Chuyên đề về lũy thừa số hữu tỉ29282

CHUYÊN ĐỀ VỀ LŨY THỪA SỐ HỮU TỈ C¥ Sở Lý THUYếT a Định nghĩa luỹ thừa với số mị tù nhiªn * an = a  a  a (n  N ) n thõa sè b Mét sè tÝnh chÊt : Víi a, b, m, n  N am an ap = am+n+p (p  N) am an = am+n, (a ≠ 0, m > n) am : an = am-n (m ≠ 0) (a.b)m = am bm (m,n ≠ 0) (am)n = am.n Quy ­íc: a1 = a (a ≠ 0) a0 = Víi : x, y  Q; m, n  N; a, b  Z  (x  N*) x. x xn =   x n thõa sè n an a    n b b (b ≠ 0, n ≠ 0) xo = xm xn = xm+n xm  x mn n x (x ≠ 0) xn x-n = (x ≠ 0) (xm)n = xm.n (x.y)m = xm ym n x xn    n y  y c (y ≠ 0) KiÕn thøc bỉ sung * Víi mäi x, y, z  Q: ThuVienDeThi.com x < y x + z < y + z Víi z > th×: x < y x z < y z z < th×: x < y x z > y z * Víi x  Q, n  N: (-x)2n = x2n (-x)2n+1 = - x2n+1 * Víi a, b  Q; a > b > => an > bn a>b a2n +1 > b2n + a > , m > n > => am > an < a < , m > n > => am > an Các dạng tập Dạng 1: Tìm số chưa biết 2.1.1 Tìm số, thành phần số luỹ thừa *Phương pháp: Đưa hai luỹ thừa số mũ Bài 1: Tìm x biết r»ng: a, x3 = -27 b, (2x – 1)3 = c, (x – 2)2 = 16 d, (2x – 3)2 = Đối với toán này, học sinh cần nắm vững kiến thức dễ dàng làm được, lưu ý với số mũ chẵn, học sinh cần xét hai trường hợp a, x3 = -27 b, (2x – 1)3 = x3 = (-3)3 (2x – 1)3 = (-2)3  x = -3 => 2x – = - VËy x = - 2x = -2 + 2x = - => x = 1 VËy x = c, (2x – 3)2 = => (2x – 3)2 = (-3)2 = 32 => 2x -3 =3 hc 2x -3 = -3 2x = 2x = x=3 x=0 VËy x = hc x = d , (x - 2)2 = 16 => (x - 2)2 = (-4)2 = 42 => x – = -4 hc x–2=4 x = -2 x=6 ThuVienDeThi.com 1 Vậy x = -2 x = Bài x2 = x5 Tìm số hữu tỉ x biết : NÕu ë bµi häc sinh lµm thÊy nhĐ nhµng đến không tránh khỏi băn khoăn , lúng túng : hai lũy thừa đà số- chưa biết , số mũ- đà biết- lại khác Vậy phải làm cách ? Nhiều học sinh tìm mò ằ x = o x = 1, cách không thuyết phục số x thỏa mÃn đề ? Giáo viên gợi ý : x  x  x  x2 = x5 => x5 – x2 = => x2.(x3 - 1) = =>  =>  =>   x   x x Đến giáo viên cho học sinh làm tập sau : (3y - 1)10 = (3y - 1)20 Bµi Tìm số hữu tỉ y biết : (*) Hướng dẫn : Đặt 3y = x Khi ®ã (*) trë thµnh : x10 = x20 x   x 10  x  Gi¶i tương tự ta : 10 =>  10 =>  x  1 x   x    x  RÊt cã thĨ häc sinh dõng l¹i ë , đà tìm x Nhưng đề yêu cầu tìm y nên ta phải thay trở lại điều kiện đặt để tìm y +) Với x = ta cã : 3y -1 = => 3y = => y = +) Víi x = ta cã : 3y -1 = 1 => 3y = => y = +) Víi x = -1 ta cã : 3y – = -1 => 3y = => y = VËy y= ; ;0 3 Bµi : T×m x biÕt : (x - 5)2 = (1 3x)2 Bài nàyngược với , hai lũy thõa ®· cã sè mị -®· biÕt- gièng nh­ng số chưa biết lại khác Lúc ta cần sử dụng tính chất : bình ph­¬ng cđa hai lịy thêa b»ng hai c¬ số đối Ta cố : (x - 5)2 = (1 – 3x)2 => x – = 3x Bài : Tìm x vµ y biÕt : => 4x = => x= hc x – = 3x – 2x = -4 = (3x - 5)100 + (2y + 1)200  x = -2 (*) Víi toán , số số mũ hai lũy thừa không giống , lại phải tìm hai số x y bên cạnh dấu ‘  ’’ , thËt lµ khã ! Lóc nµy cần gợi ý nhỏ giáo viên em giải vấn đề : hÃy so s¸nh Ta thÊy : (3x - 5)100  (3x - 5)100 