- Khi học kiến thức về luỹ thừa với số mũ tự nhiên từ một trong loại bài tập mà các em thờng gặp là so sánh hai luỹ thừa.. + Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số lớn hơn 1 thì luỹu thừa nào có
Trang 1Chuyên đề 1
So sánh hai luỹ thừa
A Mục tiêu.
- Khi học kiến thức về luỹ thừa với số mũ tự nhiên từ một trong loại bài tập mà các em thờng gặp là so sánh hai luỹ thừa
- Giáo viên cần bổ sung cho học sinh về kiến thức so sánh hai luỹ thừa
- Từ đó học sinh vận dụng linh hoạt vào giải bài tập
B Nội dung chuyền đạt.
I Kiến thức cơ bản.
1 Để so sánh hai luỹ thừa, ta thờng đa về so sánh hai luỹ thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ
+ Nếu hai luỹ thừa có cùng cơ số (lớn hơn 1) thì luỹu thừa nào có số mũ lớn hơn sẽ lớn hơn
+ Nếu hai luỹ thừa có cùng số mũ (>0) thì luỹ thừa nào có cơ số lớn hơn
sẽ lớn hơn
2 Ngoài hai cách trên, để so sánh hai luỹ thừa ta còn dùng tính chất bắc cầu, tính chất đơn điệu của phép nhân
(a<b thì a.c<b.c với c>0)
Ví dụ: So sánh 3210 và 1615, số nào lớn hơn
Hớng dẫn:
Các cơ số 32 và 16 tuy khác nhau nhng đều là luỹ thừa của 2 lên ta tìm cách đa 3210 và 1615 về luỹ thừa cùng cơ số 2
3210 = (25)10 = 250
1615 = (24)15 = 260
Vì 250 < 260 suy ra 3210 < 1615
II áp dụng làm bài tập.
Bài 1: So sánh các số sau, số nào lớn hơn?
a) 2711 và 818 b) 6255 và 1257
c) 536 và 1124 d) 32n và 23n (n ∈ N* )
Hớng dẫn:
a) Đa về cùng cơ số 3
b) Đa về cùng cơ số 5
c) Đa về cùng số mũ 12
d) Đa về cùng số mũ n
Bài 2: So sánh các số sau, số nào lớn hơn?
a) 523 và 6.522
b) 7.213 và 216
c) 2115 và 275.498
Hớng dẫn:
a) Đa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau 522
b) Đa hai số về dạng một tích trong đó có thừa số giống nhau là 213 c) Đa hai số về dạng một tích 2 luỹ thừa cơ số là 7 và 3
Bài 3: So sánh các số sau, số nào lớn hơn.
a) 19920 và 200315
b) 339 và 1121
Hớng dẫn :
a) 19920 < 20020 = (23 52)20 = 260 540
200315 > 200015 = (2.103)15 = (24 53)15 = 260.545
b) 339 <340 = (32)20 = 920<1121
Bài4: So sánh 2 hiệu,hiệu nào lớn hơn?
Nếu m>n thì am>an (a>1)
Nếu a>b thì an>bn ( n>0)
Trang 272 45-7244và 72 44-7243.
Hớng dẫn:
7245-7244=7245(72-1)=7245.71
7244-7244=7244(72-1)=7244.71
Bài5:Tìm x∈Nbiết:
a, 16x<1284.
b, 5x.5x+1.5x+2 ≤100 0:218.
