Nội dung cụ thể của đề tài: A... - Biểu thức D, ta kết hợp hai phơng pháp trên... Từ đó ta có các dạng so sánh cao hơn.. hợp luỹ thừa có mặt trong các biểu thức ta có dạng so sánh sau D
Trang 1III Nội dung:
1, Cơ sở lý thuyết:
Các công thức cơ bản về luỹ thừa: ( với n, m ∈N ; x, y ∈ R; x,y ≠0 )
1, xn = x.x…x ( n thừa số x)
2, xn xm = xn + m
3, xn : xm = xn - m (n >m )
4, (xn)m = xn m
5, (x y)n = xn yn
6, (x : y)n = xn : yn * Qui ớc: xo =1 ; x1 = x
2 Nội dung cụ thể của đề tài:
A Các dạng toán về luỹ thừa và phơng pháp giải
Số 1: Viết kết quả dới dạng một luỹ thừa
a, 420 810 d, (0,125)3 512
b, 413 526 e, 920 : (0,375)40
c, 2715 : 910
Giải:
a, 420 810 = (22)20 (23)10 = 240 230 = 270
b, 413 526 = 413 (52)13 = (4 25)13 = 10013
c, 2715 : 910 = (33)15 : (32)10 = 345: 320 = 325
d, (0,125)3 512 = (0,53)3 29 = (0,5)9 29 = (0,5 2)9 = 19 = 1
e, 920 : (0,375)40 = (32)20 : (0,375)40 = 340 : (0,375)40 = (3 : 0,375)40 = 840
* Phơng pháp giải: Sử dụng các công thức cơ bản về lũy thừa
Số 2: Tính giá trị của biểu thức:
A =
4
2 3
108
54
72 B =
4 11
12 12
2 3
3 3 13
C =
104 2
65 2 13 2
8
10
10 + D =
11 4
10 10
4 8
4 8
+ +
Giải:
A = 3 4 2
108
54
72 = 3 223 3 4 3 2
) 3 2 (
) 3 2 (
) 3 2
3 2
3 2 3
2 = 118 1212
3 2
3
2 = 23 = 8
B =
4 11
12 12
2 3
3 3 13
4 11
12
2 3
) 3 13 (
4 11
4 12
2 3
2
Trang 2C =
104 2
65 2 13 2
8
10
13 2 2
) 65 13 ( 2
3 8
13 2
78 2
11
10
=
13 2
13 3 2
11
11
= 3
D =
11 4
10 10
4 8
4 8
+
22 12
20 30
2 2
2 2
+
) 2 1 ( 2
) 1 2 ( 2
10 12
10 20
+
+ = 28 = 256
* Phơng pháp giải:
- Biểu thức A ta biến đổi các luỹ thừa trong biểu thức về tích các luỹ thừa của số nguyên tố rồi rút gọn.
- Biểu thức B, C ta sử dụng tính chất ab ± ac = a (b ± c), đa tử và mẫu về dạng tích rồi rút gọn.
- Biểu thức D, ta kết hợp hai phơng pháp trên.
Dạng 2: Tìm cơ số hoặc số mũ của một luỹ thừa
Số 3: Tìm x ∈ N biết:
a, 2x.4 = 128 b,
8
1 2
12 1 =
x−
c, (2x – 3)3 = 343 d, (2x – 3)2 = 9
e, (x – 3)6 = (x – 3)7 g, x100 = x
Giải: a, 2 x 2 2 = 2 6 b, 2 1 3
2
1 2
1
=
x−
=> 2x = 26 : 22 => 2x – 1 = 3
=> 2x = 24 => 2x = 4
=> x = 4 => x = 2
c, (2x - 3) 3 = 7 3 d, (2x – 3) 2 = 9
=> 2x – 3 = 7 => (2x – 3)2 = (± 3)2
=> 2x = 10 =>
−
=
−
=
−
3 3 2
3 3 2
x
x
=> x = 5 =>
=
=
0 2
6 2
x
x
=>
=
=
0
3
x x
e, (x – 3) 6 = (x – 3) 7
TH 1: Nếu x – 3 = 0 => x = 3 (vì 06 = 07 = 0)
TH 2: Nếu x – 3 ≠ 0, chia 2 vế cho (x – 3) ta đợc 1
) 3 (
) 3 (
6
7
=
−
−
x x
hay x – 3 = 1 => x = 4
g, C1: x 100 = x => x = 0 hoặc x = 1 (vì 0100 = 0 và 1100 = 1)
C2: x 100 = x => x100 – x = 0 => x( x99 –1) = 0 =>
=
−
=
0 1
0
99
x x
=>
=
=
⇒
=
=
1
0 1
0
x x
x
* Phơng pháp giải:
Các dạng toán về luỹ thừa và phơng pháp giải
Trang 3- ở câu a, b ta biến đổi 2 vế của đẳng thức về luỹ thừa cùng cơ số, đẳng thức xảy ra khi số mũ ở 2 vế bằng nhau.
