Chuyên đề toán lớp 7 đc ad sưu tầm ,tuyển chọn,tổng hợp và đăng lên nhằm giúp các bạn học sinh lóp 7 học tốt hơn CHUYÊN ĐỀ: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN I. Kiến thức cơ bản 1. Định nghĩa về lũy thừa với số mũ tự nhiên 2. Tính chất Với ta có Quy ước: II. Bảng mô tả và câu hỏi Nội dung Nhận biết Thông hiểu Vận dụng thấp Vận dung cao Định nghĩa lũy thừa với số mũ tự nhiên Nhận biết được lũy thừa với số mũ tự nhiên, phân biệt được cơ số, số mũ. Viết đúng và đọc đúng. Tính được tích của nhiều số tự nhiên giống nhau, đưa tích đó về dạng lũy thừa Bài 1 So sánh 2 lũy thừa bằng cách tính trực tiếp Tìm thành phần chưa biết khi hai lũy thừa cùng cơ số hoặc cùng số mũ Bài 2,3,6 Các phép tính về lũy thừa Nắm được, viết được các công thức tính liên quan đến lũy thừa Vận dụng các phép tính về lũy thừa để tính toán Bài 1;4 Vận dụng các phép tính về lũy thừa để và các phép biến đổi để làm các bài tập tính toán và rút gọn Bài 5;7;8;9 Vận dụng và biến đổi các biểu thức về lũy thừa, đồng thời liên hệ với các kiến thức về chia hết, về dấu hiệu chia hết để giải quyết các bài toán phức tạp (các bà tập dạng 3, dạng 4, dạng 5) III. Các dạng bài tập 1. Dạng 1: Tính toán trên các lũy thừa Bài 1: Đưa các biểu thức sau dạng lũy thừa a)5x.5x.5x
Trang 1CHUYÊN ĐỀ: LŨY THỪA VỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN
I Kiến thức cơ bản
1 Định nghĩa về lũy thừa với số mũ tự nhiên
* thua so a
( )
n n
a =a a a a n N142 43 ∈
2 Tính chất
Với a b m n p N, , , , ∈ ta có
( )
( ) .
m n m n m n p m n p
m n m n
m m m n
m m n
−
=
=
Quy ước:
0 1
1( 0)
a a
=
II Bảng mô tả và câu hỏi
thấp
Vận dung cao
Định nghĩa
lũy thừa với số
mũ tự nhiên
Nhận biết được lũy thừa với số mũ tự nhiên, phân biệt được cơ
số, số mũ
Viết đúng và đọc đúng
Tính được tích của nhiều số tự nhiên giống nhau, đưa tích đó về dạng lũy thừa
Bài 1
So sánh 2 lũy thừa bằng cách tính trực tiếp
Tìm thành phần chưa biết khi hai lũy thừa cùng
cơ số hoặc cùng
số mũ Bài 2,3,6
Trang 2Các phép tính
về lũy thừa
Nắm được, viết được các công thức tính liên quan đến lũy thừa
Vận dụng các phép tính về lũy thừa để tính toán
Bài 1;4
Vận dụng các phép tính về lũy thừa để và các phép biến đổi
để làm các bài tập tính toán
và rút gọn Bài
5;7;8;9
Vận dụng và biến đổi các biểu thức về lũy thừa, đồng thời liên hệ với các kiến thức về chia hết, về dấu hiệu chia hết để giải quyết các bài toán phức tạp (các bà tập dạng 3, dạng 4, dạng 5)
III. Các dạng bài tập
1 Dạng 1: Tính toán trên các lũy thừa
Bài 1: Đưa các biểu thức sau dạng lũy thừa
a)5x.5x.5x f)4 210 30
)16 : 4
)125 : 25
)27 : 9
)64 16 : 4
b
c
d
e
)25 125 )18 : 9 )2 : 32 )19 :19
g h i k
