CHUYÊN ĐỀ TOÁN LŨY THỪA CẤP THCS

Để tìm được ba chữ số cuối của một lũy thừa đã là khó với học sinh, bài này lại yêu cầu tìm ba chữ số cuối của một tích các lũy thừa thì quả thật là rất khó... Dạng 4: Tính toán trên các[r]

(1)

CHUYÊN ĐỂ TOÁN LŨY THỪA

I. NỘI DUNG CHÍNH

1 Hệ thống hóa kiến thức bản 2 Kiến thức mở rộng, nâng cao

3 Một số dạng toán thường gặp phương pháp giải 3.1 Dạng1: Tìm số chưa biết

3.1.1 Tìm số, thành phần số luỹ thừa 3.1.2 Tìm số mũ, thành phần số mũ luỹ thừa 3.1.3 Một số trường hợp khác

3.2 Dạng Tìm chữ số tận giá trị luỹ thừa

3.2.1 Tìm chữ số tận 3.2.2 Tìm hai chữ số tận 3.2.3 Tìm chữ số tận trở lên

3.3 Dạng So sánh hai luỹ thừa

3.4 Dạng Tính tốn luỹ thừa 3.5 Dạng Toán đố với luỹ thừ

II PHƯƠNG PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1 Hệ thống hóa kiến thức bản

Muốn học tốt kiến thức toán lũy thừa, em học sinh cần phải hiểu, nhớ công thức lũy thừa bản, từ vận dụng để giải tập từ đến nâng cao

a) Định nghĩa luỹ thừa với số mũ tự nhiên: an =     

a a a

(n  N*) n thừa số

b) Một số tính chất:

Với a, b, m, n  N

 am an = am+n,

(2)

 (a.b)m = am bm (m ≠ 0)  (am)n = am.n (m,n ≠ 0)  am an ap = am+n+p (p  N)

Quy ước:

 a1 = a

 a0 = (a ≠ 0)

Với : x, y  Q; m, n  N; a, b  Z  xn =

   x.x x

(x  N*) n thừa số

 n

n n

b a b a

      

(b ≠ 0, n ≠ 0)  xo =

 xm xn = xm+n



m

m n n

x x x





(x ≠ 0)  x-n = xn

1

(x ≠ 0)  (xm)n = xm.n  (x.y)m = xm ym



n n

n

x x

y y

    

  (y ≠ 0) 2 Kiến thức mở rộng, nâng cao

Đây kiến thức không giới thiệu sách giáo khoa toán giải tập nâng cao cần phải có kiến thức

Với x, y, z  Q:

 x < y <=> x + z < y + z

 Với z > thì: x < y <=> x z < y z  z < thì: x < y <=> x z > y z

Với x  Q, n  N:

(3)

Với a, b  Q:

 a > b > => an > bn  a > b <=> a2n +1 > b2n +  a > 1, m > n > => am > an  < a < 1, m > n > => am < an 3 Một số dạng toán thường gặp phương pháp giải 3.1 Dạng 1: Tìm số chưa biết

3.1.1 Tìm số, thành phần số luỹ thừa Phương pháp chung: Đưa hai lũy thừa số mũ

Bài Tìm x biết rằng:

a) x3 = -27 b) (2x – 1)3 = 8 c) (x – 2)2 = 16 d) (2x – 3)2 =

Phương pháp giải

Đối với toán dạng này, học sinh cần nắm vững kiến thức dễ dàng làm được, lưu ý đối câu a) câu b), biểu thức có số mũ lẻ ta áp dụng công thức tổng quát: A2n + 1 = B2n +

 A = B

a) x3 = -27 b) (2x – 1)3 = 8  x3 = (-3)3

 (2x – 1)3 = 23  x = -3  2x – =

Vậy x = -  2x = +  2x =

 x =

(4)

Còn câu c) câu d) biểu thức có số mũ chẵn nên ta áp dụng công thức tổng quát: A2n = B2n

 A = B A = -B c) (2x – 3)2 = => (2x – 3)2 = (-3)2 = 32

2 3 3 3

2 3 3 0

x x x x            

  Vậy x = x = 0.

d) (x - 2)2 = 16 => (x - 2)2 = (-4)2 = 42

x x

  

 

   

  

  Vậy x = -2 x = 6

Bài Tìm số hữu tỉ x biết: x2 = x5

Nếu học sinh làm thấy nhẹ nhàng đến không tránh khỏi băn khoăn, lúng túng: hai lũy thừa số chưa biết, số mũ biết lại khác Vậy phải làm cách đây? Nhiều học sinh “tìm mị” x = x = 1, cách khơng thuyết phục cịn số x thỏa mãn đề ?

Giáo viên gợi ý:

x2 = x5

 x5 – x2 =

 x2.(x3 - 1) = =>      x x

=>     x x

Đến giáo viên cho học sinh làm tập sau:

Bài Tìm số hữu tỉ y biết: (3y - 1)10 = (3y - 1)20 (*) Phương pháp giải

Hướng dẫn: Đặt 3y – = x Khi (*) trở thành: x10 = x20

Giải tương tự ta được:      10 10 x x

=>    10 x x

=> 

(5)

Rất học sinh dừng lại đây, tìm x Nhưng đề yêu cầu tìm y nên ta phải thay trở lại điều kiện đặt để tìm y

 Với x = ta có : 3y -1 =  3y =  y =

 Với x = -1 ta có : 3y – = -1  3y =  y = Vậy y =

1 ;

2 ;

Bài Tìm x biết: (x - 5)2 = (1 – 3x)2

Bài ngược với trên, hai lũy thừa có số mũ biết giống số chưa biết lại khác Lúc ta cần sử dụng tính chất: bình phương hai lũy thừa hai số đối

Ta có: (x - 5)2 = (1 – 3x)2

3 x 3x x

2

x 3x x 2



   

 

  

   

 



Bài Tìm x y biết: (3x - 5)100 + (2y + 1)200  (*) Phương pháp giải

Với toán này, số số mũ hai lũy thừa không giống nhau, lại phải tìm hai số x y bên cạnh dấu “ ”, thật khó! Lúc cần gợi ý nhỏ

giáo viên em giải vấn đề: so sánh (3x - 5)100 (2y +1)200 với

Ta thấy: (3x - 5)100  0,x Q (2y +1)200  0, x Q

=> Biểu thức (*) 0, khơng thể nhỏ Vậy: (3x - 5)100 + (2y + 1)200 =

(3x - 5)100 = (2y + 1)200 = 0 => 3x – = 2y + =

 x =

y =

(6)

