TÍNH NHANH cực TRỊ số PHỨC CASIO by BH HK

TÍNH NHANH CỰC TRỊ SỐ PHỨC DẠNG ĐOẠN THẲNG VÀ ELIP Bài viết này vận dụng khả năng sử dụng máy tính cầm tay để giải quyết bài toán max – min với một dạng bài toán đã từng xuất hiện trong

TÍNH NHANH CỰC TRỊ SỐ PHỨC DẠNG ĐOẠN THẲNG VÀ ELIP

Bài viết này vận dụng khả năng sử dụng máy tính cầm tay để giải quyết bài toán max – min với một dạng bài toán đã từng xuất hiện trong đề tham khảo của BGD và các dạng toán mở rộng

Xét bài toán: z  z1 z z2 k Tìm max min của P z z3

Khi đó ta sẽ có các trường hợp sau:

- Nếu z1z2 k thì ta có quỹ tích của z là một đoạn thẳng

- Nếu z1z2 k thì ta có quỹ tích của z là một elip (chưa chuẩn hóa)

- Nếu z1z2 k ta không xét đến trường hợp này

Để biết được bài toán thuộc dạng nào thì trước tiên ta phải kiểm tra trước z1z2

Bài toán 1: Quỹ tích là đoạn thẳng

Ta xét lại bài toán: z  z1 z z2 k Tìm max min của P z z3

Khi đó: MA MB k  với M là điểm biểu diễn số phức z vào M thuộc AB và nằm giữa A và B, A là điểm biểu diễn z1, B là điểm biểu diễn z2

Quy trình thực hiện: Tính toán trong môi trường số phức w2

- Bước 1: Gán các số phức z1, , z2 z3lần lượt vào các biến A B C, , trong máy tính Quy ước z1  z2

- Bước 2: Kiểm tra z1z2 k (Bước này để kiểm tra là dạng nào)

- Bước 3: Viết phương trình đoạn thẳng AB Sử dụng nhanh w51 giải hệ 2 1

ax b y

ax b y

 



  

1 1 1, 2 2 2

z  x y i z x y i Khi đó:

 Nếu A B, cùng nằm về một bên của Oy thì 2 3

1 3

max min

P z z

P z z





 

 Nếu A B, nằm về hai bên của Oy thì max 2 3

min C AB

P z z

P d 









Một bài toán tương tự z  z1 z z2 k Tìm max min của P z z3

Khi đó: MA MB k  thì khi đó M không còn thuộc đoạn AB nữa nên sẽ không tồn tại max Khi đó

2 3

min P z z

Xét cái ví dụ:

VD 1 [Đề MH lần 3 – 2017] Cho số phức z thỏa mãn z    2 i z 4 7i 6 2 Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P  z 1 i. Tính Mm

A 13 73 B 5 2 73 C 5 2 2 73

2



2



Vào w2 gán lần lượt các số phức z1    2 i A z, 2   4 7i B z, 3   1 i C

Tiếp theo: ta kiểm tra điều kiện z1z2 Ở đây ta thấy z1z2 k suy ra đây là bài toán đoạn thẳng

Để ý: hai điểm A B, nằm về hai bên của Oy thì max 2 3

min C AB

P z z

P d 









Tìm max:

Tìm min:

Phương trình đoạn thẳng AB x:    y 3 0 minPd CAB

2

Vậy khi đó ta có:

Chọn C

VD 2 [Thầy Lê Bá Bảo] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z    1 i z 3 2i  5 Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của P z 2 i Tính Mm

A 5 5 10

5



Vào w2 gán lần lượt các số phức z1   1 i A z, 2   3 2i B z, 3   2i C

Tiếp theo: ta kiểm tra điều kiện z1z2 Ở đây ta thấy z1z2 k suy ra đây là bài toán đoạn thẳng

 Để ý: hai điểmA B, cùng nằm về một bên của Oy thì 2 3

1 3

max min

P z z

P z z





 

