Đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi Toán lớp 9 Năm học 20082009 Phòng GD ĐT Đức Thọ12694

phòng giáo dục-đào tạo đức thọ đề thi chọn đội tuyển học sinh giỏi môn toán Năm học: 2008-2009 Thời gian: 150 Bµi 1: Chøng minh m thay đổi, đường thẳng có phương trình: (2m - 1) x + my + = qua điểm cố định Bài 2: 1/ Cho S 1.2008  So s¸nh S víi 2.2007   k.(2008  k  1)   2008.1 2008 2009 2/ Cho a; b; c số thực thoả mÃn điều kiện: abc = 2008 Chøng minh r»ng: 2008a b c   1 ab  2008a  2008 bc  b  2008 ca  c  Bµi 3: Cho x =   TÝnh gi¸ trÞ cđa P = x2009 – 3x2008 + 9x2007 – 9x2006 + 2009 Bài 4: Giải phương trình: x  2009  x   2009  x  x = 2009 Bµi 5: Cho 00 <  < 900 Chøng minh r»ng: sin 2008   cos2009   Bµi 6: Cho a, b, c > Chøng minh r»ng:    2a  b  2a  c   2b  c  2b  a   2c  a  2c  b  ≥ ab  bc ca Bài 7: Tìm tất đa thøc P(x) tho¶ m·n: P(x + 1) = P(x) + 2x + víi x  R Bµi 8: Cho ABC có ba cạnh a, b, c, có chu vi 2p diện tích S; r bán kính đường tròn nội tiếp; bán kinh đường tròn bàng tiếp góc A tam giác Chứng minh: p(p – a) tg A = S Bµi 9: Cho nửa đường tròn (O; R) đường kính AB M chuyển động nửa đường tròn Xác định vị trí điểm M để MA + MB đạt giá trị lớn Bài 10: Cho dÃy số a n xác định theo công thức: a1 Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn tè p dÃy a n 3a n 1  2n  9n  9n  3; n = 2,3, tỉng t­¬ng øng a1 + a2 + ap – ®Ịu chia hÕt cho p - HÕt - ThuVienDeThi.com H­íng dÉn chấm Bài 1: (2 đ) Từ (2m - 1) x + my + =  m(2x + y) + – x = 1® 2x  y  x  Víi mäi m th×   3  x  y  6 Bài 2: (3 đ) 1/ Ta chứng minh: ab 1® ab 0,5® 2 2008     2009 2009 2009 2009 ¸p dơng BĐT được: S 1đ 2/ Từ abc = 2008 suy a; b; c kh¸c Thay abc = 2008 ta cã: 0,5® 2008 b bc bc  b  2008    1 bc  b  2008 bc  b  2008 bc  b  2008 bc  b  2008 1®   Bài 3: (2 đ) Từ x =   x    – x = x  x3 – 3x2 + 9x – = 1® P = x2009 – 3x2008 + 9x2007 – 9x2006 + 2009 = x2006 (x3 – 3x2 + 9x – 9) + 2009 = 2009 1đ Bài 4: (2 đ) §K: x ≥ 0,5®     Ta cã 2009  2009  x  x  2009 2009  2009  x  x  2009 Cộng (1) (2) suy ra: x = 0,5đ  0,5® 2009  x  x (1) 2009  x  x (2) x hay x = x = 0,5đ Bài 5: (2 đ) Ta dễ chứng minh sin; cos < với < 900 1đ Nên sin2008 < sin2 cos2009 < cos2 nªn sin 2008   cos2009   1đ Bài 6: (2 đ) 2a b  2a  c  T­¬ng tù  bc bc ≥ (Cauchy)  2ac  bc  2ab  bc   ab  bc  ca 2  ca  2b  c  2b  a   ab  bc  ca  ;  ab  2c  b  2c  a   ab  bc  ca 2 Tõ ®ã suy BĐT cần chứng minh Dấu = xảy a = b = c 1đ 0,5đ 0,5đ Bài 7: (2 ®) Ta cã P(x + 1) + x2 = p(x) + x2 + 2x +  P(x + 1) – (x + 1)2 = P(x) – x2 0,5đ Đặt Q(x) = P(x) x2, Q(x) = Q(x + 1) 0,5® Cho x = 0; 1; 2; nhận Q(0) = Q(1) = Q(2) = = Q(n) = 0,5đ ThuVienDeThi.com Suy phương trình Q(x) Q(0) = có vô số nghiệm Do ®ã Q(x) – Q(0)   P(x) – x2 = Q(0) = P(0) VËy P(x) = x2 + a với a số tuỳ ý Thử lại ta thấy thoả mÃn toán 0,5đ Bài 8: (2 đ) Chứng minh S = (p a)ra = p tg  S = p(p – a) tg A 1,5 đ A 0,5đ à Bài 9: (2 đ) Chứng minh AMB = 900 Theo Pitago: MA2 + MB2 = AB2 = R2 ¸p dơng BĐT: ax by Dấu = xảy a  b2  x   y ta cã MA + MB ≤ 4R µ = 600 MA = MB hay M ë vÞ trí cho A 0,5đ 1đ 0,5đ 3 Bài 10: (1 đ) Theo giả thiết a n n  a n 1   n  1   32 a n 2   n         = 3n 1  a1  1 = 3n VËy nªn an = 3n – n3 víi mäi n  N* 0,5đ Với p = a1 = M2   Víi p > th× a1 + a2 + ap – =  32   3p 1  13  23    p  1    Do k   p  k  Mp vµ  32   3p 1    p  Mp nªn a1 + a2 + ap – Mp ThuVienDeThi.com 0,5® ... + 9x – = 1® P = x20 09 – 3x2008 + 9x2007 – 9x2006 + 20 09 = x2006 (x3 – 3x2 + 9x 9) + 20 09 = 20 09 1đ Bài 4: (2 đ) ĐK: x 0,5đ  Ta cã 20 09  20 09  x  x  20 09 20 09  20 09  x  x  20 09 Céng...  3  x  y  Bài 2: (3 đ) 1/ Ta chứng minh:  ab 1® ab 0,5® 2 2008     20 09 20 09 20 09 20 09 áp dụng BĐT được: S 1đ 2/ Từ abc = 2008 suy a; b; c kh¸c Thay abc = 2008 ta cã: 0,5® 2008 b...  0,5® 20 09  x  x (1) 20 09  x  x (2) x hay x = x = 0,5đ Bài 5: (2 ®) Ta dƠ chøng minh ®­ỵc sin; cos < với < 90 0 1đ Nên sin2008 < sin2 cos20 09? ?? < cos2 nªn sin 2008   cos20 09  1đ Bài