Bài Tìm số nguyên x y cho: (x + 2)2 + 2(y – 3)2 < 3 Phương pháp giải

Theo 3, học sinh nhận ngay: (x + 2)2  0, x Z (1) 2(y – 3)2  0, x Z (2)

Nhưng nảy sinh vấn đề “ < ”, học sinh làm Giáo viên gợi ý: Từ (1) (2) suy ra, để: (x + 2)2 + 2(y – 3)2 < xảy những trường hợp sau:

 Trường hợp 1: (x + 2)2 = (y – 3)2 =

x

y    

 

 Trường hợp 2: (x + 2)2 = (y – 3)2 =

x

y y      



 





 Trường hợp 3: (x + 2)2 = (y – 3)2 =

x

y      

  

 Trường hợp 4: (x + 2)2 = (y – 3)2 =

x

y y   

   

  

  





Vậy ta có bảng giá trị tương ứng x y thỏa mãn đề :

x -2 -2 -2 -1 -3 -1 -3

y 3

Thật tốn phức tạp! Nếu khơng cẩn thận xét thiếu trường hợp, bỏ sót cặp giá trị x y thỏa mãn điều kiện đề

Bây giáo viên cho học sinh làm tốn tương tự sau:

1) Tìm x biết:

a) (2x – 1)4 = 81 b) (x -2)2 = 1 c) (x - 1)5 = - 32 d) (4x - 3)3 = -125

(7)

a) y200 = y b) y2008 = y2010 c) (2y - 1)50 = 2y – 1 d) (3

y

-5 )2000 = (3 y

-5 )2008

3) Tìm a, b, c biết :

a) (2a + 1)2 + (b + 3)4 + (5c - 6)2  0 b) (a - 7)2 + (3b + 2)2 + (4c - 5)6  0 c) (12a - 9)2 + (8b + 1)4 + (c +19)6  0

d) (7b -3)4 + (21a - 6)4 + (18c +5)6  0

3.1.2 Tìm số mũ, thành phần số mũ lũy thừa. Phương pháp chung: đưa hai lũy thừa có số

Bài Tìm n  N, biết:

a) 2008n = 1 c) 32-n 16n = 1024 b) 5n + 5n+2 = 650 d) 3-1.3n + 5.3n-1 = 162

Phương pháp giải Đọc đề học sinh dễ dàng làm câu a a) 2008n =

 2008n = 20080

 n =

Nhưng đến câu b, em vấp phải khó khăn: tổng hai lũy thừa có số khơng số mũ Lúc cần có gợi ý giáo viên:

b) 5n + 5n+2 = 650  5n + 5n.52 = 650  5n.(1 + 25) = 650  5n = 650 : 26  5n = 25 = 52  n =

Theo hướng làm câu b) học sinh biết cách làm câu c) d) c) 32-n 16n = 1024

(8)

d) 3-1.3n + 5.3n-1 = 162  3n-1 + 3n-1 = 162  3n - 1 = 162  3n-1 = 27 = 33  n – =  n =

Bài Tìm hai số tự nhiên m, n biết: 2m + 2n = 2m+n

Học sinh thực thấy khó gặp này, khơng biết phải làm để tìm hai số mũ m n Giáo viên gợi ý :

2m + 2n = 2m+n  2m+n – 2m – 2n = 0  2m.2n - 2m - 2n + = 1  2m(2n - 1) – (2n - 1) = 1  (2m - 1)(2n - 1) = (*) Vì 2m 1, 2n 1, m, n  N

Nên từ (*) =>    

 

1

n m

=>    

 

2

n m

=>  

 

1

n m

Vậy: m = n =

Bài Tìm số tự nhiên n cho: a) < 3n  234 b) 8.16  2n  Phương pháp giải

Đây dạng tốn tìm số mũ lũy thừa điều kiện kép Giáo viên hướng dẫn học sinh đưa số lũy thừa có số

a) < 3n  234

 31 < 3n  35 => n 





b) 8.16  2n   23.24  2n  22 27  2n  22 => n 





Bài Tìm số tự nhiên n biết rằng: 415 915 < 2n 3n < 1816 216

(9)

415 915 < 2n 3n < 1816 216  (4 9)15 < (2.3)n < (18.2)16  3615 < 6n < 3616

 630 < 6n < 632 => n = 31

Bây giờ, học sinh biết làm tốn tương tự mà cịn tự tốn dạng tương tự

1) Tìm số nguyên n cho:

a) 27n = 35 b) (23 : 4) 2n = 4 c) 3-2 34 3n = 37 d) 2-1 2n + 2n = 25

2) Tìm tất số tự nhiên n cho:

a) 125.5  5n  5.25 b) (n54)2 = n

c) 243  3n  9.27 d) 2n+3 2n =144

3) Tìm số tự nhiên x, y biết rằng:

a) 2x+1 3y = 12x b) 10x : 5y = 20y

4) Tìm số tự nhiên n biết :

a) 411 2511  2n 5n  2012.512 b)

n

2

6 6 6 3

4 4

5

5 5 5 5 5

5 5

 

     



  

Phương pháp giải 3) a) 2x+1 3y = 12x

2x+1 3y = 22x.3x



2

2 3



 x

x x y

3y-x = 2x-1

 y - x = x - =  y = x = b) 10x : 5y = 20y

(10)

4) b) n 2 6 6 6 3 4 4 5 5 5 5 5 5 5              n 2 5 5   n 2 6 6 

 46 = 2n

 212 = 2n

 n = 12 3.1.3 Một số trường hợp khác

Bài Tìm x biết: (x - 1) x+2 = (x - 1) x+4 (1)

Thoạt nhìn ta thấy tốn phức tạp, số cần tìm có mặt số mũ số Vì thế, học sinh khó xác định cách giải Nhưng đưa toán quen thuộc phép biến đổi sau:

Đặt x - = y ta có: x + = y +  x + = y + Khi (1) trở thành: yy+3 = yy+5

 yy+5 - yy+3 = 0  yy+3(y2 – 1) = 0



y



 



  

