Để tìm được ba chữ số cuối của một lũy thừa đã là khó với học sinh, bài này lại yêu cầu tìm ba chữ số cuối của một tích các lũy thừa thì quả thật là rất khó... Dạng 4: Tính toán trên các[r]
(1)CHUYÊN ĐỂ TOÁN LŨY THỪA
I. NỘI DUNG CHÍNH
1 Hệ thống hóa kiến thức bản 2 Kiến thức mở rộng, nâng cao
3 Một số dạng toán thường gặp phương pháp giải 3.1 Dạng1: Tìm số chưa biết
3.1.1 Tìm số, thành phần số luỹ thừa 3.1.2 Tìm số mũ, thành phần số mũ luỹ thừa 3.1.3 Một số trường hợp khác
3.2 Dạng Tìm chữ số tận giá trị luỹ thừa
3.2.1 Tìm chữ số tận 3.2.2 Tìm hai chữ số tận 3.2.3 Tìm chữ số tận trở lên
3.3 Dạng So sánh hai luỹ thừa
3.4 Dạng Tính tốn luỹ thừa 3.5 Dạng Toán đố với luỹ thừ
II PHƯƠNG PHÁP GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ 1 Hệ thống hóa kiến thức bản
Muốn học tốt kiến thức toán lũy thừa, em học sinh cần phải hiểu, nhớ công thức lũy thừa bản, từ vận dụng để giải tập từ đến nâng cao
a) Định nghĩa luỹ thừa với số mũ tự nhiên: an =
a a a
(n N*) n thừa số
b) Một số tính chất:
Với a, b, m, n N
am an = am+n,
(2) (a.b)m = am bm (m ≠ 0) (am)n = am.n (m,n ≠ 0) am an ap = am+n+p (p N)
Quy ước:
a1 = a
a0 = (a ≠ 0)
Với : x, y Q; m, n N; a, b Z xn =
x.x x
(x N*) n thừa số
n
n n
b a b a
(b ≠ 0, n ≠ 0) xo =
xm xn = xm+n
m
m n n
x x x
(x ≠ 0) x-n = xn
1
(x ≠ 0) (xm)n = xm.n (x.y)m = xm ym
n n
n
x x
y y
(y ≠ 0) 2 Kiến thức mở rộng, nâng cao
Đây kiến thức không giới thiệu sách giáo khoa toán giải tập nâng cao cần phải có kiến thức
Với x, y, z Q:
x < y <=> x + z < y + z
Với z > thì: x < y <=> x z < y z z < thì: x < y <=> x z > y z
Với x Q, n N:
(3)Với a, b Q:
a > b > => an > bn a > b <=> a2n +1 > b2n + a > 1, m > n > => am > an < a < 1, m > n > => am < an 3 Một số dạng toán thường gặp phương pháp giải 3.1 Dạng 1: Tìm số chưa biết
3.1.1 Tìm số, thành phần số luỹ thừa Phương pháp chung: Đưa hai lũy thừa số mũ
Bài Tìm x biết rằng:
a) x3 = -27 b) (2x – 1)3 = 8 c) (x – 2)2 = 16 d) (2x – 3)2 =
Phương pháp giải
Đối với toán dạng này, học sinh cần nắm vững kiến thức dễ dàng làm được, lưu ý đối câu a) câu b), biểu thức có số mũ lẻ ta áp dụng công thức tổng quát: A2n + 1 = B2n +
A = B
a) x3 = -27 b) (2x – 1)3 = 8 x3 = (-3)3
(2x – 1)3 = 23 x = -3 2x – =
Vậy x = - 2x = + 2x =
x =
(4)Còn câu c) câu d) biểu thức có số mũ chẵn nên ta áp dụng công thức tổng quát: A2n = B2n
A = B A = -B c) (2x – 3)2 = => (2x – 3)2 = (-3)2 = 32
2 3 3 3
2 3 3 0
x x x x
Vậy x = x = 0.
d) (x - 2)2 = 16 => (x - 2)2 = (-4)2 = 42
x x
x x
Vậy x = -2 x = 6
Bài Tìm số hữu tỉ x biết: x2 = x5
Phương pháp giải
Nếu học sinh làm thấy nhẹ nhàng đến không tránh khỏi băn khoăn, lúng túng: hai lũy thừa số chưa biết, số mũ biết lại khác Vậy phải làm cách đây? Nhiều học sinh “tìm mị” x = x = 1, cách khơng thuyết phục cịn số x thỏa mãn đề ?
Giáo viên gợi ý:
x2 = x5
x5 – x2 =
x2.(x3 - 1) = => x x
=> x x
=> x x
Đến giáo viên cho học sinh làm tập sau:
Bài Tìm số hữu tỉ y biết: (3y - 1)10 = (3y - 1)20 (*) Phương pháp giải
Hướng dẫn: Đặt 3y – = x Khi (*) trở thành: x10 = x20
Giải tương tự ta được: 10 10 x x
=> 10 x x
=>
(5)Rất học sinh dừng lại đây, tìm x Nhưng đề yêu cầu tìm y nên ta phải thay trở lại điều kiện đặt để tìm y
Với x = ta có : 3y -1 = 3y = y =
Với x = ta có : 3y -1 = 3y = y =
Với x = -1 ta có : 3y – = -1 3y = y = Vậy y =
1 ;
2 ;
Bài Tìm x biết: (x - 5)2 = (1 – 3x)2
Phương pháp giải
Bài ngược với trên, hai lũy thừa có số mũ biết giống số chưa biết lại khác Lúc ta cần sử dụng tính chất: bình phương hai lũy thừa hai số đối
Ta có: (x - 5)2 = (1 – 3x)2
3 x 3x x
2
x 3x x 2
Bài Tìm x y biết: (3x - 5)100 + (2y + 1)200 (*) Phương pháp giải
Với toán này, số số mũ hai lũy thừa không giống nhau, lại phải tìm hai số x y bên cạnh dấu “ ”, thật khó! Lúc cần gợi ý nhỏ
giáo viên em giải vấn đề: so sánh (3x - 5)100 (2y +1)200 với
