Chủ đề 4 cực TRỊ số PHỨC (nâng cao)

CHỦ ĐỀ 4 BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC ( Dạng 1 Cho số phức thỏa mãn Tìm số phức thỏa mãn nhỏ nhất Phương pháp Đặt là các điểm biểu diễn số phức và Khi đó từ giả thiết suy ra , tập hợp điểm biểu diễn số phức là đường trung trực ∆ của AB Gọi là điểm biểu diễn số phức Ta có nhỏ nhất khi khi M là hình chiếu vuông góc của N trên d và Ví dụ 1 Cho số phức thỏa mãn Gọi là số phức thỏa mãn nhỏ nhất Giá trị của biểu thức là A B 4 C 0 D 1 Lời giải Đặt là các điểm biểu diễn số phức và Khi đó từ giả thiết suy ra.

CHỦ ĐỀ 4: BÀI TOÁN CỰC TRỊ SỐ PHỨC  Dạng 1: Cho số phức z thỏa mãn z  z1  z  z Tìm số phức thỏa mãn z  z nhỏ Phương pháp: Đặt M(z); A(z1); B(z 2) điểm biểu diễn số phức z; z1 z Khi từ giả thiết z  z1  z  z suy MA  MB , tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trung trực ∆ AB Gọi N(z 0) điểm biểu diễn số phức z Ta có MN  z  z nhỏ MN M hình chiếu vng góc N d MN  d(N; ) Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z   i  z  i Gọi z  a  bi (a; b  ¡ ) số phức thỏa mãn z   3i nhỏ Giá trị biểu thức T  2a  3b là: A 4 B C Lời giải D Đặt M ( z ); A(4;1), B(0; 1) điểm biểu diễn số phức z;  i i Khi từ giả thiết suy MA  MB , tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trung trực AB qua I(2;0) r uuur n  AB(4; 2)   : x  y   có VTPT Gọi N (1; 3) điểm biểu diễn số phức  3i Ta có z   3i nhỏ MN M hình chiếu vng góc N ∆, suy MN : x  y   2 x  y    x    M  3; 2   z   2i  2a  3b  Chọn C Giải hệ   x  y    y  2 Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z  2i  z  Gọi z số phức thỏa mãn (2  i) z  nhỏ Khi : A  z  B  z  C  z  Lời giải D z  Gọi M (x; y); A(0; 2), B(2;0) điểm biểu diễn số phức z; 2i 2 Từ giả thiết  MA  MB  M  trung trực AB có phương trình  : x  y  Lại có: P  (2  i) z    i z  suy P  5MN  z   i , gọi N ( 2; 1) điểm biểu diễn số phức 2  i 2i Ta có P nhỏ MN M hình chiếu vng góc N ∆, suy phương trình MN : x  y   1   x  x  y  1  1    M  ;  z   i z  Giải hệ  Chọn A 2  2 x  y 1   y    Dạng 2: Cho số phức z thỏa mãn z  z  R Tìm số phức thỏa mãn P  z  z1 đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Phương pháp: Đặt M(z); I(z 0); E(z1) điểm biểu diễn số phức z; z z1 Khi từ giả thiết z  z  R  MI  R  M thuộc đường trịn tâm I bán kính R Ta có: P  ME lớn  ME max P nhỏ  ME Khi đó: Pmax  IE  R  M  M Pmin  IE  R  M  M1 (Điểm E nằm ngồi đường trịn) Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn iz   2i  Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  z   i A Pmin  B Pmin  13  C Pmin  Lời giải D Pmin  10 Ta có: iz   2i   i z     z   3i   tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường i tròn tâm I (2; 3) bán kính R  ; ) điểm biểu diễn số phức  i  P  ME  Pmin  EI  R  Gọi E(11 Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z   i  Gọi z1 z2 số phức làm cho biểu thức P  z   3i đạt giá trị nhỏ lớn Tính T  z1  z2 A T  20 B T  C T  14 Lời giải D T  24 Ta có: z   i   tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn tâm I (2;1) bán kính R  Gọi E(2;3)  P  ME Phương trình đường thẳng IE : x  y   Dựa vào hình vẽ ta có Pmax  IE  R  M  M  M (4;0)  Pmin  x  y    Giải hệ  2 ( x  2)  ( y  1)   M (0; 2)  Pmin  Do T  z1  z2  3.2  2.4  14 Chọn C  Dạng 3: Cho số phức z thỏa mãn z  z1  z  z Tìm số phức thỏa mãn P  z  z  z  z đạt giá trị nhỏ Phương pháp: Đặt M(z); A(z1); B(z 2); H(z 3); K(z 4) điểm biểu diễn số phức z; z1; z 2; z z Khi từ giả thiết z  z1  z  z suy MA  MB , tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trung trực ∆ AB; P  z  z  z  z  MH  MK TH1: H, K nằm khác phía so với đường thẳng ∆ Ta có: P  MH  MK  HK Dấu xảy  M  M o  HK  () Khi Pmin  HK TH2: H, K nằm phía so với đường thẳng ∆ Gọi H’ điểm đối xứng ∆ Khi đó: P  MH  MK  