Hớng dẫn:
a, Đa 2vế về cùng cơ số 2
⇒luỹ thừa nhỏ hơn⇒số mũ nhỏ hơn
Từ đó tìm x
b, Đa 2vế về cùng cơ số 5⇒x
Bài6:Cho S=1+2+22+23+ +29
Hãy so sánh S với 5.28
Hớng dẫn: 2S=2+22+23+24+ +210
⇒2S-S=210-1(210=22.28=4.28<5.28)
Bài7: Gọi m là các số có 9chữ số mà trong cách ghi của nó không có chữ số 0 Hãy so sánh m với 10.98
Hớng dẫn:Có 9 cách chọn chữ số hàng trăm triệu
Có 9 cách chọn chữ số hàng chục triệu
⇒m=9.9.9.9.9.9.9.9.9=99
Mà 99 = 9.98 < 10.98
Vậy: m < 10.98
Bài8: Hãy viết số lớn nhất bằng cách dùng3 chữ số1,2,3với điều kiện mỗi chữ số dùng 1 lần và chỉ1 lần
Hớng dẫn:Viết tất cả đợc bao nhiêu: +Trờng hợp không có luỹ thừa
+Có dùng luỹ thừa
+Xét luỹ thừa có:1chữ số
2chữ số
Hãy so sánh các số đó
Số lớn nhất là 321
Bài9: So sánh a) 3131 và 1739 b) 21
2
1 và 35
5
1 Hớng dẫn: a) 3131<3231=2155; 1739>1639 = 2156
b) So sánh 221 với 535
Chuyên đề 2:
Chữ số tận cùng của một tích,một luỹ thừa.
I.Đặt vấn đề.
- Trong thực tế nhiều khi ta không cần biết giá trị của một số mà chỉ cần biết một hay nhiều chữ số tận cùng của nó.Chẳng hạn, khi so số muốn biết có trúng những giải cuối hay không ta chỉ cần so 2 chữ số cuối cùng.Trong toán học,khi xét một số có chia hết cho 2;4;8 hoặc chia hết cho 5;25;125 hay không ta chỉ cần xét 1,2,3 chữ số tận cùng của số đó
- Trang bị cho học sinh những kiến thức tìm chữ số tận cùng của một tích, một luỹ thừa
- Học sinh nắm vững kiến thức này để áp dụng giải bài tập có liên quan
II Nội dung cần truyền đạt.
I.Kiến thức cơ bản
1.Tìm chữ số tận cùng của tích
- Tích các số lẻ là một số lẻ
Đặc biệt tích của một số lẻ có tận cùng là 5 với bất kì số lẻ nào cũng có chữ số tận cùng là 5
- Tích của một số chẵn với bất kì một số tự nhiên nào cũng là một số chẵn
Trang 3Đặc biệt, tích của một số chẵn có tận cùng là 0 với bất kì số tự nhiên nào cũng
có chữ số tận cùng là 0
2 Tìm chữ số tận cùng của một luỹ thừa:chú ý đến những số đặc biệt
a,Tìm một chữ số tận cùng
-Các số có tận cùng là 0;1;5;6 nâng lên luỹ thừa nào(khác0) cũng tận cung bằng .0 ; 1 ; 5 ; 6
- Các số có tận cùng bằng 2 ; 4 ; 8 nâng lên luỹ thừa 4 thì đợc có số tận cùng bằng 6
- Các số có tận cùng bằng 3 ; 7; 9 nâng lên luỹ thừa 4 thì đợc số có tận cùng bằng 1
b Tìm hai chữ số tận cùng
- Các số có tận cùng là 01 ; 25 ; 76 nâng lên luỹ thừa nào ( khác 0 ) cũng tận cùng bằng 01 ; 25 ; 76
c Tìm ba chữ số tận cùng trở lên
- Các số có tận cùng 001 ; 376 ; 625 nâng lên luỹ thừa nào ( khác 0) cũng tận cùng bằng 001 ; 376 ; 625
- Số có chữ số tận cùng bằng 0625 nâng lên luỹ thừa nào ( khác 0) cũng tận cùng bằng 0625
3 Một số chính phơng thì không có tận cùng bằng 2 ; 3 ; 7 ; 8
II áp dụng làm bài tập
Bài1 : Chứng tỏ rằng các tổng sau chia hết cho 10
a) 175 + 244 - 1321
b) 51n + 47 102 .
Hớng dẫn: Chứng tỏ chữ số tận cùng của tổng bằng 0.
