Chuyên đề 36 cực trị số phức đáp án

TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 CỰC TRỊ SỐ PHỨC Chuyên đề 36 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH GIỎI MỨC 9-10 ĐIỂM Một số tính chất cần nhớ Môđun số phức:   Số phức z  a  bi biểu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng Oxy Độ dài véctơ OM gọi mơđun số phức z Kí hiệu z = a + bi = a + b  Tính chất   z  a  b  zz  OM  z  0, z   , z   z  z z   ,  z '  0  z  z '  z  z '  z  z ' z' z'  z z '  z z '  kz  k z , k   2  Chú ý: z  a  b  2abi  (a  b )  4a 2b  a  b  z  z  z.z Lưu ý:  z1  z2  z1  z2 dấu xảy  z1  kz2  k    z1  z2  z1  z2 dấu xảy  z1  kz2  k    z1  z2  z1  z2 dấu xảy  z1  kz2  k    z1  z2  z1  z2 dấu xảy  z1  kz2  k    z1  z2  z1  z2  z1  z  z  z z  z  2 2  z   2.Một số quỹ tích nên nhớ Biểu thức liên hệ x, y ax  by  c  (1) z  a  bi  z  c  di (2)  x  a   y  b Quỹ tích điểm M (1)Đường thẳng :ax  by  c  (2) Đường trung trực đoạn AB với  A  a, b  , B  c, d    R Đường tròn tâm I  a; b  , bán kính R  R Hình trịn tâm I  a; b  , bán kính R z  a  bi  R  x  a   y  b z  a  bi  R 2 r   x  a    y  b   R r  z  a  bi  R  y  ax  bx  c  c  0   x  ay  by  c  x  a 2  y  c   11 b d z  a1  b1i  z  a2  b2i  2a  x  a b 2   y  c d2 Hình vành khăn giới hạn hai đường tròn đồn tâm I  a; b  , bán kính r , R Parabol 1 Elip 2 Elip 2a  AB , A  a1 , b1  , B  a2 , b2  Đoạn AB 2a  AB Hypebol 1 Một số dạng đặc biệt cần lưu ý: Facebook Nguyễn Vương  https://www.facebook.com/phong.baovuong Trang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Dạng 1: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường thẳng TQ1: Cho số phức z thỏa mãn z  a  bi  z , tìm z Min Khi ta có  Quỹ tích điểm M  x; y  biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn OA với A  a; b  1   z Min  z0  a  b   z  a  b i  2 TQ2: Cho số phức thỏa mãn điều kiện z  a  bi  z  c  di Tìm z Ta có  Quỹ tích điểm M  x; y  biểu diễn số phức z đường trung trực đoạn AB với A  a; b  , B  c; d   z Min  d  O, AB   a  b2  c  d 2  a  c   b  d  Lưu ý: Đề suy biến tốn thành số dạng, ta cần thực biến đổi để đưa dạng Ví dụ 1:  Cho số phức thỏa mãn điều kiện z  a  bi  z  c  di Khi ta biến đổi z  a  bi  z  c  di  z  a  bi  z  c  di  Cho số phức thỏa mãn điều kiện iz  a  bi  z  c  di Khi ta biến đổi a  bi c  di  z  z  b   z  d  ci i i Dạng 2: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức đường tròn iz  a  bi  iz  c  di  z  TQ: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  a  bi  R   z  z0  R  Tìm z Max , z Min Ta có  Quỹ tích điểm M  x; y  biểu diễn số phức z đường tròn tâm I  a; b  bán kính R z  OI  R  a  b  R  z0  R  Max   2  z Min  OI  R  a  b  R  z0  R  Lưu ý: Đề cho dạng khác, ta cần thực phép biến đổi để đưa dạng a  bi R Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện iz  a  bi  R  z   (Chia hai vế cho i ) i i  z  b   R Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  a  bi  R  z  a  bi  R (Lấy liên hợp vế) Ví dụ 3: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện a  bi R R    c  di  z  a  bi  R  z  c  di c  di c2  d Hay viết gọn z0 z  z1  R  z  z1 R  (Chia hai vế cho z0 ) z0 z0 Dạng 3: Quỹ tích