MH ' MK  H 'K Dấu xảy  M  M o  H ' K  () Khi Pmin  H ' K Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z   2i  z   2i Gọi z  a  bi (a; b  ¡ ) cho P  z   4i  z   i đạt giá trị nhỏ Khi a  b là: A B C Lời giải D Đặt M ( z ); A(1; 2), B( 3; 2) tử giả thiết suy MA  MB nên M thuộc đường thẳng trung trực AB có phương trình  : x  y   , gọi H(2; 4) K(1;1) điểm biểu diễn số phức  4i 1  i Ta có P  MH  MK điểm H, K phía so với đường thẳng ∆ Gọi H’ điểm đối xứng  : x  y   Ta có: HH' : x  y   tọa độ trung điểm HH’ nghiệm hệ x  y 1  5 7 I ;  phương trình  2 2 x  y   Suy H'(3;3) Lại có: P  MH  MK  MH ' MK  H 'K Dấu xảy  M  H 'K  d Phương trình đường thẳng H’K là: H ' K : x  y   ; )  z  1 2i Khi Pmin  H ' K  Chọn A Suy M  H 'K    M o (12 Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z   4i  iz  Gọi z  a  bi (a; b  ¡ ) cho P  z  i  z   3i đạt giá trị nhỏ Giá trị nhỏ A B 53 C Lời giải 37 Ta có: z   4i  iz   z   4i  i z  D 41  z  2i i Gọi M ( z ); A(2; 4), B(0; 2) từ giả thiết suy MA  MB nên M thuộc đường thẳng trung trực AB có phương trình  : x  y   , gọi H(0;1) K(1; 3) điểm biểu diễn số phức i 1  3i Ta có: P  MH  MK điểm H, K phía so với đường thẳng ∆ Gọi H’ điểm đối xứng  : x  y   Ta có: HH' : x  y   tọa độ trung điểm HH’ x  y   5 3  I  ;  nghiệm hệ phương trình  2 2 x  y 1  Suy H'(5; 4) Lại có: P  MH  MK  MH ' MK  H ' K  37 Chọn B  Dạng 4: Cho số phức z thỏa mãn z  z1  z  z Tìm số phức thỏa mãn P  z  z  z  z đạt giá trị nhỏ Phương pháp: Đặt M(z); A(z1); B(z 2); H(z 3); K(z 4) điểm biểu diễn số phức z; z1; z 2; z z Khi từ giả thiết z  z1  z  z suy MA  MB , tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trung trực ∆ AB; 2 P  z  z  z  z  MH  MK Gọi I trung điểm HK  MI  MH  MK HK HK   P  MH  MK  2MI  nhỏ MI  M hình chiếu vng góc I xuống  Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z   4i  z  2i Gọi z số phức thoả mãn biểu thức 2 P  z  i  z   i đạt giá trị nhỏ Tính z A z  12 B z  10 C z  2 D z  Lời giải Gọi M ( z ); A(2; 4), B(0; 2) điểm biểu diễn số phức z; 2  4i 2i Khi z   4i  z  2i  MA  MB  M thuộc trung trực AB có phương trình  : x  y   Gọi H  0;1 , K  4; 1  P  MH  MK  MI  HK 2 (với I  2;0  trung điểm HK) Do Pmin  MEmin hay M hình chiếu vng góc I xuống  , IM : x  y    M  IM    M  1;3   z  OM  10 Chọn B Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z   3i  z   i Giá trị nhỏ biểu thức 2 P  z   4i  z  2i là: A Pmin  B Pmin  C Pmin  16 Lời giải D Pmin  25 Gọi M ( z ); A(1; 3), B(1; 1) điểm biểu diễn số phức z;  3i 1  i Khi z   3i  z   i  MA  MB  M thuộc trung trực AB có phương trình  : x  y   Gọi H  2; 4  , K  0; 2   P  MH  MK  MI  HK 2 (với I  1; 3 trung điểm HK) Do Pmin  MEmin hay M hình chiếu vng góc I xuống HK  , Pmin   d  I ;      Chọn A 2  Dạng 5: Cho số phức z thỏa mãn z  z  R Tìm số phức thỏa mãn P  z  z1  z  z đạt giá trị lớn nhất, nhỏ Phương pháp: Đặt M(z); A(z1 ); B(z ); I  z  điểm biểu diễn số phức z; z1 ; z z Khi từ giả thiết z  z  R  MI  R  M thuộc đường tròn tâm I bán kính R AB Gọi E trung điểm AB ta có: P  2ME  lớn  MEmax 2 P nhỏ  MEmin Khi Pmax  M  M Pmin  M  M Ví dụ 1: Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Gọi z  a  bi  a; b  ¡  số thức thỏa mãn biểu thức P  z   3i  z  5i đạt giá trị lớn Tính T  a  b B T  A T  D T  3 C T  1 Lời giải Gọi M  z  ; I  1; 2  MI   M thuộc đường tròn tâm I  1; 2  bán kính R  2 Đặt A  2;3 ; B  0;5   P  MA  MB Gọi H  1;  trung điểm AB ta có : AB lớn  MH max P  2MH  2 Do MH  MI  IH  MH max  M  M Ta có: IH : x   x   M  1;0   Giải hệ  Do a  b  3 Chọn D  2  x  1   y     M  1; 4  13 Ví dụ 2: Cho số phức z thỏa mãn z   i  Gọi z  a  bi  a; b  ¡ 2  số thức thỏa mãn biểu thức P  z   i  z  3i đạt giá trị nhỏ Tính T  a  b A T  B T  C T  13 Lời giải 13 Gọi M  z  ; I  3; 1 