Bài2 : Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n :
a) 74n - 1 chia hết cho 5
b) 34n+1 + 2 chia hết cho 5
c) 24n+1 + 3 chia hết cho 5
d) 24n+2 + 1 chia hết cho 5
e) 92n+1 + 1 chia hết cho 10
Hớng dẫn : Chứng tỏ tổng a) , b) , c), d) có chữ số tận cùng là 0 hoặc 5
Chứng tỏ tổng e) có chữ số tận cùng là 0
Baì4: Tìm chữ số tận cùng của các sô sau:
7 5
6 7
a) 2345 b) 5796
Hớng dẫn: 7
5 6 là một số lẻ đều có dạng 2n + 1 (n∈N*)
5
67 là một số chẵn có dạng 2n ( n∈N*)
Bài5 : Tìm hai chữ số tận cùng của
99
a) 5151 b) 9999 c) 6666 d) 14101 16101
Hớng dẫn : đa về dạng (an)m , trong đó an có hai chữ số tận cùng là 01 hoặc 76 Bài 6: Tích của các số lẻ liên tiếp có tận cùng là 7 Hỏi tích đó có bao nhiêu thừa
số ?
* Hớng dẫn : Dùng P2 để loại trừ
- Nếu tích là 5 thừa số lẻ liên tiếp trở lên thì ít nhất cũng có một thừa số có chữ
số tận cùng là 5 do đó tích phải có tận cùng là 5 , trái đề bài ,vậy thừa số của tích nhỏ hơn 5
- Nếu tích có 4 thừa số lẻ liên tiếp thì hoặc tích có tận cùng bằng 5 hoặc tận cùng bằng 9 , trái đề bài
- Nếu tích có 2 thừa số lẻ liên tiếp thì tích có tận cùng là 3 hoặc 5 hoặc 9 trái đề bài
Vậy tích đó chỉ có 3 thừa số ví dụ: ( 9 ) ( 1 ) ( 3 ) = 7
Trang 4Bài 7: Tích A = 2.22 23 210x 52 54 56 .5 14 tận cùng là bao nhiêu chữ số 0
Hớng dẫn: Tích của 1 thừa số 2 và 1 thừa số 5 có tận cùng là 1 chữ số 0
Bài 8: Cho S = 1 + 31 +32+ 33 + + 330
Tìm chữ số tận cùng của S, từ đó suy ra S không phải là số chính phơng
Hớng dẫn: 2S = 3S - S =331 -1 =328 33 -1
= ( 34 )7 27 -1 = 1 27 -1 = 6
⇒2S = 6 ⇒S = 3
Số chính phơng không có tận cùng là 3 ⇒đpcm
Bài 9: Trong các số tự nhiên từ 1 đến 10 000, có bao nhiêu chữ số tận cùng bằng
1 mà viết đợc dới dạng 8m +5n (m,n ∈N*)?
Hớng dẫn: 5n có tận là 5 với n∈N*
⇒ 8m có tận cùng là 6 ⇒m = 4k (k∈N*)
Vì 85 > 10 000⇒m = 4
⇒ các số phải đếm có dạng 84 + 5n với n = 1 , 2 , 3 , 4 , 5 có 5 số Bài10: Có số tự nhiên n nào thoả mãn:
n2 = 20072007 2007không?
Hớng dẫn: n2 = 20072007 2006
n2 là số chính phơng có tận cùng là 6 2
⇒n2
4 Mà 20072007 2006 không chia hết cho 4 ( vì 06 không chia hết cho 4)
Vậy không có số tự nhiên nào
Bài 11: Tìm 4 chữ số tận cùng của số:
A = 51994
Hớngdẫn: 54 = 0625 tận cùng là 0625
55 = 3125 tận cùng là 3125
56 tận cùng là 5625
57 tận cùng là 8125
58 tận cùng là 0625
59 tận cùng là 3125
510 tận cùng là 5625
511 tận cùng là 8125
512 tận cùng là 0625
Chu kì của hiện tợng lặp lại là 4
Suy ra 54m tận cùng là 0625 ⇒54m+2 tận cùnglà 5625
Mà 1994 có dạng 4m+2 ⇒51994 tận cùng là 5625
Bài 12: Chứng minh rằng chữ số tận cùng của các số tự nhiên n và n5 là nh nhau
Hớng dẫn: Cách 1: Xét chữ số tận cùng của n ⇒ chữ số tận cùng tơng ứng của n5
Cách2: Đa về chứng minh ( n5 - n ) 10
Biến đổi n5 - n = n.(n-1).(n +1).(n2+1)
Bài tập giải tơng tự các bài tập trên:
Bài 13:Tìm chữ số cuối cùng của số:
9
a) A = 99
4
b) B = 23
Bài14: Tìm hai chữ tận cùng của số :
a) M = 2999
b) N = 3999
Bài 15: Cho số tự nhiên n Chứng minh rằng :
Trang 5a) NÕu n tËn cïng b»ng ch÷ sè ch½n th× n vµ 6n cã ch÷ sè tËn cïng nh nhau
b) NÕu n tËn cïng b»ng ch÷ sè lÎ kh¸c 5 th× n4 tËn cïng b»ng 1 NÕu n tËn cïng b»ng ch÷ sè ch½n kh¸c 0 th× n4 tËn cïng b»ng 6
Trang 6Chuyên đễ 3 Nguyên lí điriclê và bài toán chia hết.
