Hoàng Dương Toán Luỹ thừa Trong Q Mục lục Trang A Đặt vấn đề B Nội dung phương pháp I Tình hình chung II Những vấn đề giải III Phương pháp tiến hành Cơ sở lí thuyết Các dạng tập 2.1 Dạng 1: Tìm số chưa biết 2.1.1 Tìm số, thành phần số luỹ thừa 2.1.2 Tìm số mũ, thành phần sè mị cđa l thõa 2.1.3 Mét sè trêng hỵp khác 2.2 Dạng : Tìm chữ số tận giá trị luỹ thừa 2.2.1 Tìm chữ số tận 2.2.2 Tìm chữ số tận 2.2.3 Tìm chữ số tận trở lên 2.3 Dạng 3: So sánh hai luỹ thừa 2.4 Dạng Tính toán luỹ thừa 2.5 Dạng 5: Toán đố với luỹ thừa Kết thực VI Những vấn đề hạn chế hướng tiếp tục nghiên cứu V Điều kiện áp dụng C Kết luận Tài liệu tham khảo ThuVienDeThi.com Hoàng Dương Toán Luỹ thừa Trong Q A Đặt vấn đề Phải nói rằng: Toán học môn khoa học tự nhiên lý thú Nó cn hót ngêi tõ cßn rÊt nhá Chính vậy, mong muốn nắm vững kiến thức toán học để học học giỏi môn toán nguyện vọng nhiều học sinh Trong giảng dạy môn toán , ,việc giúp học sinh nắm vững kiến thức , biết khai thác mở rộng kiến thức , áp dụng vào giải nhiều dạng tập điều quan trọng Từ giáo viên giúp cho học sinh phát triển tư , óc sáng tạo , nhanh nhạy giải toán từ học môn số học lớp Đó tiền đề để em học tốt môn ĐạI Số sau Trong toán học, Toán luỹ thừa mảng kiến thức lớn, chứa đựng nhiều toán hay khó Để làm toán luỹ thừa việc dễ dàng kể học sinh giỏi, học sinh lớp 6, lớp 7, em làm quen với môn đại số tiếp cận với toán luỹ thừa nên chưa có công cụ phổ biến để thực phép biến đổi đại số, phương pháp, kĩ tính toán Để học tốt môn toán nói chung Toán luỹ thừa nói riêng, điều quan trọng biết rèn nếp suy nghÜ qua viƯc häc lý thut, qua viƯc gi¶i tõng tâp qua suy nghĩ, tìm tòi lời giải Đứng trước toán khó, chưa tìm cách giải, học sinh thực lúng túng, hoang mang bỏ qua toán đó, có giúp đỡ, gợi mở em không sợ mà thích thú làm toán Để nâng cao më réng kiÕn thøc phÇn luü thõa cho häc sinh lớp 6, lớp 7, kinh nghiệm giảng dạy kết hợp với tìm tòi , học hỏi thầy cô giáo đồng nghiệp, muốn trình bày số ý kiến chuyên đề Toán luỹ thừa Q nhằm cung cấp kiến thức bản, cần thiết kinh nghiệm cụ thể phương pháp giải toán luỹ thừa cho đối tượng học sinh Bên cạnh giúp học sinh rèn luyện thao tác tư duy, phương pháp suy luận logic tạo say mê cho bạn yêu toán nói chung toán luỹ thừa nói riêng B Nội dung phương pháp I Tình hình chung Thông qua giảng dạy, thấy hầu hết học sinh thấy toán liên quan đến luỹ thừa sợ, đặc biệt l thõa víi sè mị lín , sè mị tỉng quát Như đà nói trên, học sinh lớp 6, lớp tiếp xúc với toán luỹ thừa, sách giáo khoa yêu cầu mức độ vừa phải, nhẹ nhàng Chính mà giáo viên cần thay đổi yêu cầu đề học sinh đà thấy khác lạ, nâng cao lên chút em gặp khăn chồng chất: Làm cách nào? làm nào? chưa cần trả lời câu hỏi: làm nhanh hơn, ngắn gọn hơn, độc đáo hơn? Tôi chọn chuyên đề với mong muốn giúp học sinh học tốt phần toán luỹ thừa, giúp em không thấy sợ gặp toán luỹ thừa hay khó Hy vọng tài liệu tham kh¶o bỉ Ých cho häc sinh líp 6, líp7 học đào sâu kiến thức toán luỹ thừa dạng tập ThuVienDeThi.com Hoàng Dương