MI   M thuộc đường tròn tâm I  3; 1 bán kính R  13 2 Đặt A  2;1 ; B  0;3  P  MA  MB Gọi E  1;  trung điểm AB ta có : P  2ME  AB nhỏ  MEmin Do ME  MI  IE  MEmin  M  M D T    1 3 x  y    M  2;     2 Ta có: IE : x  y   Giải hệ  Do a  b  Chọn A 13   2  x  3   y  1   M  4; 5  2      Dạng 6: Cho hai số phức z1 ; z thỏa mãn z1  z  R z2  w1  z2  w ; z0; w1 ; w số phức biết Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  z1  z Phương pháp: Đặt M(z1 ); N  z  điểm biểu diễn số phức z1 z Điểm M thuộc đường trịn tâm I  z0  bán kính R , N thuộc trung trực  AB với A  w1  ; B  w  Lại có: P  MN  Pmin  d ( t ; )  R 2 Ví dụ 1: Cho số phức z1 thỏa mãn z   z  i  số phức z2 thỏa mãn z   i  Tìm giá trị nhỏ z1  z2 A 5 B C D 5 Lời giải 2 Gọi M ( z; y ) điểm biểu diễn số phức z1 Khi z   z  i   (x  2)  y  x  ( y  1)   4 x  y  2  () : x  y   2 Gọi N(a; b) điểm biểu diễn số phức z2 Khi z   i   (a  4)  (b  1)  Hay tập hợp điểm N mặt phẳng Oxy đường tròn (C ) : (x  4)  (y  1)  Ta có d  I ( c ) ;()     R( C )     không cắt đường trịn  C  Lại có MN  z1  z2  dựa vào hình vẽ ta thấy   MN  MN  d I  C  ;     R C  Hay z1  z  5 Chọn D  5 5 Bài toán hỏi thêm tìm số phức z1 z2 để z1  z2 ta cần viết phương trình đường  M      MN thẳng MN     sau tìm giao điểm   N   C   MN Ví dụ 2: Cho hai số phức z1 ; z2 thỏa mãn z1   z2   3i  z2   6i Tìm giá trị nhỏ biểu thức P  z1  z2 A Pmin  B Pmin  15 C Pmin  D Pmin  10 Lời giải Gọi M  z1  ; N  z2  điểm biểu diễn số phức z1 z2 Điểm M thuộc đường thẳng tròn tâm I  5;0  bán kính R  Điểm N thuộc đường thẳng trung trực  AB với A  1;3  ; B  3;6    : x  y  35 0 Lại có: P  MN  Pmin  d  I ;   R  Chọn A  Dạng 7: Cho hai số phức z1 ; z thỏa mãn z1  w1  R1 z2  w1  R2 w1 ; w số phức biết Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức P  z1  z2 Phương pháp: Đặt M(z1 ); N  z  điểm biểu diễn số phức z1 z Điểm M thuộc đường tròn tâm  C1  tâm I  w1  bán kính R1 N thuộc đường trịn  C2  tâm K  w  bán kính R2  P  MN Dựa vào vị trí tương đối đường trịn để tìm MN max ; MN Ví dụ 1: Cho hai số phức z; w thỏa mãn z.z  w   4i  Tìm giá trị lớn biểu thức P  zw A Pmax  B Pmax  C Pmax  10 Lời giải Ta có: z.z   z  Gọi M  z  ; N  w  điểm biểu diễn số phức z w D Pmax   Điểm M thuộc đường tròn tâm  C1  tâm O  0;0  bán kính R1  N thuộc đường tròn  C2  tâm K (3; 4) bán kính R2   P  MN Dễ thấy OK   R1  R2 nên  C1   C2  nằm suy MN max  OK  R1  R2  Chọn B Ví dụ 2: [Đề tham khảo Bộ GD & ĐT 2018] Xét số phức z  a  bi  a, b  ¡  thỏa mãn điều kiện z   3i  Tính P  a  b giá trị biểu thức z   3i  z   i đạt giá trị lớn A P  10 C P  B P  D P  Lời giải Gọi M  x; y  điểm biểu diễn số phức z Từ giả thiết, ta có z   3i    x     y     M thuộc đường tròn  C  tâm I  4;3 , bán 2 kính R  Khi P  MA  MB , với A  1;3 , B  1; 1 2 2 Ta có P  MA  MB  2MA.MB   MA  MB  Gọi E  0;1 trung điểm AB  ME  MA2  MB AB   Do P  4.ME  AB mà ME  CE  suy P     5 2  200 Với C giao điểm đường thẳng EI với đường tròn  C   MA  MB  M  6;   a  b  10 Chọn A Vậy P  10 Dấu"  " xảy  M  C Ví dụ 3: [Đề tham khảo Bộ GD & ĐT 2017] Xét số phức z thỏa mãn điều kiện: z   i  z   7i  Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ z   i Tính P  M m A P  13  73 B P   73 C P   73 Lời giải Đặt z  x  yi  x, y  ¡  gọi M  x; y  , A  2;1 , B  4;7  suy AB  uuu v v Ta có AB   6;6   n   1; 1  phương trình đường thẳng AB x  y   Từ giả thiết, ta có MA  MB   MA  MB  AB suy M thuộc đoạn thẳng AB D P   73 Gọi N  1; 1  z   i   x  1  z   i  MN   y  1  MN    z   i max  MN max  Độ dài đoạn thẳng MN nhỏ M hình chiếu N AB Hay MN  d  N ;  AB      1  12   1  5 m 2  Độ dài đoạn thẳng MN lớn M  A M  B  M  A  MN  AN  13  MN max  73  M  73 Ta có  M  B  MN  BN  73  Vậy giá trị biểu thức P  M  m   73 Chọn B Ví dụ 4: Xét số phức z thỏa mãn điều