A Đặt vấn đề:
Sau khi học xong về phép chia ngoài việc rèn luyện các kĩ năng tính toán thành thạo phép chia giáo viên cần phải mở rộng kiến thức liên quan đến phép chia nh phép đồng d, mối liên hệ nguyên lí điriclê và bài toán chia hết giúp học sinh rèn khả năng t duy sáng tạo để làm đợc những bài tập nâng cao
B.Nội dung cần truyền đạt
B Kiến thức cơ bản.
Nếu nhốt a con thỏ vào b cái lồng mà a = b.q + r (0< r <q ) thì ít nhất cũng
có một lồng nhốt từ q+1 con thỏ trở lên
* Chú ý cho học sinh: Khi giải bài toán vận dụng nguyên lí điriclê cần suy nghĩ để làm xuất hiện " thỏ" và "lồng", khái niệm "nhốt thỏ vào lồng" nhng khi trình bày lời giải ta cố gắng diễn đạt theo ngôn ngữ toán học thông thờng
Ví dụ: Cho 9 số tự nhiên bất kì Chứng minh rằng có thể chọn ra 2 số mà hiệu của chúng chia hết cho 8
Phân tích: Coi 9 số là 9 con thỏ Chín con thỏ này đợc nhốt trong mấy lồng ?
Ta biết rằng khi chia một số cho 8 thì số d chỉ có thể là một trong8 số:0 ; 1 ; 2
; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 Có 9 số tự nhiên chia cho 8 mà chỉ có 8 số d nên theo nguyên lí
điriclê thì cũng có ít nhất 2 số chia cho 8 có cùng số d Hiệu 2 số này chia hết cho 8
Trình bày lời giải:
Khi chia một số tự nhiên bất kì cho 8 thì số d r chỉ có thể lấy một trong 8 giá trị là:0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 mà có 9 số tự nhiên chia cho 8 mà chỉ có 8 số d nên theo nguyên lí điriclê thì ít nhất cũng có 2 số chia cho 8 có cùng số d.Hiệu 2
số này chia hết cho 8
Đa cho học sinh nhận xét trong n + 1 số tự nhiên , bao giờ cũng có thể chọn ra hai số mà hiệu của chúng chia hết cho n ( n ∈N* )
C.Bài tập áp dụng:
Bài 1:Chứng minh rằng trong 11 số tự nhiên bất kì bao giờ cũng có ít nhất hai số
có chữ số tận cùng giống nhau
Hớng dẫn:
Cách 1: Xét trong phép chia cho 10
Có 11 số chia cho 10 có ít nhất hai số có cùng số d ⇒hiệu hai số này chia hết cho 10 Hay hiệu hai số có chữ số tận cùng là 0 ⇒hai số này có chữ số tận cùng giống nhau
Cách 2: Có 11 số mà một số tự nhiên bất kì chỉ có chữ số tận cùng là một trong
10 số đó là: 0 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9
⇒đpcm
Bài 2: Chứng minh rằng tồn tại một bội của 13 gồm toàn chữ số 2
Hớng dẫn: Xét dãy số gồm 14 số hạng:
2 ; 22 ; 222 ; 2222 ; ; 22 2
14 chữ số 2
Có 14 số xét , trong phép chia cho 13→có hiệu hai số chia hết cho 13
Mà hiệu hai số ( số lớn trừ số nhỏ ) có dạng:
22 2000 0 = 22 2 10n
⇒22 2 10n
13 mà ( 10n , 13 ) =1
⇒22 2 13 ( đpcm )
Bài 3: Cho dãy số : 10 ; 102 ; 103 ; ;1020
Chứng minh rằng tồn tại một số chia cho 19 d 1
Hớng dẫn:
Dãy số có 20 số, xét trong phép chia cho 19 ⇒có ít nhất hai số có cùng số d ⇒hiệu hai số chia hết cho 19 Mà hiệu hai số có dạng:
10m -10n = 10n ( 10m-n -1 )
Trang 7⇒10n (10m-n -1 )19 mà (10n, 19 ) =1.