Toán Luỹ thừa Trong Q II Những vấn đề giải Kiến thức Kiến thức bổ sung Các dạng tập phương pháp chung 3.1 Dạng1: Tìm số chưa biết 3.1.1 Tìm số, thành phần số luỹ thừa 3.1.2 Tìm số mũ, thành phần số mũ luỹ thừa 3.1.3 Một số trường hợp khác 3.2 Dạng Tìm chữ số tận giá trị luỹ thừa 3.2.1 Tìm chữ số tận 3.2.2 Tìm hai chữ số tận 3.2.3 Tìm chữ số tận trở lên 3.3 Dạng So sánh hai luỹ thừa 3.4 Dạng Tính toán luỹ thừa 3.5 Dạng Toán đố với luỹ thừa III Phương pháp tiến hành CƠ Sở Lý THUYếT a Định nghĩa luỹ thõa víi sè mị tù nhiªn * a an = a a (n N ) n thõa sè b Mét sè tÝnh chÊt : Víi a, b, m, n N am an = am+n, am an ap = am+n+p (p N) (a ≠ 0, m > n) am : an = am-n (m ≠ 0) (a.b)m = am bm (m,n ≠ 0) (am)n = am.n Quy íc: a1 = a (a ≠ 0) a0 = Víi : x, y Q; m, n N; a, b Z (x N*) x. x xn = x n thừa số ThuVienDeThi.com Hoàng Dương Toán Luỹ thừa Trong Q n an a bn b (b ≠ 0, n ≠ 0) xo = xm xn = xm+n xm x mn n x (x ≠ 0) xn x-n = (x ≠ 0) (xm)n = xm.n (x.y)m = xm ym n x xn n y y c (y ≠ 0) KiÕn thøc bỉ sung * Víi mäi x, y, z Q: x < y x + z < y + z Víi z > th×: x < y x z < y z z < th×: x < y x z > y z * Víi x Q, n N: (-x)2n = x2n (-x)2n+1 = - x2n+1 * Víi a, b Q; a > b > => an > bn a>b a2n +1 > b2n + a > , m > n > => am > an < a < , m > n > => am > an Các dạng tập Dạng 1: Tìm số chưa biết 2.1.1 Tìm số, thành phần số luỹ thừa *Phương pháp: Đưa hai luỹ thừa số mũ Bài 1: Tìm x biết rằng: a, x3 = -27 b, (2x – 1)3 = c, (x – 2)2 = 16 d, (2x – 3)2 = Đối với toán này, học sinh cần nắm vững kiến thức dễ dàng làm được, lưu ý với số mũ chẵn, học sinh cần xét hai trường hợp ThuVienDeThi.com Hoàng Dương Toán Luỹ thừa Trong Q a, x3 = -27 b, (2x – 1)3 = x3 = (-3)3 (2x – 1)3 = (-2)3 x = -3 => 2x – = - VËy x = - 2x = -2 + 2x = - => x = 1 VËy x = 1 c, (2x – 3)2 = => (2x – 3)2 = (-3)2 = 32 => 2x -3 =3 hc 2x -3 = -3 2x = 2x = x=3 x=0 VËy x = hc x = d , (x - 2)2 = 16 => (x - 2)2 = (-4)2 = 42 => x – = -4 hc x–2=4 x = -2 x=6 VËy x = -2 x = Bài Tìm số hữu tỉ x biÕt : x2 = x5 NÕu ë bµi học sinh làm thấy nhẹ nhàng đến không tránh khỏi băn khoăn , lúng túng : hai lũy thừa đà số- chưa biết , số mũ- đà biết- lại khác Vậy phải làm cách ? Nhiều học sinh tìm mò ằ x = o x = 1, cách không thuyết phục số x thỏa mÃn đề ? Giáo viên gợi ý : x2 = x5 => x5 – x2 = => x2.(x3 x x x - 1) = => => => x x x Đến giáo viên cho häc sinh lµm bµi tËp sau : (3y - 1)10 = (3y - 1)20 Bài Tìm số hữu tỉ y biết : (*) Hướng dẫn : Đặt 3y = x Khi (*) trở thành : x10 = x20 x x 10 x Giải tương tự ta : 10 => 10 => x 1 x x x RÊt cã thể học sinh dừng lại , đà tìm x Nhưng đề yêu cầu tìm y nên ta phải thay trở lại điều kiện đặt để t×m y +) Víi x = ta cã : 3y -1 = => 3y = => y = ThuVienDeThi.com Hoàng Dương Toán Luỹ thõa Trong Q +) Víi x = ta cã : 3y -1 = => 3y = => y = +) Víi x = -1 ta cã : 3y – = -1 => 3y = => y = VËy y= ; ;0 3 (x - 5)2 = (1 – 3x)2 Bài : Tìm x biết : Bài nàyngược với , hai lũy thừa đà có số mũ -đà biết- giống số chưa biết lại khác Lúc ta cần sử dụng tính chất : bình phương hai lũy thờa hai số đối Ta