vµ (2y +1)200 víi  x Q ThuVienDeThi.com (2y +1)200   x Q => BiÓu thøc (*) chØ cã thÓ b»ng , nhỏ (3x - 5)100 + (2y + 1)200 = VËy : (3x - 5)100 = (2y + 1)200 = 3x – = 2y + =0 => x = y= Bài :Tìm số nguyên x vµ y cho : (x + 2)2 + 2(y – 3)2 < Theo bµi , häc sinh sÏ nhËn : (x + 2)2   x Z 2(y – 3)2   x Z (1) (2) Nhưng nảy sinh vấn đề < , học sinh làm Giáo viên gợi ý : Từ (1) (2) suy ra, để : (x + 2)2 + 2(y – 3)2 < th× chØ cã thĨ xảy trường hợp sau : +) Trường hợp : (x + 2)2 = (y – 3)2 = => x = -2 +) Trường hợp : (x + 2)2 = => +) Tr­êng hỵp : => y = (y – 3)2 = vµ y  =>  y  x = -2 (x + 2)2 = (y – 3)2 = vµ x   =>   x   1 => y =  x  1 =>   x  3 +) Tr­êng hỵp : (x + 2)2 = (y – 3)2 = vµ  x  1 =>   x  3 y  =>  y  VËy ta cã b¶ng giá trị tương ứng x y thỏa mÃn ®Ị bµi lµ : x -2 -2 -2 -1 -3 -1 -3 -3 -1 y 3 4 Thật toán phức tạp ! Nếu không cẩn thận xét thiếu trường hợp ,bỏ sót cặp giá trị x y thỏa mÃn điều kiện đề Bây giáo viên cho học sinh làm toán tương tự sau : Tìm x biết : a, (2x – 1)4 = 81 b, (x -2)2 = c, (x - 1)5 = - 32 d, (4x - 3)3 = -125 ThuVienDeThi.com T×m y biÕt : a, y200 = y b, y2008 = y2010 c, (2y - 1)50 = 2y – d, ( y y -5 )2000 = ( -5 )2008 3 T×m a , b ,c biÕt : a, (2a + 1)2 + (b + 3)4 + (5c - 6)2  b, (a - 7)2 + (3b + 2)2 + (4c - 5)6  c, (12a - 9)2 + (8b + 1)4 + (c +19)6  d, (7b -3)4 + (21a - 6)4 + (18c +5)6 3.1.2 Tìm số mũ , thành phần số mũ lũy thừa Phương pháp : Đưa hai lũy thừa có số Bài : T×m n  N biÕt : a, 2008n = c, 32-n 16n = 1024 b, 5n + 5n+2 = 650 d, 3-1.3n + 5.3n-1 = 162 Đọc đề học sinh dễ dàng làm câu a, a, 2008n = => 2008n = 20080 => n = Nhưng đến câu b, em vấp phải khó khăn : tổng hai lũy thừa có số không số mũ Lúc cần có gợi ý giáo viªn : b, 5n + 5n+2 = 650 5n + 5n.52 = 650 5n.(1 + 25) = 650 => 5n = 650 : 26 5n = 25 = 52 => n = Theo hướng làm câu b, học sinh có cách làm câu c, d, c, 32-n 16n = 1024 (25)-n (24)n = 1024 2-5n 24n = 210 2-n = 210 => n = -10 d, 3-1.3n + 5.3n-1 = 162 3n-1 + 3n-1 = 162 =>6 3n-1 = 162 3n-1 = 27 = 33 => n – = n=4 Bµi : Tìm hai số tự nhiên m , n biết : ThuVienDeThi.com 2m + 2n = 2m+n Häc sinh thực thấy khó gặp , phải làm để tìm hai số mũ m n Giáo viên gợi ý : 2m + 2n = 2m+n 2m+n – 2m – 2n = => 2m.2n -2m -2n + = 2m(2n - 1) – (2n - 1) = (2m - 1)( 2n - 1) = V× 2m  , 2n  2 m   Nªn tõ (*) =>  n 2   (*)  m,n  N 2 m  m  =>  n =>  2  n  VËy : m = n = Bài : Tìm số tự nhiªn n cho : a, < 3n  234 b, 8.16 2n Đây dạng toán tìm số mũ lũy thừa điều kiện kép Giáo viên hướng dẫn học sinh đưa số lũy thừa có số a, < 3n  234 31 < 3n  35 => n  2;3;4;5 b, 8.16  2n  23.24  2n  22 27  2n  22 => n 2;3;4;5;6;7 Bài : Tìm số tự nhiªn n biÕt r»ng : 415 915 < 2n 3n < 1816 216 Víi bµi nµy , giáo viên gợi ý học sinh quan sát , nhận xÐt vỊ sè mị cđa c¸c lịy thõa mét tích học sinh nghĩ hướng giải toán : 415 915 < 2n 3n < 1816 216 (4 9)15 < (2.3)n < (18.2)16 3615 < 6n < 3616 630 < 6n < 632 => n = 31 Bây giờ, học