⇒10m-n -1 19
Hay 10k chia 19 d 1( 0 < k < 20 )
Bài 4: cho 3 số lẻ Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 8
Hớng dẫn:
Một số lẻ chia cho 8 thì số d chỉ có thể là một trong 4 số 1 ; 3 ; 5 ; 7 Ta chia
4 số d này làm 2 nhóm ( hai lồng )
Nhóm 1 d 1 hoặc d 7
Nhóm 2 d 3 hoặc d 5
Có ba số lẻ ( ba "thỏ" ) mà chỉ có hai nhóm số d ( hai "lồng" ) nên tồn tại hai
số cùng thuộc một nhóm ⇒đpcm
Bài 5: Cho ba số nguyên tố lớn hơn 3 Chứng minh rằng tồn tại hai số có tổng hoặc hiệu chia hết cho 12
Hớng dẫn: Một số nguyên tố lớn hơ 3 chia cho 12 thì số d chỉ có thể là một trong 4 số 1 ; 5 ; 7 ; 11 chia thành 2 nhóm: nhóm d 1 hoặc d 11; nhóm d 5 hoặc
d 7
⇒đpcm
Bài 6: Chứng minh rằng trong ba số tự nhiên bất kì luôn chọn ra đợc hai số có tổng chia hết cho 2
Hớng dẫn: Có 2 lồng là chẵn - lẻ
Và có ba thỏ là ba số
Bài 7: Cho bảy số tự nhiên bất kì Chứng minh rằng ta luôn chọn đợc 4 số có tổng chia hết cho 4
Hớng dẫn: Gọi 7 số đó là a1, a2, a3 , a4, a5, a6, a7
Theo bài tập trên ta chọn đợc 2 số có tổng chia hết cho 2 Chẳng hạn
a1 + a2 = 2k1.Còn 5 số lại chọn đợc hai số chia hết cho hai, chẳng hạn a3 + a4= 2k2 Còn ba số , lại chọn đợc 2 số, chẳng hạn chia hết cho 2, chẳng hạn a5+ a6 = 2k3 Xét ba số k1, k2,k3 ta lịa chọn đợc 2 số chia hết cho 2 chẳng hạn k1+k2=2m
nh vậy:
2k1+2k2 = 4m
Hay a1+a2+a3+a4=4m chia hết cho 4
Bài 8: Chứng minh rằng trong 5 số tự nhiên bất kỳ luôn chọn đợc ba số có tổng chia hết cho 3
Hớng dẫn: Bất kỳ số tự nhiên nào cũng chỉ có một trong ba dạng 3k, 3k+1, 3k+2 ( k∈N)
Trờng hợp 1: Có ít nhất 3 số cùng một dạng ⇒ Tổng của 3 số này chia hết cho 3
Trờng hợp 2: Có 2 số thuộc một dạng nào đó suy ra mỗi dạng có ít nhất là một số ⇒ Tổng 3 số ở 3 dạng có ít nhất là một số ⇒ Tổng 3 số ở 3 dạng chia hết cho 3
Bài 9: Cho năm số tự nhiên lẻ bất kỳ Chứng minh rằng luôn chọn đợc 4 số có tổng chia hết cho 4
Hớng dẫn: Một số lẻ chia hết cho 4 thì số d chỉ là 1 hoặc 3 Tức là số lẻ chỉ có một trong 2 dạng 4k+1 hoặc 4k+2
Nếu có ít nhất bốn số thuộc cùng 1 dạng tổng của 4 số đó chia hết cho 4 Nếu không nh vậy thì mỗi dạng có ít nhất 2 số, ta chọn 2 số ở dạng này
và 2 số ở dạng kia thì tổng của 4 số này chia hết cho 4
Bài 10: Viết 6 số tự nhiên vào 6 mặt của 1 con súc sắc Chứng minh rằng khi ta gieo súc sắc xuống bàn thì trong 5 mặt có thể nhìn thấy bao giờ cúng tìm đợc 1 hay nhiều mặt để tổng các số trên đó chia hết cho 5
Hớng dẫn: Gọi các số trên 5 mặt là a1, a2, a3, a4, a5
Xét 5 tổng:
S1= a1.