điểm biểu diễn số phức Elip TQ1: (Elip tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  c  z  c  2a ,  a  c  Khi ta có  Quỹ tích điểm M  x; y  biểu diễn số phức z Elip: x2 y2  1 a2 a2  c2 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022  z Max  a   2  z Min  a  c TQ2: (Elip khơng tắc) Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  z1  z  z2  2a Thỏa mãn 2a  z1  z2 Khi ta thực phép biến đổi để đưa Elip dạng tắc Ta có Khi đề cho Elip dạng khơng tắc z  z1  z  z2  2a ,  z1  z2  2a  z1 , z2   c,  ci ) Tìm Max, Min P  z  z0  z1  z2  2c Đặt  2 b  a  c Nếu z0  z1  z2 0  PMax  a (dạng tắc)   PMin  b  z1  z2 a  z0  Nếu  z  z  k  z  z    z1  z2  PMax  z0   a    P  z  z1  z2  a  Min  z1  z2 a  z0  Nếu  z  z  k  z  z   Nếu z0  z1  z0  z2 Câu PMax  z0  z1  z2 a PMin  z0  z1  z2 b (Đề Tham Khảo 2018) Xét số phức z  a  bi  a, b   thỏa mãn z   3i  Tính P  a  b z   3i  z   i đạt giá trị lớn A P  B P  10 C P  Lời giải D P  Chọn B Goi M  a; b  điểm biểu diễn số phức z 2 Theo giả thiết ta có: z   3i    a     b  3   Tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường tròn tâm I  4;3 bán kính R  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  A  1;3 Gọi:   Q  z   3i  z   i  MA  MB  B 1; 1 Gọi E trung điểm AB, kéo dài EI cắt đường tròn D Ta có: Q  MA  MB  MA.MB   Q  MA2  MB  MA2  MB  MA2  MB  Vì ME trung tuyến MA2  MB AB AB   MA2  MB  ME  MAB  ME  2  AB  2  Q   2ME    4ME  AB Mặt khác ME  DE  EI  ID         Q2   20  200  MA  MB  Q  10  Qmax  10   M  D   4  2( xD  4)  xD   EI  ID     M  6;   P  a  b  10 2  2( yD  3)  yD  2 Cách 2:Đặt z  a  bi Theo giả thiết ta có:  a     b    a   sin t Đặt  Khi đó: b   cos t Q  z   3i  z   i      a  1   b  3 sin t   5cos t    a 1   b  1    sin t   cos t   2  30  10 sin t  30   3sin t  cos t  Áp dụng BĐT Bunhiacopski ta có:     Q  60   sin t  cos t   60  5  200  10  Q  10  Qmax  10  sin t  Dấu xảy  cos t   Câu 2 a    P  a  b  10 b  (Đề Tham Khảo 2017) Xét số phức z thỏa mãn z   i  z   7i  Gọi m , M giá trị nhỏ giá trị lớn z   i Tính P  m  M A P   73 B P   73 C P   73 D P  13  73 Lời giải Chọn A Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 D A H E N Gọi A điểm biểu diễn số phức z , E  2;1 , F  4;7  N 1; 1 Từ AE  A F  z   i  z   7i  EF  nên ta có A thuộc đoạn thẳng EF Gọi  73 3 H hình chiếu N lên EF , ta có H   ;  Suy P  NH  NF   2 Câu (KTNL Gia Bình 2019) Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau z   34, z   mi  z  m  2i (trong m số thực) cho z1  z2 lớn Khi giá trị z1  z2 A B 10 C Lời giải D 130 Chọn C Gọi M , N điểm biểu diễn số phức z1 , z2 Gọi z  x  iy,  x, y    Ta có z   34  M , N thuộc đường trịn  C  có tâm I 1;0 , bán kính R  34 Mà z   mi  z  m  2i  x  yi   mi  x  yi  m  2i   x  1   y  m    x  m   y  2 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489   m  1 x   m   y   Suy M , N thuộc đường thẳng d :  m  1 x   m   y   Do M , N giao điểm đường thẳng d đường tròn  C  Ta có z1  z2  MN nên z1  z2 lớn MN lớn  MN đường kính  C  Khi z1  z2  2OI  Câu (THPT Cẩm Giàng 2019) Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Số phức z  i có mơđun nhỏ là: A 52  B C  Lời giải D 52 Cách 