- ở câu c, d ta biến đổi 2 vế về luỹ thừa cùng số mũ, đẳng thức xảy ra khi cơ số
ở 2 vế bằng nhau.
- ở câu e, g ta sử dụng công thức 0 n = 0 và 1 n = 1 (n∈N * ) hoặc đa về dạng tích(câu g).
Số 4: Cho A= 3 + 32 + 33 +…+ 32008
Tìm x biết 2A + 3 = 3x
Giải : Ta có 3A = 3( 3 + 32 + 33 +…+ 32008) = 32 + 33 +…+ 32008 +32009
A = 3 + 32 + 33 +…+ 32008
3A – A = 3 2009- 3
2A = 32009- 3
=> 2A + 3 = 32009- 3 + 3 => 2A + 3 = 32009
Mặt khác: 2A + 3 = 3x
Suy ra: 32009 = 3x hay x = 2009
* Phơng pháp giải: Tổng quát
A = n + n 2 + n 3 +…+ n k
nA A = n– k+1 - n => A =
1
n k 1
−
− +
n
n ( n, k ∈ N; n >1, k ≥ 1)
Cao hơn ta có dạng toán đối với 2 ẩn x,y sau:
Số 5: Tìm x, y biết: a, ( x- 3)2 + (y+2)2 = 0
b, (x-12 + y)200 + ( x- 4 – y)200= 0
c, 2x + 2x+3 = 136
Giải: a, (x-3)2 ≥ 0 ∀x
(y+2)2 ≥ 0 ∀y
Để (x- 3)2 + (y+2)2 = 0
= +
=
0 ) 2 (
0 3) -(x
2
2
y
−
=
=
2
3 x
y
b, Tơng tự câu a ta tìm đợc
=
=
4
8 x
y
c, Vì 136 = 2.4 + 27
Nên 2x + 2 x+3 = 2.4 + 27 =>
=
= + 3 2 7
2
4 2 2
x
x
=>
= +
=
7 3
4 x
x => x= 4
* Phơng pháp giải:
- Câu a, b vì các hạng tử đều lớn hơn hoặc bằng 0 nên đẳng thức xảy ra khi các hạng tử đều bằng 0
- Câu c ta biến đổi vế phải về dạng tổng thích hợp với vế trái, đẳng thức xảy ra khi ta đồng nhất các hạng tử thích hợp của 2 vế
Số 6*: Tìm x, y biết: a, 2x+1 3y = 12x
b, 10x : 5y = 20y
c, 8 23x 7y= 562x 5x-1
Trang 4Giải
a, 2x+1 3y = 12x 2x+1 3y = (23.3)x
2x+1 3y = 22x 3x
=
= +
x y
x
2 1 x
=
=
1
1 x
y x= y =1
b, 10x : 5y = 20y 10x = 20y 5y 10x = 100y
10x = 102y x = 2y
c, 8 2 3x 7y = 562x 5x-1 23 23x.7y = (23.7)2x 5x-1
23x+3 7y = 26x 72x 5x-1
=
=
⇔
=
−
=
= +
2
1 0
1 2
6 3 3
y
x x
x y
x x
* Phơng pháp giải:
Ta biến đổi 2 vế về luỹ thừa của các số nguyên tố, đẳng thức xảy ra khi
số mũ của luỹ thừa cùng cơ số ở 2 vế bằng nhau (câu a, b) Đồng thời triệt tiêu các số mũ của luỹ thừa không cùng cơ số(câu c)
Dạng 3: So sánh luỹ thừa
Dạng 3.1: Đa về hai luỹ thừa cùng cơ số
Số 7: So sánh: a, 450 và 830
b, 17
9
1
27
1
Giải: a, 450 = (22)50 = 2100
830 = (23)30 = 290
Vì số mũ 100 > 90 và cơ số 2( 2 >1) => 2100 > 290
b, 17
9
1
3
1 3
1
=
12
27
1
3
1 3
1
=
Vì số mũ 34 < 36 và cơ số là
3
1 ( 0 <
3
1 < 1) nên 34 36
3
1 3
1
>
9
1
27
1
*Phơng pháp giải: Tổng quát Với m, n ∈N * và m > n , a≥ 0
Ta có: - Nếu a > 1 thì a m > a n ( câu a)
- Nếu a =1; a= 0 thì a m = a n
- Nếu 0 < a < 1 thì a m < a n (câu b)
Đối với cơ số là số âm ta có bài toán sau
Số 8: So sánh:
a, (-27)27 và (-243)13
Các dạng toán về luỹ thừa và phơng pháp giải
Trang 5b, 25