* Nếu: yy+3 = => y = Khi đó: x – =

 x = * Nếu: y2 – =

 y2 = (±1)2

y y       Với y = ta có: x – =  x = Với y = -1 ta có: x – = -1  x = Vậy: x 





Bài Tìm x biết: x(6 - x)2003 = (6 - x)2003

(11)

Với này, x xuất số ngồi (khơng phải số mũ trên) Học sinh lúng túng gặp khó khăn tìm lời giải, giáo viên hướng dẫn

x (6 - x)2003 = (6 - x)2003  x (6 - x)2003 - (6 - x)2003 = 0  (6 - x)2003 (x - 1) = 0











2003

6 x

x

  



  

Nếu (6 - x)2003 =

 (6 - x) =  x = Nếu (x - 1) =  x =

Vậy: x 

 

Bài Tìm số tự nhiên a, b biết: a) 2a + 124 = 5b b) 10a + 168 = b2

Với toán này, học sinh sử dụng cách làm vào đường bế tắc khơng có lời giải Vậy phải làm cách làm ? Ta cần dựa vào tính chất đặc biệt lũy thừa tính chất chia hết tổng để giải toán này:

a) 2a + 124 = 5b (1)

Xét a = 0, (1) trở thành: 20 + 124 = 5b

 5b = 125  5b = 53

Do a = b =

Xét a  Ta thấy vế trái (1) số chẵn vế phải (1) số

lẻ với a  1, a, b  N, điều vơ lí

Kết luận: Vậy a = b = b) 10a + 168 = b2 (2)

(12)

Xét a = 0: (2) trở thành: 100 + 168 = b2

169 = b2

 (±13)2 = b2 => b = 13 (vì b  N) Do a = b = 13

Xét a  1:

Chúng ta biết với số tự nhiên a  10a có chữ số tận nên

suy 10a + 168 có chữ số tận 8, theo (2) b2 có chữ số tận Điều vô lý

Vậy: a = b = 13

Giáo viên cho học sinh làm số tập tương tự sau:

Tìm số tự nhiên a, b để:

a) 3a + 9b = 183 b) 5a + 323 = b2 c) 2a + 342 = 7b d) 2a + 80 = 3b

3.2 Dạng 2: Tìm chữ số tận giá trị lũy thừa 3.2.1 Tìm chữ số tận cùng

Phương pháp chung: cần nhớ số nhận xét sau:

 Tất số có chữ số tận là: 0; 1; 5; nâng lên lũy thừa (khác 0) có chữ số tận số

 Để tìm chữ số tận số ta thường đưa dạng số có chữ số tận chữ số

 Lưu ý: số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc chẵn có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc lẻ có chữ số tận 4, số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc chẵn có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc lẻ có chữ số tận

 Chú ý: 24 = 16; 74 = 2401; 34 = 81; 84 = 4096

(13)

Bài Tìm chữ số tận số:

20002008; 11112008; 987654321; 204681012

Dựa vào nhận xét học sinh dễ dàng tìm đáp án:  20002008 có chữ số tận chữ số

 11112008 có chữ số tận chữ số  987654321 có chữ số tận chữ số  204681012 có chữ số tận chữ số

Bài Tìm chữ số tận số sau:

20072008; 1358 2008; 23456; 5235; 204208; 20032005; 999; 4567

; 996; 81975; 20072007; 10231024.

Đưa lũy thừa dạng lũy thừa số có chữ số tận là: 0; 1; 5;

 20072008 = (20074)502 = ( 1)502 = nên 20072008 chữ số tận

 135725 = 135724.1357 = (13574)6.1357 = 1357 = =>13 5725 có chữ số tận

 20072007 = 20072004 20073 = (20074)501 .3 = ( 1)501 .3 = 1 => 20072007 có chữ số tận 3.  23456 = (24)864 = 16864 = => 23456 có chữ số tận

 5235 = 5232 523 = (524)8 .8 = ( 6)8 = .8 = => 5235 có chữ số tận

 10231024 = (10234)256 = ( 1)256 = =>10231024 có chữ số tận  20032005 = 20032004 2003 = (20034)501 2003 = ( 1)501 2003 = .1 2003 =>

20032005 có chữ số tận 3.

 204208 = (2042)104 = ( 6)104 = => 204208 có chữ số tận Ta thấy 567là số lẻ nên 4567

có chữ số tận

(14)

 996 = (94)24 =( 1)24 = => 996 có chữ số tận Ta thấy 99 số lẻ nên 999có chữ số tận 9.

Bài Cho A = 172008 – 112008 – 32008 Tìm chữ số hàng đơn vị A. Phương pháp giải

Đây dạng tốn tìm chữ số tận tổng, ta phải tìm chữ số tận tong số hạng, cộng chữ số tận lại

Tìm chữ số tận 172008; 112008; 32008 ta có:

A = 172008 – 112008 – 32008 = 1 - 1 - 1= 0 - 1 = 9 Vậy A có chữ số tận

Bài : Cho M = 1725 + 244 – 1321 Chứng tỏ rằng: M  10 Phương pháp giải

Ta thấy số chia hết cho 10 có chữ số tận nên để chứng tỏ M

 10 ta chứng tỏ M có chữ số tận 0.

1725 = 1724.17 = (174)6 17 = ( 1)6.17 = 1.17 = 7 244 = (242)2 = 5762 = 6

1321 = (134)5.13 = ( 1)5.13 = 1 13 = 3 Vậy M = .7 + 6 - 3 = 0 => M  10

Đến đây, sau làm 2) 3) giáo viên cho học sinh làm toán tổng quát sau:

Bài Tìm chữ số tận số có dạng:

a) A = 24n – (n

 N, n ≥ 1)

b) B = 24n + 2+ (n  N)

c) C = 74n – (n  N)

Hướng dẫn:

a) Ta có: 24n = (24)n = 16n có chữ số tận 6. => 24n – có chữ số tận 1.

b) B = 24n + + (n  N)

(15)

=> B = 24n + + có chữ số tận 5. c) C = 74n – 1

Ta có 74n = (74)n = (2401)n có chữ số tận 1. Vậy 74n – có chữ số tận 0.