cè : (x - 5)2 = (1 – 3x)2 => x – = – 3x => 4x = => x= hc 2x = -4 = x = -2 (3x - 5)100 + (2y + 1)200 Bµi : Tìm x y biết : x = 3x (*) Với toán , số số mũ hai lũy thừa không giống , lại phải tìm hai số x y bên cạnh dấu , thật khó ! Lúc cần gợi ý nhỏ giáo viên em giải vấn đề : hÃy so sánh Ta thấy : (3x - 5)100 vµ (2y +1)200 víi (3x - 5)100 x Q (2y +1)200 x Q => BiÓu thøc (*) chØ cã thể , nhỏ Vậy : (3x - 5)100 + (2y + 1)200 = (3x - 5)100 = (2y + 1)200 = 3x – = 2y + =0 => x = y= Bài :Tìm số nguyên x y cho : (x + 2)2 + 2(y – 3)2 < Theo bµi , häc sinh sÏ nhËn : (x + 2)2 2(y – 3)2 x Z x Z (1) (2) Nhng n¶y sinh vÊn ®Ị ë “ < ” , häc sinh làm Giáo viên gợi ý : Từ (1) (2) suy ra, để : (x + 2)2 + 2(y – 3)2 < th× xảy trường hợp sau : +) Trêng hỵp : (x + 2)2 = => x = -2 +) Trường hợp : (x + 2)2 = => x = -2 (y – 3)2 = => y = vµ (y – 3)2 = y => y ThuVienDeThi.com Hoàng Dương Toán Luỹ thừa Trong Q +) Trêng hỵp : (x + 2)2 =1 vµ (y – x => x 1 3)2 =0 => y = x 1 => x 3 +) Trêng hỵp : (x + 2)2 = (y – 3)2 = vµ x 1 => x 3 y => y VËy ta cã b¶ng giá trị tương ứng x y thỏa mÃn ®Ị bµi lµ : x -2 -2 -2 -1 -3 -1 -3 -3 -1 y 3 4 Thật toán phức tạp ! Nếu không cẩn thận xét thiếu trường hợp ,bỏ sót cặp giá trị x y thỏa mÃn điều kiện đề Bây giáo viên cho học sinh làm toán tương tự sau : Tìm x biết : a, (2x – 1)4 = 81 b, (x -2)2 = c, (x - 1)5 = - 32 d, (4x - 3)3 = -125 T×m y biÕt : a, y200 = y b, y2008 = y2010 c, (2y - 1)50 = 2y – d, ( y y -5 )2000 = ( -5 )2008 3 T×m a , b ,c biÕt : a, (2a + 1)2 + (b + 3)4 + (5c - 6)2 b, (a - 7)2 + (3b + 2)2 + (4c - 5)6 c, (12a - 9)2 + (8b + 1)4 + (c +19)6 d, (7b -3)4 + (21a - 6)4 + (18c +5)6 3.1.2 Tìm số mũ , thành phần số mũ lũy thừa Phương pháp : Đưa hai lũy thừa có số Bài : Tìm n N biÕt : a, 2008n = c, 32-n 16n = 1024 b, 5n + 5n+2 = 650 d, 3-1.3n + 5.3n-1 = 162 Đọc đề học sinh dễ dàng làm câu a, a, 2008n = => 2008n = 20080 => n = ThuVienDeThi.com Hoàng Dương Toán Luỹ thừa Trong Q Nhưng đến câu b, em vấp phải khó khăn : tổng hai lũy thừa có số không số mũ Lúc cần có gợi ý giáo viên : b, 5n + 5n+2 = 650 5n + 5n.52 = 650 5n.(1 + 25) = 650 => 5n = 650 : 26 5n = 25 = 52 => n = Theo hướng làm câu b, học sinh có cách làm câu c, d, c, 32-n 16n = 1024 (25)-n (24)n = 1024 2-5n 24n = 210 2-n = 210 => n = -10 d, 3-1.3n + 5.3n-1 = 162 3n-1 + 3n-1 = 162 =>6 3n-1 = 162 3n-1 = 27 = 33 => n = n=4 Bài : Tìm hai sè tù nhiªn m , n biÕt : 2m + 2n = 2m+n Häc sinh thùc sù thÊy khã gặp , phải làm để tìm hai số mũ m n Giáo viên gợi ý : 2m + 2n = 2m+n 2m+n – 2m – 2n = => 2m.2n -2m -2n + = 2m(2n - 1) – (2n - 1) = (2m - 1)( 2n - 1) = V× 2m , 2n 2 m Nªn tõ (*) => n 2 (*) m,n N 2 m m => n => 2 n VËy : m = n = Bµi : Tìm số tự nhiên n cho : ThuVienDeThi.com Hoàng Dương Toán Luỹ thừa Trong Q a, < 3n 234 b, 8.16 2n Đây dạng toán tìm số mũ lũy thừa điều kiện kép Giáo viên hướng dẫn học sinh đưa số lũy thừa có c¬ sè a, < 3n 234 31 < 3n 35 => n 2;3;4;5 b, 8.16 2n 23.24 2n 22 27 2n 22 => n 2;3;4;5;6;7 Bµi : Tìm số tự nhiên n biết : 415 915 < 2n 3n < 1816 216 Với , giáo viên gợi ý học sinh quan s¸t , nhËn xÐt vỊ sè mị cđa c¸c lịy thõa mét tÝch th× häc sinh sÏ nghÜ hướng giải toán : 415 915 < 2n 3n < 1816 216 (4 9)15 < (2.3)n < (18.2)16 3615 < 6n < 3616 630 < 6n < 632 => n = 31 B©y giê, học sinh biết làm toán tương tự mà tự toán dạng tương tự Tìm số nguyên n cho a 27n = 35 b (23 : 4) 2n = c 3-2 34 3n = 37 d 2-1 2n + 2n = 25 Tìm tất số tự nhiên n cho : a 125.5 5n 5.25 b (n54)2 = n c 243 3n 9.27 d 2n+3 2n =144 Tìm số tự nhiên x, y biÕt r»ng a 2x+1 3y = 12x b 10x : 5y = 20y Tìm số tự nhiên n biÕt r»ng a 411 2511 2n 5n 2012.512 b 45 45 45 45 65 65 65 65 65 65 2n 25 25 35 35 35 Híng dÉn: a 2x+1 3y = 12x 2x+1 3y = 22x.3x ThuVienDeThi.com Hoàng Dương To¸n Luü thõa Trong Q => 3y 22x x x 1 3y-x = 2x+1 => y-x = x-1 = Hay x = y = b 10x : 5y = 20y 10x = 20y 5y 10x = 100y 10x = 1002y => x = 2y b 45 45 45 45 65 65 65 65 65 65 2n 5 5 2 3 3 4.4 6.6 2n 3.3 2.2 46 66 2n => 46 = 2n => 212 = 2n => n = 12 3.1.3 Mét sè trêng hỵp khác Bài 1: Tìm x biết: (x-1) x+2 = (x-1)x+4 (1) Thoạt nhìn ta thấy toán phức tạp, số cần tìm có mặt số mũ số Vì thế, học sinh khó xác định cách giải Nhưng đưa toán quen thuộc phép biến đổi sau : Đặt x-1 = y ta có: x+2=y+3 x+4=y+5 Khi (1) trở thành : yy+3 = yy+5 yy+5 - yy+3 = yy+3(y2 – 1) = => yy+3 = hc y2 – = * NÕu: yy+3 = => y = Khi ®ã : x – = hay x = * NÕu : y2 – = => y2 = (±1)2 => y = hc y = -1 Víi y = ta cã : x – = hay x = ThuVienDeThi.com 10 Hoàng Dương Toán Luỹ thừa Trong Q Với y = -1 ta cã : x – = -1 hay x = VËy : x 0;1;2 Bµi : T×m x biÕt : x(6-x)2003 = (6-x)2003 Víi này, x xuất số (không phải số mũ trên) Học sinh lúng túng gặp khó khăn tìm lời giải, giáo viên hướng dÉn x (6-x)2003 = (6-x)2003 x (6-x)2003 - (6-x)2003 = (6-x)2003 (x-1) = => (6-x)2003 = hc (x-1) = * NÕu (6-x)2003 = => (6-x) = x=6 * NÕu (x-1) = => x = VËy : x 1;6 Bµi : Tìm số tự nhiên a, b biết : a 2a + 124 = 5b b 10a + 168 = b2 Với toán này, học sinh sử dụng cách làm vào đường bế tắc lời giải Vậy phải làm cách làm nào? Ta cần dựa vào tính chất đặc biệt lũy thừa tính chất chia hết tổng để giải toán nµy : a) 2a + 124 = 5b (1) * Xét a = 0, (1) trở thành 20 + 124 = 5b Hay 5b = 125 5b = 53 Do a= b = * XÐt a Ta thÊy vÕ tr¸i cđa (1) số chẵn vế phải (1) số lẻ với a , a,b N, điều vô lý Kết luận : Vậy : a = vµ b = b) 10a + 168 = b2 (2) Tương tự câu a * Xét a = 0, (2) trở thành 100 + 168 = b2 169 = b2 => b = 13 (v× b N) (±13)2 = b2 ThuVienDeThi.com 11 Hoàng Dương Toán Luỹ thừa Trong Q Do a = vµ b = 13 * XÐt a Chúng ta biết với số tự nhiên a 10a có chữ số tận nên suy 10a + 168 có chữ số tận 8, theo (2) b2 có chữ số tận Điều vô lý KÕt luËn : VËy : a = vµ b = 13 Giáo viên cho học sinh làm số tập tương tự sau : Tìm số tự nhiên a , b để : a 3a + 9b = 183 b 5a + 323 = b2 c 2a + 342 = 7b d 2a + 80 = 3b 3.2 Dạng : Tìm chữ số tận giá trị lũy thừa 3.2.1 Tìm chữ số tận * Phương pháp : cần nắm số nhận xét sau : +) Tất số có chữ số tận : ; ; ; nâng lên lũy thừa ( khác 0) có chữ số tận số +) Để tìm chữ sè tËn cïng cđa mét sè ta