8
1
128
1
−
Giải:
a, (-27)27 = (-33)27 = (-3)81
(-243)13= (-35)13 = (-3)65
Vì số mũ 81 > 65 ( là số lẻ) và cơ số –3 (–3 < 0) nên (-3)81 < (-3)65
=>(-27)27 <(-243)13
b, 25
8
1
2
1 2
1
−
=
−
13
128
1
2
1 2
1
−
=
−
Vì số mũ 75 < 91 và cơ số là
2
1
− ( -1 <
2
1
− < 0 ) nên 75
2
1
− < 91
2
1
−
=> 25
8
1
− < 13
128
1
−
*Phơng pháp giải: Tổng quát
Với m, n ∈N * và m > n trong đó m, n là số lẻ, a < 0
Ta có: - Nếu a < -1 thì a m < a n (câu a)
- Nếu a = -1 thì a m = a n
- Nếu -1 < a < 0 thì a m > a n (câu b)
L u ý: Với trờng hợp m, n là số chẵn ta đa về dạng bài 7
Dạng 3.2: Đa về 2 luỹ thừa cùng số mũ
Số 9: So sánh:
a, 3230 và 975
b, 10
25
16
7
3
Giải:
a, 3230 = (25)30 = 2150
975 = (32)75 = 3150
Vì 2 < 3 nên 2150 < 3150 => 3230 < 940
b, 10
25
16
5
4 5
4
=
40
7
3
49
9 7
3
=
Vì
49
9 5
4 > nên 20 20
49
9 5
4
>
25
16
> 40
7
3
*Phơng pháp giải: Tổng quát
Trang 6Với m∈ N * và a , b∈ R Ta có:
- Nếu a < b thì a m < b m
- Nếu a = b thì a m = b m
- Nếu a > b thì a m > b m
Trong nhiều trờng hợp việc đa 2 luỹ thừa về cùng cơ số hay đa
về cùng số mũ một cách trực tiếp để so sánh chúng đều là việc không thể Từ đó ta có các dạng so sánh cao hơn.
Dạng 3.3: Dùng luỹ thừa trung gian để so sánh
Số 10: So sánh:
a, 637 và 1612
b*, 1714 và 3111
Giải:
a, Vì 637 < 647 < 648
và 16 12 = (42)12 = 424 = 648 Vậy 637 < 1612
b, Ta có: 1714 > 1614 = (24)14 = 256
và 3111 < 3211 = (25)11 = 255
Vì 256 > 2 55 nên 1714 > 3155
*Phơng pháp giải: Tính chất bắc cầu: Nếu a > b và b > c thì a > c
( b gọi là thành phần trung gian)
Đối với những bài toán không thể sử dụng đợc các phơng pháp trên ta còn có phơng pháp cao và khó hơn sau:
Dạng 3.4: Sử dụng tính chất đơn điệu của phép nhân
Số 11*: So sánh: 1031 và 2100
Giải
Ta có 1031 = 231 531
2100 = 231 269
Vậy để so sánh 10 31 và 2100 ta chỉ cần so sánh 531 và 269
531 = 53 528 = 53 (54)7 = 125 6257
269 = 26 263 = 26 (29)7 = 64 5127
Ta so sánh các cặp thừa số tơng ứng với nhau
Vì
>
>
7
625
64 125
=> 125 6257 > 64 5127
=> 531 > 269 hay 1031 > 2100
*Phơng pháp giải: Với a, b, c, d∈ N *
Nếu
>
>
d c
b a
=> a c > b d
T hợp luỹ thừa có mặt trong các biểu thức ta có dạng so sánh sau
Dạng 4: So sánh các biểu thức có chứa luỹ thừa
Các dạng toán về luỹ thừa và phơng pháp giải
Trang 7Sè 12: So s¸nh 2 biÓu thøc A vµ B trong tõng trêng hîp:
a, A =
1 10
1 10
16
15
+
+ vµ B =
1 10
1 10
17
16
+ +
b, C =
1 2
3 2
2007
2008
−
− vµ D =
1 2
3 2
2006
2007
−
−
Gi¶i:
a, Ta cã A =
1 10
1 10
16
15
+
+ => 10A = 10
+
+
1 10
1 10
16