Ta thấy: (3x - 5)100 0,x Q (2y +1)200 0, x Q
=> Biểu thức (*) 0, khơng thể nhỏ Vậy: (3x - 5)100 + (2y + 1)200 =
(3x - 5)100 = (2y + 1)200 = 0 => 3x – = 2y + =
x =
y =
(6)Bài Tìm số nguyên x y cho: (x + 2)2 + 2(y – 3)2 < 3 Phương pháp giải
Theo 3, học sinh nhận ngay: (x + 2)2 0, x Z (1) 2(y – 3)2 0, x Z (2)
Nhưng nảy sinh vấn đề “ < ”, học sinh làm Giáo viên gợi ý: Từ (1) (2) suy ra, để: (x + 2)2 + 2(y – 3)2 < xảy những trường hợp sau:
Trường hợp 1: (x + 2)2 = (y – 3)2 =
x
y
Trường hợp 2: (x + 2)2 = (y – 3)2 =
x
y y
Trường hợp 3: (x + 2)2 = (y – 3)2 =
x
x
y
Trường hợp 4: (x + 2)2 = (y – 3)2 =
x
x
y y
Vậy ta có bảng giá trị tương ứng x y thỏa mãn đề :
x -2 -2 -2 -1 -3 -1 -3
y 3
Thật tốn phức tạp! Nếu khơng cẩn thận xét thiếu trường hợp, bỏ sót cặp giá trị x y thỏa mãn điều kiện đề
Bây giáo viên cho học sinh làm tốn tương tự sau:
1) Tìm x biết:
a) (2x – 1)4 = 81 b) (x -2)2 = 1 c) (x - 1)5 = - 32 d) (4x - 3)3 = -125
(7)a) y200 = y b) y2008 = y2010 c) (2y - 1)50 = 2y – 1 d) (3
y
-5 )2000 = (3 y
-5 )2008
3) Tìm a, b, c biết :
a) (2a + 1)2 + (b + 3)4 + (5c - 6)2 0 b) (a - 7)2 + (3b + 2)2 + (4c - 5)6 0 c) (12a - 9)2 + (8b + 1)4 + (c +19)6 0
d) (7b -3)4 + (21a - 6)4 + (18c +5)6 0
3.1.2 Tìm số mũ, thành phần số mũ lũy thừa. Phương pháp chung: đưa hai lũy thừa có số
Bài Tìm n N, biết:
a) 2008n = 1 c) 32-n 16n = 1024 b) 5n + 5n+2 = 650 d) 3-1.3n + 5.3n-1 = 162
Phương pháp giải Đọc đề học sinh dễ dàng làm câu a a) 2008n =
2008n = 20080
n =
Nhưng đến câu b, em vấp phải khó khăn: tổng hai lũy thừa có số khơng số mũ Lúc cần có gợi ý giáo viên:
b) 5n + 5n+2 = 650 5n + 5n.52 = 650 5n.(1 + 25) = 650 5n = 650 : 26 5n = 25 = 52 n =
Theo hướng làm câu b) học sinh biết cách làm câu c) d) c) 32-n 16n = 1024
(8)d) 3-1.3n + 5.3n-1 = 162 3n-1 + 3n-1 = 162 3n - 1 = 162 3n-1 = 27 = 33 n – = n =
Bài Tìm hai số tự nhiên m, n biết: 2m + 2n = 2m+n
Phương pháp giải
Học sinh thực thấy khó gặp này, khơng biết phải làm để tìm hai số mũ m n Giáo viên gợi ý :
2m + 2n = 2m+n 2m+n – 2m – 2n = 0 2m.2n - 2m - 2n + = 1 2m(2n - 1) – (2n - 1) = 1 (2m - 1)(2n - 1) = (*) Vì 2m 1, 2n 1, m, n N
Nên từ (*) =>
1
1
n m
=>
2
2
n m
=>
1
n m
Vậy: m = n =
Bài Tìm số tự nhiên n cho: a) < 3n 234 b) 8.16 2n Phương pháp giải
Đây dạng tốn tìm số mũ lũy thừa điều kiện kép Giáo viên hướng dẫn học sinh đưa số lũy thừa có số
a) < 3n 234
31 < 3n 35 => n 2;3;4;5
b) 8.16 2n 23.24 2n 22 27 2n 22 => n 2;3;4;5;6;7
Bài Tìm số tự nhiên n biết rằng: 415 915 < 2n 3n < 1816 216
Phương pháp giải
(9)415 915 < 2n 3n < 1816 216 (4 9)15 < (2.3)n < (18.2)16 3615 < 6n < 3616
630 < 6n < 632 => n = 31
Bây giờ, học sinh biết làm tốn tương tự mà cịn tự tốn dạng tương tự
1) Tìm số nguyên n cho:
a) 27n = 35 b) (23 : 4) 2n = 4 c) 3-2 34 3n = 37 d) 2-1 2n + 2n = 25
2) Tìm tất số tự nhiên n cho:
a) 125.5 5n 5.25 b) (n54)2 = n
c) 243 3n 9.27 d) 2n+3 2n =144
3) Tìm số tự nhiên x, y biết rằng:
a) 2x+1 3y = 12x b) 10x : 5y = 20y
4) Tìm số tự nhiên n biết :
a) 411 2511 2n 5n 2012.512 b)
n
2
2
6 6 6 3
4 4
5
5 5 5 5 5
5 5
Phương pháp giải 3) a) 2x+1 3y = 12x
2x+1 3y = 22x.3x
2
2 3
x
x x y
3y-x = 2x-1
y - x = x - = y = x = b) 10x : 5y = 20y
(10)4) b) n 2 6 6 6 3 4 4 5 5 5 5 5 5 5 n 2 5 5 n 2 6 6
46 = 2n
212 = 2n
n = 12 3.1.3 Một số trường hợp khác
Bài Tìm x biết: (x - 1) x+2 = (x - 1) x+4 (1)
Phương pháp giải
Thoạt nhìn ta thấy tốn phức tạp, số cần tìm có mặt số mũ số Vì thế, học sinh khó xác định cách giải Nhưng đưa toán quen thuộc phép biến đổi sau:
Đặt x - = y ta có: x + = y + x + = y + Khi (1) trở thành: yy+3 = yy+5
yy+5 - yy+3 = 0 yy+3(y2 – 1) = 0
y
y
y
* Nếu: yy+3 = => y = Khi đó: x – =
x = * Nếu: y2 – =
y2 = (±1)2
y y Với y = ta có: x – = x = Với y = -1 ta có: x – = -1 x = Vậy: x 0;1;2
Bài Tìm x biết: x(6 - x)2003 = (6 - x)2003
(11)Với này, x xuất số ngồi (khơng phải số mũ trên) Học sinh lúng túng gặp khó khăn tìm lời giải, giáo viên hướng dẫn