Bài Chứng tỏ rằng, số có dạng:

a) A = 22



n

chia hết cho (n  N, n ≥ 2)

b) B = 24



n

chia hết cho 10 (n  N, n ≥ 1)

c) H = 92n 3chia hết cho (n  N, n ≥ 1)

Với dạng này, học sinh phải dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5, cho Đọc đầu bài, học sinh định hướng phải tìm chữ số tận 5, bắt tay vào làm gặp khó khăn lớn với lũy thừa 22n, 24n, 92n học

sinh phải tính nào, học sinh nhầm: 22n 22n; 24n 24n

; 92n 92n…

Khi giáo viên hướng dẫn sau: a) Với n  N, n ≥ 2, ta có :

n

2

2 =

 

2

2.2 4 2

2 2 16

2   



 n

n n

có chữ số tận => A = 22



n

có chữ số tận Vậy A  5

b) Với n  N, n ≥ 1, ta có :

n

4

2 =

 

1

1 4 4

4

4 2 16

2   



 n

n n

có chữ số tận => B =24



n

có chữ số tận Vậy B  10

c) Với n  N, n ≥ 1, ta có :

n

2

9 = 92.21

 



 n

n n

có chữ số tận => H = 92n 3 có tận Vậy H  2

Bài tập luyện tập :

(16)

22222003; 20082004; 20052005; 20062006 ; 9992003; 20042004; 77772005; 1112006; 20002000; 20032005.

2) Chứng tỏ rằng, với số tự nhiên n

a) 34n + 1 + chia hết cho 5 b) 24n + 1 + chia hết cho 5 c) 92n + 1 + chia hết cho 10

3) Chứng tỏ số có dạng:

a)22n+ có chữ số tận (n

 N, n ≥ 2)

b) 24



n

có chữ số tận (n  N, n ≥ 1)

c) 32n+ chia hết cho (n  N, n ≥ 2)

d) 34n- chia hết cho 10 (n  N, n ≥ 1)

4) Tìm chữ số hàng đơn vị của:

a) A = 66661111 + 11111111 - 665555 b) B = 10n + 555n + 666n

c) H = 99992n + 9992n+1 + 10n (n  N*)

d) E = 20084n + 20094n + 20074n (n  N*)

5) Trong số sau số chia hết cho 2, cho 5, cho 10?

a) 34n+1 + (n  N)

b) 24n+1 - (n  N) c) 22n

+ (n  N, n ≥ 2)

d) 94n - (n  N, n ≥ 1)

6) Tìm chữ số tận số tự nhiên a để a2 +  5

7) Tìm số tự nhiên n để n10 +  10

8) Chứng tỏ rằng, với số tự nhiên n thì:

a) 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n  10 (n > 1) b) 3n+3 + 2n+3 + 3n+1 + 2n+2  6

(17)

6) a2 +  => a2 + phải có chữ số tận 5. => a2 phải có chữ số tận 4.

=> a phải có chữ số tận hoặc 7) n10 +  10 => n10 + phải có chữ số tận 0.

=> n10 = (n2)5 phải có chữ số tận 9. => n2 phải có chữ số tận 9.

=> n phải có chữ số tận 8) a) 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n = 3n (32 + 1) – 2n-1.( 23 + 2) = 3n 10 – 2n-1 10

= 10 (3n – 2n-1)  10, nN b) 3n+3 + 2n+3 + 3n+1 + 2n+2 = 3n (33 + 3) + 2n+1.( 22 + 2) = 3n 30 + 2n+1

= (5.3n + 2n+1)  6,nN

3.2.2 Tìm hai chữ số tận lũy thừa.

Phương pháp: Để tìm hai chữ số tận lũy thừa, ta cần ý số đặc biệt sau:

 Các số có tận 01, 25, 76 nâng lên lũy thừa (khác 0) tận

 Để tìm hai chữ số tận lũy thừa ta thường đưa dạng số có hai chữ số tận là: 01; 25 76

 Các số 210 ; 410; 165; 65; 184; 242; 684; 742 có tận 76  Các số 320; 910; 815; 74; 512; 992 có tận 01

 Số 26n (n  N, n >1)

Bài 1: Tìm hai chữ số tận của: 2100 ; 3100

Dựa vào nhận xét học sinh dễ dàng làm : 2100 = (220)5 = ( 76)5 = 76

3100 = (320)5= ( 01)5 = 01

Bài 2: Tìm hai chữ số tận của:

a) 5151 b) 9999 c) 6666 d) 14101.16101

(18)

Đưa vềdạng số có hai chữ số tận là: 01; 25 76 a) 5151 = (512)25.51 = ( 01)25.51 = 01.51 = 51

=> 5151 có chữ số tận 51. Tương tự:

b) 9999 = (992)49.99 = ( 01)49.99 = 01.99 = 99 c) 6666 = (65)133.6 = ( 76)133.6 = 76.6 = 56 d) 14101.16101 = (14.16)101 = 224101 = (2242)50.224

= ( 76)50.224 = 76.224 = 24 Từ toán 2, cho học sinh làm toán tổng quát:

Bài 3: Tìm hai chữ số tận của:

a) 512k; 512k+1 (k N*) b) 992n; 992n+1; 999999(n N*) c) 65n; 65n+1; 66666(n N*)

Phương pháp giải a) 512k = (512)k = ( 01)k

=> 512k+1 = 51 (512)k = 51.( 01)k b) 992n = (992)n = ( 01)n

=> 992n+1 = 99 (992)n = 99.( 01)n

=> 999999, ta có 9999 số lẻ => 999999 có dạng 992n+1 (Với n

 N, n > 1)

=> 999999 = 99.(992)n = 99 ( 01)n (Với n

 N, n > 1)

c) 65n = ( 65)n = ( 76)n

=> 65n+1 = ( 65)n = ( 76)n

Xét 66666, ta có 6666 số có tận 6, => 66666có dạng 65n+1 (n N, n > 1) => 66666= 6.( 76)n

Bài tập luyện tập:

1) Tìm hai chữ số tận của:

(19)

d) 182004 e) 682005 f) 742004

2) Tìm hai chữ số tận của:

a) 492n; 492n+1 (n N) b) 24n 38n (n

 N)

c) 23n 3n; 23n+3 3n+1 (n N) d) 742n; 742n+1 (n  N)

3) Chứng tỏ rằng:

a) A = 262n - 26 5  10 (n

 N, n > 1)

b) B = 242n+1 + 76  100 (Với n N)

c) M = 512000.742000.992000 có chữ số tận 76.