15
=
1 10
10 10
16
16
+ +
=
1 10
9 1 1 10
9 1 10
16 16
16
+ +
= +
+
B =
1 10
1 10
17
16
+
+ => 10B = 10
+
+
1 10
1 10
17
16
=
1 10
10 10
17
17
+ +
=
1 10
9 1 1 10
9 1 10
17 17
17
+ +
= +
+
V× 1016 + 1 < 1017 + 1 nªn
1 10
9 1
10
9
17
16 + > +
=>
1 10
9 1 1 10
9
+ +
>
+ + => 10A > 10B hay A > B
b, Ta cã C =
1 2
3 2
2007
2008
−
− =>
2
1C =
2
1
2 2
1 2 2
2 2
3 2 1 2
3 2
2008
2008 2008
2008 2007
2008
−
−
−
=
−
−
=
−
−
=
2 2
1
1 2008
−
−
D =
1 2
3 2
2006
2007
−
− =>
2
1D =
2
1
2 2
1 2 2
2 2
3 2 1 2
3 2
2007
2007 2007
2007 2006
2007
−
−
−
=
−
−
=
−
−
=
2 2
1
1 2007
−
−
V× 22008 – 2 > 22007 – 2 nªn
2 2
1 2
2
1
2007
2008 − < −
=>
2 2
1
1 2008
−
− >
2 2
1
1 2007
−
−
=>
2
1C >
2
1D hay C > D
*Ph¬ng ph¸p gi¶i:
- ë c©u a, biÓu thøc A vµ B cã chøa luü thõa c¬ sè 10 -> ta so s¸nh 10A vµ10B
- ë c©u b, biÓu thøc C vµ D cã chøa luü thõa c¬ sè 2 nªn ta so s¸nh
2
1
C vµ
2
1
D
L u ý: §èi víi tõng trêng hîp bËc cña luü thõa ë tö lín h¬n hay bÐ h¬n bËc cña luü thõa ë mÉu mµ ta nh©n víi hÖ sè thÝch hîp nh»m t¸ch phÇn nguyªn råi so s¸nh tõng phÇn t¬ng øng
Trang 8Với a, n, m, K∈ N * Ta có:
- Nếu m > n thì K -
m
a
> K -
n
a
và K +
m
a
< K +
n
a
- Nếu m < n thì K -
m
a < K -
n
a và K +
m
a > K +
n
a (còn gọi là phơng pháp so sánh phần bù)
Số 13: So sánh M = 3 4
8
7 8
3 + và N = 3 4
8
3 8
7 +
Giải
Ta có: 3 4
8
7 8
8
4 8
3 8
8
4 8
3 8
3
+
3 4
8
3 8
8
3 8
4 8
8
4 8
3 8
Vì 4 3
8
4 8
4 < => 3 4 4
8
4 8
3 8
3 4
4 8
3 8
+ => M < N
Dạng 5: Tìm số các chữ số của một luỹ thừa
Số 14: Tìm các chữ số của các số n và m trong các trờng hợp sau:
a, n = 83 155
b, m = 416 525
Giải: a, Ta có n = 83 155 = (23)3.(3.5)5 = 29 35 55
= 2 4 35 (2.5)5 = 16.243 105 = 3888 105
Số 3888 105 gồm 3888 theo sau là 5 chữ số 0 nên số này có 9 chữ số
Vậy n có 9 chữ số
b, Ta có : m = 416 525 = (22)16 525
= 232.525 = 27.(225.525) = 128.1025
Số 128.1025 gồm 128 theo sau là 25 chữ số 0 nên số này có tất cả 28 chữ số Vậy m có 28 chữ số.
*Phơng pháp giải:
Nhóm các luỹ thừa thích hợp nhằm làm xuất hiện luỹ thừa của 10, từ đó
lập luận tìm số chữ số của số đó
Dạng 6: Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa
Dạng 6.1: Tìm một chữ số tận cùng
Số15: Tìm các chữ số tận cùng của các số sau
a, 342008
b, 735
Giải: a, 342008 = (34)1004 2 = (342)1004 = (…6)1004 = (…6)
Vậy 342008 có tận cùng là 6
b, 735 = (7)4.8 + 3 = (74)8 73 = (…1)8 243 = (…3)
Vậy 735 có tận cùng là 3
- Các số có tận cùng bằng 0; 1; 5; 6 nâng lên luỹ thừa nào ( khác 0 ) thì tận cùng vẫn là chính số đó.