x (6 - x)2003 = (6 - x)2003 x (6 - x)2003 - (6 - x)2003 = 0 (6 - x)2003 (x - 1) = 0
2003
6 x
x
Nếu (6 - x)2003 =
(6 - x) = x = Nếu (x - 1) = x =
Vậy: x 1;6
Bài Tìm số tự nhiên a, b biết: a) 2a + 124 = 5b b) 10a + 168 = b2
Phương pháp giải
Với toán này, học sinh sử dụng cách làm vào đường bế tắc khơng có lời giải Vậy phải làm cách làm ? Ta cần dựa vào tính chất đặc biệt lũy thừa tính chất chia hết tổng để giải toán này:
a) 2a + 124 = 5b (1)
Xét a = 0, (1) trở thành: 20 + 124 = 5b
5b = 125 5b = 53
Do a = b =
Xét a Ta thấy vế trái (1) số chẵn vế phải (1) số
lẻ với a 1, a, b N, điều vơ lí
Kết luận: Vậy a = b = b) 10a + 168 = b2 (2)
(12)Xét a = 0: (2) trở thành: 100 + 168 = b2
169 = b2
(±13)2 = b2 => b = 13 (vì b N) Do a = b = 13
Xét a 1:
Chúng ta biết với số tự nhiên a 10a có chữ số tận nên
suy 10a + 168 có chữ số tận 8, theo (2) b2 có chữ số tận Điều vô lý
Vậy: a = b = 13
Giáo viên cho học sinh làm số tập tương tự sau:
Tìm số tự nhiên a, b để:
a) 3a + 9b = 183 b) 5a + 323 = b2 c) 2a + 342 = 7b d) 2a + 80 = 3b
3.2 Dạng 2: Tìm chữ số tận giá trị lũy thừa 3.2.1 Tìm chữ số tận cùng
Phương pháp chung: cần nhớ số nhận xét sau:
Tất số có chữ số tận là: 0; 1; 5; nâng lên lũy thừa (khác 0) có chữ số tận số
Để tìm chữ số tận số ta thường đưa dạng số có chữ số tận chữ số
Lưu ý: số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc chẵn có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc lẻ có chữ số tận 4, số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc chẵn có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc lẻ có chữ số tận
Chú ý: 24 = 16; 74 = 2401; 34 = 81; 84 = 4096
(13)Bài Tìm chữ số tận số:
20002008; 11112008; 987654321; 204681012
Dựa vào nhận xét học sinh dễ dàng tìm đáp án: 20002008 có chữ số tận chữ số
11112008 có chữ số tận chữ số 987654321 có chữ số tận chữ số 204681012 có chữ số tận chữ số
Bài Tìm chữ số tận số sau:
20072008; 1358 2008; 23456; 5235; 204208; 20032005; 999; 4567
; 996; 81975; 20072007; 10231024.
Phương pháp giải
Đưa lũy thừa dạng lũy thừa số có chữ số tận là: 0; 1; 5;
20072008 = (20074)502 = ( 1)502 = nên 20072008 chữ số tận
135725 = 135724.1357 = (13574)6.1357 = 1357 = =>13 5725 có chữ số tận
20072007 = 20072004 20073 = (20074)501 .3 = ( 1)501 .3 = 1 => 20072007 có chữ số tận 3. 23456 = (24)864 = 16864 = => 23456 có chữ số tận
5235 = 5232 523 = (524)8 .8 = ( 6)8 = .8 = => 5235 có chữ số tận
10231024 = (10234)256 = ( 1)256 = =>10231024 có chữ số tận 20032005 = 20032004 2003 = (20034)501 2003 = ( 1)501 2003 = .1 2003 =>
20032005 có chữ số tận 3.
204208 = (2042)104 = ( 6)104 = => 204208 có chữ số tận Ta thấy 567là số lẻ nên 4567
có chữ số tận
(14) 996 = (94)24 =( 1)24 = => 996 có chữ số tận Ta thấy 99 số lẻ nên 999có chữ số tận 9.
Bài Cho A = 172008 – 112008 – 32008 Tìm chữ số hàng đơn vị A. Phương pháp giải
Đây dạng tốn tìm chữ số tận tổng, ta phải tìm chữ số tận tong số hạng, cộng chữ số tận lại
Tìm chữ số tận 172008; 112008; 32008 ta có:
A = 172008 – 112008 – 32008 = 1 - 1 - 1= 0 - 1 = 9 Vậy A có chữ số tận
Bài : Cho M = 1725 + 244 – 1321 Chứng tỏ rằng: M 10 Phương pháp giải
Ta thấy số chia hết cho 10 có chữ số tận nên để chứng tỏ M
10 ta chứng tỏ M có chữ số tận 0.
1725 = 1724.17 = (174)6 17 = ( 1)6.17 = 1.17 = 7 244 = (242)2 = 5762 = 6
1321 = (134)5.13 = ( 1)5.13 = 1 13 = 3 Vậy M = .7 + 6 - 3 = 0 => M 10
Đến đây, sau làm 2) 3) giáo viên cho học sinh làm toán tổng quát sau:
Bài Tìm chữ số tận số có dạng:
a) A = 24n – (n
N, n ≥ 1)
b) B = 24n + 2+ (n N)
c) C = 74n – (n N)
Hướng dẫn:
a) Ta có: 24n = (24)n = 16n có chữ số tận 6. => 24n – có chữ số tận 1.
b) B = 24n + + (n N)
(15)=> B = 24n + + có chữ số tận 5. c) C = 74n – 1
Ta có 74n = (74)n = (2401)n có chữ số tận 1. Vậy 74n – có chữ số tận 0.