kiện: z   i  z   4i  Gọi M, m giá trị lớn giá trị nhỏ z   2i Tính P  M  m A P   10 B P   10 C P    10  D P   10 Lời giải Đặt z  x  yi  x, y  ¡  gọi M  x; y  , A  1;1 , B  7;  suy AB  uuu v v Ta có AB   6;3  n ( AB )   1; 2   phương trình đường thẳng AB x  y   Từ giả thiết, ta có MA  MB   MA  MB  AB suy M thuộc đoạn thẳng AB  z   2i  MN Gọi N  5; 2   z   2i  MN    z   2i max  MN max  Độ dài đoạn thẳng MN nhỏ M hình chiếu N AB Hay MN  d  N ;  AB      2   12   2  2 5m2  Độ dài đoạn thẳng MN lớn M  A M  B  M  A  MN  AN   MN max  10  M  10 Ta có   M  B  MN  BN  10 Vậy giá trị biểu thức P  M  m     10 Chọn C Ví dụ 5: Biết số phức z thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z   4i  biểu thức M  z   z  i Ví dụ 8: Cho z1 , z2 hai số phức z thỏa mãn điều kiện z   3i  z1  z2  Giá trị nhỏ biểu thức z1  z2 là: A  34 B 34  C 34  Lời giải D 34  Giả sử w  z1  z2  w1  z1   3i Đặt  suy w1  w  z1  z2  10  6i  w  10  6i  w1  w  w  10  6i  w  z2   3i  w1  w  2 2 Mà  mà w1  w  w1  w  w1  w  w1  w  36  w1  w  z1  z2    Vậy w  10  6i  w1  w  36   w thuộc đường tròn tâm I  10;6  , bán kính R  Cách 2: Gọi A  z1  ; B  z2  biểu diễn số phức z1 ; z2 Ta có: tập hợp z đường trịn tâm I  5;3 bán kính R  5, AB  uuu v uuu v uuuv Gọi H trung điểm AB  w  z1  z2  OA  OB  2OH  1 Mặt khác IH  IA2  HA2   tập hợp điểm H đường tròn  x     y  3   C  2 2 2 a b a  b  Giả sử w  a; b  ,  1  H  ;   C             a  10    b    36  2 2  2  Do tập hợp điểm biểu diễn w thuộc đường tròn tâm I  10;6  , bán kính R  Ta có: w  OI  R  34  Chọn B Ví dụ 9: Cho z1 , z2 hai nghiệm phương trình  3i  iz  z   9i , thỏa mãn điều kiện z1  z2  A Giá trị lớn z1  z2 31 B 56 D C Lời giải Đặt z  x  yi  x; y  ¡  6  3i  iz   3i  i  x  yi    y   x  3 i suy  2 z   9i  x  yi   9i  x    y   i Khi đó, giả thiết   x  3   y     x     y     x     y    2 Tập hợp z đường tròn tâm I  3;  bán kính R  1, AB  2  C uuu v uuu v uuuv Đặt w  z1  z2 gọi H trung điểm AB  w  z1  z2  OA  OB  2OH  1 2 Mặt khác IH  IA  HA  2  tập hợp điểm H đường tròn  x  3   y     C 25 2 36 2 a b a  b  Giả sử w  a; b  ,  1  H  ;   C             a     b  8  25 25  2 2  2  Do tập hợp điểm biểu diễn w thuộc đường tròn tâm I  6;8  , bán kính R  Ta có: w max  OI  R  10  56  5 Chọn B Ví dụ 10: [Đề thi thử chuyên Đại học Vinh 2018] Cho số phức z thỏa mãn z số thực w z số thực Giá trị lớn biểu thức M  z   i  z2 A B 2 Ta có w   D z z z w    Vì w số thực nên w  w   2 2 z 2 z 2 z Từ (1), (2) suy w   zz C Lời giải  z       z z   z  z  z   z   z  z  z.z z  z 2 2 z 2 z     z   z  (vì z khơng số thực nên z  z  ) Đặt w  z   i  z  w   i nên w   i   w max   12  12  2 Chọn B Cách 2: Ta có w số thực nên Đặt z  a  bi   z  số thực w z b   kot / mycbt  2b  a  bi  b     số thực  a  bi  2 a  b2 w a  b2  a  b   z  Tập hợp điểm biểu diễn z đường tròn O  0;0  ; R  Đặt M  z  ; A  1;1  MAmax  AO  R  2 Chọn B Ví dụ 11: Cho số phức z thỏa mãn z  Gọi M m giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  z   z  z  Tính giá trị M.m A 13 B 39 C 3 Lời giải Gọi z  x  yi;  x  ¡ ; y  ¡  Ta có: z   z.z  Đặt t  z  , ta có  z   z   z    t   0; 2 D 13  t2  2  Ta có t    z   z   z.z  z  z   x  x  Suy z  z   z  z  z.z  z z   z   x  1  2x 1  t  Xét hàm số f  t   t  t  , t   0; 2 Bằng cách dùng đạo hàm, suy max f  t   13 13 ; f  t    M n  4 Chọn A Ví dụ 12: Cho số phức z thỏa mãn z  Tìm giá trị lớn biểu thức T  z   z  A MaxT=2 B MaxT=2 10 1   z 1 T  z 1  z 1  2  z 1  C MaxT=3 Lời giải   D MaxT=3  5.2 z   (BĐT Cauchy-Swart)  2 Chú ý: z   z   x  y   z  với z  x  yi Cách 2: Đặt z  x  yi Ta có : T  x  yi   x  yi   ( x  1)  y  ( x  1)  y 2 Lại có x  y   T  x   2 x   f  x  Ta có: f '  x   6  0 x  Tmax  Chọn A 10 2x  2  2x Ví dụ 13: Cho số phức z thỏa mãn z   z   10 Giá trị lớn giá