Phương trình xác định tần số và dạng dao động riêng

C. Thu gọn dữ liệu

PHÁP ĐỘ CỨNG ĐỘNG LỰC

2.5.2. Phương trình xác định tần số và dạng dao động riêng

Bài toán xác định các dao động riêng của kết cấu dẫn đến bài toán tìm các tần số và dạng dao động riêng của hệ phương trình

 ˆ ( ) 0 ˆ ( ) 0

K  U

  

  (2.79)

với các tần số riêng     1 1  n được xác định từ phương trình tần số

ˆ

detK( )   0 (2.80) Như vậy, để tìm dạng dao động riêng của kết cấu trước hết là giải phương

trình đại số siêu việt (2.80) để tìm tần số dao động riêng trong một dải tần nào đó dựa trên định lý phân bố nghiệm Wittrick – Williams [116]. Đối với các bài toán có kích thước nhỏ, có thể sử dụng cách tìm nghiệm theo thuật toán chia đôi (bisection

method). Đối với các bài toán có kích thước lớn hơn hay phức tạp hơn, để đảm bảo

không có tần số bị bỏ qua trong quá trình tìm kiếm, có thể thực hiện hai bước: - Bước thứ nhất, ta sử dụng các phương pháp lặp phổ thông nhất, như là thuật

toán chia đôi, để tìm các khoảng nghiệm có thể có.

- Bước thứ hai, trong các khoảng nghiệm ta sử dụng một hoặc kết hợp các thuật toán dò tìm có độ chính xác cần thiết theo yêu cầu.

Một trong các thuật toán này là phương pháp dây cung (secant method) và phương pháp Newton–Raphson. Trong MatLab® có chương trình con "fzero.m" là chương trình dò tìm nghiệm kết hợp các phương pháp chia đôi, dây cung và nội suy bậc hai ngược (inverse quadratic interpolation methods) đáp ứng được yêu cầu độ chính xác bài toán dò tìm tần số (hình 2.8).

Sau khi có được tần số riêng j theo cách nêu trên, ta sẽ tìm dạng dao động riêng tương ứng bằng cách thay trực tiếp tần số j vào [Kˆ()] để được một ma trận [K*] tương ứng. Sử dụng điều kiện biên của kết cấu, ta nhận được ma trận giản lược [Kgl], từ đó áp dụng phương pháp tìm các véc tơ riêng độc lập của ma trận [Kgl].

Hình 2.8: Phương pháp dò tìm tần số bằng phương pháp (a) Chia đôi, (b) Newton - Raphson

a) f(2) f(1) f(3) 1 3 2 4 f'() f()  b a 0 Nghiệm chính xác f'() f'(3) b)

Phương trình (2.79) tương ứng với mỗi tần số riêng xác định sẽ được giải trực tiếp để xác định biên độ dạng dao động riêng tại nút kết cấu, hoặc dùng phương pháp tách véc tơ riêng [113] như sau:

Giả sử      1, 2, ,n là trị riêng của ma trận [Kgl], tương ứng có

     1, 2, ,n là các véc tơ riêng. Ký hiệu   là ma trận không ngoại trừ các số hạng trên đường chéo là j, như vậy, ta có quan hệ:

     T

K  U  U (2.81)

Cột thứ j của  U chính là véc tơ riêng của [Kgl] là véc tơ biên độ dạng dao động riêng tại nút của hệ kết cấu.