3.2.3 Tìm chữ số tận trở lên.

Phương pháp: Chú ý số điểm sau:

 Các số có tận 001, 376, 625 nâng lên lũy thừa (khác 0) có tận số

 Số có tận 0625 nâng lên lũy thừa (khác 0) có tận 0625

Bài Tìm chữ số tận cùng, chữ số tận 52000.

Học sinh làm phần khơng khó khăn nhờ kĩ có từ phần trước

52000 = (54)500 = 625500 = (0625)500

Vậy: 52000 có ba chữ số tận 625 có bốn chữ số tận 0625.

Bài Tìm ba chữ số tận của:

a) 23n 47n (n  N*) b) 23n+3 47n+2 (n  N)

Để tìm ba chữ số cuối lũy thừa khó với học sinh, lại u cầu tìm ba chữ số cuối tích lũy thừa thật khó Đối với học sinh khá, giỏi cần tới gợi ý giáo viên

a) 23n 47n = (23)n 47n = (8 47)n = 376n

(20)

b) 23n+3 47n+2.

Dù làm câu a, đến câu b học sinh không tránh khỏi lúng túng số mũ Giáo viên hướng dẫn:

23n+3 47n+2 = 23(n+1) 47n+1 47 = (23)(n+1) 47n+1 47

= (8.47)n+1 47 = 47 376n+1

Ta có: 376n+1 có chữ số tận 376 => 47 376n+1 có chữ số tận 672

Bài Chứng tỏ rằng:

a) 54n + 375  1000 (n N, n ≥ 1)

b) 52n - 25  100 (n N, n ≥ 2)

c) 2001n + 23n 47n + 252n có tận 002.

Nếu học sinh làm tốt phần trước gặp khơng gặp nhiều khó khăn, nhiên, cần đến tư logic, liên hệ đến kiến thức liên quan kĩ biến đổi

a) Ta có: 54n = 54.4n1= 6254n1 tận 625 ( n N, n ≥ 1)

=> 54n + 375 có tận 000 Vậy: 54n + 375 1000

b) Ta có 52n = 522.2n2=

 

2

5 n = 6252n2

(n N, n ≥ 2)

Vậy 52n - 25 có chữ số tận 00 Do : 52n- 25 100

c) 2001n + 23n 47n + 252n

Ta thấy: 2001n có tận 001.

23n 47n = (8 47 )n = 376n có tận 376 252n = (252)n = 625n có tận 625

Vậy: 2001n + 23n 47n + 252n có tận 002.

(21)

Phương pháp chung: để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi hai lũy thừa có số có số mũ (có thể sử dụng lũy thừa trung gian để so sánh)

Lưu ý số tính chất sau:

 Với a, b, m, n N, ta có:

a > b  an > bn, n N* m > n  am > an, (a > 1)

a = a = am = an (m.n 0)  Với A, B biểu thức ta có:

An > Bn

 A > B > Am > An

 m > n A > 1, hay m < n < A <

Bài So sánh

a) 33317 33323 b) 200710 200810

c) (2008 - 2007)2009 (1998 - 1997)1999

Với học sinh nhìn cách giải lũy thừa có số có số mũ

a) Vì < 17 < 23 nên 33317 < 33323 b) Vì 2007 < 2008 nên 200710 < 200810

c) Ta có: (2008 - 2007)2009 = 12009 = (1998 - 1997)1999 = 11999 = 1 Vậy (2008 - 2007)2009 = (1998 - 1997)1999

Bài So sánh

a) 2300 3200 e) 9920 999910 b) 3500 7300 f) 111979 371320 c) 85 3.47 g) 1010 48.505

(22)

Để làm học sinh cần sử dụng linh hoạt tính chất lũy thừa để đưa lũy thừa số số mũ

Hướng dẫn:

a) Ta có: 2300 = (23)100 = 8100 3200 = (32)100 = 9100

Vì 8100 < 9100 nên 2300 < 3200

b) Tương tự câu a, ta có: 3500 = (35)100 = 243100 7300 = (73)100 = 343100

Vì 243100 < 343100 nên 3500 < 7300 c) Ta có: 85 = 215 = 2.214 < 3.214 = 3.47 => 85 < 3.47

d) Ta có: 202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101

= (8.101.1012)101 = (808.101)101 303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101 Vì 808.1012 > 9.1012 nên 202303 > 303202

e) Ta thấy: 992 < 99.101 = 9999 => (992)10 < 999910 hay 9920 < 999910 f) Ta có: 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660 (1)

371320 = 372)660 = 1369660 (2) Từ (1) (2) suy ra: 111979 < 371320 g) Ta có: 1010 = 210 510 = 29 510 (*)

48 505 = (3 24) (25 510) = 29 510 (**) Từ (*) (**) => 1010 < 48 505

h) Có: 199010 + 19909 = 19909 (1990+1) = 1991 19909 199110 = 1991 19919

Vì 19909 < 19919 nên 199010 + 1990 9 < 199110

Bài Chứng tỏ rằng: 527 < 263 < 528

Với này, học sinh lớp không định hướng cách làm, giáo viên gợi ý: chứng tỏ 263 > 527 263 < 528

(23)

=> 263 > 527 (1)

Lại có: 263 = (29)7 = 5127 528 = (54)7 = 6257 => 263 < 528 (2)

Từ (1) (2) => 527 < 263 < 52

Bài So sánh: a) 10750 7375 b) 291 535

Nếu trước so sánh trực tiếp lũy thừa cần so sánh sử dụng lũy thừa trung gian áp dụng cách khó tìm lời giải cho tốn Với ta cần so sánh qua hai lũy thừa trung gian:

a) Ta thấy: 10750 < 10850 = (4 27)50 = 2100 3150 (1) 7375 > 7275 = (8 9)75 = 2225 3150 (2)

Từ (1) (2) => 10750 < 2100 3150 < 2225 3150 < 7375 Vậy 10750 < 7375.

b) 291 > 290 = (25)18 = 3218 535 < 536 = (52)18 = 2518 => 291 > 3218 > 2518 > 535 Vậy 291 > 535.