1: Đặt w  z  i  z  w  i Gọi M  x; y  điểm biểu diễn hình học số phức w Từ giả thiết z   2i  ta được: 2 w  i   2i   w   i    x     y  1 i    x     y  1  Suy tập hợp điểm M  x; y  biểu diễn cho số phức w đường trịn  C  có tâm I  2;1 bán kính R  Giả sử OI cắt đường tròn  C  hai điểm A, B với A nằm đoạn thẳng OI Ta có w  OM Mà OM  MI  OI  OM  MI  OA  AI  OM  OA Nên w nhỏ OA  OI  IA   M  A Cách 2: 2 Từ z   2i    a     b    với z  a  bi  a, b    a   sin x; b   cos x  a   sin x, b   cos x Khi đó: z  i   sin x    cos x  i  i   6 4  22  sin x  cos x     Nên z  i nhỏ   sin x   1  cos x    1    4sin x  cos x   1  sin x    cos x  2sin x      4sin x  cos x  2 cos x    Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022  5  5 Ta z        i     Cách 3: Sử dụng bất đẳng thức z1  z2  z1  z  z1  z2 z  i   z   2i     i   z   2i   i   Câu (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ 2z  i M P  với z số phức khác thỏa mãn z  Tính tỉ số z m M M D  2 m m Lời giải 2z  i 2z  i 2z  i 2z  i 1 Ta có P    P  2  P  2   P  z z z z z z 2 A M  m Vậy Câu B M  m C M  m Cho số phức z thoả mãn z   3i  Tìm giá trị lớn z   i A 13  B 13  C 13  Lời giải D 13  Chọn C Ta có  z   3i   z   3i   z   3i    z   3i  z   3i     z   3i  z   3i   z   3i  1` z   i   2i  1(*) +Đặt w  z   i ,  w   2i  Tập hợp điểm biểu diễn số phức w  z   i đường tròn  I ;1 w khoảng cách từ gốc tọa độ đến điểm đường trịn Do giá trị lớn w đoạn OQ  w max   32  2   13 Câu Xét tất số phức z thỏa mãn z  3i   Giá trị nhỏ z   24i nằm khoảng nào? A  0;1009  B 1009;2018 C  2018; 4036  D  4036;   Lời giải Ta có  z  3i   z  3i   z   1  z     z  Đặt z0   3i  z0  5, z0   24i Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  2 Ta có A  z   24i  z  zo   z  zo  z  zo   Mà  z  zo  z  zo   z.zo  zo z   z  zo 4  Suy A  z  zo   z  zo 2   z.z o  z   zo  z.zo  zo z   z.zo 2  z  z  1201 Hàm số y  2t  2t  1201 đồng biến  4;6 nên A  2.44  2.42  1201  1681  z  Dấu xảy   z   3i  Do z   24i nằm khoảng 1009;2018  Câu (Chuyen Phan Bội Châu Nghệ An 2019) Cho số phức z thỏa mãn z  z  z  z  Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ P  z   2i Đặt A  M  m Mệnh đề sau đúng? A A   34;6   B A 6; 42    C A 7; 33  D A 4;3 Lời giải Giả sử: z  x  yi,  x, y     N  x; y  : điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng tọa độ Oxy Ta có: • z  z  z  z   x  y   N thuộc cạnh hình vng BCDF (hình vẽ) y I B E F C O -2 x D -2 • P  z   2i  P   x     y  2  P  d  I ; N  với I  2;  Từ hình ta có: E 1;1 M  Pmax  ID   22  m  Pmin  IE  Vậy, A  M  m    Câu    1    1   34;6 (Chuyên Hạ Long 2019) Cho số phức z thỏa mãn z   z   20 Gọi M , n môđun lớn nhỏ z Tính M  n A M  n  B M  n  C M  n  D M  n  14 Trang Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 Lời giải Gọi z  x  yi ,  x, y    Theo giả thiết, ta có z   z   20  x   yi  x   yi  20   x  6  y2   x  6  y  20  Gọi M  x; y  , F1  6;0  F2  6;0  Khi    MF1  MF2  20  F1 F2  12 nên tập hợp điểm E đường elip  E  có hai tiêu điểm F1 F2 Và độ dài trục lớn 20 Ta có c  ; 2a  20  a  10 b2  a  c2  64  b  x2 y2   100 64 Suy max z  OA  OA'  10 z  10 z  OB  OB '  z  8i Do đó, phương trình tắc  E  