sinh biết làm toán tương tự mà tự ThuVienDeThi.com toán dạng tương tự Tìm số nguyên n cho a 27n = 35 b (23 : 4) 2n = c 3-2 34 3n = 37 d 2-1 2n + 2n = 25 Tìm tất số tự nhiên n cho : a 125.5  5n  5.25 b (n54)2 = n c 243  3n  9.27 d 2n+3 2n =144 Tìm số tự nhiên x, y biết r»ng a 2x+1 3y = 12x b 10x : 5y = 20y Tìm số tự nhiên n biết r»ng a 411 2511  2n 5n  2012.512 45  45  45  45 65  65  65  65  65  65  2n 5 5 2 3 3 b H­íng dÉn: a 2x+1 3y = 12x 2x+1 3y = 22x.3x => 3y 22x  x x 1 3y-x = 2x+1 => y-x = x-1 = Hay x = y = b 10x : 5y = 20y 10x = 20y 5y 10x = 100y 10x = 1002y => x = 2y b 45  45  45  45 65  65  65  65  65  65  2n 25  25 35  35  35 4.4 6.6  2n 3.35 2.2 46 66  2n 36 => 46 = 2n => 212 = 2n => n = 12 3.1.3 Một số trường hợp khác Bài 1: T×m x biÕt: (x-1) x+2 = (x-1)x+4 (1) ThuVienDeThi.com Thoạt nhìn ta thấy toán phức tạp, số cần tìm có mặt số mũ số Vì thế, học sinh khó xác định cách giải Nhưng đưa toán quen thuộc phép biến đổi sau : Đặt x-1 = y ta có: x+2=y+3 x+4=y+5 yy+3 = yy+5 Khi (1) trở thành : yy+5 - yy+3 = yy+3(y2 – 1) = => yy+3 = hc y2 – = * NÕu: yy+3 = => y = Khi ®ã : x – = hay x = * NÕu : y2 – = => y2 = (±1)2 => y = hc y = -1 Víi y = ta cã : x – = hay x = Víi y = -1 ta cã : x – = -1 hay x = VËy : x  0;1;2 Bµi : T×m x biÕt : x(6-x)2003 = (6-x)2003 Víi này, x xuất số (không phải số mũ trên) Học sinh lúng túng gặp khó khăn tìm lời giải, giáo viên hướng dÉn x (6-x)2003 = (6-x)2003 x (6-x)2003 - (6-x)2003 = (6-x)2003 (x-1) = => (6-x)2003 = hc (x-1) = * NÕu (6-x)2003 = => (6-x) = x=6 * NÕu (x-1) = => x = VËy : x  1;6 Bµi : Tìm số tự nhiên a, b biết : a 2a + 124 = 5b b 10a + 168 = b2 Với toán này, học sinh sử dụng cách làm vào đường bế tắc lời giải Vậy phải làm cách làm nào? Ta cần dựa vào tính chất đặc biệt lũy thừa tính chất chia hết tổng để giải toán nµy : a) 2a + 124 = 5b (1) * Xét a = 0, (1) trở thành 20 + 124 = 5b ThuVienDeThi.com Hay 5b = 125 5b = 53 Do a= b = * XÐt a  Ta thÊy vÕ tr¸i (1) số chẵn vế phải (1) số lẻ với a , a,b N, điều vô lý Kết luận : VËy : a = vµ b = b) 10a + 168 = b2 (2) Tương tự câu a * XÐt a = 0, ®ã (2) trë thµnh 100 + 168 = b2 169 = b2 => b = 13 (v× b  N) (±13)2 = b2 Do a = b = 13 * XÐt a  Chóng ta ®Ịu biÕt víi mäi số tự nhiên a 10a có chữ số tận nên suy 10a + 168 có chữ số tận 8, theo (2) b2 có chữ số tận Điều vô lý Kết luận : Vậy : a = b = 13 Giáo viên cho học sinh làm số tập tương tự sau : Tìm số tự nhiên a , b để : a 3a + 9b = 183 b 5a + 323 = b2 c 2a + 342 = 7b d 2a + 80 = 3b 3.2 Dạng : Tìm chữ số tận giá trị lũy thừa 3.2.1 Tìm chữ số tận * Phương pháp : cần nắm số nhận xét sau : +) Tất số có chữ số tận : ; ; ; nâng lên lũy thừa ( khác 0) có chữ số tận số +) Để tìm chữ số tận số ta thường đưa dạng số có chữ số tận chữ số +) L­u ý : nh÷ng sè cã ch÷ sè tËn cïng nâng lên lũy thừa bậc chẵn có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc lẻ có chữ số tận