Bài So sánh

a) (-32)9 (-16)13 b) (-5)30 (-3)50 c) (-32)9 (-18)13 d) (16

1



)100 ( 2



)500

Phương pháp giải Đưa so sánh hai lũy thừa tự nhiên

a) (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245 (-16)13 = - 1613 = - (24)13 = - 2 52

Vì 245 < 252 nên -245 > - 252 Vậy (-32)9 > (-16)13. b) (-5)30 = 530 = (53)10 = 12510

(-3)50 = 350 = (35)10 = 243 10 Vì 12510 < 24310 nên (-5)30 < (-3)50. c) (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245

(24)

d) Ta có: (16



)100 = 100

100

16



= 16100

1

=2400

1

(



)500 = 500

500

2 ) (

= 2500

1

Vì 2400 < 2500 nên 2400

1

> 2500

1

Vậy (16



)100 > ( 2



)500.

Bài So sánh A B biết: A = 2008

1 2008 2009 2008  

; B = 2008 1 2008 2008 2007  

Trước tìm lời giải giáo viên cung cấp cho học sinh tính chất sau: Với số tự nhiên a, b, c khác 0, ta chứng minh được:

 Nếu a

1 b

a a c b b c     Nếu a b 

a a c b b c  



Áp dụng tính chất vào 6, ta có: Vì A = 2008

1 2008 2009 2008  

< nên: A = 2008

1 2008 2009 2008  

< 2008 2007 2007 2008 2009 2008     = 2008 2009 2008 2008 2008 2008 

 =2008.(2008 1)

) 2008 ( 2008 2009 2007  

=2008 1 2008 2007 2007   =B Vậy A < B

Giáo viên hướng dẫn học sinh giảỉ toán theo cách sau:

Cách 1: Ta có: 2008.A =  

 2008 2008 ) 2008 ( 2009 2008 2008 2007 2008 2009 2009   

=1+2008 2007 2009  2008.B = 2007 2008 (2008 1).2008 2008  

 2008

2007 2008 2008 2008   

=1+2008 2007

2008



Vì 20082009+1 > 20082008+1 nên 2008 1 2007

2009

 < 2008

2007

2008



(25)

A

= 2008 1 2008 2008 2009  

= 2008 2007 2008 2008 2008 2009   

= 2008

2007 ) 2008 ( 2008 2008 2008   

= 2008 - 2008 2007

2008



B

= 2008 1 2008 2007 2008  

= 2008 2007 2008 2008 2007 2008   

= 2008

2007 ) 2008 ( 2008 2007 2007   

= 2008 - 2008 2007

2007



Vì 20082008+1 > 20082007 +1 nên 2008 1 2007

2008

 < 2008

2007



=> 2008 - 2008 2007

2008

 > 2008 - 2008

2007



Vậy A

> B

=> A < B (vì A,B > 0)

Bài So sánh M N biết: M = 100

1 100 99 100  

; N = 100

1 100 100 101  

Cách 1: N = 100

1 100 100 101   > => N =100

1 100 100 101  

>100 99 99 100 100 101    

=100 100 100 100 100 101  

= (100 1).100

100 ) 100 ( 99 100  

= 100 1 100 99 100   = M Vậy M < N

Cách 2: M = 100

1 100 99 100  

= 100 99 100 100 99 100   

= 100 99 100 ) 100 ( 99 99   

= 100 - 100 99

99



N = 100 1 100 100 101  

= 100 99 100 100 100 101   

= 100 99 100 ) 100 ( 100 100   

= 100 - 100 99

100



Vì 10099 + < 100100 + nên 100 1 99

99

 > 100

99

100



=> 100 - 100 99

99

 < 100 - 100

99

100



Vậy M < N

Bây giáo viên cho học sinh làm số tập tương tự sau:

(26)

a) 528 2614 b) 521 12410 c) 3111 1714 d) 421 647 e) 291 535 g) 544 2112

2 So sánh:

a)

2

3

b)

5

3

3 So sánh:

a) A = 13 1 13 16 15  

B = 13 1 13 17 16   b) A = 1999

1 1999 1998 1999  

B = 1999 1 1999 1999 2000  

c) A = 100 1 100 99 100  

B = 100 1 100 68 69  

Phương pháp giải c) A = 100

1 100 99 100  

B = 100 1 100 68 69  

Bài không giống Học sinh lúng túng bắt tay làm bài, giáo viên cần hướng dẫn: quy đồng mẫu A B, ta có:

A = (100 1).(100 1)

) 100 ).( 100 ( 68 99 68 100    

và B = (100 1).(100 1)

) 100 ).( 100 ( 99 68 99 69    

Để so sánh A B lúc ta so sánh tử số A tử số B Xét hiệu tử số A trừ tử số B:

(100100 + 1) (10068 + 1) - (10069 + 1) (10099 + 1)

= 100168 + 100100 + 10068 + - 100168 – 10099 – 10069 – 1 = 100100 – 10099 – 10069 + 10068

= 100 10099 – 10099 – 100.10068 + 10068 = 99.10099 - 99.10068

= 99 (10099 - 10068) > (vì 10099 > 10068) Vậy A > B.

(27)

Phương pháp: Vận dụng linh hoạt công thức, phép tính lũy thừa để tính cho hợp lí nhanh Biết kết hợp hài hịa số phương pháp tính tốn biến đổi

Bài Tính giá trị biểu thức sau:

a) A = 27 10 27

27 13 30  

b) M =





) ( ) ( ) ( ) (      x x x x

x , với x = 7

Với này, học sinh không nên tính giá trị lũy thừa thực phép tính khác theo thứ tự thực phép tính, mà làm khó đưa đáp án Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm thừa số chung đưa ngoặc tử mẫu số, sau thực việc rút gọn việc tìm kết toán nhanh đến bất ngờ

a) A = 27 10 27

27 13 30  

= (2 )

) ( 20 17 10 20 17 13  

= 23 = 8 b) M =





) ( ) ( ) ( ) (      x x x x x

Học sinh dễ phát hoảng nhìn thấy câu b số mũ lũy thừa cao dần mà số lại chưa cụ thể Nhưng thay giá trị x vào M lại tìm cách dễ dàng

M =





) ( ) ( ) ( ) (      x x x x

x =





) ( ) ( ) ( ) (      M = 12 13

3 = 321

= 32 = 9

a) A = 102008 + 12545

b) B = 52008 + 52007 + 52006 31 c) M = 88 + 22017

d) H = 3135 299 – 3136 367

(28)

Với toán này, học sinh phải huy động kiến thức dấu hiệu chia hết, kĩ phương pháp biến đổi, lưu ý rằng: am, an, (m; n) = am.n (a, m,

n N*)

a) A = 102008 + 125

Ta có: 102008 + 125 = 100 0 + 125 = 100 0125 2008 số 2005 số A có tận => A5

Tổng chữ số A là: 1+1+2+5 = => A9.

