25

Theo nguyên lý Dirichlet từ 2018 đường thẳng thỏa mãn điều kiện của đề bài phải có

ít nhất đường thẳng đi qua một trong bốn điểm E, F, G, Hcố định,

nghĩa là 505 đường thẳng đó đồng quy.

0,5

-Hết -ĐỀ SỐ: 05

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TIỀN HẢI ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI LỚP 9 NĂM HỌC 2017–2018

MÔN: TOÁN 9

(Thời gian làm bài 150 phút)

Bài 1 (4,0 điểm) Tính giá trị của các biểu thức sau:

Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC) Kẻ AH vuông góc với BC tại H Gọi

D, E lần lượt là hình chiếu của H trên AB, AC

Biết f(1) = 10; f(2) = 20; f(3) = 30 Tính giá trị biểu thức A = f(8) + f(-4)

–––––––––––––––Hết––––––––––––––––

Họ và tên thí sinh:

Số báo danh: Phòng số:

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

m¤N: TOÁN 9

(Đáp án và biểu điểm chấm gồm 03 trang

1.0

Có BM//CN, BD // NE, MD // CE

Từ (1), (2), (3) => DI/EI = DI’/EI’ => I và I’ trùng nhau

*) Mọi cách giải khác đúng vẫn cho điểm tối đa theo thang điểm

*) Tổ giám khảo bám sát biểu điểm thảo luận đáp án và thống nhất

*) Chấm và cho điểm từng phần, điểm của toàn bài là tổng các điểm thành phần không làmtròn

ĐỀ THI MÔN: TOÁN

Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)

Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có hai nghiệm phân biệt và

thỏa mãn điều kiện

Bài 3 (2,0 điểm)

a) Tìm tất cả các số nguyên dương a, b sao cho chia hết cho

b) Cho ba số thực a, b, c dương Chứng minh rằng:

Bài 4 (3,0 điểm)

Cho ba điểm A, B, C cố định nằm trên một đường thẳng d (điểm B nằm giữa điểm A vàđiểm C) Vẽ đường tròn tâm O thay đổi nhưng luôn đi qua điểm B và điểm C (điểm O khôngthuộc đường thẳng d) Kẻ AM và AN là các tiếp tuyến với đường tròn tâm O (với M và N làcác tiếp điểm) Đường thẳng BC cắt MN tại điểm K Đường thẳng AO cắt MN tại điểm H vàcắt đường tròn tại các điểm P và điểm Q (P nằm giữa A và Q)

a) Chứng minh điểm K cố định khi đường tròn tâm O thay đổi

b) Gọi D là trung điểm của HQ, từ H kẻ đường thẳng vuông góc với MD cắt đườngthẳng MP tại E Chứng minh P là trung điểm của ME

Bài 5 (1,0 điểm)

Cho tập hợp A gồm 21 phần tử là các số nguyên khác nhau thỏa mãn tổng của 11 phần

tử bất kỳ lớn hơn tổng của 10 phần tử còn lại Biết các số 101 và 102 thuộc tập hợp A Tìm tất

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

HẢI PHÒNG ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM

Năm học 2016 - 2017

MÔN: Toán 9

(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)

Chú ý:

- Thí sinh làm theo cách khác nếu đúng thì cho điểm tối đa

- Tổng điểm bài thi: 10 điểm

Trường hợp 2:

Nếu và trái dấu thì:

(**)Khi đó (1)

(không thỏa mãn điều kiện (**)

Thay x = 1 vào phương trình (2) ta được

Để phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt thì:

0,25

Theo đề bài:

Với theo hệ thức Vi-ét cho phương trình (3) ta có :

thay vào (4) ta có: (thỏa mãn)Kết luận: m = 2

0,25

Bài 3

(2 điểm)

3a) (1,0 điểm)

Ta có (a + b2)  (a2b – 1) suy ra: a + b2 = k(a2b – 1), với k  *

 a + k = b(ka2 – b) hay mb = a + k (1) với

Với x là số dương, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:

Dấu “ =” xảy ra khi x = 2

0,25

Cộng vế với vế của ba bất đẳng thức (1), (2) và (3) ta được:

Dấu “=” xảy ra khi a = b = c

0,25

Bài 4

(3 điểm) Hình vẽ:

d E

D H

K

Q P

4a) (1,5 điểm)

Gọi I là trung điểm của BC suy ra

ABN đồng dạng với ANC (Vì , chung)

Từ (1) và (2) suy ra

Ta có A, B, C cố định nên I cố định AK không đổi

Mà A cố định, K là giao điểm của BC và MN nên K thuộc tia AB

4b) (1,5 điểm)

Ta có: MHE đồng dạng QDM (g.g) 0,50 PMH đồng dạng MQH (g.g) 0,50

ME = 2 MP P là trung điểm ME 0,50

(Thời gian làm bài 120 phút, không kể thời gian giao đề)

-Bài 1 (4,0 điểm)

1) Rút gọn biểu thức: A =

2) Cho

a) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A

b) Đặt B = A + x – 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức B

Bài 2 (4,0 điểm) Giải phương trình

a) Chứng minh

b) Chứng minh CJH đồng dạng với HIB

d) Xác định vị trí của điểm C trên nửa đường tròn (O) để AH + CH đạt giá trị lớn nhất

-HẾT -Họ và tên thí sinh:……… …… …… -HẾT -Họ, tên chữ ký GT1:………

Số báo danh:……….…… ……… Họ, tên chữ ký GT2:………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

QUẢNG NGÃI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HƯỚNG DẪN CHẤM

NĂM HỌC 2016 -2017

ĐỀ CHÍNH THỨC

Để ý trong phương trình chỉ chứa ẩn số x với số mũ bằng 2 , do đó ta

có thể hạn chế giải với x là số tự nhiên

Ta có ( y+3+x)+(y+3-x) = 2(y+3) là số chẵnSuy ra 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) cùng tính chẵn lẻ Ta lại có tích của chúng là số chẵn , vậy 2 số ( y+3+x ) và (y+3-x) là 2 số chẵn

0,5

Ta chỉ có cách phân tích - 16 ra tích của 2 số chẵn sau đây:

-16 = 8 (-2) = 4 (-4) = 2 (-8)

Khi y+3+x= 8 , y+3-x = -2 ta có x= 5 , y= 0

Khi y+3+x= 4 , y+3-x = -4 ta có x= 4 , y= -3

Khi y+3+x= 2 , y+3-x = -8 ta có x= 5 , y= -6

Vậy phương trình đã cho có có nghiệm:

D

C

B A

+ Suy ra

0,5

+ Suy ra HE.HJ = HI.HC+ Mà

+ Lấy điểm M trên nửa đường tròn (O) sao cho + Tiếp tuyến của nửa đường tròn (O) tại M cắt AB tại N Ta có M và

Suy ra Suy ra HC < HN