Bài 2: Viết các số sau dưới dạng bình phương của một số tự nhiên
)1 2
)1 2 3 4
a
b
+
+ + +
Bài 3: Viết các số sau dưới dạng tổng các lũy thừa của 10
Trang 3a)123 b)421 c)1256 d)2006 e) abcde
Bài 4: Thực hiện phép tính sau một cách hợp lí
) (2 17 ).(9 3 ).(2 4 )
) (7 7 ) : (7 7)
) (2 8 ) : (2 2 )
a A
b B
c C
Bài 5: Tính giá trị biểu thức
2
6
5
4
21 14.125
)
35 6
4 20 18
)
180
72 54
)
108
a A
b B
c C
=
=
=
9 4
4
)
3 11 3 5 )
3 2
4 36 64 )
16 100
d D
e E
f F
+
= + +
=
+
=
2 Dạng 2: Tìm số tự nhiên chưa biết
2.1 Tìm cơ số, thành phần của cơ số trong lũy thừa
Phương pháp: Đưa về hai lũy thừa có cùng số mũ
Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên x biết
2
)( 1) 16
)
a x
b x x
=
Giải:
a x+ = ⇒ +x = ⇒ + = ⇒ =x x
b) Nếu ở câu a học sinh làm thấy nhẹ nhàng thì đến câu b không tránh khỏi băn khoăn vì: hai lũy thừa đã cùng cơ số chưa biết, số mũ đã biết lại khác nhau Vậy phải làm cách nào đây? Nhiều học sinh mò x=0, x=1 Nhưng cách này không thuyết phục lằm
vì biết đâu còn số tự nhiên c khác cũng thỏa mãn đề bài
Trang 4GV gợi ý:
2
3
0 (1 ) 0
1 1
x x
Bài tập tương tự
Bài 6: Tìm số tự nhiên x biết
3
15
)(2 1) 125
)(7 11) 2 5 200
)
+ =
=
5
3
)(3 1) 32 )( 5) ( 5) )( 1) : 27 8
f x
)( 1) (2 3) )27 ( 2) )(2 1) (2 )
= +
2.2 Tìm số mũ, thành phần trong số mũ của lũy thừa
Phương pháp: đưa về hai lỹ thừa cùng cơ số
Ví dụ: Tìm số tự nhiên n biết
2
)2 16
)3 3 81
n
n n
n
a
b
c
+
=
< <
Giải:
4
)2n 16 2n 2 4
b) Đọc đề bài học sinh có thể dễ dàng làm được câu a nhưng đến câu b các em vấp ngay phải khó khăn: tổng của hai lũy thừa có cùng cơ số nhưng không cùng số mũ Lúc này giáo viên có thể gợi ý:
2n +2n+ = ⇔5 2 (1 2 ) 5n + = ⇔2n = ⇔ =1 n 0
Trang 5c) đây là dạng bài toán tìm số mũ của lũy thừa trong điều kiện kép Giáo viên hướng dẫn học sinh đưa về cùng cơ số
3 3< <n 81⇔ < <3 3n 3
Mà n N∈ ⇒ < < ⇒ =1 n 4 n 2,n=3
Các bài tập tương tự
Bài 7: Tìm số tự nhiên n biết
)2 4 128
)2 15 17
)3 25 26.2 2.3
x
x
x
a
b
c
=
− =
)27.3 243 )49.7 2401 )3 3 3
x x x
d e f
=
=
=
Bài 8: Tìm số tự nhiên n biết
)9 3 81
)25 5 125
)32 2 128
n
n
n
a
b
c
< <
≤ ≤
< <
2
5
)(2 : 4).2 4 1
) 3 3 3 9
1 ) 2 4.2 9.2 2
n n
n n
d e f
=
=
Bài 9: Tìm số tự nhiên n biết
)125.5 5 5.25
)243 3 9.27
n
n
a
b
≥ ≥
≥ ≥
3
)4 25 2 5 20 5 )2 2 144
n n
n n
c
=
Bài 10: Tìm các số tự nhiên x, y biết
1
)2 3 12
)10 : 5 20
x y x
x y y
a
b
+ =
=
Bài 11 * : Tìm số tự nhiên n biết
Trang 65 5 5 5 5 5 5 5 5 5
n
3 Dạng 3: Tìm chữ số tận cùng của một giá trị lũy thừa
Phương pháp: Cần lắm được một số nhận xét sau:
+) Các số có tận cùng là 0,1,5,6 khi nâng lên lũy thừa ta được số có tận cùng là 0,1,5,6