Bài Chứng tỏ rằng, số có dạng:
a) A = 22
n
chia hết cho (n N, n ≥ 2)
b) B = 24
n
chia hết cho 10 (n N, n ≥ 1)
c) H = 92n 3chia hết cho (n N, n ≥ 1)
Phương pháp giải
Với dạng này, học sinh phải dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2, cho 5, cho Đọc đầu bài, học sinh định hướng phải tìm chữ số tận 5, bắt tay vào làm gặp khó khăn lớn với lũy thừa 22n, 24n, 92n học
sinh phải tính nào, học sinh nhầm: 22n 22n; 24n 24n
; 92n 92n…
Khi giáo viên hướng dẫn sau: a) Với n N, n ≥ 2, ta có :
n
2
2 =
2
2.2 4 2
2 2 16
2
n
n n
có chữ số tận => A = 22
n
có chữ số tận Vậy A 5
b) Với n N, n ≥ 1, ta có :
n
4
2 =
1
1 4 4
4
4 2 16
2
n
n n
có chữ số tận => B =24
n
có chữ số tận Vậy B 10
c) Với n N, n ≥ 1, ta có :
n
2
9 = 92.21 92 21 8121
n
n n
có chữ số tận => H = 92n 3 có tận Vậy H 2
Bài tập luyện tập :
(16)22222003; 20082004; 20052005; 20062006 ; 9992003; 20042004; 77772005; 1112006; 20002000; 20032005.
2) Chứng tỏ rằng, với số tự nhiên n
a) 34n + 1 + chia hết cho 5 b) 24n + 1 + chia hết cho 5 c) 92n + 1 + chia hết cho 10
3) Chứng tỏ số có dạng:
a)22n+ có chữ số tận (n
N, n ≥ 2)
b) 24
n
có chữ số tận (n N, n ≥ 1)
c) 32n+ chia hết cho (n N, n ≥ 2)
d) 34n- chia hết cho 10 (n N, n ≥ 1)
4) Tìm chữ số hàng đơn vị của:
a) A = 66661111 + 11111111 - 665555 b) B = 10n + 555n + 666n
c) H = 99992n + 9992n+1 + 10n (n N*)
d) E = 20084n + 20094n + 20074n (n N*)
5) Trong số sau số chia hết cho 2, cho 5, cho 10?
a) 34n+1 + (n N)
b) 24n+1 - (n N) c) 22n
+ (n N, n ≥ 2)
d) 94n - (n N, n ≥ 1)
6) Tìm chữ số tận số tự nhiên a để a2 + 5
7) Tìm số tự nhiên n để n10 + 10
8) Chứng tỏ rằng, với số tự nhiên n thì:
a) 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n 10 (n > 1) b) 3n+3 + 2n+3 + 3n+1 + 2n+2 6
(17)6) a2 + => a2 + phải có chữ số tận 5. => a2 phải có chữ số tận 4.
=> a phải có chữ số tận hoặc 7) n10 + 10 => n10 + phải có chữ số tận 0.
=> n10 = (n2)5 phải có chữ số tận 9. => n2 phải có chữ số tận 9.
=> n phải có chữ số tận 8) a) 3n+2 – 2n+2 + 3n – 2n = 3n (32 + 1) – 2n-1.( 23 + 2) = 3n 10 – 2n-1 10
= 10 (3n – 2n-1) 10, nN b) 3n+3 + 2n+3 + 3n+1 + 2n+2 = 3n (33 + 3) + 2n+1.( 22 + 2) = 3n 30 + 2n+1
= (5.3n + 2n+1) 6,nN
3.2.2 Tìm hai chữ số tận lũy thừa.
Phương pháp: Để tìm hai chữ số tận lũy thừa, ta cần ý số đặc biệt sau:
Các số có tận 01, 25, 76 nâng lên lũy thừa (khác 0) tận
Để tìm hai chữ số tận lũy thừa ta thường đưa dạng số có hai chữ số tận là: 01; 25 76
Các số 210 ; 410; 165; 65; 184; 242; 684; 742 có tận 76 Các số 320; 910; 815; 74; 512; 992 có tận 01
Số 26n (n N, n >1)
Bài 1: Tìm hai chữ số tận của: 2100 ; 3100
Dựa vào nhận xét học sinh dễ dàng làm : 2100 = (220)5 = ( 76)5 = 76
3100 = (320)5= ( 01)5 = 01
Bài 2: Tìm hai chữ số tận của:
a) 5151 b) 9999 c) 6666 d) 14101.16101
(18)Đưa vềdạng số có hai chữ số tận là: 01; 25 76 a) 5151 = (512)25.51 = ( 01)25.51 = 01.51 = 51
=> 5151 có chữ số tận 51. Tương tự:
b) 9999 = (992)49.99 = ( 01)49.99 = 01.99 = 99 c) 6666 = (65)133.6 = ( 76)133.6 = 76.6 = 56 d) 14101.16101 = (14.16)101 = 224101 = (2242)50.224
= ( 76)50.224 = 76.224 = 24 Từ toán 2, cho học sinh làm toán tổng quát:
Bài 3: Tìm hai chữ số tận của:
a) 512k; 512k+1 (k N*) b) 992n; 992n+1; 999999(n N*) c) 65n; 65n+1; 66666(n N*)
Phương pháp giải a) 512k = (512)k = ( 01)k
=> 512k+1 = 51 (512)k = 51.( 01)k b) 992n = (992)n = ( 01)n
=> 992n+1 = 99 (992)n = 99.( 01)n
=> 999999, ta có 9999 số lẻ => 999999 có dạng 992n+1 (Với n
N, n > 1)
=> 999999 = 99.(992)n = 99 ( 01)n (Với n
N, n > 1)
c) 65n = ( 65)n = ( 76)n
=> 65n+1 = ( 65)n = ( 76)n
Xét 66666, ta có 6666 số có tận 6, => 66666có dạng 65n+1 (n N, n > 1) => 66666= 6.( 76)n
Bài tập luyện tập:
1) Tìm hai chữ số tận của:
(19)d) 182004 e) 682005 f) 742004
2) Tìm hai chữ số tận của:
a) 492n; 492n+1 (n N) b) 24n 38n (n
N)
c) 23n 3n; 23n+3 3n+1 (n N) d) 742n; 742n+1 (n N)
3) Chứng tỏ rằng:
a) A = 262n - 26 5 10 (n
N, n > 1)
b) B = 242n+1 + 76 100 (Với n N)
c) M = 512000.742000.992000 có chữ số tận 76.
3.2.3 Tìm chữ số tận trở lên.
Phương pháp: Chú ý số điểm sau:
Các số có tận 001, 376, 625 nâng lên lũy thừa (khác 0) có tận số
Số có tận 0625 nâng lên lũy thừa (khác 0) có tận 0625
Bài Tìm chữ số tận cùng, chữ số tận 52000.