thêng ®a vỊ dạng số có chữ số tận chữ số +) Lưu ý : số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc chẵn có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc lẻ có chữ số tận số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc chẵn có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc lẻ có chữ số tận +) Chú ý : 24 = 16 74 = 2401 34 = 81 84 = 4096 Bài : Tìm chữ số tận cïng cđa c¸c sè : 20002008 , 11112008 , 987654321 , 204681012 Dựa vào nhận xét học sinh dễ dàng tìm đáp án : 20002008 có chữ số tận chữ số 11112008 có chữ số tận chữ số 987654321 có chữ số tận chữ số 204681012 có chữ số tận chữ số Bài : Tìm chữ số tận sè sau : 67 20072008 , 1358 2008 , 23456 , 5235, 204208, 20032005 , 9 , ,996, 81975 , 20072007 , 10231024 Híng dÉn : Đưa lũy thừa dạng lũy thừa số có chữ số tận : ; ; 5;6 ThuVienDeThi.com 12 Hoàng Dương Toán Luỹ thõa Trong Q +) 20072008 = (20074)502 = ( )502 = nên 20072008 chữ số tận +) 13 5725 = 135724.1357 = (13574)6.1357 = 1357 = =>13 5725 cã ch÷ sè tËn cïng lµ +) 20072007 = 20072004.20073 = (20074)501 = ( )501 = = => 20072007 cã ch÷ sè tËn cïng lµ +) 23456 = (24)864 = 16864 = => 23456 có chữ số tận +) 5235 = 5232 523 = (524)8 = ( )8 = = => 5235 cã ch÷ sè tËn cïng lµ +) 10231024 = (10234)256 = ( )256 = =>10231024 có chữ số tận +) 20032005 = 20032004 2003 = (20034)501 2003 = ( )501 2003 = 2003 => 20032005 có chữ số tận +) 204208 =( 2042)104 = ( )104 = => 204208 có chữ số tận 67 +) Ta thấy số lẻ nên có chữ số tận +) 1358 2008 = (13584) 502 = ( )502 = => 1358 2008 có chữ số tận +) 81975 = 81972 83 = (84)493 = => 81975 cã ch÷ sè tËn cïng lµ +) 996 = ( 94)24 =( )24 = => 996 cã ch÷ sè tËn cïng lµ +) Ta thÊy 99 lµ số lẻ nên 9 có chữ số tận cïng lµ Bµi : Cho A = 172008 112008 32008 Tìm chữ số hàng đơn vị A Đây dạng toán tìm chữ số tận tổng , ta phảI tìm chữ số tận tong số hạng , cộng chữ số tận lại Hướng dẫn : Tìm chữ số tận 172008 ; 112008 ; 32008 ta cã : A = 172008 – 112008 – 32008 = - - = - = VËy A cã ch÷ sè tËn cïng lµ Bµi : Cho M = 1725 + 244 – 1321 Chøng tá r»ng : M 10 Ta thÊy mét sè chia hết cho 10 có chữ số tận nên để chứng tỏ M 10 ta chứng tỏ M có chữ số tận Gi¶i : 1725 = 1724.17 = (174)6 17 = ( )6.17 = 17 = 244 =(242)2 = 5762 = .6 1321 = (134)5.13 = ( )5.13 = 13 = VËy M = + .6 - = => M 10 Đến đây, sau làm , 3, giáo viên cho học sinh làm toán tổng quát sau : ThuVienDeThi.com 13 Hoàng Dương Toán Luỹ thừa Trong Q Bài 5: Tìm chữ số tận số có dạng: (n N, n ≥ 1) a A = 24n – b B = 24n + 2+ (n N) c C = 74n – (n N) Híng dÉn : a, Cã : 24n = (24)n = 16 cã ch÷ sè tËn cïng b»ng => 24n – cã ch÷ sè tËn cïng b»ng (n N) b, B = 24n + 2+ Ta cã 24n + = 22 24n = 16n cã ch÷ sè tËn cïng lµ => B = 24n + 2+ có chữ số tận c, C = 74n – Ta cã 74n = (74)n = (2401)n có chữ số tận Vậy 74n – cã ch÷ sè tËn cïng b»ng Bài : Chứng tỏ rằng, số có d¹ng: a, A = 22 chia hÕt cho (n N, n ≥ 2) b, B = 24 chia hÕt cho 10 (n N, n ≥ 1) c, H = 92 chia hÕt cho (n N, n ≥ 1) n n n Với dạng này, học sinh phải dựa vµo dÊu hiƯu chia hÕt cho 