Vậy M  n  Câu 10 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Cho số phức z thỏa mãn z   4i  w  z   i Khi w có giá trị lớn A  74 B  130 C  130 Lời giải D 16  74 Theo bất đẳng thức tam giác ta có w  z   i   z   8i     9i   z   8i   9i   130 Vậy giá trị lớn w  130 Câu 11 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Xét số phức z số phức liên hợp có điểm biểu diễn M M  Số phức z   3i  số phức liên hợp có điểm biểu diễn N N Biết M , M  , N , N bốn đỉnh hình chữ nhật Tìm giá trị nhỏ z  4i  A 34 B C D 13 Lời giải Gọi z  x  yi , x, y   Khi z  x  yi , M  x; y  , M   x;  y  Ta đặt w  z   3i    x  yi   3i    x  y    3x  y  i  N  x  y;3x  y  Khi w  z   3i    x  y    x  y  i  N   x  y ;  x  y  Ta có M M  ; N N cặp đối xứng qua trục Ox Do đó, để chúng tạo thành hình chữ nhật yM  yN yM  yN Suy y  x  y y  3 x  y Vậy tập hợp điểm M hai đường thẳng: d1 : x  y  d2 :3x  y  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Đặt P  z  4i    x  5   y   Ta có P  MA với A  5; 4  , d  A; d2   , 34 Pmin  MAmin  MA  d  A; d1  MA  d  A; d  Mà d  A; d1   Pmin  d  A; d1   Câu 12 Biết số phức z thỏa mãn iz   z   i z có giá trị nhỏ Phần thực số phức z bằng: A B C  Lời giải D  Đặt z  x  yi ( x , y  ) Khi iz   z   i  x    y  3   x  2   y  1  x  y    x  2 y  1 2 Lại có z  x  y  2 Thay 1 vào   ta được: 2  z  x  y   2 y 1  y  y  y 1  5 y     5 5  2 2 2 5 Dấu đẳng thức xảy y    y   Thay y   vào 1 suy x   5 Vậy phần thực số phức z  Câu 13 (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương -2019) Xét số phức z thỏa mãn z   3i  Số phức z mà z  nhỏ A z   5i B z   i C z   3i Lời giải D z   i Gọi z  x  yi , x, y   Khi M  x; y  điểm biểu diễn số phức z 2 Theo ta có z   3i    x  1   y    Suy tập hợp điểm M đường tròn tâm I 1; 3 bán kính R  Khi z    x  1  y  I M với I  1;  Trang 10 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 Suy ra, MH đạt giá trị lớn M  M '  P2  232  P  58 Câu 80 Cho hai số phức z1 ; z2 khác 1 cho z144  z 258  Tìm giá trị nhỏ T  z1  z2 gần với giá trị sau A 11 100 B 205 200 Lời giải C D 200 Chọn D z144  z258   z1  z2  Gọi  acgumen z1  ' acgumen z với  ;  '   0;2  z1  cos   i sin  ; z2  cos  ' i sin  ' z144  z258 cos 44    cos   i sin  44  cos 44  i sin 44  sin 44  1      58   cos  ' i sin  '  cos 58 ' i sin 58 '  cos 58 '  sin 58 '  cos 44  k  sin     22 ;   k     k; t   z2 1 cos 58 '    '  t ; '  t sin  '  29  z1 1 k   k  ;   k    22  1  k  43;     0; 2    k  22 t t      ;   t  29  1  t  57       0; 2  t  29 T  z1  z2  cos   i sin   cos  ' i sin  '   cos   cos  '   sin   sin  ' Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 57 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489  k t     cos  cos  ' sin  sin  '   2cos    '   2cos     22 29  Tmin  z1  z2 1  k  43; k  22   k t   cos     1  t  57; k  29  22 29  max  29k  22t  Lấy k  3; t  29k  22t  ; số nguyên dương nhỏ  3 4   Vậy z1  z2   2cos    0.00492  22 29  Câu 81 Cho số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  Tính giá trị lớn biểu thức 2 P  z1  z2  z2  z3  z3  z1 A P  B P  10 C P  Lời giải D P  12 Chọn A Gọi A  x1 ; y1  ; B  x2 ; y2  ; C  x3 ; y3  điểm biễu diễn số