trị nhỏ z : A 10 B C Lời giải Đặt z  x  yi;  x; y  ¡   M ( x; y ) biểu diễn z Ta có: z   z   10  z  yi   x  yi   10 Gọi F1 (4;0); F2 (4;0)  MF1  MF2  10 Khi điểm biểu diễn z Elip có trục lớn 2a  10  a  5; F1F2  2c   c   b  a  c  Do  OM    z  Chọn D D BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Trong mặt phẳng tọa độ, tìm số phức z có mơđun nhỏ nhất, biết số phức z thỏa mãn điều kiện z   4i  A z  1  2i B z   2i C z   2i D z  1  2i Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn z   4i  Tìm giá trị lớn biểu thức P  z A Pmax  B Pmax  C Pmax  12 D Pmax  Câu 3: Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Tìm giá trị lớn z A  B 2  C  D  Câu 4: Trong số phức z thỏa mãn z   4i  Gọi z0 số phức mơđun nhỏ Tìm mơđun số phức z0 A zo  B zo  C zo  D zo  Câu 5: Cho số phức z thỏa mãn z   3i  Tìm giá trị lớn P  z   i A 13  B D 13  C Câu 6: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z   z max z   2i  a  b Tính a  b A B C D Câu 7: Cho số phức z có z  số phức w  z  3i có mơđun nhỏ lớn bao nhiêu? A B C D Câu 8: Trong tất số phức có dạng z  m   (m  2)i với m  ¡ , tìm số phức z có mơđun nhỏ ? A z  1  i 2 1 B z    i 2 1 C z    i 2 D z  1  i 2 Câu 9: Cho số phức z  ( m  1)  ( m  2)i, m  ¡ Tìm giá trị m để mơđun số phức z có giá trị lớn A 3  m  B  m  m  3 C  m   m  6 D  m  Câu 10: Cho số phức z  m  ( m  3)i, m  ¡ Tìm m để z đạt giá trị nhỏ nhất? A m  B m  C m  D m   Câu 11: Cho số phức z thỏa mãn z   3i  z  i Gọi z  a  bi (a; b  ¡ ) số phức thỏa mãn z   2i nhỏ Giá trị biểu thức a  3b là: A B C D Câu 12: Biết số phức z  a  bi (a, b  ¡ ) thỏa mãn điều kiện z   4i  z  2i có mơđun nhỏ Tính M  a  b A M  B M  10 C M  16 D M  26 Câu 13: Cho số phức z có điểm biểu diễn nằm đường thẳng x  y   Tìm giá trị nhỏ z A B C D Câu 14: Xét số phức z  a  bi, (a, b  ¡ ) thỏa mãn z   4i  z  2i Tìm giá trị nhỏ z A B 2 C 10 D Câu 15: Cho số phức z thỏa mãn z   i  z   i Gọi z  a  bi, (a, b  ¡ ) số phức thỏa mãn z  i nhỏ Giá trị biểu thức a  b là: A 7 10 B 10 C 10 D 10 Câu 16: Cho số phức z,  thỏa mãn z   2i  z  4i Gọi z  a  bi, (a, b  ¡ ) số phức thỏa mãn iz  nhỏ Tính giá trị biểu thức a  b A B C D Câu 17: Cho số phức z thỏa mãn z   z  i Tìm giá trị nhỏ z   2i A B C D Câu 18: Cho số phức z  x  yi (x, y  ¡ ) thỏa mãn z   z  i Biết z  2i nhỏ nhất, tính S  x  y A S  B S  C S  D S  Câu 19: Xét số phức z  a  bi, (a, b  ¡ ) thỏa mãn z   2i  z  i Tính P  2a  b z đạt giá trị nhỏ A P  25 B P  19 25 C P   25 D P  14 25 Câu 20: Cho số phức z,  thỏa mãn z   2i  z  4i w  iz  Tính giá trị nhỏ w A w  B w  2 C w  2 D w  2 Câu 21: Cho số phức z thỏa mãn z  z   ( z   2i)( z  3i  1) Tính w , biết w  z   2i A w  B w  C w  D w  Câu 22: Cho số phức z thỏa mãn z   z max z   2i  a  b Tính a  b A B C Câu 23: Cho số phức z thỏa mãn z số thực w  D z số thực Biểu thức z   i đạt  z2 giá trị lớn z  a  bi, (a, b  ¡ ) Tính P  a  2b A 2 C B D 5 Câu 24: Cho số phức z thỏa mãn z   i  z   i Gọi z  a  bi, (a, b  ¡ ) cho P  z   5i  z   i đạt giá trị nhỏ Khi a  b A B 6 C 3 D Câu 25: Cho số phức z thỏa mãn z   i  z  3i Gọi z  a  bi, (a, b  ¡ ) cho P  z  i  z  đạt giá trị nhỏ Khi 2a  b A B 7 C 1 D Câu 26: Cho số phức z thỏa mãn z   2i  z  Gọi z  a  bi, (a, b  ¡ ) số phức thỏa mãn biểu thức 2 P  z   2i  z  i đạt giá trị nhỏ Tổng a  b A a  b  B a  b  C a  b  D a  b  Câu 27: Cho số phức z thỏa mãn z   i  z   i Gọi z  a  bi, (a, b  ¡ ) số phức thỏa mãn biểu 2 thức P  z   i  z   i đạt giá trị nhỏ Tổng a  b A a  b  13 10 B a  b  10 C a  b  D a  b  Câu 28: Cho số phức z thỏa mãn z   2i    z   i có mơđun lớn Tính mơđun số phức z A z  B z  C z  D z  Câu 29: Cho số phức z thỏa mãn z  Tìm giá trị lớn T  z   z  A max T  B max T  10 C max T  D max T  2 Câu 30: Cho số phức z thỏa mãn z  z   ( z   2i)( z  