Trang 8S2= a1+a2
S3=a1+a2+a3
S4=a1+a2+a3+a4
S4=a1+a2+a3+a4+a5
- Nêu có 1 trong 5 tổng đó chia hết cho 5 thì bài toán đã giải song
- Nếu không có tổng nào chia hết cho 5 thì tồn tại hai tổng có cùng số d khi chia cho 5⇒ hiệu hai tổng này chia hết cho 5 Gọi 2 tổng là Sivà Sj (1≤i<
J≤5)
thì Sj -Si chia hết 5 hay (a1+a2+ +aJ) - (a1+a2+ +aJ) = ai+1+ai+2+ +aJ chia hết cho 5
Bài 11 Có tồn tại hay không số có dạng
20072007 200700 0 chia hết cho 2005
Hớng dẫn:
Xét dãy số 2007, 20072007, 200720072007, ,
2007 2006
2007
20072007
so
trong phép chia cho 2005 có it nhất hiệu hai số chia hết cho 2005 Hiệu hai
số này ( số lớn trừ số nhỏ ) có dạng 20072007 200700 0
Bai 12: Chứng minh tồn tại một số tự nhiên x < 17 sao cho
25x -1 17
Hớng dẫn : Xét dãy số gồm 17 số hạng sau :
25 ; 252 ; 253 ; ; 2517
Chia số hạng của dãy (1) cho 17 Vì (25,17) =1 nên (25n ,1) = 1 ∀n∈ N và n ≥ 1 Xét trong phép chia cho 17 dãy số trên có ít nhất hai số chia cho
17 có cùng số d
Gọi 2 số đó là 25m và 25n với m , n∈N và 1≤ m <n ≤ 17
⇒ 25n - 25m
17 ⇔25m ( 25n - m -1 ) 17 vì ( 25m , 17 ) = 1⇒đpcm
Chuyên đề 4 Một số phơng pháp đặc biệt để so sánh hai phân số
A Đặt vấn đề:
Để so sánh hai phân số ngoài cách quy đồng mẫu hoặc tử (các so sánh
"hai tích chéo" thực chất là quy đồng mẫu số), trong một số trờng hợp cụ thể, tuỳ theo đặc điểm của các phân số, ta còn có thể so sánh bằng một số phơng pháp khác Tính chất bắc cầu của thứ tự thờng đợc sử dụng, trong đó phát hiện ra phân
số trung gian để làm cầu nối là vấn đề quan trọng
B Nội dung cần truyền đạt.
I Kiến thức cơ bản
1 Dùng số 1 làm trung gian
a) Nếu
b
a> 1 và
d
c < 1 thì
b
a>
d
c b) Nếu
b
a = 1 + M ;
d
c = 1 +N
mà M>N thì
d
c b
a
>
M và N theo thứ tự gọi là "phần thừa" so với 1 của hai phân số đã cho
* Nếu hai phân số có "phần thừa" so với 1 khác nhau, phân số nào có
"phần thừa" lớn hơn thì lớn hơn.