2, cho 5, cho Đọc đầu bài, học sinh định hướng phải tìm chữ số tận 5, bắt tay vào n n n làm gặp khó khăn lớn với lũy thừa 2 , , , häc sinh phải tính nào, có thĨ häc sinh sÏ nhÇm: a 2n , 4n , 2n n n n Khi giáo viên hướng dÉn nh sau : a) Víi n N, n ≥ 2, ta cã : n 2 = 2 n2 24 2n 16 n2 cã ch÷ sè tËn cïng lµ => A = 2 cã chữ số tận n Vậy A b) Víi n N, n ≥ 1, ta cã : n = 4 n 1 24 n 1 16 n có chữ số tận => B = cã ch÷ sè tËn cïng lµ n VËy B 10 c) Víi n N, n ≥ 1, ta cã : n = 2 n 1 92 n 1 812 n 1 có chữ số tận => H = cã tËn cïng lµ n Vậy H ThuVienDeThi.com 14 Hoàng Dương Toán Luỹ thừa Trong Q Bài tập luyện tập : 1, Tìm chữ số tận số sau: 22222003; 20082004; 20052005; 20042004; 77772005; 1112006; 20062006 20002000; 2, Chøng tá r»ng, víi mäi sè tù nhiªn n : a, 34n + + chia hÕt cho b, 24n + + chia hÕt cho c, 92n + + chia hÕt cho 10 3, Chøng tá số có dạng: a, 2 +1 có ch÷ sè tËn cïng b»ng (n N, n ≥ 2) b, cã ch÷ sè tËn cïng b»ng (n N, n ≥ 1) n n n c, +4 n d, - chia hÕt cho (n N, n ≥ 2) chia hÕt cho 10 (n N, n 1) 4, Tìm chữ số hàng đơn vị cña : a, A = 66661111 + 11111111 - 665555 b, B = 10n + 555n + 666n c, H = 99992n +9992n+1 +10n ( n N*) d, E = 20084n + 20094n + 20074n ( n N*) Trong số sau số chia hết cho , cho , cho 10 ? (n N a, 34n+1 + b, 24n+1 -2 (n N) n (n N, n ≥ 2) n (n N, n ≥ 1) c, 2 +4 d, - 6 Tìm chữ số tận số tự nhiên a để a2 + Tìm số tự nhiên n ®Ó n10 + 10 Chøng tá , bới số tự nhiên n : a, 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n 10 (n > 1) b, 3n+3 + 2n+3 + 3n+1 + 2n+2 Híng dÉn : a2 + => a2 + phải có chữ số tận => a2 phải có chữ số tận => a phải có chữ số tận hc hc n10 + 10 => n10 + phải có chữ số tận => n10 = (n2)5 phải có chữ số tận => n2 phải có chữ số tận ThuVienDeThi.com 15 9992003; 20032005 Hoàng Dương Toán Luỹ thừa Trong Q => n phải có chữ số tận a, 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n = 3n (32+1) – 2n-1.( 23 + 2) = 3n 10 – 2n-1 10 = 10 (3n – 2n-1) 10 n N b, 3n+3 + 2n+3 + 3n+1 + 2n+2 = 3n (33+3) + 2n+1.( 22 + 2) = 3n 30 + 2n+1 = (5.3n + 2n+1) n N 3.2.2 Tìm hai chữ số tận lũy thừa * Phương pháp : Để tìm hai chữ số tËn cïng cđa mét lịy thõa , ta cÇn chó ý số đặc biệt sau : +) Các số có tận 01 , 25 , 76 nâng lên lũy thừa (khác 0) tận +) Để tìm hai chữ số tận lũy thừa ta thường đưa dạng số có hai chữ số tận : 01 ; 25 76 +) số 210 ; 410; 165; 65; 184; 242; 684; 742 cã tËn cïng b»ng 76 +) c¸c sè 320; 910; 815; 74; 512; 992 cã tËn cïng lµ 01 +) Sè 26n (n N, n >1) Bµi : Tìm hai chữ số tận : 2100 ; 3100 Dựa vào nhận xét học sinh dễ dàng làm : 2100 = (220)5 = ( 76 )5 = 76 3100 = (320)5= ( 01 )5 = 01 Bài 2: Tìm hai chữ sè tËn cïng cña : a, 5151 b, 9999 c, 6666 d, 14101 16101 Hướng dẫn :Đưa dạng số có hai chữ số tận : 01 ; 25 hc 76 a, 5151 = (512)25 51 = ( 01 )25 51 = 01 51 = 51 => 5151 có chữ số tận 51 T¬ng tù : b, 9999 =(992)49.99 = ( 01 )49 99= 01 99 = 99 c, 6666 =(65)133.6 = ( 76 )133 6= 76 = 56 d, 14101 16101 = (14 16)101 = 224101 = (2242)50 224 = ( 76 )50 224 = 76 224 = 24 Từ toán 2, cho học sinh làm toán tổng quát: Bài 3: Tìm hai ch÷ sè tËn cïng cđa: a, 512k; b, 992n; (k N*) 512k+1 992n+1; 99 (n N*) 99 99 ; ThuVienDeThi.com 16 Hoàng Dương Toán Luỹ thừa Trong Q c, 65n; 66 (n N*) 66 ; 65n+1; Gỵi ý: a, 512k = (512)k = ( 01 )k 512k+1 = 51 (512)k = 51 ( 01 )k b, 992n = (992)n = ( 01 )n 992n+1 = 99 (992)n = 99 ( 01 )n 99 99 99 99 , ta có 9999 số lẻ => 99 99 cã d¹ng 992n+1 99 (Víi n N, n > 1) (Víi n N, n > 1) => 99 99 = 99.