Học sinh làm phần khơng khó khăn nhờ kĩ có từ phần trước
52000 = (54)500 = 625500 = (0625)500
Vậy: 52000 có ba chữ số tận 625 có bốn chữ số tận 0625.
Bài Tìm ba chữ số tận của:
a) 23n 47n (n N*) b) 23n+3 47n+2 (n N)
Phương pháp giải
Để tìm ba chữ số cuối lũy thừa khó với học sinh, lại u cầu tìm ba chữ số cuối tích lũy thừa thật khó Đối với học sinh khá, giỏi cần tới gợi ý giáo viên
a) 23n 47n = (23)n 47n = (8 47)n = 376n
(20)b) 23n+3 47n+2.
Dù làm câu a, đến câu b học sinh không tránh khỏi lúng túng số mũ Giáo viên hướng dẫn:
23n+3 47n+2 = 23(n+1) 47n+1 47 = (23)(n+1) 47n+1 47
= (8.47)n+1 47 = 47 376n+1
Ta có: 376n+1 có chữ số tận 376 => 47 376n+1 có chữ số tận 672
Bài Chứng tỏ rằng:
a) 54n + 375 1000 (n N, n ≥ 1)
b) 52n - 25 100 (n N, n ≥ 2)
c) 2001n + 23n 47n + 252n có tận 002.
Phương pháp giải
Nếu học sinh làm tốt phần trước gặp khơng gặp nhiều khó khăn, nhiên, cần đến tư logic, liên hệ đến kiến thức liên quan kĩ biến đổi
a) Ta có: 54n = 54.4n1= 6254n1 tận 625 ( n N, n ≥ 1)
=> 54n + 375 có tận 000 Vậy: 54n + 375 1000
b) Ta có 52n = 522.2n2=
2
5 n = 6252n2
(n N, n ≥ 2)
Vậy 52n - 25 có chữ số tận 00 Do : 52n- 25 100
c) 2001n + 23n 47n + 252n
Ta thấy: 2001n có tận 001.
23n 47n = (8 47 )n = 376n có tận 376 252n = (252)n = 625n có tận 625
Vậy: 2001n + 23n 47n + 252n có tận 002.
(21)Phương pháp chung: để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi hai lũy thừa có số có số mũ (có thể sử dụng lũy thừa trung gian để so sánh)
Lưu ý số tính chất sau:
Với a, b, m, n N, ta có:
a > b an > bn, n N* m > n am > an, (a > 1)
a = a = am = an (m.n 0) Với A, B biểu thức ta có:
An > Bn
A > B > Am > An
m > n A > 1, hay m < n < A <
Bài So sánh
a) 33317 33323 b) 200710 200810
c) (2008 - 2007)2009 (1998 - 1997)1999
Phương pháp giải
Với học sinh nhìn cách giải lũy thừa có số có số mũ
a) Vì < 17 < 23 nên 33317 < 33323 b) Vì 2007 < 2008 nên 200710 < 200810
c) Ta có: (2008 - 2007)2009 = 12009 = (1998 - 1997)1999 = 11999 = 1 Vậy (2008 - 2007)2009 = (1998 - 1997)1999
Bài So sánh
a) 2300 3200 e) 9920 999910 b) 3500 7300 f) 111979 371320 c) 85 3.47 g) 1010 48.505
(22)Phương pháp giải
Để làm học sinh cần sử dụng linh hoạt tính chất lũy thừa để đưa lũy thừa số số mũ
Hướng dẫn:
a) Ta có: 2300 = (23)100 = 8100 3200 = (32)100 = 9100
Vì 8100 < 9100 nên 2300 < 3200
b) Tương tự câu a, ta có: 3500 = (35)100 = 243100 7300 = (73)100 = 343100
Vì 243100 < 343100 nên 3500 < 7300 c) Ta có: 85 = 215 = 2.214 < 3.214 = 3.47 => 85 < 3.47
d) Ta có: 202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101
= (8.101.1012)101 = (808.101)101 303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101 Vì 808.1012 > 9.1012 nên 202303 > 303202
e) Ta thấy: 992 < 99.101 = 9999 => (992)10 < 999910 hay 9920 < 999910 f) Ta có: 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660 (1)
371320 = 372)660 = 1369660 (2) Từ (1) (2) suy ra: 111979 < 371320 g) Ta có: 1010 = 210 510 = 29 510 (*)
48 505 = (3 24) (25 510) = 29 510 (**) Từ (*) (**) => 1010 < 48 505
h) Có: 199010 + 19909 = 19909 (1990+1) = 1991 19909 199110 = 1991 19919
Vì 19909 < 19919 nên 199010 + 1990 9 < 199110
Bài Chứng tỏ rằng: 527 < 263 < 528
Phương pháp giải
Với này, học sinh lớp không định hướng cách làm, giáo viên gợi ý: chứng tỏ 263 > 527 263 < 528
(23)=> 263 > 527 (1)
Lại có: 263 = (29)7 = 5127 528 = (54)7 = 6257 => 263 < 528 (2)
Từ (1) (2) => 527 < 263 < 52
Bài So sánh: a) 10750 7375 b) 291 535
Phương pháp giải
Nếu trước so sánh trực tiếp lũy thừa cần so sánh sử dụng lũy thừa trung gian áp dụng cách khó tìm lời giải cho tốn Với ta cần so sánh qua hai lũy thừa trung gian:
a) Ta thấy: 10750 < 10850 = (4 27)50 = 2100 3150 (1) 7375 > 7275 = (8 9)75 = 2225 3150 (2)
Từ (1) (2) => 10750 < 2100 3150 < 2225 3150 < 7375 Vậy 10750 < 7375.
b) 291 > 290 = (25)18 = 3218 535 < 536 = (52)18 = 2518 => 291 > 3218 > 2518 > 535 Vậy 291 > 535.
Bài So sánh
a) (-32)9 (-16)13 b) (-5)30 (-3)50 c) (-32)9 (-18)13 d) (16
1
)100 ( 2
)500
Phương pháp giải Đưa so sánh hai lũy thừa tự nhiên
a) (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245 (-16)13 = - 1613 = - (24)13 = - 2 52
Vì 245 < 252 nên -245 > - 252 Vậy (-32)9 > (-16)13. b) (-5)30 = 530 = (53)10 = 12510
(-3)50 = 350 = (35)10 = 243 10 Vì 12510 < 24310 nên (-5)30 < (-3)50. c) (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245
(24)d) Ta có: (16
)100 = 100
100
16
= 16100
1
=2400
1
(
)500 = 500
500
2 ) (
= 2500
1
Vì 2400 < 2500 nên 2400
1
> 2500
1
Vậy (16
)100 > ( 2
)500.