số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc chẵn có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc lẻ có chữ số tận ThuVienDeThi.com +) Chó ý : 24 = 16 74 = 2401 34 = 81 84 = 4096 Bµi : Tìm chữ số tận số : 20002008 , 11112008 , 987654321 , 204681012 Dùa vµo nhận xét học sinh dễ dàng tìm đáp án : 20002008 có chữ số tận chữ số 11112008 có chữ số tận chữ số 987654321 có chữ số tận chữ số 204681012 có chữ số tận chữ số Bài : Tìm chữ sè tËn cïng cđa c¸c sè sau : 67 20072008 , 1358 2008 , 23456 , 5235, 204208, 20032005 , 9 , ,996, 81975 , 20072007 , 10231024 Hướng dẫn : Đưa lũy thừa dạng lũy thừa số có chữ số tËn cïng lµ : ; ; 5;6 +) 20072008 = (20074)502 = ( )502 = nªn 20072008 chữ số tận +) 13 5725 = 135724.1357 = (13574)6.1357 = 1357 = =>13 5725 có chữ số tận +) 20072007 = 20072004.20073 = (20074)501 = ( )501 = = => 20072007 có chữ số tận +) 23456 = (24)864 = 16864 = => 23456 có chữ số tận +) 5235 = 5232 523 = (524)8 = ( )8 = = => 5235 có chữ số tận +) 10231024 = (10234)256 = ( )256 = =>10231024 có chữ số tận +) 20032005 = 20032004 2003 = (20034)501 2003 = ( )501 2003 = 2003 => 20032005 cã ch÷ sè tËn cïng lµ +) 204208 =( 2042)104 = ( )104 = => 204208 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 67 +) Ta thÊy số lẻ nên có chữ sè tËn cïng lµ +) 1358 2008 = (13584) 502 = ( )502 = => 1358 2008 có chữ số tận +) 81975 = 81972 83 = (84)493 = => 81975 có chữ số tận +) 996 = ( 94)24 =( )24 = => 996 có chữ số tận +) Ta thấy 99 số lẻ nên 9 có chữ số tận Bµi : Cho A = 172008 – 112008 – 32008 Tìm chữ số hàng đơn vị A Đây dạng toán tìm chữ số tận tổng , ta phảI tìm chữ số tận tong số hạng , cộng chữ số tận lại ThuVienDeThi.com 10 Hướng dẫn : Tìm chữ số tận 172008 ; 112008 ; 32008 ta cã : A = 172008 – 112008 – 32008 = - - = - = VËy A cã ch÷ sè tËn cïng lµ Bµi : Cho M = 1725 + 244 – 1321 Chøng tá r»ng : M  10 Ta thÊy mét sè chia hÕt cho 10 có chữ số tận nên ®Ó chøng tá M  10 ta chøng tá M có chữ số tận Giải : 1725 = 1724.17 = (174)6 17 = ( )6.17 = 17 = 244 =(242)2 = 5762 = .6 1321 = (134)5.13 = ( )5.13 = 13 = VËy M = + .6 - = => M 10 Đến đây, sau làm , 3, giáo viên cho học sinh làm toán tổng quát sau : Bài 5: Tìm chữ số tận số có dạng: a A = 24n (n  N, n ≥ 1) b B = 24n + 2+ (n  N) c C = 74n – (n  N) H­íng dÉn : a, Cã : 24n = (24)n = 16 cã ch÷ sè tËn cïng b»ng => 24n – cã ch÷ sè tËn cïng b»ng (n  N) b, B = 24n + 2+ Ta cã 24n + = 22 24n = 16n cã ch÷ sè tËn cïng lµ => B = 24n + 2+ có chữ số tận c, C = 74n – Ta cã 74n = (74)n = (2401)n có chữ số tận Vậy 74n – cã ch÷ sè tËn cïng b»ng Bài : Chứng tỏ rằng, số có dạng: a, A = 22  chia hÕt cho (n  N, n ≥ 2) b, B = 24  chia hÕt cho 10 (n  N, n ≥ 1) c, H = 92  chia hÕt cho (n  N, n ≥ 1) n n n Với dạng này, học sinh phải dựa vào dÊu hiƯu chia hÕt cho 2, cho 5, cho c¶ Đọc đầu bài, học sinh định hướng phải tìm chữ số tận 5, bắt tay vào n n n làm gặp khó khăn lớn với lũy thừa 2 , , , häc