phức z1 ; z2 ; z3 z1  z2  z3  suy A ; B ; C thuộc đường trịn tâm O bán kính Ta có z1  z2  AB ; z2  z3  BC z3  z1  AC Suy       2 2 P  z1  z2  z2  z3  z3  z1  AB  BC  AC  AO  OB  BO  OC  AO  OC             OA.OB  OB.OC  OA.OC   OA  OB  OC   3OG   OG  ( với G             trọng tâm tam giác ABC ) Dấu “ = “ xảy G  O , hay ABC Câu 82 Cho số phức z thỏa mãn z  z  z  z  12 Gọi M , m giá trị lớn nhất, nhỏ z   3i Giá trị M m bằng: B 24 A 28 C 26 D 20 Lời giải Chọn B Gọi z  x  yi ; x; y   Xét z  z  z  z  12  x  y  Ta có: P  z   3i   x     y  3 (1)  2 Trang 58 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 Tập hợp điểm biểu diễn z  x  yi ; x; y   thỏa mãn (1) miền (tính biên) hình thoi ABCD với A  0;3 ; B  2;0  ; C  0; 3 ; D  2;0  tạo đường thẳng x  y  Điểm biểu diễn z thỏa mãn (2) đường trịn tâm I  4; 3 bán kính R  P  P đạt min, max bán kính đường trịn đạt min, max xét tương giao với miền hình thoi ABCD Ta có đường trịn giao với miền hình thoi điểm gần tâm đường tròn tiếp xúc cạnh CD: x  y   tương ứng có m  3.4  2.3  2 2  12 Điểm giao xa đỉnh A  0;3 13 hình thoi Do M    13  M m  24 Câu 83 Xét số phức z , w thỏa mãn z  w  Khi z  w   12i đạt giá trị nhỏ nhất, z  w A 11 B 13 C D Lời giải Chọn C Ta có z   z    z   12i    12i  Đặt z   12i  w1  w1   12i  M  w1  thuộc đường tròn  C1  có tâm I1  9;12  bán kính R1  w   w  Đặt w   w  w  N  w  thuộc đường trịn  C2  có tâm I  0;0 bán kính R2  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 59 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 I1I  15  13  R1  R2 suy  C1   C2  không cắt  Min z  w   12i  Min w1  w  MinMN  I1 I   R1  R2   Dấu xảy  I2 N    M  3;   w1  z   12i  3  4i  z   4i I I   3I N  I I1            21 28     21 28 21 28  I2M   w   i 15I M  I I1  N   ;   w   w    i     I I1 15  21 28  Vậy z  w    4i     i    5  Câu 84 (Mã 120-2021-Lần 2) Xét số phức z w thay đổi thỏa mãn z  w  z  w  Giá trị nhỏ P  z   i  w   4i A  2 B  C 41 Lời giải D Chọn D Từ z 1 w     z z  w   1    w z  w Đặt z  x  yi  x, y    w  x  y  x   z  iw    2  y  1  z  iw  x  1  y  Trường hợp : z  iw  P  iw   i  w   4i  w  i   w   4i   w  i   w   4i  5i   41 Trang 60 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 13 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 Trường hợp : z  iw  P  iw   i  w   4i =  w  i   w   4i  3i   13  w  i   m  3i    Min P  13 đạt    m, n    w   4i  n  3i   Câu 85 (Mã 101-2021-Lần 2) Xét số phức z w thay đổi thỏa mãn nhỏ P  z   i  w   5i A  B z  w 3 zw 3 Giá trị 29  C 17 Lời giải D Chọn C  z  1  z  w  w  Ta có:  (I)  z 1    z  w   w w Đặt z  a  bi  a, b    w  a   a  b   b    z  iw  Từ (I) ta có:   z  iw  a    a  1  b    b  1 2 TH1: z  iw ta có: P  z   i  w   5i  iw   i  w   5i   w  i   w   5i   6i  P3 TH2: z  iw ta có: P  z   i  w   5i  iw   i  w   5i   w  i   w   5i   4i  P  17 Vậy giá trị nhỏ P 17 Câu 86 (Mã 111-2021-Lần 2) Xét số phức z w thay đổi thỏa mãn z  w  z  w  Giá trị nhỏ biểu thức P  z   i  w   5i bằng: A B 17 C 29  Lời giải D  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 61 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Chọn B  z 1   z  w  w   Cho   z  w   z    w w  