Bài So sánh A B biết: A = 2008
1 2008 2009 2008
; B = 2008 1 2008 2008 2007
Phương pháp giải
Trước tìm lời giải giáo viên cung cấp cho học sinh tính chất sau: Với số tự nhiên a, b, c khác 0, ta chứng minh được:
Nếu a
1 b
a a c b b c Nếu a b
a a c b b c
Áp dụng tính chất vào 6, ta có: Vì A = 2008
1 2008 2009 2008
< nên: A = 2008
1 2008 2009 2008
< 2008 2007 2007 2008 2009 2008 = 2008 2009 2008 2008 2008 2008
=2008.(2008 1)
) 2008 ( 2008 2009 2007
=2008 1 2008 2007 2007 =B Vậy A < B
Giáo viên hướng dẫn học sinh giảỉ toán theo cách sau:
Cách 1: Ta có: 2008.A =
2008 2008 ) 2008 ( 2009 2008 2008 2007 2008 2009 2009
=1+2008 2007 2009 2008.B = 2007 2008 (2008 1).2008 2008
2008
2007 2008 2008 2008
=1+2008 2007
2008
Vì 20082009+1 > 20082008+1 nên 2008 1 2007
2009
< 2008
2007
2008
(25)A
= 2008 1 2008 2008 2009
= 2008 2007 2008 2008 2008 2009
= 2008
2007 ) 2008 ( 2008 2008 2008
= 2008 - 2008 2007
2008
B
= 2008 1 2008 2007 2008
= 2008 2007 2008 2008 2007 2008
= 2008
2007 ) 2008 ( 2008 2007 2007
= 2008 - 2008 2007
2007
Vì 20082008+1 > 20082007 +1 nên 2008 1 2007
2008
< 2008
2007
2007
=> 2008 - 2008 2007
2008
> 2008 - 2008
2007
2007
Vậy A
> B
=> A < B (vì A,B > 0)
Bài So sánh M N biết: M = 100
1 100 99 100
; N = 100
1 100 100 101
Phương pháp giải
Cách 1: N = 100
1 100 100 101 > => N =100
1 100 100 101
>100 99 99 100 100 101
=100 100 100 100 100 101
= (100 1).100
100 ) 100 ( 99 100
= 100 1 100 99 100 = M Vậy M < N
Cách 2: M = 100
1 100 99 100
= 100 99 100 100 99 100
= 100 99 100 ) 100 ( 99 99
= 100 - 100 99
99
N = 100 1 100 100 101
= 100 99 100 100 100 101
= 100 99 100 ) 100 ( 100 100
= 100 - 100 99
100
Vì 10099 + < 100100 + nên 100 1 99
99
> 100
99
100
=> 100 - 100 99
99
< 100 - 100
99
100
Vậy M < N
Bây giáo viên cho học sinh làm số tập tương tự sau:
(26)a) 528 2614 b) 521 12410 c) 3111 1714 d) 421 647 e) 291 535 g) 544 2112
2 So sánh:
a) 2300
3200
b) 5199
3300 c) d) 15 10 20 10
3 So sánh:
a) A = 13 1 13 16 15
B = 13 1 13 17 16 b) A = 1999
1 1999 1998 1999
B = 1999 1 1999 1999 2000
c) A = 100 1 100 99 100
B = 100 1 100 68 69
Phương pháp giải c) A = 100
1 100 99 100
B = 100 1 100 68 69
Bài không giống Học sinh lúng túng bắt tay làm bài, giáo viên cần hướng dẫn: quy đồng mẫu A B, ta có:
A = (100 1).(100 1)
) 100 ).( 100 ( 68 99 68 100
và B = (100 1).(100 1)
) 100 ).( 100 ( 99 68 99 69
Để so sánh A B lúc ta so sánh tử số A tử số B Xét hiệu tử số A trừ tử số B:
(100100 + 1) (10068 + 1) - (10069 + 1) (10099 + 1)
= 100168 + 100100 + 10068 + - 100168 – 10099 – 10069 – 1 = 100100 – 10099 – 10069 + 10068
= 100 10099 – 10099 – 100.10068 + 10068 = 99.10099 - 99.10068
= 99 (10099 - 10068) > (vì 10099 > 10068) Vậy A > B.
(27)Phương pháp: Vận dụng linh hoạt công thức, phép tính lũy thừa để tính cho hợp lí nhanh Biết kết hợp hài hịa số phương pháp tính tốn biến đổi
Bài Tính giá trị biểu thức sau:
a) A = 27 10 27
27 13 30
b) M =
) ( ) ( ) ( ) ( x x x x
x , với x = 7
Phương pháp giải
Với này, học sinh không nên tính giá trị lũy thừa thực phép tính khác theo thứ tự thực phép tính, mà làm khó đưa đáp án Giáo viên hướng dẫn học sinh tìm thừa số chung đưa ngoặc tử mẫu số, sau thực việc rút gọn việc tìm kết toán nhanh đến bất ngờ
a) A = 27 10 27
27 13 30
= (2 )
) ( 20 17 10 20 17 13
= 23 = 8 b) M =
) ( ) ( ) ( ) ( x x x x x
Học sinh dễ phát hoảng nhìn thấy câu b số mũ lũy thừa cao dần mà số lại chưa cụ thể Nhưng thay giá trị x vào M lại tìm cách dễ dàng
M =
) ( ) ( ) ( ) ( x x x x
x =
) ( ) ( ) ( ) ( M = 12 13
3 = 321
= 32 = 9
Bài Chứng tỏ rằng:
a) A = 102008 + 12545
b) B = 52008 + 52007 + 52006 31 c) M = 88 + 22017
d) H = 3135 299 – 3136 367
(28)Với toán này, học sinh phải huy động kiến thức dấu hiệu chia hết, kĩ phương pháp biến đổi, lưu ý rằng: am, an, (m; n) = am.n (a, m,
n N*)
a) A = 102008 + 125
Ta có: 102008 + 125 = 100 0 + 125 = 100 0125 2008 số 2005 số A có tận => A5
Tổng chữ số A là: 1+1+2+5 = => A9.
