Đề thi HSG cấp huyện đợt 1 môn Toán lớp 9 năm 2015-2016 - Phòng GD&ĐT Lương Tài - Đề số 6

Mời các em cùng tham khảo Đề thi HSG cấp huyện đợt 1 môn Toán lớp 9 năm 2015-2016 Phòng GD&ĐT Lương Tài Đề số 6 nhằm giúp các bạn học sinh lớp 9 có thêm nhiều đề luyện tập, củng cố kiến thức, chuẩn bị sẵn sàng cho kỳ thi chọn HSG sắp diễn ra.

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CÁP HUYỆN ĐỢT UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI Năm học 2015 - 2016 Môn thi: Tốn - Lớp PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giaođề) Bài 1: (2,0 điểm) Cho biểu thức: P  x2  x x  x  x  1   x  x 1 x x 1 a Rút gọn P b Tìm giá trị nhỏ P c Xét biểu thức: Q  x , chứng tỏ < Q < P Bài 2: (2,0 điểm) a.Tìm x, y, z, biết: 4x2 + 2y2 + 2z2 – 4xy – 2yz + 2y – 8z + 10 �0 b Tìm sớ tự nhiên n cho A  n  n  là số chính phương Bài 3: (2.25 điểm) a Giải phương trình: 36  x2  28  x   y  y 1 b Cho đường thẳng y   m  1 x  (d) Chứng minh đường thẳng d qua điểm cớ định với giá trị m Tìm m để khoảng cách từ gốc tọa độ đến đường thẳng (d) có giá trị lớn Bài 4: (3,0 điểm) Cho đường tròn (O; R ) AB và CD là hai đường kính cớ định (O) vng góc với M là điểm thuộc cung nhỏ AC (O) K và H là hình chiếu M CD và AB �  sin MAB �  sin MCD �  sin MDC � a Tính sin MBA b Chứng minh: OK  AH (2 R  AH ) c Tìm vị trí điểm H để giá trị của: P = MA MB MC MD lớn Bài 5: (0,75 điểm) Tìm nghiệm nguyên phương trình: x  y  x  19 HẾT -(Đề thi gồm có … trang) Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi không giải thích thêm Họ và tên thí sinh: ; Số báo danh: UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI HƯỚNG DẪN CHẤM Môn thi: Tốn - Lớp PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Bài 1: (2.0 điểm) Ý/Phần Đáp án Tìm điều kiện : Đk : x  0; x �1 P a)    x2 x x x 1 x  x 1  x      2 x 1 x    x 1 x 1  x 1  x 1   x 1 Điểm 0.25 0.25 x 1  x  x 1 0.25 0.25 Vậy P  x  x  , với x  0; x �1 b) c) 1� 3 � P  x  x   � x  � � 2� 4 � dấu xảy x = , thỏa mãn đk Vậy GTNN P là x  4 x a Với x  0; x �1 Q = > (1) x  x 1   0.25 0.25 Đáp án Phân tích thành (2x - y) + (y – z + 1)2 + ( z - 3)2 �0 (1) Vì (2x - y)2 �0 ; (y – z + 1)2 �0 ; ( z - 3)2 �0 với x, y, z nên từ (1) suy x = 1; y = 2; z = A  n  n  là sớ chính phương nên A có dạng a) 0.25 x 1 Xét  x  �0 x  x 1 x  x 1 Dấu khơng xảy điều kiện x �1 suy Q < 2.(2) Từ (1) và (2) suy < Q < Bài 2: (2,0 điểm) Ý/Phần 0.25 A  n  n   k (k �N * ) Điểm 0.5 0.25 0.25 0.25 � 4n  4n  24  k � (2 k )  (2n  1)  23 b) 2 2k  2n   23 � � (2k  2n  1)(2k  2n  1)  23 � � �2k  2n   0.25 (Vì 23 là số nguyên tố và 2k + 2n + 1> 2k – 2n -1) 2k  2n   23 k 6 � � �� �� �2k  2n   �n  Vậy với n = A là sớ chính phương Bài 3: (2,25 điểm) Ý/Phần Đáp án 0.25 Điểm : đk : x>2 ,y>1 0.25 Biến đổi pt dạng a)  x2 x2  �  y 1 � y 1  � �   28 Áp dụng BĐT si vói hai sớ dương VT �28 (2) Để có (1) dấu sảy (2)Khi 2 2  ;0) � OB  m 1 m 1 m 1 1 AOB vuông O, kẻ OH  AB Áp dụng hệ thức:   h b c 2 1 OA OB   � OH  2 OH OA OB OA  OB2 Điểm cắt trục hoành B ( OH   m  1  m  1  16 :  m  1   m  1 0.25  x2 x2 và  y 1 y 1 Từ tìm x=11 và y=5 (thỏa mãn )2 Điểm cố định mà đường thẳng qua là A(0; 2) Điểm cắt trục tung A(0; 2) � OA  b) 0.25 1 OH đạt GTLN và OH đạt GTLN mà ta có �  m  1  �1 đạt GTNN là m = Vậy max OH = � m  0.25 0.5 0.25 0.25 0.25 Bài 4: (3,0điểm) Ý/Phần a) Đáp án Điểm C K B M O H 0,25 A D Vì M thuộc (O) nên tam giác: BMA và CMD vuông tại M nên: �  sin MAB �  sin MCD �  sin MDC � sin MBA �  cos MBA � )  (sin MCD �  cos MCD � ) = (sin MBA b) 2 =1 +1=2 Chứng minh: OK  AH (2 R  AH ) Thật vậy: KOHM là hình chữ nhật nên: OK = MH 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Mà MH2 = HA.HB (Hệ thức lượng tam giác vng MAB có MH đường cao) và BH = AB – AH = 2R - AH Suy ra: OK2 = MH2 = AH(2R- AH) c) P = MA MB MC MD =AB.MH.CD.MK = 4R2.OH.MH(Vì MK = OH) OH  MH OM R   Mà OH.MH � (Pitago) 2 2 R Vậy P �4 R  R đẳng thức xẩy � MH = OH � OH = R 2 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Bài 5: (0,75 điểm) Ý/Phần �  x  x  1    y �  x  1    y   Đáp án Điểm �   y  M2 0,25  y là số nguyên lẻ 2 Mà  x  1  0   y   0 y =1 0,25 Thay y =1 vào tìm x = 2, x = - Thử lại :… và trả lời Có nghiệm (2,1) ;(2,-1) ;(- 4,1) ;(- 4,-1) 0,25 (Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa) ... 0; x ? ?1 Q = > (1) x  x ? ?1   0.25 0.25 Đáp án Phân tích thành (2x - y) + (y – z + 1) 2 + ( z - 3)2 �0 (1) Vì (2x - y)2 �0 ; (y – z + 1) 2 �0 ; ( z - 3)2 �0 với x, y, z nên từ (1) suy x = 1; y...UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI HƯỚNG DẪN CHẤM Mơn thi: Tốn - Lớp PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Bài 1: (2.0 điểm) Ý/Phần Đáp án Tìm điều kiện : Đk : x  0; x ? ?1 P a)    x2 x x x ? ?1 x  x ? ?1  x  ... thức:   h b c 2 1 OA OB   � OH  2 OH OA OB OA  OB2 Điểm cắt trục hoành B ( OH   m  1? ??  m  1? ??  16 :  m  1? ??   m  1? ?? 0.25  x2 x2 và  y ? ?1 y ? ?1 Từ tìm x =11 và y=5 (thỏa mãn