TH1: z z    (Loại)  w w  a   2 z  a  b    a  bi  b    TH2:  w 2  a   a, b    a  1  b    b  1 Ta xét: z  iw  P  iw   i  w   5i   w   i  w   5i  3  6i  45 Ta xét: z  iw  P  iw   i  w   5i  w   i   w   5i   4i  17  Pmin  17 Câu 87 (Mã 102-2021-Lần 2) Xét số phức z w thay đổi thoả mãn z  w  z  w  Giá trị nhỏ P  z   i  w   4i A 41 B  2 C  D 13 Lời giải Chọn D Gọi M N điểm biểu diễn số phức z w  z  w  Theo giả thiết  nên ta suy M N nằm đường tròn  C  tâm O  0;0  bán  z  w  kính R  độ dài MN    Vậy suy tam giác OMN vuông cân O suy OM  ON  OM ON     Đặt z  a  bi  M  a; b   OM   a; b   ON   b;  a  ON   b; a  Vậy ta có w  b   iz w  b   iz Xét trường hợp Trang 62 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 TH1: w  b   iz ta có: P  z   i  w   4i  z   i  iz   4i  z   i   z  3i   z   i    z  3i    13 TH2: w  b   iz ta có: P  z   i  w   4i  z   i  iz   4i  z   i  z  3i  z   i   z  3i   z   i    z  3i    5  4i  41 Vậy giá trị nhỏ P  13 Xác định z để P đạt giá trị nhỏ nhất: Gọi A 1;1 , B  4;3 giá trị nhỏ P  13 xảy M  AB   C  nằm A B Câu 88 (Mã 102 - 2021 Lần 1) Xét số phức z , w thỏa mãn z  w  Khi z  iw   8i đạt giá trị nhỏ nhất, z  w A B 221 C D 29 Lời giải Chọn B Ta có z  iw   8i   8i  z  iw  10    Dấu “  ” xảy 1     z  t   8i   z   10   8i   z   10   8i   z   10   8i     iw  t    8i  , t , t      iw     8i   w    6i   w    6i   z  1, w     10 5 Khi z  w  221 Câu 89 (Mã 104 - 2021 Lần 1) Xét số phức z ; w thỏa mãn z  w  Khi z  iw   8i đạt giá trị nhỏ nhất, z  w bằng: Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 63 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 A 29 221 B C D Lời giải Chọn B Do w  nên iw  iw  i w  Ta có: z  iw   8i   8i  z  iw  1   k   10 k   10  z  k   8i   k      m   m   iw  m   8i   m     5 Dấu xảy       z    i z    i  z 1    5 5  iw    8 iw    i w   i 5 5   221 Khi z  w    i   i  5 5 Câu 90 (Mã 101-2021-Lần 1) Xét số phức z , w thỏa mãn z  w  Khi z  iw   8i đạt giá trị nhỏ nhất, z  w A 221 5 B C D 29 Lời giải Chọn D Đặt z  a  bi , w  c  di với a , b , c , d   2  z  a  b  Theo giả thiết    *  w  c  d  Ta có z  iw   8i  a  bi  i  c  di    8i  a  d    b  c   i   a  d     b  c  8 Khi   a  d     b  c  8   a  d     b  c   2   a  d     b  c   2  a2  b2  d  c2    10  2    8  a  d     b  c  8 2  10  7 Dấu “=” xảy a  , b  , c  , d  thỏa mãn (*) 5 5 Trang 64 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 Vậy z  iw   8i đạt giá trị nhỏ Khi z  Câu 91 29  i , w   i Suy z  w  1  i  z  w  5 5 5 Xét số phức z , w thỏa mãn z  w  Khi z   3i   w  15  8i đạt giá trị lớn nhất, z  w A 2357 12 B 37645 85 C 1226 D 5421 17 Lời giải Chọn B Ta có z    z  15  8i   15  8i  Đặt z  15  8i  w1  w1  15  8i  M  w1  thuộc đường trịn  C1  có tâm I1 15;8  bán kính R1  w   w   3i  w  3i    3i   w  Đặt w   3i   w  w  N  w  thuộc đường tròn  C2  có tâm I  0;0 bán kính R2  I1I  17   R1  R2 suy  C1   C2  không cắt  Max  z  15  8i    3i   w  Max w1  w  MaxMN  I1 I   R1  R2   24 Dấu xảy   75 40    NI 75 40   N  ;  w   3i   w    i   I I  17    21 17 NI  I I1   17 17   17 17         17 MI1  I1 I  MI1   M  285 ; 152   w  z  15  8i  285  152 i    I1 I 17 17 17    