Mà (5;9) = => A5.9 hay A45
b) B = 52008 + 52007 + 52006
Ta khơng thể tính giá trị cụ thể lũy thừa thực phép cộng Giáo viên gợi ý đặt thừa số chung
B = 52008 + 52007 + 52006 B = 52006 (52 + 51 + 1) B = 52006 3131 c) M = 88 + 220
Cách làm tương tự câu b, trước tiên phải đưa hai lũy thừa có số:
M = 88 + 220 = (23)8 + 220 = 224 + 220
M = 220 (24 + 1) = 220 (16 + 1) = 220.1717 d) H = 3135 299 – 3136 36
Với câu này, học sinh phải nhận cần đặt thừa số chung, đặt thừa số chung lại vấn đề Nếu đặt 3135 làm thừa số chung buộc phải tính kết ngoặc, lâu dễ nhầm Khi đó, giáo viên hướng dẫn
(29)H = (3135 – 3136 )7
Bài Cho A = + 22 + 23 + … + 260 Chứng tỏ rằng: A3, A7, A5 Phương pháp giải
Với này, giáo viên hướng dẫn em nhóm lũy thừa thành nhóm 2; 3; lũy thừa cho sau đặt thừa số chung nhóm xuất số cần chứng tỏ A chia hết cho
Ví dụ: A = + 22 + 23 + … + 260
= (2 + 22) + (23 + 24) + (25 + 26) + … + (257 + 258) + (259 + 260) = 2.(1 + 2) + 23.(1 + 2) + 25.(1 + 2) + … + 257.(1 + 2) + 259.(1 + 2) = (1 + 2).(2 + 23 + 25 + … + 257 + 259)
= 3.(2+23+25+…+257+259) => A3 Tương tự, ta có:
A = (2 + 22 + 23) + (24 + 25 + 26) + … + (258 + 259 + 260 ) = 2.(1 + + 22) + 24.(1 + + 22) + … + 258.(1 + + 22) = (1 + + 22).(2 + 24 + 27 + … + 258)
= 7.(2 + 24 + 27 + … + 258) => A7
A = (2 + 23) + (22 + 24) + … + (257 + 259) + (258 + 260) A = 2(1 + 22) +22(1 + 22) + … + 257(1 + 22) + 258(1 + 22) = (1 + 22).(2 + 22 + 25 + 26 + … + 257 + 258)
= (2 + 22 + 25 + 26 + … + 257 + 258 => A5
Bài Chứng tỏ rằng:
a) D = + 32 + 33 + 34 + … + 3200713
b) E = 71 + 72 + 73 + 74 + … + 74n-1 + 74n 400
Phương pháp giải
a) Ta thấy: 13 = + + 32 nên ta nhóm số hạng liên tiếp tổng thành nhóm sau:
(30)= 3.13 + 34.13 + …+ 32005.13 = (3 + 34 + …+ 32005) 13 => D13 b) Tương tự câu a, có : 400 = + + 72 + 73 nên:
E = (71 + 72 + 73 + 74) + 74 (71 + 72 + 73 + 74) + … + 74n-4 (71 + 72 + 73 + 74) = (71 + 72 + 73 + 74).(1+74 + 78 + … + 74n-4)
= 7.(1 + 71 + 72 + 73).(1+74 + 78 + … + 74n-4) = 7.(1 + + 49 + 343).(1+74 + 78 + … + 74n-4) = 7.400.(1+74 + 78 + … +74n-4)400 => E400
Bài a) Tính tổng: Sn = + a + a2 + … + an
b) Áp dụng tính tổng sau: A = + + 32+ … + 32008
B = + + 22 + 23 + … + 21982
C = 71 + 72 + 73 + 74 + … + 7n-1 + 7n Phương pháp giải
a) Đây tốn tổng qt, giáo viên gợi ý trực tiếp cho học sinh cách làm để thu gọn tổng lũy thừa này, ta nhân hai vế biểu thức với số lũy thừa
* Xét a = 1, ta có: Sn = + + 12 + + 1n =(n +1).1 = n +1 * Xét a ≠ 1, ta có:
Sn = + a + a2 + + an => a Sn = a + a2 + … + an+1 => a Sn - Sn = an+1 – => Sn =
1
1
a an
b) Học sinh dễ dàng tính tổng A, B, C nhờ công thức Sn A = + + 32 + … + 32008 = 2
1 32009
B = + + 22 + 23 + … + 21982 = 21983 - C = 71 + 72 + 73 + 74 + … + 7n-1 + 7n= 6
7
(31)Bài Thu gọn tổng sau: M = - + 22 - 23 + … + 22008 Phương pháp giải
Mặc dù có cơng thức tính tổng lũy thừa viết theo quy luật tính tổng M học sinh khơng tránh khỏi lúng túng với dấu ‘+’, ‘-‘ xen kẽ
Nếu vận dụng máy móc cách tính tổng B câu b, 4: lấy 2M - M khơng thu gọn tổng M Giáo viên cần giải thích cho học sinh hiểu được: câu b) 4, ta tính hiệu hai biểu thức hai biểu thức có số hạng giống nhau; cịn hai tổng 2M M lại có số hạng đối nên ta xét tổng chúng:
M = - + 22- 23 + … + 22008
=> 2M = - 22 + 23 – 24 + … + 22009 => 2M + M = 22009 + 1
=> M = 22009
Bài Tính:
a) A = 100
1 1
2 2 2 b) B = 1+ 500
1 1
5 5 5 Phương pháp giải
Làm tương tự
a) A = 99 100
1 1 1
2 2 2 2 => 2A = 1+ 99
1 1
2 2 2 2 => 2A – A = (1+ 99
1 1
2 2 2 2 ) – ( 100
1 1
2 2 2 2 ) => A = 1+ 2 3 99 99 100
1 1 1 1 1
2 2 2 2 => A = - 2100
1
b) B = 1+ 500
1 1
5 5 5
=> 5B = 5+1+ 499
1 1
(32)=> 5B – B = (5+1+ 499
1 1
5 5 5 5 ) – (1+ 499
1 1
5 5 5 5 )
4B = 5+1-1+ 2 3 499 499 500
1 1 1 1 1
5 5 5 5
4B = - 5500
1
B = (5 - 5500
1 ):
Bài Tính: B = 1002 - 992 + 982 – 972 + … + 22 - 1 Phương pháp giải
Với học sinh nghĩ tới việc nhóm số 1002, 982, … 22 thành nhóm số cịn lại thành nhóm Nhưng nhóm khơng tính nhanh Để làm giáo viên cho học sinh chứng tỏ đẳng thức sau:
Với số tự nhiên a b, ta có: (a - b).(a + b) = a2- b2 Thật vậy, ta có:
(a - b).(a + b) = (a - b).a + (a - b).b = a2 – ab + ab - b2 = a2 - b2 Vậy: (a - b).(a + b) = a2 - b2
Áp dụng đẳng thức vào ta được: B = 1002 - 992 + 982 – 972 + …+ 22 – 1
= (100 - 99).(100 + 99) + (98 - 97).(98 + 97) +…+ (2 - 1).(2 + 1) = 100 + 99 + 98 + 97 +…+ +
= 100.(100 + 1) : = 5050
Bài Chứng tỏ rằng.