3i  1) Tính  , với   z   2i A   B   C   D   2 Câu 31: Cho số phức z thỏa mãn z  i  Tìm giá trị lớn z A B C 2 Câu 32: Cho số phức z thỏa mãn iz  D 2  iz   Gọi M, m giá trị lớn nhỏ 1 i i 1 z Tính Mm A Mm  B Mm  Câu 33: Cho số phức z thỏa mãn A C Mm  2 D Mm  z  2i số ảo Tìm giá trị lớn P  z   z  i z2 B C D Câu 34: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để tồn số phức z thỏa mãn z.z  z   i  m Tìm số phần tử S A B C D Câu 35: Biết tồn hai số phức z thỏa mãn z   z  z  z  đạt giá trị nhỏ Tính tổng hai phần thực hai số phức A B C 14 D Câu 36: Cho số phức z  x  yi (x, y  ¡ ) thay đổi thỏa mãn z  Hãy tính tổng giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức P  x  y A B 12 C D Câu 37: Cho số phức z thỏa mãn z  Tìm giá trị lớn biểu thức T  z   z  A B 10 C D LỜI GIẢI BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn (C ) tâm I (2; 4) bán kính R  Ta có: z  OM , mặt khác OM đạt giá trị lớn nhỏ M  OI  (C ) Phương trình đường thẳng OI : y  x , phương trình đường trịn (C ) : (x  2)  (y  4)   y  2x  y  2x  Giải hệ phương trình:   2 2 ( x  2)  ( y  4)  ( x  2)  ( y  4)  OM  x   y    suy z1   2i số phức thỏa mãn điều kiện z   4i   x   y  OM  Và có môđun nhỏ nhất, z2   6i số phức có mơđun lớn Chọn C Câu 2: Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường trịn (C ) tâm I (3; 4) bán kính R  Ta có: z  OM , Pmax  OM max  OI  R    Chọn A Câu 3: Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường trịn (C ) tâm I (2; 2) bán kính R  Ta có: z  OM , z max  OM max  OI  R  2  Chọn B Câu 4: Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường trịn (C ) tâm I (3; 4) bán kính R  Ta có: z  OM , z  OM  OI  R    Chọn D 2 Câu 5: Đặt z  x  yi (x, y  ¡ ) , ta có : z   3i   ( x  2)  ( y  3)  Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn (C ) tâm I (2;3) bán kính R  Lại có: P  x  yi   i  ( x  1)  (1  y )  ( x  1)2  (y 1)2 Gọi K (1;1)  P  MK  Pmax  IK  R  13  Chọn D Câu 6: Đặt z  x  yi (x, y  ¡ ) , ta có : z   z  x  yi   x  yi  ( x  3)  y  4( x  y )  3x  y  x    x  y  x    ( x  1)  y   Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường trịn tâm I (1;0) bán kính R  a   ab  Gọi K (1;2)  z   2i  MK  MK max  IK  R   2   b  Chọn A Câu 7: Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn tâm O(0;0) bán kính R  Gọi K (0; 3)  w  z  3i  MK Ta có: MK max  OI  R  5; MK  OK  R  Chọn D 5 1  Câu 8: z  (m  3)  (m  2)  2m  10m  13   m     2 2  2 2 Do z  1  m   z    i Chọn C 2 2 Câu 9: z  (m  1)  ( m  2)  2m2  6m    2m2  6m    m  Chọn B 3 9  Câu 10: z  m  (m  3)  2m  6m    m     2 2  Do z  2 3  m  Chọn C 2 Câu 11: Đặt M ( z ); A(2;3), B(0;1) điểm biểu diễn số phức z;  3i i Khi từ giả thiết suy MA  MB , tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trung trực AB qua I(1; 2) có VTCP r n(1;1)  d : x  y   Gọi N ( 2; 2) điểm biểu diễn số phức 2  2i Ta có z   2i nhỏ MN M hình chiếu vng góc N d, suy MN : x  y   x  x  y    M  ;   z   3i  a  3b   Giải hệ  Chọn C   2 2 x  y    y   Câu 12: Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z trung trực ∆ AB với A(2; 4), B(0;2) r r uuu Trung điểm AB I (1;3); n   AB  (1;1)   : x  y   Mặt khác z  OM nhỏ M hình chiếu vng góc O xuống ∆ a   M  Chọn A Khi OM : x  y   M o  OM    (2; 2)   b  Câu 13: Ta có z  OM nhỏ M hình chiếu vng góc O xuống  : 3x  y   Khi z  OM  d (O; )  32  42  Chọn B Câu 14: Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z trung trực ∆ AB với A(2; 4), B(0;2) r r uuu Trung điểm AB I (1;3); n   AB  (1;1)   : x  y   Mặt khác z  OM nhỏ M hình chiếu vng góc O xuống ∆ Khi OM  d (O; )   2 Chọn B Câu 15: Đặt M ( z ); A(1; 1), B(2;1) điểm biểu diễn số phức z;1  i  i Khi từ giả thiết suy MA  MB , tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trung trực r 3  AB qua I  ;0  có VTCP n(1; 2)  d : x  y   2  Gọi N (0;1) điểm biểu diễn số phức i Ta có z  i nhỏ MN M hình chiếu vng góc N d, suy MN : x  y   1  x   1 4i  x  y     1  10   M  ;  z    a  b  Chọn D Giải hệ  10 10  10   x  y   y   Câu 16: Gọi I(x; y); M(2; 2), N(0; 4) điểm biểu diễn số phức z; 2  2i; 4i Từ giả thiết  IM  IN  I  trung trực MN d : x  y   2 Khi iz    y  xi   iz   x  ( y  1)  NM với N (0;1) Ta có iz  nhỏ MN M hình chiếu vng góc N d, suy MN : x  y    x  x  y     M  ;   z   i  a  b2   Giải hệ  Chọn B   2 2 2 x  y 1  y   Câu 17: Gọi z  x  yi (x, y  ¡ )  x   yi  x  ( y  1)i  ( x  1)  y  x  ( y  1)  x  y   M ( z ) có quỹ tích đường thẳng d : x  y  Với z '   2i  N ( z ')  (1; 2) Ta có z  NM  NM  d  z  d ( N ; d )  Chọn C Câu 18: Gọi z  x  yi (x, y  ¡ )  x   yi  x  ( y  1)i  ( x  1)2  y  x  ( y  1)  x  y   M ( z ) có quỹ tích đường thẳng d : x  y  Với z '  2i  N ( z ')  (0; 2) Ta có z  NM  NM  d  MN : x  y  k  Mà MN qua N (0; 2)  k   MN : x  y   Tọa độ M nghiệm hệ x  y    x  1  M ( 1;1)    S  Chọn C  x  y  y 1 Câu 19: Đặt M ( z )  M (a; b) A(1; 2), B(0;1)  MA  MB Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng trung trực AB  (d ) : x  y   Gọi H hình chiếu O (d)  Phương trình đường thẳng OH : x  y  Ta có z  OM  OH Dấu xay M  H  M  (d )  OH  a   a  3b     Khi đó, tọa độ điểm M nghiệm hệ  Vậy P  Chọn A 25 3a  b  b    Câu 20: Đặt M ( z )  M (a; b) A(2; 2), B(0; 4)  MA  MB Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng trung trực AB  (d ) : x  y   Ta có w  iz   w  iz   w iz  1   w  z   MC , với C (0;1) i i i Gọi H hình chiếu C (d)  CM  CH Dấu = xảy  M  H Vậy w  CH  d (C ;(d ))  0.1  1.1  12  12  Chọn B 2 Câu 21: z  z   (z  2i)(z 3i 1)  ( z   2i)( z   2i)  (z   2i)(z  3i 1)  z   2i   z   2i  w  1  w    (*)  z   2i  z   3i  z   2i  z   3i Đặt M ( z )  M (a; b) A(1; 2), B(1; 3)  (*)  MA  MB Suy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường thẳng trung trực AB  (d ) : y   Ta có w  z   2i  w  z   2i  MC , với C (2; 2) Gọi H hình chiếu C (d)  CM  CH Dấu = xảy  M  H Khi w  CH  d (C ;(d ))  2.0  2.( 2)  2 2  Vậy w  Chọn C 2 Câu 22: Đặt z  x  yi (x, y  ¡ ) z   z  ( z  3)  z  (x  3)  y  4( x  y )  x  y  x    ( x  1)  y  (C)  Tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn (C) tâm I (1;0) , bán kính R  Gọi A(1; 2)  IA  2  R  A nằm ngồi đường trịn (C)  MAmax  IA  R   2 Mặt khác max z   2i  a  b  a  b  Vậy a  b  Chọn A 2  z2 Câu 23: Vì w số thực suy   z  số thực  z   z   z  z z w z z  I (0;0) Suy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z đường tròn (C) : x  y  với   R  Gọi A(1;1)  z   i  MA IA   R  A nằm đường tròn (C) Khi MA max  IA  R  2 Dấu xảy I trung điểm MA  M (1; 1) a   P  12  2.(1)  Chọn C Vậy z   i z   i  2   b  1 Câu 24: Gọi M ( z ); A(1; 1); B( 1;1) từ giả thiết suy MA = MB nên M thuộc đường thẳng trung trực AB có phương trình y  x( d ) Gọi H (1;5); K (2; 1)  P  MH  MK , điểm H, K phía so với đường thẳng d Gọi H’ điểm đối xứng d : y  x Ta có: HH ' : x  y   I(3;3)  H'(5;1) Lại có: P  MH  MK  MH ' MK  H ' K Dấu xảy  M  H ' K  d Phương trình đường thẳng H’K là: x  y   6  3 Suy M    ;   a  b  Chọn B  5 Câu 25: Ta có: z   i  z  3i  z  3i  z  3i Gọi M ( z ); A(2; 1); B(0; 3) suy MA = MB nên M thuộc đường thẳng trung trực AB có phương trình z  y   0(d ) Gọi H (0;1); K (2;0)  P  MH  MK , điểm H, K phía so với đường thẳng d Gọi H’ điểm đối xứng d : z  y  Ta có: HH ' : x  y    I(1;0)  H'( 2; 1) Lại có: P  MH  MK  MH ' MK  H ' K Dấu xảy  M  H ' K  d Phương trình đường thẳng H’K là: x  y    3 Suy M    ;   2a  b   Chọn C  5 Câu 26: Gọi M ( z ); A(1; 2), B(1;0) Khi z   2i  z   MA  MB  M thuộc trung trực AB có phương trình x  y   (d) Gọi I (1; 2); J(0;1)  P  MI  MJ  ME  IJ 2  1  (với E  ; là trung điểm IJ) 2  Do Pmin  