Tìm max:

Tìm min:

Vậy khi đó ta có:

Chọn B

VD 3 [Facebook] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 2i   z 1 3i  34 Tìm giá trị nhỏ nhất của 1

z i

Vào w2 gán lần lượt các số phức z1   1 i A z, 2   3 2i B z, 3   2i C

Tiếp theo: ta kiểm tra điều kiện z1z2 Ở đây ta thấy z1z2 k suy ra đây là bài toán đoạn thẳng

Tuy nhiên, ta phải để ý rằng bài toán này có dạng MA MB k cho nên M không còn thuộc đoạn AB nữa nên sẽ không tồn tại max Khi đó min P z2z3

Chọn D

Vận dụng:

Câu 1 [Thầy Lê Bá Bảo] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z    1 i z 3 2i  5 Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z Tính M m

A 5 5 13

5



Câu 2 [Thầy Lê Bá Bảo] Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z    2 i z 2 3i 2 5 Gọi M m, lần lượt

là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z Tính M m

A 5 5 13

5



1 C 2 A

Chính tắc hóa phương trình elip – xoay elip về dạng chuẩn u a     u a 2 c

Ta xét bài toán: z  z1 z z2 k Với z1z2 k thì ta có quỹ tích của z là một elip (chưa chuẩn hóa)

Ta tiến hành chuẩn hóa elip để về elip chuẩn Với một elip chuẩn ta thường có:

Tâm đối xứng là O 0;0 hai tiêu điểm F1c;0 ,  F c2 ;0 thỏa mãn E MF: 1MF2 2 a z  z1 z z2 k,

1 2 2 1 2 2

F F  c z z  c với ac Phương trình chính tắc

a b 

1 2

1 2

u

z z

- Bước 1: Gán các số phức z1, z2lần lượt vào các biến A B, trong máy tính

- Bước 2: Kiểm tra z1z2 k

- Bước 3: Tính z1z2 và tâm elip:

2

AB

khi đó ta có: 1 2

z z u

z

z z





- Bước 4: Tính ,

A B k

- Bước 5: Suy ra elip

VD Chuyển elip sau về dạng chính tắc: z 3 4i   z 1 2i 8

Gán các số phức z1   3 4i A z, 2   1 2i B và kiểm tra z1z2 k

Tính z1z2 và tâm elip:

2

AB

4 6

u

i

Ta có: 8 4, 13

2

a  c Khi đó chuẩn hóa elip ta được

C

E u c  u c  ac u  u 

Làm nhanh hơn nữa ta cần nhớ cách sau:

:

C

E u z z   z   u z z   z  k z z

Ta vẫn gán Gán các số phức z1   3 4i A z, 2   1 2i B và kiểm tra z1z2 k

2

z z

z z   z 

Bấm: qcq22QzpQx)(aQz+Qx$2$pQz)=

Tính k z1z2

Bấm: 8qcq22QzpQx)=

Khi đó ta có u26  u 26 16 13 là phương trình elip đã được chuẩn hóa

Cách trên chỉ có ba bước bấm hoàn toàn, không cần nhiều

Việc xoay elip về dạng chuẩn, sẽ giúp ta dễ dàng đưa về phương trình elip chính tắc – dạng mà chúng ta quen thuộc hơn rất nhiều Đồng thời xoay elip cũng là một cách để giải quyết bài toán max – min trong elip sẽ được

đề cập phần sau đây

Vận dụng:

Câu 1 Chuẩn hóa elip sau: z     2 i z 2 i 2 10

Câu 2 Chuẩn hóa elip sau: 2 2 4

Đáp án:

Câu 1 u10 u 10 20 2 Câu 2 u   4 u 4 8 2

Bài toán 2: Quỹ tích là elip

Xét bài toán: z  z1 z z2 k Tìm max min của P z z3

Với z1z2 k thì ta có quỹ tích của z là một elip

Quy trình giải:

Cách 1: Chuẩn hóa elip

- Bước 1: Chuẩn hóa elip về dạng chuẩn Chuẩn hóa môđun cần tính

1 2

1 2

2

z z

P

k z z





- Bước 2: Viết phương trình elip dạng chính tắc

Sau khi chuẩn hóa elip sẽ về dạng chuẩn: z   c z c 2a

Ta có a c, ac và 2 2

b a c Khi đó ta thu được:

a b  Chính là phương trình elip chính tắc cần tìm Giả sử với a là nữa độ dài trục lớn nên max z a, b là nửa độ dài trục bé nên min z b

- Bước 3: Tìm max – min

Từ

1 2

1 2

2

z z

P

k z z





 kết hợp với

max min

z a

z b







1 2

1 2

max

min

a P

k z z b P

k z z



 



Cách 2: Sử dụng máy tính cầm tay

Quy trình thực hiện: Tính toán trong môi trường số phức w2

- Bước 1: Gán các số phức z1, , z2 z3lần lượt vào các biến A B C, , trong máy tính

- Bước 2: Kiểm tra z1z2 k (Bước này để kiểm tra là dạng elip)

- Bước 3: Tính các đại lượng

2 2

2

2

k a

A B c

 







 









- Bước 4: Xét max – min

 Đối với : max

min

z a z

z b







 Đối với

3 3

3

max

2 :

min

2

A B

z z

A B

       



 





VD 1 [Facebook] Cho số phức z thỏa mãn z 3 4i   z 1 2i 8 Tìm giá trị lớn nhất của P  z 1 i

Cách 1:

Gán các số phức z1   3 4i A z, 2   1 2i B z, 3   1 i C

Chuẩn hóa elip: u26  u 26 16 13 Chuẩn hóa môđun 2

A B

u P

k A B



    

Viết phương trình elip chính tắc:

2

16 13

8 13, 26 8 13 26 8 13 26 2 39 2

Suy ra phương trình elip cần tìm là:

1 max 8 13

832 156

u

max 8 13

2 13 2 13

u P

Cách 2:

Vẫn gán các số phức vào các biến như trên

Kiểm tra: z1z2 k

Tính

2 2

13 2

3

k

a

a

A B

b

 













2

A B

z  i IC a      C a

Chọn A

VD 2 [Facebook] Cho số phức z thỏa mãn 2z 1  i 2 z 1 i 4 2 Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z Tính M m

A M  m 4 2 B M  m 2 2 C M  m 2 2 2 D M  m 4 2 2

Chia cả hai vế cho 1 i : 2z 1  i 2 z 1 i 4 2      z 1 i z 1 i 4

Gán các số phức vào các biến: z1   1 i A z, 2   1 i B

Kiểm tra: z1z2 k

Tính

2 2

2 2

2

k

a

a

A B

b

 













z a

z b



 

Vận dụng:

Câu 1 [Facebook] Cho số phức z thỏa mãn z     2 i z 2 i 2 10 Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất

và giá trị nhỏ nhất của z 6 3 i Tính M2m2

Câu 2 [THCN – ĐHTN] Cho số phức z thỏa mãn 2 2 4

  Gọi M m, lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z Tính M m

A M m 1 B M m 2 C M m. 2 2 D M m 2 3

Đáp án: 1D 2C

Ý tưởng CASIO: Bình Hoàng (Đoạn thẳng) và Hiura Kirina (Dũng – Elip)

Rewrite: Bình Hoàng

Tài liệu tham khảo

- Tư duy siêu nhanh giải Casio max min số phức

Link driver: https://goo.gl/bHQuQk

- Phát triển thêm một tẹo đề minh họa lần 3 số phức

Link driver: https://goo.gl/hR4F6r

Trong quá trình gõ lại không thể tránh khỏi những sai sót Kính mong bạn đọc phát hiện và góp ý! Xin cảm ơn!