a) H = 2 2
1 1 1
2 3 2007 2008
b) K =
1 14
1 12
1 10
1
1
1
1
1
2 2 2
2
(33)Để làm câu a, học sinh phải nắm kiến thức liên quan Những tốn dạng thực khó với học sinh Để học sinh hiểu phụ thuộc hoàn toàn vào dẫn dắt, gợi mở giáo viên
Lưu ý:
1 1
n.(n 1) n n 1 (n N*) a) Ta có: 1.2
1
1
2
; 2.3
1
2
; 3.4
1
2
; ; 2007.2008 2008
1
2
=> H = 2 2
1 1 1 1
2 3 4 2007 2008 1.2 2.3 2007.2008 (*) Mà
1 1 1 1 1 1
1
1.2 2.3 2007.2008 2 3 4 2007 2008 2008 Nên, từ (*) => H <
Qua tốn trên, giáo viên cho học sinh làm toán tổng quát sau: Bài 10 Chứng tỏ:
a) H = 2 2
1 1 1
2 3 4 2003 n (nN*,n1)
b) K = 2 2 2 142
1 12 10
<
Phương pháp giải a) H <
1 1
1.2 2.3 (n 1).n =
1 1 1 1
1 1
2 3 n n n
Nên H <
b) K = 22
1
( 2 2 72
1
1
) < 22
1
(1+1) = 22
1
.2 =
(Vì theo câu a, 1 2 2 2
2
) Vậy K <
1
Bây giáo viên cho học sinh làm số tập luyện tập sau:
1) Chứng tỏ biểu thức sau viết dạng số phương:
(34)P = 13+23+33+43 K = 13+23+33+43+53+63+73
2) Tính A B hai cách trở lên:
A = + + 22 + 23 + 24 + … + 2n (n N*) B = 70 + 71 + 72 + 73 + 74 + … + 7n+1 (n N)
3) Viết tổng sau dạng lũy thừa 2
T = 22+ 22 + 23 +24+25+…+ 22008
4) So sánh:
a) A = + + 22 + 23 + 24 + 25 +…+ 22008 B = 22009 – 1 b) P = + + 32 + … + 3200 Q = 3201
c) E = + x + x2+ … + x2008 F = x2009 (x N*)
5) Chứng tỏ rằng:
a) 13 + 33 + 53 + 73 23
b) + 33 + 35 + 37 + … + 32n+1 30 (n N*) c) + + 52 + 53 + … + 5403 + 5404 31 d) + + 42 + 43 + 44 + … + 499 B = 4100
6) Tìm số dư chia A cho 7, biết rằng
A = + + 22 + 23 + … + 22008 + 22002
7) Tính:
a) 3S – 22003 biết S = – + 22 - 23 + … + 22002 b) E = 2100 – 299 – 298 – 297 - … - 22 - – 1 c) H – K biết: H = + + 32 + 33 +…+ 320
K = 321 : 2
8) Tìm:
a) Số tự nhiên n biết: 2A + = 3n Với A = + 32 + 33 + … + 3100 b) Chữ số tận M biết: M = + 22 + 23 + … + 220
9) Chứng tỏ rằng:
a) 87 – 218 14 h) 122n+1 + 11n+2 133 c) 817 – 279 - 913 405 i) 70 + 71 + 72 + 73 +…+7101 8
(35)d) 1099 + 23 9 l) 439 + 440 + 441 28
e) 1028 + 72 m) + 35 + 37 + … + 31991 13 41
10) Chứng tỏ rằng:
a) 2 2
1 1 1
2 4 6 100
b) 2 2
1 1 1
6 6 7 100 4
c) A > B với: A =
2
2
1 5
1 5
; B =
2
2
1 3
1 3
3.5 Dạng 5: Toán đố với lũy thừa
Dạng toán đố với lũy thừa có số chủ yếu liên quan đến số phương (Số phương bình phương số tự nhiên)
Phương pháp: Cần hiểu số kiến thức sau
Số phương có số tận 0, 1, 4, 5, 6, khơng thể có số tận 2, 3, 7,
Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phương chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ
Số lượng ước số phương số lẻ Ngược lại số có số lượng ước số lẻ số số phương
Bài Trong buổi họp mặt đầu xuân Tân Mùi 1991, bạn Thủy đố bạn điền
các chữ số vào dòng chữ sau để phép tính đúng. MÙI MÙI = TÂN MÙI (*) Bạn trả lời giúp.
Phương pháp giải
Đề hay, tìm câu trả lời thật khó Ta phải tìm câu trả lời thích hợp thay cho dịng chữ (*)
MÙI số có chữ số
Theo (*) (MÙI)2 có tận mùi có chữ số.
(36)Gọi MÙI = a Ta có:
a2 = 1000 TÂN + a hay a2 – a = 1000 TÂN => a.(a - 1) 1000
Ta thấy a - a hai số liên tiếp 1000 = 125 với (125 ; 8) = Vậy xảy ra:
a 125 a – 8 => a = 625 a 8 a - 125 => a = 376 Do đó: 625 625 = 390625 (thỏa mãn)
376 376 = 141376 (khơng thỏa mãn, chữ T khác chữ N) Vậy MÙI MÙI = TÂN MÙI 625 625 = 390625
Bài Đố bạn số phương có chữ số viết chữ số: 3; 6; 8; 8
Phương pháp giải
Với toán này, ta phải sử dụng phương pháp loại trừ để tìm đáp án: Gọi số phương phải tìm n2
Số phương khơng tận 3, nên n2 có tận 6.