Mà (5;9) = => A5.9 hay A45

b) B = 52008 + 52007 + 52006

Ta khơng thể tính giá trị cụ thể lũy thừa thực phép cộng Giáo viên gợi ý đặt thừa số chung

B = 52008 + 52007 + 52006 B = 52006 (52 + 51 + 1) B = 52006 3131 c) M = 88 + 220

Cách làm tương tự câu b, trước tiên phải đưa hai lũy thừa có số:

M = 88 + 220 = (23)8 + 220 = 224 + 220

M = 220 (24 + 1) = 220 (16 + 1) = 220.1717 d) H = 3135 299 – 3136 36

Với câu này, học sinh phải nhận cần đặt thừa số chung, đặt thừa số chung lại vấn đề Nếu đặt 3135 làm thừa số chung buộc phải tính kết ngoặc, lâu dễ nhầm Khi đó, giáo viên hướng dẫn

(29)

H = (3135 – 3136 )7

Bài Cho A = + 22 + 23 + … + 260 Chứng tỏ rằng: A3, A7, A5 Phương pháp giải

Với này, giáo viên hướng dẫn em nhóm lũy thừa thành nhóm 2; 3; lũy thừa cho sau đặt thừa số chung nhóm xuất số cần chứng tỏ A chia hết cho

Ví dụ: A = + 22 + 23 + … + 260

= (2 + 22) + (23 + 24) + (25 + 26) + … + (257 + 258) + (259 + 260) = 2.(1 + 2) + 23.(1 + 2) + 25.(1 + 2) + … + 257.(1 + 2) + 259.(1 + 2) = (1 + 2).(2 + 23 + 25 + … + 257 + 259)

= 3.(2+23+25+…+257+259) => A3 Tương tự, ta có:

A = (2 + 22 + 23) + (24 + 25 + 26) + … + (258 + 259 + 260 ) = 2.(1 + + 22) + 24.(1 + + 22) + … + 258.(1 + + 22) = (1 + + 22).(2 + 24 + 27 + … + 258)

= 7.(2 + 24 + 27 + … + 258) => A7

A = (2 + 23) + (22 + 24) + … + (257 + 259) + (258 + 260) A = 2(1 + 22) +22(1 + 22) + … + 257(1 + 22) + 258(1 + 22) = (1 + 22).(2 + 22 + 25 + 26 + … + 257 + 258)

= (2 + 22 + 25 + 26 + … + 257 + 258 => A5

a) D = + 32 + 33 + 34 + … + 3200713

b) E = 71 + 72 + 73 + 74 + … + 74n-1 + 74n 400

a) Ta thấy: 13 = + + 32 nên ta nhóm số hạng liên tiếp tổng thành nhóm sau:

(30)

= 3.13 + 34.13 + …+ 32005.13 = (3 + 34 + …+ 32005) 13 => D13 b) Tương tự câu a, có : 400 = + + 72 + 73 nên:

E = (71 + 72 + 73 + 74) + 74 (71 + 72 + 73 + 74) + … + 74n-4 (71 + 72 + 73 + 74) = (71 + 72 + 73 + 74).(1+74 + 78 + … + 74n-4)

= 7.(1 + 71 + 72 + 73).(1+74 + 78 + … + 74n-4) = 7.(1 + + 49 + 343).(1+74 + 78 + … + 74n-4) = 7.400.(1+74 + 78 + … +74n-4)400 => E400

Bài a) Tính tổng: Sn = + a + a2 + … + an

b) Áp dụng tính tổng sau: A = + + 32+ … + 32008

B = + + 22 + 23 + … + 21982

C = 71 + 72 + 73 + 74 + … + 7n-1 + 7n Phương pháp giải

a) Đây tốn tổng qt, giáo viên gợi ý trực tiếp cho học sinh cách làm để thu gọn tổng lũy thừa này, ta nhân hai vế biểu thức với số lũy thừa

* Xét a = 1, ta có: Sn = + + 12 + + 1n =(n +1).1 = n +1 * Xét a ≠ 1, ta có:

Sn = + a + a2 + + an => a Sn = a + a2 + … + an+1 => a Sn - Sn = an+1 – => Sn =

1

 

 a an

b) Học sinh dễ dàng tính tổng A, B, C nhờ công thức Sn A = + + 32 + … + 32008 = 2

1 32009



B = + + 22 + 23 + … + 21982 = 21983 - C = 71 + 72 + 73 + 74 + … + 7n-1 + 7n= 6

7





(31)

Bài Thu gọn tổng sau: M = - + 22 - 23 + … + 22008 Phương pháp giải

Mặc dù có cơng thức tính tổng lũy thừa viết theo quy luật tính tổng M học sinh khơng tránh khỏi lúng túng với dấu ‘+’, ‘-‘ xen kẽ

Nếu vận dụng máy móc cách tính tổng B câu b, 4: lấy 2M - M khơng thu gọn tổng M Giáo viên cần giải thích cho học sinh hiểu được: câu b) 4, ta tính hiệu hai biểu thức hai biểu thức có số hạng giống nhau; cịn hai tổng 2M M lại có số hạng đối nên ta xét tổng chúng:

M = - + 22- 23 + … + 22008

=> 2M = - 22 + 23 – 24 + … + 22009 => 2M + M = 22009 + 1

=> M = 22009



Bài Tính:

a) A = 100

1 1

2 2  2 b) B = 1+ 500

1 1

5 5  5 Phương pháp giải

Làm tương tự

a) A = 99 100

1 1 1

2 2 2   2 => 2A = 1+ 99

1 1

2 2 2  2 => 2A – A = (1+ 99

1 1

2 2 2  2 ) – ( 100

1 1

2 2 2  2 ) => A = 1+ 2 3 99 99 100

1 1 1 1 1

2 2   2   2   => A = - 2100

1

b) B = 1+ 500

1 1

5 5  5

=> 5B = 5+1+ 499

1 1

(32)

=> 5B – B = (5+1+ 499

1 1

5 5 5  5 ) – (1+ 499

1 1

5 5 5  5 )

 4B = 5+1-1+ 2 3 499 499 500

1 1 1 1 1

5 5   5   5  

 4B = - 5500

1

 B = (5 - 5500

1 ):