MEmin hay M hình chiếu vng góc E xuống d, EM : x  y   M  EM  d  M  1;0   a  b  Chọn A Câu 27: Gọi M ( z ); A(3;1), B( 1; 1) Khi z   i  z   i  MA  MB  M thuộc trung trực AB có phương trình x  y   (d) Gọi I (1;1); J( 2; 1)  P  MI  MJ  ME  IJ 2  1  (với E  ;0 là trung điểm IJ)   Do Pmin  MEmin hay M hình chiếu vng góc E xuống d, EM : x  y  0 13  3  M  EM  d  M  ;  a  b  Chọn A 10  10  Câu 28: Ta có   z   i  z     i nên z   2i     i   2i     i Khi z   2i      i  nên  max      2i Suy z     i   2i   i   3i  z  32  (3)  Chọn B Câu 29: Xét hai cách giải: Cách 1: Gọi z  x  yi ( x, y  ¡ )  M ( x, y ) 2 Và A(1;0), B(1;0) Ta có z   x  yi   x  y   M thuộc đường trịn đường kính AB  MA2  MB  AB  Khi đó, theo Bunhiacopxki, ta có T  MA  2MB  (12  2 )( MA2  MB )  5.4  Vậy giá trị lớn biểu thức maxT=2 Chọn A Cách 2: Đặt z  x  yi (x, y  ¡ )  z   (x  1)  y z   (x  1)  y Mặt khác z   x  y   x  y  , T  (x  1)2  y  ( x  1)  y  (12  22 ) ( x  1)  y  ( x  1)  y   10( x  y  1)  10.2   max T  Câu 30: z  z   ( z  1)2   ( z  1)  (2i)  ( z   2i)( z   2i)  z   2i Khi đó, giả thiết  ( z   2i )( z   2i)  ( z   2i )( z  3i  1)    z   2i  z  3i  TH1 Với z   2i , ta có w  z   2i   2i   2i  1  w  TH2 Với z   2i  z  3i  (*), đặt z  x  yi (x, y  ¡ ) , ta có 2 2 (*)  x   ( y  2)i  x   ( y  3)i  ( x  1)  (y  2)  ( x  1)  (y 3)  y   Do w  z   2i  x  i   2i  x   i  w  ( x  2)   2 So sánh hai trường hợp, ta giá trị nhỏ  Chọn A 2 Câu 31: Đặt z  x  yi (x, y  ¡ ) nên z  i   ( z  yi )  i   x  y  (2 xy  1)i   ( x  y )2  (2 xy  1)2   x  y  xy  x  y  xy  x  y  2( x  y )  x  y   z  Chọn D Câu 32: Ta có iz  2  iz    iz  i   iz  i    z   i  z   i  1 i i 1 Gọi A(1;1), B (1; 1) có trung điểm O(0;0) Điểm M biểu diễn số phức z Theo cơng thức trung tuyến z  OM  Ta có MA  MB 2  MA  MB   2  MA2  MB AB  8 42  Do z     z  2 Lại có  z   i  z   i  z   i  z   i  z  z  Vậy M  2; m   M m  2 Chọn C Câu 33: Đặt z  x  yi (x, y  ¡ ) ,  z  2i x  ( y  2)i  x  ( y  2)i   x   yi    z2 x   yi ( x  2)  y x  y  x  y  2( x  y  2)i số ảo  x  y  x  y   x  y  2( x  y ) ( x  2)  y Suy 2( x  y )  x  y  ( x  y)2  ( x  y )  4( x  y )   x  y  Ta có P  z   z  i  ( x  1)  y  x  ( y  1)  x  y  x   x  y  y   y   x   x  y     Vậy Pmax  Chọn C Câu 34: z.z   z  nên tập hợp biểu diễ số phức z đường tròn (C1 ) tâm O, R = Lại có z   i  m nên tập hợp biểu diễn số phức z đường tròn (C2 ) tâm I ( 3;  1), R'  m OI  R  R ' m   Yêu cầu toán  (C1 ), (C2 ) tiếp xúc tiếp xúc   OI  R  R ' m  Chọn A Câu 35: Đặt z  x  yi (x, y  ¡ ) , ta có z   z  z   x   yi  x   y2  y2  (2 x  1)  (2 y)  (2 x  3)  x    z   ( x  8)  y      y 2   2 2  y2  1 Xét hàm số f ( x)      y  y  y  81  ( y  16)  17  17 4   y   x  Suy f ( y )  17 Dấu xảy y  16    y  4  x  Vậy tổng hai phần thực hai số phức 14 Chọn C 2 Câu 36: z  x  y mà z   x  y  (*) Lại có P  x  y  y  x  P vào (*), ta x  4( x  P )   x  x  Px  P   5x  8P.x  P   (**) Phương trình (**) có nghiệm   '  (4 P)  5(4 P  1)    P2    5 5 Chọn A P  P   ; max  2 2 Câu 37: Đặt z  x  yi (x, y  ¡ )  z   ( x  2)  y ; z   ( x  2)  y Mặt khác z   x  y   x  y  , T  ( x  2)  y  ( x  2)  y  (12  2 ) ( x  2)  y  ( x  2)  y   10( x  y  4)  10.5   max T  Vậy giá trị lớn biểu thức T T  Chọn D ... 12 D Pmax  Câu 3: Cho số phức z thỏa mãn z   2i  Tìm giá trị lớn z A  B 2  C  D  Câu 4: Trong số phức z thỏa mãn z   4i  Gọi z0 số phức mơđun nhỏ Tìm mơđun số phức z0 A zo  B zo ... độ, tìm số phức z có mơđun nhỏ nhất, biết số phức z thỏa mãn điều kiện z   4i  A z  1  2i B z   2i C z   2i D z  1  2i Câu 2: Cho số phức z thỏa mãn z   4i  Tìm giá trị lớn biểu... 2i số ảo Tìm giá trị lớn P  z   z  i z2 B C D Câu 34: Gọi S tập hợp tất giá trị thực tham số m để tồn số phức z thỏa mãn z.z  z   i  m Tìm số phần tử S A B C D Câu 35: Biết tồn hai số