+) Các số có tận cùng là 2,4,8 khi nâng lên lũy thừa 4 ta được số có tận cùng là 6 +) Các số có tận cùng là 3,7,9 khi nâng lên lũy thừa 4 ta được số có tận cùng là 1
Ví du:
a)Tìm chữ số tận cùng của các số: 20002008;1112008;123452014;4562013
b) Tìm chữ số tận cùng của các số sau: 20072008;13582008;23456;204 ;2003206 2005
c) Cho M =1725 +244 −1321 chứng minh rằng MM10
Giải:
a) Dựa vào nhận xét học sinh dễ dàng tìm ra đáp án
Tận cùng của 20002008 là số 0
Tận cùng của 1112008là số 1
Tận cùng của 123452014là số 5
Tận cùng của 4562013là số 6
b) Hướng dẫn: đưa các số về dạng lũy thừa của số có tận cùng là 0;1;5;6
Trang 7( ) ( ) ( )
864
103 103
501 501
)2007 (2007 ) ( 1) 1
)1358 (1358 ) ( 6) 6
)2003 2003.2003 2003 2003 3 .1 3
c) Ta thấy những số chia hết cho 10 thì có tận cùng là 0 Ta sẽ chứng minh chữ số tận cùng của M là 0 bằng cách tìm chữ số tận cùng của từng số hạng
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
6 6
2 2
5 5
17 17 17 1 17 7
24 24 6 6
13 13 13 1 13 3
7 6 3 0 10
Một số bài tập tương tự và nâng cao
Bài 12: Tìm chữ số tận cùng của các số sau:
3
)2 ;4 : 789 ;23 ;58 ;789
)2012 ;33 34 ;28 81
)1997.1997 1997 1997
)1998.1998 1998 1998
a
b
c
d
Bài 13: Tìm chữ số tận cùng của hiệu
2007.2009.2011……2017-2002.2004.2006.2008
Bài 14: Chứng minh rằng các tổng (hiệu) sau chia hết cho 10
1999
2001 2000
)481 1999
)19 11
n
a
b
c
+
−
+
2004 1000
)8 2 )17 24 13
d e f
−
−
Bài 15: Chứng minh rằng số sau là một số tự nhiên
Trang 82005 94
2006 1998
1
10
3
(2003 1997 )
10
1
10
A
B
C
Bài 16: Các tổng sau có là số chính phương không?
8
)10 8
)100! 7
)10 10 1
a
b
c
+
+
Bài 17: Tìm chữ số tận cùng của tổng
) 5 5 5 5
) 3 3 3 3
) 2 2 2 2
a A
b B
c C
= + + + +
= + + + +
= + + + +
4 Dạng 4: So sánh hai lũy thừa
Phương pháp: Để so sánh hai lũy thừa ta thường đưa về cùng cơ số hoặc cùng số
mũ ( có thể sử dụng các lũy thừa trung gian để so sánh)
Lưu ý với một số tính chất sau
, , , , , :
m m
m n
a b c d m n N
a b
ac bd
c d
∈
> ⇔ >
> ⇔ >
> ⇒ >
>
Ví dụ: So sánh các lũy thừa sau
)2 à1024
)3 à7
)2 à5
Giải:
Trang 99 10 9 90 100
)1024 (2 ) 2 2
1024 2
b) Ta có
3 (3 ) 243
7 (7 ) 343
234 343 234 343
< ⇒ <
⇒ <
d) Nếu 2 ý a, b là so sánh trực tiếp các lũy thừa thì ý c ta phải sử dụng lũy thừa trung gian để so sánh
2 2 (2 ) 32
5 5 (5 ) 25
5 25 32 2
5 2
< < <
Một số bài tập tương tự và nâng cao
Bài 18: So sánh
)5 à26
)5 à124
)31 à17
)4 à64 )54 à21 )31 à17
Bài 19: so sánh các số sau, số nào lớn hơn
)5 à11
)3 à2
)7.2 à2
)199 à2003
n n
)625 à125 )5 à6.5 )21 à27 49 )3 à11
Bài 20: So sánh các số sau
)72 72 à72 72
)5 à2 ( *)
)202 à303
)1990 1990 à1991
n n
∈ +
Bài 21: Tìm số tự nhiên x sao cho
Trang 101 2 18
18
)16 128
)5 5 5 100 0 : 2
x
x x x
so
a
<
<1 2 3