(992)n = 99 ( 01 )n 65n = ( 65)n = ( 76 )n c, 65n+1 = ( 65)n = ( 76 )n 66 66 66 , ta cã 6666 lµ mét sè cã tËn cïng lµ 6, => 66 cã d¹ng 65n+1 (n N, n > 1) 66 => 66 = ( 76 )n Bµi tập luyện tập: Tìm hai chữ số tận cña : a, 72003 b, 9 d, 182004 e, 682005 c, 742003 f, 742004 Tìm hai chữ sè tËn cïng cña : a, 492n ; 492n+1 (n N) b, 24n 38n (n N) c, 23n 3n d, 742n ; 742n+1 (n N) ; 23n+3 3n+1 (n N) Chøng tá r»ng : a, A = 262n - 26 vµ 10 ( n N, n > 1) (Víi n N) b, B = 242n+1 + 76 100 c, M = 512000 742000 992000 có chữ số tận 76 3.2.3 Tìm chữ số tận trở lên *Phương pháp : Chú ý số điểm sau +) Các số có tận 001, 376, 625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cịng cã tËn cïng b»ng chÝnh sè ®ã +) Số có tận 0625 nâng lên lũy thừa (khác 0) có tận 0625 Bài Tìm ch÷ sè tËn cïng, ch÷ sè tËn cïng 52000 Học sinh làm phần không khó khăn nhờ kĩ đà có từ phÇn tríc 52000 = (54)500 = 625500 = (0625)500 ThuVienDeThi.com 17 Hoàng Dương Toán Luỹ thừa Trong Q 52000 Vậy : có ba chữ số tận 625 có bốn chữ số tận 0625 Bài : Tìm ba chữ số tận của: (n N*) a, 23n 47n (n N) b, 23n+3 47n+2 Để tìm ba chữ số cuối lũy thừa đà khó với học sinh., lại yêu cầu tìm ba chữ số cuối tích lũy thừa thật khó Đối với học sinh khá, giỏi cần tới gợi ý giáo viên a, 23n 47n = (23)n 47n = (8 47)n = 376n 376n cã tËn cïng lµ 376 => 23n 47n cã tËn cïng lµ 376 b , 23n+3 47n+2 Dï đà làm câu a, đến câu b học sinh không tránh khỏi lúng túng số mũ Giáo viªn cã thĨ híng dÉn : 23n+3 47n+2 = 23(n+1) 47n+1 47 = (23)(n+1) 47n+1 47 = (8.47)n+1 47 = 47 376n+1 Ta có :376n+1 có chữ số tận 376 => 47 376n+1 có chữ số tận 672 Bµi 3: Chøng tá r»ng: ( n N, n ≥ 1) n a + 375 1000 ( n N, n ≥ 2) n b - 25 100 c 2001n + 23n 47n + 252n cã tËn cïng b»ng 002 NÕu học sinh làm tốt phần trước gặp không gặp nhiều khó khăn, nhiên, cần đến tư logic, liên hệ đến kiến thức liên quan kĩ biến đổi n a Ta cã: = 4.4 n 1 = 625 n 1 tËn cïng lµ 625 ( n N, n ≥ 1) n => + 375 cã tËn cïng 000 n VËy: + 375 1000 n b Ta cã = 2 n2 = 54 2n = 625 n2 ( n N, n ≥ 2) n VËy - 25 có chữ số tận 00 n Do ®ã : - 25 100 c 2001n + 23n 47n + 252n Ta thÊy : 2001n cã tËn cïng lµ 001 23n 47n = (8 47 )n = 376n cã tËn cïng lµ 376 252n = (252)n = 625n cã tËn cïng lµ 625 ThuVienDeThi.com 18 Hoàng Dương Toán Luỹ thừa Trong Q 2001n VËy: + 23n 47n + 252n cã tËn cïng 002 3.3 Dạng : So sánh hai lũy thừa * Phương pháp : để so sánh hai lũy thõa ta thêng biÕn ®ỉi vỊ hai lịy thõa cã số có số mũ (có thể sử dụng lũy thừa trung gian để so sánh) +) Lu ý mét sè tÝnh chÊt sau : Víi a , b , m , n N , ta cã : a > b an > bn m > n am > an n