Các dạng toán về luỹ thừa và phơng pháp giải
Trang 9- Các số có tận cùng là 2; 4; 8 khi nâng lên luỹ thừa 4n (n∈N*) có tận cùng là 6.
1.
Dạng 6.2: Tìm hai chữ số tận cùng
Số16: Tìm hai chữ số tận cùng của
a, 2100 b, 72007
Giải
a, Ta thấy 210 = 1024
Bình phơng của số có tận cùng là 24 thì tận cùng là 76
Số có tận cùng là 76 nâng lên luỹ thừa nào( khác 0) cũng có tận cùng là 76.
Do đó: 2100 = (210)10 = 102410 = ( 10242)5 = (…76)5 =(…76)
Vậy 2100 có hai chữ số tận cùng là 76
b, Vì 74 = 2401
Số có tận cùng là 01 khi nâng lên luỹ thừa nào( khác 0) cũng có tận cùng là 01
Do đó: 7 2007 = (74)501 73 = ( 2401)501 343 = (…01) 43 = (…43)
Vậy 72007 có hai chữ số tận cùng là 43
* Nhận xét:
có tận cùng là chính nó
- Các số 3 20 (hay 81 5 ) ; 7 4 ; 51 2 ; 99 2 có tận cùng bằng 01
- Các số 2 20 ; 6 5 ; 18 4 ; 24 2 ; 68 4 ; 74 2 có tận cùng là 76
- Số 26 n (n >1) có tận cùng là 76.
Dạng 6.3: Tìm ba chữ số tận cùng trở lên
Số 17: Tìm ba chữ số tận cùng của 52005
Giải: Vì 54 = 625
Số có tận cùng là 625 dù nâng lên luỹ thừa nào (khác 0) vẫn có tận cùng là 625
Do đó : 52005 = (54)501 5 = (625)501 5 = (…625) 5 = (…125) Vậy 52005 có ba chữ số tận cùng là 125
* Nhận xét:
cũng có tận cùng là chính nó.
cùng là 0625.
Dạng 7: Luỹ thừa trong toán chứng minh chia hết
Trang 10Dạng 7.1: Vận dụng chữ số tận cùng của luỹ thừa
Số 18*: Chứng minh : a, 7777197 – 3333163 chia hết cho 10
b,
5
1
2 4n + 2 +
là một số tự nhiên (∀n∈N) Giải: a,Vì một số có tận cùng bằng 0 thì chia hết cho 10 nên ta cần chứng tỏ hiệu
7777197 – 3333163 có tận cùng bằng 0
Ta có: 7777197 = (7777)196+1 = (77774)49 7 = (…1)49 7 = (…7)
3333163 = (3333)160+3 = ( 33334)40 33 = (…1)40 27 = (…7)
Do đó 7777197 – 3333163 có tận cùng là 7 – 7 = 0 nên chia hết cho 10
b, Để c/m
5
1
2 4n + 2 +
là một số tự nhiên, ta cần c/m tử chia hết cho mẫu ( tức là 24n+2 + 1 5 ; ∀n∈N)
Ta có: 24n+2 + 1 = (24)n 22 + 1 = (…6)n 4 + 1 = (…5) (∀n∈N)
Vậy 24n+2 + 1 có tận cùng là 5 nên chia hết cho 5
hay
5
1
2 4n + 2 +
là một số tự nhiên (∀n∈N)
- Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 5; 10; …
Dạng 7.2: Sử dụng tính chia hết của một tích
Số19: Chứng minh rằng:
a, 76 + 75 – 74 chia hết cho 11
b*, 2454 5424 210 chia hết cho 7263
Giải: a, Ta có: 76 + 75 – 74 = 74 (72 + 7 – 1) = 74 (49 + 7 – 1)
= 74 55 = 74 5 11 11
b, Ta có 7263 = (8.9)63 = (23 32)63 = 23.63 33.63 = 2189 3126
2454 = (3.8)54 = (3 23)54 = 354 23 54 = 354 2162
5424 = (2.27)24 = (2.33)24 = 224 33.24 = 224 372
Do đó: 2454 5424 210 = 354 2162 224 372 210
= 2162 + 24 + 10 354 + 72 = 2196 3126
= 27 (23)63 (32)63 = 27 (8.9)63 = 27 7263 7263
Vậy 2454 5424 210
7263
Số 20: Chứng minh rằng với mọi số nguyên dơng n thì:
a, 3n +2 – 2n+2 + 3n – 2n
10
b, 3n+3 + 3n+1 + 2n+3 + 2n+2
6 Các dạng toán về luỹ thừa và phơng pháp giải