Bài 22: cho S = + +1 2 22 + + 22005
Hãy so sánh S với 5.22004
5 Dạng 5: Tính toán trên các lũy thừa
Phương pháp: Vận dụng linh hoạt các công thức, phép tính trên các lũy thừa để
tính cho hợp lí và nhanh Biêt kết hợp hài hòa một số phương pháp trong tính toán khi biến đổi
Ví dụ 1: Chứng minh rằng :
2008
) 10 125 45
a A
b B
M
M Giải:
Với bài toán này học sinh cần huy động kiến thức về chia hết kĩ năng và phương pháp biến đổi Đặc biệt cần chú ý a m a n UCLN m nM M; ; ( ; ) 1= ⇒a m nM
2008
) 10 125 45
Ta có 2008
10 125 1000 0 125 100 0125
+ = 142 43 + = 1 2 3
A có tận cùng là 5 nên AM5
Tổng các chữ số của A là 1+1+2+5=9 nên AM9
Mà UCLN(5;9)=1 nên AM5.9⇒ AM45
b) B=52008 +52007 +52006M31
Ta không thể tính từng giá trị cụ thể của từng lũy thừa rồi thực hiện phép chia Giáo viên gợi ý cách tách để đặt thừa số chung
5 5 5 5 5
5 (5 5 1) 31.5 31
Ví dụ 2: Cho A= +2 22 + + +23 260
Chứng minh rằng AM M3;A 7
Giải:
Với bài này giáo viên hướng dẫn các em nhóm các lũy thừa thành từng nhóm 2 hoặc 3 hoặc 4 lũy thừa…sao cho khi đặt thừa số chung ở mỗi nhóm thì xuất hiện
số cần chứng tỏ A chia hết cho nó
Trang 112 3 60
2 2 2 2
(2 2 ) (2 2 ) (2 2 )
2.(1 2) 2 (1 2) 2 (1 2)
((1 2)(2 2 2 )
3.(2 2 2 ) 3
A= + + + +
Tương tự ta có
2 2 2 2
(2 2 2 ) (2 2 2 )
2.(1 2 2 ) 2 (1 2 2 )
(1 2 2 )(2 2 2 )
7.(2 2 2 ) 7
A= + + + +
Một số bài tập tương tự và nâng cao
Bài 23: chứng tỏ rằng
) 3 3 3 3 13
) 7 7 7 7 n 7 n 400
a A
= + + + +
M M
Bài 24: a) Tính tổng 1 2 n
n
S = + +a a + +a
b) Áp dụng tính các tổng sau:
1 3 3 3
1 2 2 2
7 7 7 7n 7n
A
B
= + + + +
= + + + +
Bài 25: Chứng tỏ rằng các tổng sau được viết dưới dạng một số chính phương
1 2
M
N
P
Q
= +
= + +
= + + +
= + + + +
Bài 26: Viết tổng sau dưới dạng một lũy thừa của 2
2 2 2 2
Bài 27: So sánh
) 1 3 3 3 à3
= + + + +
Bài 28: Tìm số dư khi chia A cho 7 biết rằng
2 2 2 2 2
Trang 12Bài 29: Tìm
a) Số tự nhiên n biết
2 3 3
3 3 3
n P
P
+ =
= + + +
b) Chữ số tận cùng của A biết A= + +1 2 22 + + 220
Bài 30: Chứng tỏ rằng:
6
28
)8 2 14
)12 11 133
)81 27 9 405
)10 57 59
)10 8 72
)4 4 4 4 5
)3 3 3 3 13 à 41
n n
a
b
c
d
e
f
g
−
+
−
+
+ + + +
+ + + +
M M M M M
M M
IV Định hướng hình thành và phát triển năng lực cho học sinh
- NL tính toán: vận dụng các phép tính về lũy thừa để tính giá trị của một biểu thức phức tạp có liên quan đến lũy thừa
- NL tư duy toán học: phân tích, suy luận logic, lập luận để đưa bài toán dạng khác về dạng quen thuộc
- NL giải quyết vấn đề:
- NL hợp tác, giao tiếp: rèn luyện thong qua quá trình hoạt động nhóm và giao tiếp trao đổi giữa thầy và trò
V Phương pháp dạy học
- Nêu và giải quyết vấn đề
- Hoạt động nhóm
- Luyện tập thực hành
Chúc các em học tốt!