N* (a > 1) a = hc a = th× am = an ( m.n 0) Víi A , B biểu thức ta có : An > Bn A > B > Am > An => m > n vµ A > m < n vµ < A < Bµi : So sánh : a, 33317 33323 b, 200710 vµ 200810 c, (2008-2007)2009 vµ (1998 - 1997)1999 Víi học sinh nhìn cách giải lũy thừa đà có số có số mũ a, Vì < 17 < 23 nên 33317 < 33323 b, Vì 2007 < 2008 nªn 200710 < 200810 (2008-2007)2009 = 12009 = c, Ta cã : (1998 - 1997)1999 = 11999 = VËy (2008-2007)2009 = (1998 - 1997)1999 Bµi : So sánh a, 2300 3200 e, 9920 999910 b, 3500 vµ 7300 f, 111979 vµ 371320 c, 85 vµ 3.47 g, 1010 vµ 48.505 d, 202303 vµ 303202 h, 199010 + 1990 199110 Để làm học sinh cần sử dụng linh hoạt tính chất lũy thừa để đưa lũy thừa số số mũ Híng dÉn : a, Ta cã : 2300 = 23)100 = 8100 3200 = (32)100 = 9100 V× 8100 < 9100 => 2300 < 3200 ThuVienDeThi.com 19 Hoàng Dương Toán Luỹ thừa Trong Q b, Tương tự câu a, ta cã : 3500 = (35)100 = 243100 7300 = (73)100 = 343100 Vì 243100 < 343100 nên 3500 < 7300 85 = 215 = 2.214 < 3.214 = 3.47 => 85 < 3.47 c, Ta cã : 202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 = (8.101.1012)101 = (808.101)101 d, Ta cã : 303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101 V× 808.1012 > 9.1012 nªn 202303 > 303202 e, Ta thÊy : 992 < 99.101 = 9999 => (992)10 < 999910 hay 9920 < 999910 (1) f, ta cã : 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660 (2) 371320 = 372)660 = 1369660 Tõ (1) vµ (2) suy : 111979 < 371320 g, Ta cã : 1010 = 210 510 = 29 510 (*) 48 505 = (3 24) (25 510) = 29 510 (**) Tõ (*) vµ (**) => 1010 < 48 505 h, Cã : 199010 + 19909 = 19909 (1990+1) = 1991 19909 199110 = 1991 19919 Vì 19909 < 19919 nên 199010 + 1990 < 199110 527 < 263 < 528 Bµi Chøng tá r»ng : Víi bµi nµy , häc sinh líp không định hướng cách làm , giáo viên gợi ý : hÃy chứng tỏ 263> 527 vµ 263 < 528 Ta cã : 263 = (27)9 = 1289 527 =(53)9 = 1259 => 263 > 527 (1) => 263 < 528 (2) L¹i cã : 263 = (29)7 = 5127 528 = (54)7 = 6257 Tõ (1) vµ (2) => 527 < 263 < 52 Bài So sánh : a, 10750 7375 b, 291 vµ 535 NÕu ë bµi tríc cã thĨ so sánh trực tiếp lũy thừa cần so sánh sử dụng lũy thừa trung gian áp dụng cách khó tìm lời giải cho toán Với ta cần so sánh qua hai lũy thừa trung gian : a, Ta thÊy : 10750 < 10850 = (4 27)50 = 2100 3150 7375 > 7275 = (8 9)75 = 2225 3150 (1) (2) Tõ (1) vµ (2) => 10750 < 2100 3150 < 2225 3150 < 7375 VËy 10750 < 7375 b, 291 > 290 = (25)18 = 3218 ThuVienDeThi.com 20 ... nhanh nhạy giải toán từ học môn số học lớp Đó tiền đề để em học tốt môn ĐạI Số sau Trong toán học, Toán luỹ thừa mảng kiến thức lớn, chứa đựng nhiều toán hay khó Để làm toán luỹ thừa việc dễ dàng... tận giá trị luỹ thừa 3.2.1 Tìm chữ số tận 3.2.2 Tìm hai chữ số tận 3.2.3 Tìm chữ số tận trở lên 3.3 Dạng So sánh hai luỹ thừa 3.4 Dạng Tính toán luỹ thừa 3.5 Dạng Toán đố với luỹ thừa III Phương... học sinh học tốt phần toán luỹ thừa, giúp em không thấy sợ gặp toán luỹ thừa hay khó Hy vọng tài liệu tham khảo bổ ích cho học sinh lớp 6, lớp7 học đào sâu kiến thức toán luỹ thừa dạng tập ThuVienDeThi.com