5 Chuyên đề toán hay thường gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi – thi đại học42610

5 CHUYÊN ĐỀ TOÁN HAY THƯỜNG GẶP TRONG CÁC KỲ THI HỌC SINH GIỎI – THI ĐẠI HỌC Chuyên đề 1: Phương pháp tìm số hạng tổng quát Phần : XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT DỰA TRÊN CẤP SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH ĐẶC TRƯNG CUẢ DÃY : Loại : Dãy số ( ) xác định : Vì cấp số cộng nên Do + (n-1)d = + (n-1)d Loại Dãy số xác định : nên cấp số nhân Vì Loại Dãy số ( ) xác định  Ta có : Đặt – Thay vào (*) : =a = Do – ; với ) – ) (*) – cấp số nhân q = a Vậy suy – – = a( –  – =( –  = +( – ) +b( Các trường hợp a = a = , b= quy loại DeThiMau.vn ) ) Loại Dãy số ( ) xác định : Xét phương trình – cx – d = (1) ( phương trình đặc trưng dãy ) a) phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt : e1 , e2 nghiệm hệ b) Nếu phương trình (1) có nghiệm kép r khác : Trong e1 , e2 nghiệm hệ Chứng minh công thức (*) , (**) dựa phương pháp chứng minh quy nạp ta sau với dạng để người hiểu rõ , ta tìm số a,b lúc ta có cho a + b = c ab= -d ,a ,b nghiệm phương trình đặt tương đương với ta dãy số ) với n = 2,3 theo loại (1); lý luận tương tự ta kết hợp với ta (2); lấy (2) - (1 ) vế theo vế ta số có chuyển vế số hạng tổng quát Ví dụ minh họa : VD1 : Xác định số hạng tổng quát dãy fibonacci giải : Phương trình đặc trưng dãy :: DeThiMau.vn theo n , nghiệm hệ theo (*) : hay VD2 Xác định số hạng tổng quát dãy số xác định : Giải giả thuyết ta có : (1) rtrong (1) thay n+1 n ta có : (2) (1) - (2) theo vế , ta có : = (3) Giả thuyết : (4) thay n+1 n : từ (4) (5) (4) (5) ( >0 DeThiMau.vn ) từ (3) từ giả thuyết dãy cho xác định lại sau : tốn rơi vào loại giải tương tự ví dụ Sau tập áp dụng từ đề thi Phần : XÁC ĐỊNH SỐ HẠNG TỔNG QUÁT DỰA VÀO DÃY SỐ PHỤ : VD1 : dãy số ( n = 1,2,3, ) sác định DeThiMau.vn , với n = 1,2,3, tìm cơng thức tổng qtcuar theo n giải với n thuộc N*và từ giả thuyết suy ,2, đặt ta có với n = 1,2, suy : hay : đặt (1) b = 2002 , từ (1) ta có : = = = với n = 1,2 suy : từ VD2 cho dãy số ( ) xác định n= 1,2 DeThiMau.vn với n =1 xác định số hạng tổng quát ( ) dãy : giải đặt ( n=1,2, ) (1) (2) ta có (3) từ (1),(3) suy nên ( ) cấp số cộng có cơng sai d = -1 từ (2) , suy : kết hợp với (1) ta phew xong rùi tập ứng dụng cho dãy số ( ) , n thuộc N* ,xác định sau : với n thuộc N* tính tổng 2001 số hạng dãy số (HSGQG 2000-2001 bảng B ; TH TT 10/2001) dãy số xác định a) xác đinh số hạng tổng quát dãy số b) chứng minh số có otheer biểu diễn thành tổng bình phương ba số nguyên liên tiếp ( với n >= 1) DeThiMau.vn ( đề olimpic 30-4 2001 lương văn chánh phú yên ) : cho số thực a khác cva fcho dãy số với x thuộc N* với n thuộc N* xác đinh a) tìm số hạng tổng quát cảu dãy b) chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn n tiến dương vơ , Hãy tìm giới hạn (HSGQG 2002-2003 bảng b TH TT 1/2004 cho dãy số n thuôc N thỏa điều kiện