sinh phải tính nào, häc sinh sÏ nhÇm: a  2n ,  4n ,  2n n n n Khi giáo viên hướng dẫn nh­ sau : a) Víi n  N, n ≥ 2, ta cã : ThuVienDeThi.com 11 n 2 = 2 n2    24 2n   16 n2 cã ch÷ sè tËn cïng lµ => A = 2  có chữ số tận n Vậy A  b) Víi n  N, n ≥ 1, ta cã : n = 4   n 1 n 1  24  16 n có chữ số tận => B =  cã ch÷ sè tËn cïng lµ n VËy B  10 c) Víi n  N, n ≥ 1, ta cã : n = 2   n 1 n 1  92  812 n có chữ số tận => H =  cã tËn cïng lµ n VËy H  Bµi tËp lun tËp : 1, Tìm chữ số tận số sau: 22222003; 20082004; 20052005; 20042004; 77772005; 1112006; 20062006 20002000; 2, Chøng tá r»ng, víi mäi sè tù nhiªn n : a, 34n + + chia hÕt cho b, 24n + + chia hÕt cho c, 92n + + chia hÕt cho 10 3, Chứng tỏ số có dạng: a, 2 +1 cã ch÷ sè tËn cïng b»ng (n  N, n ≥ 2) b,  cã ch÷ sè tËn cïng b»ng (n  N, n ≥ 1) n n n c, +4 n d, - chia hÕt cho (n  N, n ≥ 2) chia hÕt cho 10 (n N, n 1) 4, Tìm chữ số hàng đơn vị : a, A = 66661111 + 11111111 - 665555 b, B = 10n + 555n + 666n c, H = 99992n +9992n+1 +10n ( n  N*) d, E = 20084n + 20094n + 20074n ( n N*) Trong số sau số chia hÕt cho , cho , cho 10 ? a, 34n+1 + b, 24n+1 -2 (n  N (n  N) n (n  N, n ≥ 2) n (n  N, n ≥ 1) c, 2 +4 d, - ThuVienDeThi.com 12 9992003; 20032005 Tìm chữ số tận số tự nhiên a để a2 + Tìm số tự nhiên n để n10 +  10 Chøng tá r»ng , bíi mäi số tự nhiên n : a, 3n+2 2n+2 + 3n – 2n  10 (n > 1) b, 3n+3 + 2n+3 + 3n+1 + 2n+2  H­íng dÉn : a2 +  => a2 + phải có chữ số tận => a2 phải có chữ số tận => a phải có chữ số tận hoặc n10 +  10 => n10 + phải có chữ số tận => n10 = (n2)5 phải có chữ số tận => n2 phải có chữ số tận => n phải có chữ số tận a, 3n+2 2n+2 + 3n – 2n = 3n (32+1) – 2n-1.( 23 + 2) = 3n 10 – 2n-1 10 = 10 (3n – 2n-1)  10  n  N b, 3n+3 + 2n+3 + 3n+1 + 2n+2 = 3n (33+3) + 2n+1.( 22 + 2) = 3n 30 + 2n+1 = (5.3n + 2n+1)  n N 3.2.2 Tìm hai chữ số tận lũy thừa * Phương pháp : Để tìm hai chữ số tận lũy thừa , ta cần ý số đặc biệt sau : +) Các số có tận 01 , 25 , 76 nâng lên lũy thừa (khác 0) cịng tËn cïng b»ng chÝnh nã +) §Ĩ tìm hai chữ số tận lũy thừa ta thường đưa dạng số có hai chữ số tận : 01 ; 25 76 +) c¸c sè 210 ; 410; 165; 65; 184; 242; 684; 742 cã tËn cïng b»ng 76 +) c¸c sè 320; 910; 815; 74; 512; 992 cã tËn cïng lµ 01 +) Sè 26n (n  N, n >1) Bài : Tìm hai chữ số tận cïng cđa : 2100 ; 3100 Dùa vµo nhËn xÐt học sinh dễ dàng làm bµi nµy : 2100 = (220)5 = ( 76 )5 = 76 3100 = (320)5= ( 01 )5 = 01 Bài 2: Tìm hai chữ số tận : a, 5151 b, 9999 c, 6666 d, 14101 16101 H­íng dẫn :Đưa dạng số có hai chữ số tận : 01 ; 25 76 a, 5151 = (512)25 51 = ( 01 )25 51 = 01 51 = 51 ThuVienDeThi.com 13 => 5151 có chữ số tận 51 Tương tự : b, 9999 =(992)49.99 = ( 01 )49 99= 01 99 = 99 c, 6666 =(65)133.6 = ( 76 )133 6= 76 = 56 d, 14101 16101 = (14 16)101 = 224101 = (2242)50 224 = ( 76 )50 224 = 76 224 = 24 Từ toán 2, cho học sinh làm toán tổng quát: Bài 3: Tìm hai chữ số tËn cïng cña: a, 512k; (k  N*) 512k+1 b, 992n; 992n+1; 99 99 ; 99 (n  N*) c, 65n; 65n+1; 66 ; 66 (n  N*) Gỵi ý: a, 512k = (512)k = ( 01 )k 512k+1 = 51 (512)k = 51 ( 01 )k b, 992n = (992)n = ( 01 )n 992n+1 = 99 (992)n = 99 ( 01 )n 99 99 99 99 , ta có 9999 số lẻ => 99 99 cã d¹ng 992n+1 99 (Víi n  N, n > 1) => 99 99 = 99.