17 17  36 77   w  85  85 i   z  30  16 i  17 17 37645  30 16   36 77  Vậy z  w    i     i   85  17 17   85 85  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 65 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Câu 92 Xét số phức z , w thỏa mãn z  w  Khi iz  w   4i đạt giá trị lớn nhất, z  w A 106 B 21 C 26 D 131 Lời giải Chọn A Ta có z   iz    iz   4i    4i  Đặt iz   4i  w1  w1   4i  M  w1  thuộc đường trịn  C1  có tâm I1  3; 4  bán kính R1  w   w   w  Đặt w   w  w  N  w  thuộc đường trịn  C2  có tâm I  0;0 bán kính R2  I1I    R1  R2 suy  C1   C2  không cắt    Max iz  w   4i  Max  iz   4i    w =Max w1  w  MaxMN  I1 I   R1  R2   Dấu xảy  3 4  NI 4     w  w   i w  i N  ;   I I  5 NI  I I          5 5 2      V     MI 12 12 5MI1  3I1 I  1  M   24 ; 32   w  iz   4i    i  z    i    I1 I 5 5    5   106  12    ậy z  w     i      i    5   5  Câu 93 (Mã 103 - 2021 - Lần 1) Xét số phức z, w thoả mãn z  w  Khi z  iw   8i đạt giá trị nhỏ nhất, z  w A B 29 C D Lời giải Chọn D z  iw   8i   8i  z  iw  10  z  iw , Trang 66 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ 221 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022     10  z  iw  10  z  iw  10  z  w   8i   z  10 z  iw   8i đạt giá trị nhỏ  i w   8i   8i  10  4i   z   4i   221   zw    i  5  5  w    i  5 Câu 94 (Chuyên Lê Hồng Phong - Nam Định - 2021) Xét số phức z , w thỏa mãn z  w  3z  w  Khi z  3w  i đạt giá trị nhỏ nhất, tính giá trị z  w  ? A 17 B C D 170 Lời giải Chọn D  5z  3w  i  z  3w  i  z  4w  3z  w   z  4w  3z  w       Dấu "=" xảy khi: mi  3 z  w    n  z  w 1  n   mi 5 z  3w   mi; m     nmi 2 z  w  n  z  w  ; n   z  2w   z  4w 1  n   nmi 1  n   Do đó: z  2w   nmi nm 4  (1) 1  n  1 n mi m 5  (2) 1 n 1 n nm m Từ (1) (2):  n m3 5 Và: 3z  w      z  i 3z  w  5i 6 z  2w  10i   Khi đó, ta có:  17  z  2w  4i  z  2w  4i w  i    z  i 17 170  Vậy: z  3w  i  khi:  Khi đó: z  w   i  i   7  w  17 i  Câu 95 (Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm - Quảng Nam - 2021) Cho số phức z  im , m  m  m  2i  Xác định giá trị nhỏ số thực k cho tồn m để z   k A k   B k  1 C k   D k  1 Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 67 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Lời giải Chọn B  Ta có z  im im im 1  m  i     z 1  2  m  m  2i   m  2mi  i mi mi m  i k  1  m  i 1  m  i m2  2m    Khi z   k  k  k   k   m2  2m  2 mi mi m 1  k2   m 1 m  2m  Xét hàm số f  m   với m   m2  2 m  m  Có f   m    m2  1  1  m  f   m     1  m   Bảng biến thiên hàm f  m   m   f  m f  m 1  1     3 m  2m  sau: m2  1 3 Vậy để tồn m thỏa mãn z   k bất phương trình k2  Dựa vào bảng biến thiên ta có f  m  k với k  phải có nghiệm 3 5 1 1 k k  2 Vậy Câu 96 (Đề Tham Khảo 2021) Xét hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  1, z2  z1  z2  Giá trị lớn 3z1  z2  5i A  19 B  19 C 5  19 Lời giải D  19 Chọn B Gọi A  x1; y1  , B  x2 ; y2  điểm biểu diễn cho số phức z1 , z2    Có OA  1; OB  z1  z2  OA  OB  BA  AB  Suy tam giác OAB vuông A Gọi C  0; 5  điểm biểu diễn cho số phức 5i Ta có:       P  3z1  z2  5i  3OA  OB  OC  4OA  AB  OC        4OA  AB  4OA  AB OC  OC   +) 4OA  AB  16OA2  AB  19         