Ví dụ:
Trang 9199 = 1 +
198
199
200 = 1 +
199 1
Vì
198
1 >
199
1 nên
198
199 >
199 200
c) Nếu
b
a = 1- M ;
d
c = 1 + N nếu M > N thì
b
a <
d
c
M và N theo thứ tự gọi là "phần thiếu" hay "phần bù" tới đơn vị của hai phân số đã cho
* Nếu hai phân số có "phần bù" tới đơn vị khác nhau, phân số nào có
"phần bù" lớn hơn thì phần số đó nhỏ hơn.
Ví dụ:
2006
2005 = 1 -
2006
1 ;
2007
2006 = 1 +
2007
1 Vì
2006
1 >
2007
1 nên
2006
2005 <
2007
2006
2 Dùng một số phân số làm trung gian
Ví dụ : So sánh
31
18 và
37 15
Giải: Xét phân số trung gian
37
18 ( Phân số này có tử là tử của phân số thứ nhất, có mẫu là mẫu của phân số thứ 2) Ta thấy:
31
18 >
37
18 và
37
18 >
31
15 suy ra
31
18 >
37
15 ( tính chất bắc cầu) (Ta cũng có thể lấy phân số
31
15 làm phân số trung gian)
b) Ví dụ : So sánh
47
12 và
17 19
Giải: cả hai phân số
47
12 và
77
19 đều xấp xỉ
4
1 nên ta dùng phân số
4
1 làm trung gian
Ta có:
47
12 >
48
12 =
4 1
77
19 <
76
19 =
4 1
Suy ra
47
12 >
77
19
II Bài tập áp dụng:
Bài 1: So sánh
a)
85
64 và
81
73 b)
2
1
+
+
n
3
+
n
n ( n∈N*) Hớng dẫn: b) Dùng phân số
81
64 (hoặc
85
73) làm phân số trung gian
b) dùng phân số
3
1
+
+
n
n (hoặc
2
+
n
n ) làm phân số trung gian
Bài 2: So sánh
a)
77
67 và
83
73 b)
461
456 và
128
123 c)
2004 2003
1 2004
2005 2004
1 2005
Hớng dẫn: Mẫu của hai phân số đều hơn tử cùng một số đơn vị nên ta sử dụng
so sánh "phần bù"của hai phân số tới đơn vị
Trang 10Bài 3: So sánh:
a)
12
11 và
49
16 b)
89
58 và
53 36
Hớng dẫn: a) Hai phân số
32
11 và
49
16 đều xấp xỉ
3
1 nên ta dùng phân số
3
1làm trung gian
b) Hai phân số
89
58 và
53
36 đều xấp xỉ
3
2 nên ta dùng phân số
3
2 làm phân số trung gian
Baì 4: So sánh các phân số
A =
2323 353535
232323
.
2535 ; B =
3534
3535 ; C =
2322
2323
Hớng dẫn : Rút gọn A = = 1
B = 1 +
3534 1
2322
1
Từ đó suy ra : A < B < C
Bài 5: So sánh :
A =
52 44 26 22
) 26 22 13 11 (
5
−
− và B =
548 137
690 138
2
2
−
−
Hớng dẫn : Rút gọn A = =
4
5 = 1 +
4
1
B = =
137
138 = 1 +
137 1
Vì
4
1 >
137
1 nên A > B Bài 6: So sánh
a)
57
53 và
571
531 ; b)
26
25 và
26261
25251
Hớng dẫn :
a)
57
53 =
570
530 = 1 -
570
40 ;
571
531 = 1 -
571 40
b)
26
25= 1 +
26
1 = 1 +
26260
1010 ;
26261
25251 = 1 +
26261
1010
Bài 7: Cho a , b , m ∈ N*
Hãy so sánh
m b
m a
+
+ với
b
Hớng dẫn : Ta xét ba trờng hợp
b
a =1 ;
b
a < 1 ;
b
a > 1
a) Trờng hợp :
b
a = 1 ⇔ a = b thì
m b
m a
+
+ =
b
b) Trờng hợp :
b
a < 1 ⇔a < b ⇔ a + m = b + m
m b
m a
+
+ = 1 -
m b
a b
+
− ;
b
a = 1 -
b a