(992)n = 99 ( 01 )n c, (Víi n  N, n > 1) 65n = ( 65)n = ( 76 )n 65n+1 = ( 65)n = ( 76 )n 66 66 66 , ta cã 6666 lµ mét sè có tận 6, => 66 có dạng 65n+1 (n  N, n > 1) 66 => 66 = ( 76 )n Bµi tËp lun tập: Tìm hai chữ số tận : a, 72003 b, 9 d, 182004 e, 682005 c, 742003 f, 742004 Tìm hai chữ số tận cïng cña : a, 492n ; 492n+1 (n  N) b, 24n 38n (n  N) c, 23n 3n d, 742n ; 742n+1 (n  N) ; 23n+3 3n+1 (n  N) Chøng tá r»ng : a, A = 262n - 26  vµ  10 ( n  N, n > 1) (Víi n  N) b, B = 242n+1 + 76  100 ThuVienDeThi.com 14 c, M = 512000 742000 992000 có chữ số tận 76 3.2.3 Tìm chữ số tận trở lên *Phương pháp : Chú ý số điểm sau +) Các số có tận 001, 376, 625 nâng lên lũy thừa (khác 0) cịng cã tËn cïng b»ng chÝnh sè ®ã +) Số có tận 0625 nâng lên lũy thừa (khác 0) có tận 0625 Bài Tìm ch÷ sè tËn cïng, ch÷ sè tËn cïng 52000 Học sinh làm phần không khó khăn nhờ kĩ đà có từ phÇn tr­íc 52000 = (54)500 = 625500 = (0625)500 VËy : 52000 có ba chữ số tận 625 có bốn chữ số tận 0625 Bài : Tìm ba chữ số tận của: (n N*) a, 23n 47n (n  N) b, 23n+3 47n+2 Để tìm ba chữ số cuối lũy thừa đà khó với học sinh., lại yêu cầu tìm ba chữ số cuối tích lũy thừa thật khó Đối với học sinh khá, giỏi cần tới gợi ý giáo viên a, 23n 47n = (23)n 47n = (8 47)n = 376n 376n cã tËn cïng lµ 376 => 23n 47n cã tËn cïng lµ 376 b , 23n+3 47n+2 Dù đà làm câu a, đến câu b học sinh không tránh khỏi lúng túng số mũ Giáo viên hướng dẫn : 23n+3 47n+2 = 23(n+1) 47n+1 47 = (23)(n+1) 47n+1 47 = (8.47)n+1 47 = 47 376n+1 Ta có :376n+1 có chữ số tận 376 => 47 376n+1 cã ch÷ sè tËn cïng lµ 672 Bµi 3: Chøng tá r»ng: ( n  N, n ≥ 1) n a + 375  1000 ( n  N, n ≥ 2) n b - 25  100 c 2001n + 23n 47n + 252n cã tËn cïng b»ng 002 Nếu học sinh làm tốt phần trước gặp không gặp nhiều khó khăn, nhiên, cần đến tư logic, liên hệ đến kiến thức liên quan kĩ biến đổi n a Ta cã: = 4.4 n 1 = 625 n 1 tËn cïng lµ 625 n => + 375 cã tËn cïng 000 ThuVienDeThi.com 15 ( n  N, n ≥ 1) n VËy: + 375  1000 n b Ta cã = 2 n2   = 54 2n  = 625 n2 ( n  N, n ≥ 2) n VËy - 25 có chữ số tận 00 n Do ®ã : - 25  100 c 2001n + 23n 47n + 252n Ta thÊy : 2001n cã tËn cïng lµ 001 23n 47n = (8 47 )n = 376n cã tËn cïng lµ 376 252n = (252)n = 625n cã tËn cïng lµ 625 VËy: 2001n + 23n 47n + 252n có tận 002 3.3 Dạng : So sánh hai lũy thừa * Phương pháp : để so sánh hai lũy thừa ta thường biến đổi hai lũy thừa có số có sè mị (cã thĨ sư dơng c¸c lịy thõa trung gian để so sánh) +) Lưu ý số tính chÊt sau : Víi a , b , m , n  N , ta cã : a > b  an > bn m > n  am > an  n  N* (a > 1) a = a = am = an ( m.n 0) Với A , B biểu thøc ta cã : An > Bn  A > B > Am > An => m > n vµ A > m < n vµ < A < Bài : So sánh : a, 33317 vµ 33323 b, 200710 vµ 200810 c, (2008-2007)2009 vµ (1998 - 1997)1999 Víi bµi nµy häc sinh cã thĨ nhìn cách giải lũy thừa đà có số có số mũ a, Vì < 17 < 23 nên 33317 < 33323 b, Vì 2007 < 2008 nên 200710 < 200810 (2008-2007)2009 = 12009 = c, Ta cã : (1998 - 1997)1999 = 11999 = VËy (2008-2007)2009 = (1998 - 1997)1999 Bài : So sánh a, 2300 3200 e, 9920 vµ 999910 b, 3500 vµ 7300 f, 111979 vµ 371320 ThuVienDeThi.com 16 c, 85 vµ 3.47 g, 1010 vµ 48.505 d, 202303 vµ 303202 h, 199010 + 1990 199110 Để làm học sinh cần sử dụng linh hoạt tính chất lũy thừa để đưa lũy thừa sè hc cïng sè mị H­íng dÉn : a, Ta cã : 2300 = 23)100 = 8100 3200 = (32)100 = 9100 V× 8100 < 9100 => 2300 < 3200 b, Tương tự câu a, ta có : 3500 = (35)100 = 243100 7300 = (73)100 = 343100 V× 243100 < 343100 nªn 3500 < 7300 c, Ta cã : 85 = 215 = 2.214 < 3.214 = 3.47 => 85 < 3.47 202303 = (2.101)3.101 = (23.1013)101 = (8.101.1012)101 = (808.101)101 d, Ta cã : 303202 = (3.101)2.101 = (32.1012)101 = (9.1012)101 Vì 808.1012 > 9.1012 nên 202303 > 303202 e, Ta thÊy : 992 < 99.101 = 9999 => (992)10 < 999910 hay 9920 < 999910 (1) f, ta cã : 111979 < 111980 = (113)660 = 1331660 (2) 371320 = 372)660 = 1369660 Tõ (1) vµ (2) suy : 111979 < 371320 g, Ta cã : 1010 = 210 510 = 29 510 (*) 48 505 = (3 24) (25 510) = 29 510 (**) Tõ (*) vµ (**) => 1010 < 48 505 h, Cã : 199010 + 19909 = 19909 (1990+1) = 1991 19909 199110 = 1991 19919 V× 19909 < 19919 nªn 199010 + 1990 < 199110 527 < 263 < 528 Bµi Chøng tá r»ng : Với , học sinh lớp không định hướng cách làm , giáo viên gợi ý : hÃy chứng tỏ 263> 527 263 < 528 Ta cã : 263 = (27)9 = 1289 527 =(53)9 = 1259 => 263 > 527 (1) => 263 < 528 (2) L¹i cã : 263 = (29)7 = 5127 528 = (54)7 = 6257 Tõ (1) vµ (2) => 527 < 263 < 52 Bµi So sánh : a, 10750 7375 b, 291 535 Nếu trước so sánh trực tiếp lũy thừa cần so sánh sử dụng lũy ThuVienDeThi.com 17 thừa trung gian áp dụng cách khó tìm lời giải cho toán Với ta cần so sánh qua hai lũy thừa trung gian : a, Ta thÊy : 10750 < 10850 = (4 27)50 = 2100 3150 (1) 7375 > 7275 = (8 9)75 = 2225 3150 (2) Tõ (1) vµ (2) => 10750 < 2100 3150 < 2225 3150 < 7375 VËy 10750 < 7375 b, 291 > 290 = (25)18 = 3218 535 < 536 = (52)18 = 2518 => 291 > 3218 > 2518 > 535 VËy 291 > 535 Bài So sánh : a, (-32)9 (-16)13 b, (-5)30 vµ (-3)50 c, (-32)9 vµ (-18)13 d, (  100  500 ) vµ ( ) 16 Hướng dẫn : Đưa so sánh hai lịy thõa tù nhiªn a, (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245 (-16)13 = - 1613 = - (24)13 = - 52 V× 245 < 252 nªn -245 > - 252 VËy (-32)9 > (-16)13 b, (-5)30 = 530 = (53)10 = 12510 (-3)50 = 350 = (35)10 = 243 10 Vì 12510 < 24310 nên (-5)30 < (-3)50 c, (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245 mµ 245 < 252 = 1613 < 1813 => - 245 > - 1813 = (-18)13 VËy (-32)9 > (-18)13 d, Ta cã : (  100  1100 1 ) = = 100 = 400 100 16 16 16 V× 2400 < 2500 nên Vậy ( 400 > (  500 (1) 500 ) = = 500 500 2 2 500  100  500 ) >( ) 16 Bµi So sánh A B biết : A= 2008 2008  2008 2009  ; B= 2008 2007  2008 2008  Tr­íc t×m lời giải giáo viên cung cấp cho häc sinh tÝnh chÊt sau : * Víi mäi số tự nhiên a , b , c khác , ta chứng minh : ThuVienDeThi.com 18 +) Nếu a a ac > th×  b b bc +) NÕu a a ac  < th× b b bc Ap dụng tính chất vào , ta cã : 2008 2008  < nên Vì A = 2008 2009 A= 2008 2008  2008 2008   2007 2008  2008 2008.(2008 2007  1) < = = 2008 2009  2008 2009   2007 2008 2009  2008 2008.(2008 2009  1) = 2008 2007  =B 2008 2007  VËy A < B Giáo viên hướng dẫn học sinh giảỉ toán theo cách sau : Cách 1: Ta cã : 2008.A = 2008.B = (2008 2008  1).2008 2008 2009   2007 2007 =1+  2009 2009 2008 1 2008 1 2008 2009  2008 2007  1).2008 2008 2008   2007 2007  =1+ 2008 2008 2008 1 2008 1 2008 2008 Vì 20082009+1 >20082008+1 nên 2007 2007 < 2009 2008  2008 2008  => 2008.A < 2008 B => A < B C¸ch 2: 2008 2009  2008 2009  2008  2007 2008.(2008 2008  1)  2007 = = = A 2008 2008  2008 2008  2008 2008  = 2008 - 2007 2008 2008  1 2008 2008  2008 2008  2008  2007 2008.(2008 2007  1)  2007 = = = B 2008 2007  2008 2007  2008 2007  = 2008 V× 20082008+1> 20082007 +1 nªn => 2008 - 2007 2008 2007  2007 2007 < 2008 2008  2008 2007  2007 2007 > 2008 2008 2008 1 2008 2007  ThuVienDeThi.com 19 VËy 1 > A B => A < B (vì A,B > 0) Bài So sánh M N biết: M= 100100 100 99  ; N= 100101  100100  H­íng dÉn : C¸ch : N = => N = 100101  >1 100100  100101  100101   99 100101  100 (100100  1).100 100100  > = = = =M 100100  100100   99 100100  100 (100 99  1).100 100 99  VËy M < N 100100  100100  100  99 (100 99  1).100  99 99 C¸ch : M = = = = 100 99 99 99 100  100  100  100 99  100101  100101  100  99 (100100  1).100  99 99 N= = = = 100 100 100 100 100  100  100  100100  V× 10099 + < 100100 + nªn 99 99 99 99 > => 100 < 100 99 100 99 100  100  100  100100 Vậy M < N Bây giáo viên cã thĨ cho häc sinh lµm mét sè bµi tËp tương tự sau : So sánh : a, 528 vµ 2614 b, 521 vµ 12410 c, 3111 vµ 1714 d, 421 vµ 647 e, 291 vµ 535 g, 544 vµ 2112 h, 230 + 330 + 430 vµ 2410 So s¸nh : a, 300 vµ b, 200  1 1 c,    vµ    4 8 199 vµ 1 d,    10  15 300 3 vµ    10  So s¸nh : a, A = 1315  1316  vµ B = ThuVienDeThi.com 20 1316  1317  20 ... dạng số có chữ số tận chữ số +) Lưu ý : số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc chẵn có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc lẻ có chữ số tận số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc chẵn có chữ số. .. Dạng : Tìm chữ số tận giá trị lũy thừa 3.2.1 Tìm chữ số tận * Phương pháp : cần nắm số nhận xét sau : +) Tất số có chữ số tận : ; ; ; nâng lên lũy thừa ( khác 0) có chữ số tận số +) Để tìm chữ... dễ dàng tìm đáp án : 20002008 có chữ số tận chữ số 11112008 có chữ số tận chữ số 987654321 có chữ số tận chữ số 204681012 có chữ số tận chữ số Bài : Tìm chữ số tận cđa c¸c sè sau : 67 20072008