Trang 68 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 +) OC  25       +) 4OA  AB OC  4OA  AB OC  19.5  10 19    Từ đó: P  19  10 19  25   19   P  19  Vậy giá trị lớn P  19  Câu 97 (Chuyên ĐHSP Hà Nội - Lần - 2021) Xét số phức z thỏa mãn z   Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  z    z Tổng M  m 45  55 Lời giải B A 14 C D 15  33 Chọn D + Gọi z  x  yi ( x, y  ) Ta có : z     x  1  y  4(*) + Ta có: P  x  2  y2   x  3  y2   x  1  y2  6x    x  1  y2  4x    6x    x   + Xét hàm số f ( x )  x    x với x    ;3 Ta có: f ( x )   6x  3 x     10   33 f ( x)   x   f     , f  3  5, f     33 3  6  33  + Do đó: M  33 15  33 ,m   M  m  3 Câu 98 (Sở Nam Định - 2021) Trên mặt phẳng tọa độ, gọi M  a; b  điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn z    4i   Gọi A, B, C điểm biểu diễn số phức  MA MB   z1  2  3i, z2   i, z3  2  5i Khi biểu thức   đạt giá trị nhỏ  AB BC  mn p (với m, n, p   ) Giá trị tổng m  n  p 41 A 401 B 748 C 738 Lời giải a D 449 A  2; 3 , B  3;1 , C  2;5 Ta có: AB  BC  41 2 Ta có: z    4i     a     b   i    a     b    16  C  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 69 NGUYỄN BẢO VƯƠNG - 0946798489 Điểm biểu diễn M nằm đường tròn  C   a   5t Đường thẳng AB qua B  3;1 nhận AB   5;  làm vtcp có phương trình:  b   4t MA MB MA MB MA  MB AB Ta có      AB BC 41 41 41 41  MA MB   Suy biểu thức   đạt giá trị nhỏ M nằm A, B  AB BC  Do tọa độ M nghiệm hệ:  a  2   b    16 41t  34t   *    2  a    2  a  3  a   5t a   5t b   4t b   4t    17  535 t  41 Giải * ta   17  535 t   41 17  535 208  535 Với t  ta a   KTM  41 41 17  535 208  535 Với t  ta a  TM  41 41  m  208, n  5, p  535  m  n  p  208   5  535  738 Câu 99 (Liên trường Nghệ An - 2021) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho số phức z thoả mãn z  i  10 w   i  1 z  z  số ảo Biết tồn số phức z  a  bi,  a, b    biểu diễn điểm M cho MA ngắn nhất, với A 1;4  Tính a  b A B 3 C Lời giải D 5 Chọn B Số phức z  a  bi,  a, b    suy z  i  10  a   b  1  10 Ta có w   i  1 z  z  số ảo nên ta có phương trình: 3a  b   Vậy tập hợp số phức w đường thẳng  d  : 3a  b   Ta thấy  d  qua tâm I  0; 1 đường tròn  C  : a   b  1  10 cắt M 1, M Trang 70 Fanpage Nguyễn Bảo Vương  https://www.facebook.com/tracnghiemtoanthpt489/ TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2022 b  3a  b  3a  b  3a   a  1, b  4  Ta có:    a   2 a   1, b    a   b  1  10  a  9a  10  a  1  a  1 Rõ ràng ta thấy MAmin điểm M  M  1;2     a  b  3 b  Facebook Nguyễn Vương https://www.facebook.com/phong.baovuongTrang 71 ... 8i   9i   130 Vậy giá trị lớn w  130 Câu 11 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Xét số phức z số phức liên hợp có điểm biểu diễn M M  Số phức z   3i  số phức liên hợp có điểm biểu... biểu diễn số phức z đường tròn tâm số phức I  0;1 bán kính R  Do m  , M  Vậy M  m2  Câu 30 (Chuyên Quang Trung - 2018) Cho số phức z thỏa mãn z  2i  z  4i z   3i  Giá trị lớn biểu...    a  a  Câu 29 (Chuyên Hạ Long - 2018) Cho số phức z1  2  i , z2   i số phức z thay đổi thỏa 2 mãn z  z1  z  z2  16 Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ z Giá trị biểu thức M  m2