Bài Tính: B = 1002 - 992 + 982 – 972 + … + 22 - 1 Phương pháp giải

Với học sinh nghĩ tới việc nhóm số 1002, 982, … 22 thành nhóm số cịn lại thành nhóm Nhưng nhóm khơng tính nhanh Để làm giáo viên cho học sinh chứng tỏ đẳng thức sau:

Với số tự nhiên a b, ta có: (a - b).(a + b) = a2- b2 Thật vậy, ta có:

(a - b).(a + b) = (a - b).a + (a - b).b = a2 – ab + ab - b2 = a2 - b2 Vậy: (a - b).(a + b) = a2 - b2

Áp dụng đẳng thức vào ta được: B = 1002 - 992 + 982 – 972 + …+ 22 – 1

= (100 - 99).(100 + 99) + (98 - 97).(98 + 97) +…+ (2 - 1).(2 + 1) = 100 + 99 + 98 + 97 +…+ +

= 100.(100 + 1) : = 5050

Bài Chứng tỏ rằng.

a) H = 2 2

1 1 1

2 3   2007 2008 

b) K =

1 14

1 12

1 10

1

2 2 2

2       

(33)

Để làm câu a, học sinh phải nắm kiến thức liên quan Những tốn dạng thực khó với học sinh Để học sinh hiểu phụ thuộc hoàn toàn vào dẫn dắt, gợi mở giáo viên

Lưu ý:

1 1

n.(n 1)  n n 1 (n  N*) a) Ta có: 1.2

1

2 

; 2.3

1

2 

; 3.4

1

2 

; ; 2007.2008 2008

1

2 

=> H = 2 2

1 1 1 1

2 3 4  2007 2008 1.2 2.3  2007.2008 (*) Mà

1 1 1 1 1 1

1

1.2 2.3  2007.2008  2 3 4     2007 2008   2008  Nên, từ (*) => H <

Qua tốn trên, giáo viên cho học sinh làm toán tổng quát sau: Bài 10 Chứng tỏ:

a) H = 2 2

1 1 1

2 3 4  2003  n  (nN*,n1)

b) K = 2 2 2 142

1 12 10      

<

Phương pháp giải a) H <

1 1

1.2 2.3  (n 1).n =

1 1 1 1

1 1

2 3 n n n

          

 Nên H <

b) K = 22

1

( 2 2 72

1

1     

) < 22

1

(1+1) = 22

1

.2 =

(Vì theo câu a, 1 2 2 2

2      

) Vậy K <

1

Bây giáo viên cho học sinh làm số tập luyện tập sau:

1) Chứng tỏ biểu thức sau viết dạng số phương:

(34)

P = 13+23+33+43 K = 13+23+33+43+53+63+73

2) Tính A B hai cách trở lên:

A = + + 22 + 23 + 24 + … + 2n (n  N*) B = 70 + 71 + 72 + 73 + 74 + … + 7n+1 (n  N)

3) Viết tổng sau dạng lũy thừa 2

T = 22+ 22 + 23 +24+25+…+ 22008

4) So sánh:

a) A = + + 22 + 23 + 24 + 25 +…+ 22008 B = 22009 – 1 b) P = + + 32 + … + 3200 Q = 3201

c) E = + x + x2+ … + x2008 F = x2009 (x  N*)

a) 13 + 33 + 53 + 73 23

b) + 33 + 35 + 37 + … + 32n+1 30 (n  N*) c) + + 52 + 53 + … + 5403 + 5404 31 d) + + 42 + 43 + 44 + … + 499 B = 4100

6) Tìm số dư chia A cho 7, biết rằng

A = + + 22 + 23 + … + 22008 + 22002

7) Tính:

a) 3S – 22003 biết S = – + 22 - 23 + … + 22002 b) E = 2100 – 299 – 298 – 297 - … - 22 - – 1 c) H – K biết: H = + + 32 + 33 +…+ 320

K = 321 : 2

8) Tìm:

a) Số tự nhiên n biết: 2A + = 3n Với A = + 32 + 33 + … + 3100 b) Chữ số tận M biết: M = + 22 + 23 + … + 220

a) 87 – 218 14 h) 122n+1 + 11n+2 133 c) 817 – 279 - 913 405 i) 70 + 71 + 72 + 73 +…+7101 8

(35)

d) 1099 + 23 9 l) 439 + 440 + 441 28

e) 1028 + 72 m) + 35 + 37 + … + 31991 13 41

a) 2 2

1 1 1

2 4 6  100 

b) 2 2

1 1 1

6 6 7  100 4

c) A > B với: A =

2

1 5

   

    ; B =

2

1 3

   

3.5 Dạng 5: Toán đố với lũy thừa

Dạng toán đố với lũy thừa có số chủ yếu liên quan đến số phương (Số phương bình phương số tự nhiên)

Phương pháp: Cần hiểu số kiến thức sau

 Số phương có số tận 0, 1, 4, 5, 6, khơng thể có số tận 2, 3, 7,

 Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ

 Số lượng ước số phương số lẻ Ngược lại số có số lượng ước số lẻ số số phương

Bài Trong buổi họp mặt đầu xuân Tân Mùi 1991, bạn Thủy đố bạn điền

các chữ số vào dòng chữ sau để phép tính đúng. MÙI MÙI = TÂN MÙI (*) Bạn trả lời giúp.

Đề hay, tìm câu trả lời thật khó Ta phải tìm câu trả lời thích hợp thay cho dịng chữ (*)

MÙI số có chữ số

Theo (*) (MÙI)2 có tận mùi có chữ số.

(36)

Gọi MÙI = a Ta có:

a2 = 1000 TÂN + a hay a2 – a = 1000 TÂN => a.(a - 1) 1000

Ta thấy a - a hai số liên tiếp 1000 = 125 với (125 ; 8) = Vậy xảy ra:

 a 125 a – 8 => a = 625  a 8 a - 125 => a = 376 Do đó: 625 625 = 390625 (thỏa mãn)

376 376 = 141376 (khơng thỏa mãn, chữ T khác chữ N) Vậy MÙI MÙI = TÂN MÙI 625 625 = 390625

Bài Đố bạn số phương có chữ số viết chữ số: 3; 6; 8; 8

Với toán này, ta phải sử dụng phương pháp loại trừ để tìm đáp án: Gọi số phương phải tìm n2

Số phương khơng tận 3, nên n2 có tận 6.