tính ( đề thi olimpic đong sơng cửu long năm 2000) DeThiMau.vn với n thuôc N Chuyên đề 2: Sử dụng tính chất đơn điệu giải phương trình chứa Phương trình vơ tỉ mảng kiến thức thường gặp đề thi đại học , cách giải phương trình vơ tỉ đa dạng sau xin giới thiệu phương pháp sử dụng tính đơn điệu I)Dạng I: Giả sử Vậy phương trình cho tương đương với Ví dụ 1)Giải phương trình : Điều kiện Giả sử Vậy II)Dạng II Ví dụ II)Giải phương trình: Điều kiện: Phương trình cho tương đương với: DeThiMau.vn Giả sử: suy Vậy phương trình có nghiệm x=1 Sau số tập áp dụng: Giải phương trình: Bài 1) Bài 2) Bài 3) Bài 4: Bài 5) DeThiMau.vn Chuyên đề 3: Kĩ thuật Cô-Si ngược dấu Bất đẳng thức Cô-Si bất đẳng thức kinh điển quen thuộc với học sinh THPT Chuyên đề muốn giới thiệu phương pháp vận dụng bất đẳng thức Cơ-Si kĩ thuật Cơ-Si ngược dấu Ví dụ 1) Cho số dương a,b,c thỏa mãn điều kiện a+b+c=3.Chứng minh rằng: Bài giải: Ta ln có : Theo bất đẳng thức Cơ-Si ta có: (1) nên Hồn tồn tương tự ta có: (2) (3) Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1),(2) (3) ta có: (đpcm).Dấu "=" xảy a=b=c=1 Trong để sử dụng bất đẳng thức ta phải dùng tới biểu thức Ví dụ 2)Chứng minh số dương a,b,c có a+b+c=3 ta có: Ta có: DeThiMau.vn Theo bất đẳng thức Cơ-Si ta có: nên (1) Hồn tồn tương tự ta có: (2) (3) Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1),(2) (3) ta có: Dấu "=" xảy a=b=c=1 Nhờ kĩ thuật Cô-Si ngược dấu ta chứng minh toán mà giải phương pháp khác dài chí không giải ,sau số tập ứng dụng: Bài 1)Chứng minh với số dương a,b,c,d ta ln có: Bài 2)Chứng minh với a,b,c,d số thực dương thỏa mãn a+b+c+d=4 ta ln có: Bài 3)Cho số a+b+c=3.Chứng minh rằng: DeThiMau.vn Chuyên đề 4: Bàn dạng phương trình Trước diễn trao đổi cách giải phương trình chứa hai hàm ngược Cụ thể đây: http://www.maths.vn/forums/showthread.php?t=12462&page=3 Và đây:http://www.maths.vn/forums/showthread.php?t=12462&page=4 Trong viết muốn trao đổi với bạn cách tiếp cận khác qua bạn thấy lời giải tự nhiên phát triển thêm số khó Ví dụ 1: Giải phương trình: Giải: Đặt Vậy ta có hệ phương trình : Trừ hai phương trình hệ: ) Thay vào hệ ta có: (Do Vậy phương trình có ba nghiệm: Bình luận: Bài toán toán đơn giản có lẽ nhiều bạn khơng khó khăn để giải toán Tuy nhiên từ toán ta tổng qt dnagj phương trình sau: * Dạng tổng quát toán trên: Để giải phương trình ta đặt (I) ta có hệ: Đây hệ đối xứng loại II với hai ẩn t y * Từ dạng ta cho biểu thức cụ thể biến đổi ta có phương trình mà ta thường gọi chứa hai hàm ngược Do gặp phương trình chứa hai hàm ngược ta tìm cách biến đổi dạng Ta xét số ví dụ sau: Ví dụ 2: Giải phương trình : DeThiMau.vn Giải: Điều kiện : PT Đặt Ta có hệ : * (thỏa ) * (thỏa đk ) Vậy phương trình cho có hai nghiệm: Ví dụ 3: Giải phương trình: Giải: ĐK: PT Đặt Ta có hệ phương trình: nên Từ (2) ta có: Do vào (1) ta được: Vậy phương trình cho có nghiệm: thay Chú ý : Ở (II) ta thay số b biểu thức ta giải phương DeThiMau.vn trình cách làm tương tự Ví dụ 4: Giải phương trình : Giải: Điều kiện : Phương trình Đặt Ta có : * * Vậy phương trình có hai nghiệm: Ví dụ 5: Giải phương trình : Giải: Ta thấy khơng nghiệm phương trình Chia hai vế phương trình cho ta được: Đặt , ta có: Đặt , ta có hệ phương trình : Thử lại ta thấy ba nghiệm thỏa phương trình Vậy phương trình cho có ba nghiệm: Những ví dụ ta thay b (II) biểu thức chứa x Vậy thay a biểu thức chứa x ? ta giải theo cách hay khơng? Ta xét ví dụ sau DeThiMau.vn Ví dụ 6: Giải phương trình : Giải: PT Đặt , Ta có hệ phương trình : * phương trình vơ nghiệm * Vậy phương trình cho vơ nghiệm DeThiMau.vn hệ vô nghiệm Chuyên đề 5: số phương pháp giải PT nghiệm nguyên Phương pháp Phân tích Ví dụ : Tìm nghiệm ngun phương trình *Phân tích thành tổng bình phương, lập phương : Ví dụ Tìm nghiệm ngun phương trình Phương pháp Nhận xét ẩn số 1,Nếu ẩn x,y,z,t có vai trị ta giả sử ngược lại 2, Nếu ẩn có cấu trúc giống lũy thừa bậc, số nguyên liên tiếp ta khử ẩn để đưa dạng quen thuộc PT ẩn Ví dụ: Tìm nghiệm ngun phương trình : a,x+y+z=xyz b, 5(xy+yz+xz)=4xyz Phương pháp "Kẹp" số bình phương, lập phương, tích số ngun liên tiếp Ví dụ : Tìm nghiệm ngun phương trình sau: Ta thấy Phương pháp Sử dụng phép chia hết phép chia có dư (cịn nữa) Bài tập (Phương pháp 4) : Tìm x,y Z a, b, c, d, e, g, =304197519751995 = =1995 (x,y Z+) (x,y Z+) (x,y Z+) DeThiMau.vn Phương pháp Phương pháp xuống thang : Ví dụ : Tìm x,y,z Z thỏa mãn Ta thấy có x=y=z=0 thỏa mãn *Với phương pháp thường cho ta nghiệm Phương pháp Phương pháp Ví dụ tốn cho kiện a+b+c=0 ta viết a=-(b+c) ; b=-(a+c) ; c-(a+b) áp dụng vào toán Phương Pháp : Tích số tự nhiên liên tiếp số phương số có số Vd : ( => Bài tập áp dụng : ) 1/ ( ( 2/ ) ) Phương pháp : Sử dụng tính chẵn lẻ: (Phương pháp ko ko cần VD ) Phương pháp : Dùng cách viết dạng liên phân số VD :Tìm nghiệm nguyên phương trình : = (x+y)+ =5+ (x+y)+ =5+ Vì phân tích nên Bài tập : Tìm nghiệm nguyên phương trình : =z a, b, c, Trích: -Vận dụng tính chất tập số nguyên -Vận dụng tính chất số ngun tố, số vơ tỉ để tìm nghiệm Sử dụng số mệnh đề sau Với số ngun a +1 có ước số ngun tố dạng 4k+3(k số nguyên) Cho P số nguyên tố dạng 4k+3(k số nguyên dương) a, b số nguyên Khi a b chia hết cho P DeThiMau.vn + chia hết cho P DeThiMau.vn ... ( đề thi olimpic đong sông cửu long năm 2000) DeThiMau.vn với n thuôc N Chuyên đề 2: Sử dụng tính chất đơn điệu giải phương trình chứa Phương trình vơ tỉ mảng kiến thức thường gặp đề thi đại học. .. Giả thuyết : (4) thay n+1 n : từ (4) (5) (4) (5) ( >0 DeThiMau.vn ) từ (3) từ giả thuyết dãy cho xác định lại sau : toán rơi vào loại giải tương tự ví dụ Sau tập áp dụng từ đề thi Phần : XÁC ĐỊNH... e, g, =30419 751 9 751 9 95 = =19 95 (x,y Z+) (x,y Z+) (x,y Z+) DeThiMau.vn Phương pháp Phương pháp xuống thang : Ví dụ : Tìm x,y,z Z thỏa mãn Ta thấy có x=y=z=0 thỏa mãn *Với phương pháp thường cho