C. Thu gọn dữ liệu
1.5. Phương pháp độ cứng động lực
Khi ứng dụng phương pháp phần tử hữu hạn vào các bài toán động lực học, chỉ có một chỗ duy nhất mà ta phải xấp xỉ trường chuyển vị trong phần tử bằng trường chuyển vị tĩnh, tức là đã bỏ qua yếu tố động lực học của trường chuyển vị. Nếu ta chọn các hàm dạng của phần tử hữu hạn là trường chuyển vị động thỏa mãn phương trình cân bằng động thì phương pháp phần tử hữu hạn không còn là một phương pháp gần đúng mà là một phương pháp chính xác. Phương pháp độ cứng động lực (ĐCĐL) đã ra đời trên cơ sở ý tưởng này [8],[58].
Để chọn được các hàm dạng chuyển vị động, ta phải xét bài toán cân bằng động của phần tử hữu hạn trong miền tần số, tức là xét chuyển động với biên độ phức phụ thuộc vào tần số. Sau đó, các bước thực hiện của phương pháp ĐCĐL về hình thức không khác gì phương pháp phần tử hữu hạn thông thường.
Trong miền tần số, phương trình của phương pháp phần tử hữu hạn (1.3) là Kˆ Uˆ Pˆ (1.14) trong đó 2 ˆ K K i C M (1.15)
Ma trận [Kˆ()] được gọi là ma trận độ cứng động lực, là hàm của tần số và phụ thuộc tuyến tính vào các ma trận khối lượng, cản và độ cứng. Véc tơ Uˆ(), Pˆ() lần lượt được gọi là biên độ phức của chuyển vị nút và tải trọng nút. Như vậy, bài toán động lực học của hệ đàn hồi dẫn đến giải hệ phương trình đại số đối với chuyển vị trong miền tần số, nghĩa là cho tất cả các tần số trong một dải tần nào đó. Công việc chính của phương pháp độ cứng động lực là xây dựng ma trận độ cứng động lực [Kˆ()] và véc tơ tải trọng quy về nút Pˆ() .
Các bài toán cơ bản trong phân tích hệ đàn hồi sử dụng phương pháp độ cứng động lực bao gồm [9]:
a) Bài toán phân tích tĩnh có dạng
0
ˆ(0) ˆ ˆ(0)
K U P
(1.16)
kết quả cho ta chuyển vị tĩnh của nút Uˆ0 .
b) Bài toán dao động riêng có dạng
Kˆ ( ) 0 (1.17)
trong đó các tần số riêng j được xác định từ phương trình
ˆ
detK( ) 0 (1.18)
Các dạng riêng j tương ứng với tần số riêng j được tìm từ (1.17).
c) Bài toán dao động cưỡng bức với kích động điều hoà là bài toán tổng quát (1.14)
nêu trên.
d) Bài toán ổn định theo tiêu chuẩn ổn định động lực học đưa về bài toán xác định
tải trọng tới hạn P sao cho
ˆ
detK( , ) P 0 (1.19)
Tải trọng tới hạn P được xác định từ điều kiện tần số dao động riêng là một số phức có phần ảo âm. Khi đó hệ sẽ mất ổn định do sự tăng dần biên độ chuyển động của các chuyển động bé của hệ ở lân cận vị trí cân bằng.
Khai triển ma trận độ cứng động lực ra chuỗi Taylor theo tần số cho ta
2 3
ˆ ( ) ( )
K K i C M o
(1.20)
trong đó [K], [M], [C] là các ma trận của phương pháp phần tử hữu hạn thông thường. Như vậy, phương pháp độ cứng động lực bao hàm phương pháp phần tử hữu hạn như là một trường hợp riêng.
Do các phương pháp giải tích chỉ giới hạn trong các kết cấu dầm đơn giản [2], [36], [69],... và không áp dụng được cho các kết cấu hệ thanh phức tạp như dầm liên tục nhiều nhịp hay kết cấu khung, nên cho đến nay việc xác định các đặc trưng động lực học của kết cấu hệ thanh chủ yếu dựa vào phương pháp phần tử hữu hạn và sự phát triển gần đây của nó là phương pháp ĐCĐL. Khi đó thanh được chia thành nhiều phần tử thanh nguyên vẹn liên kết với nhau tại các vết nứt [53]. Kết hợp phương pháp ĐCĐL và phương pháp ma trận chuyển (MTC), trong các công trình nghiên cứu của Nguyễn Tiến Khiêm và Trần Văn Liên [8], [68], đã xây dựng được mô hình phần tử thanh thẳng 3 chiều có nhiều vết nứt chịu kéo, nén, uốn, xoắn. Mô hình này đã được ứng dụng để xác định số lượng, vị trí và độ sâu của thanh có nhiều vết nứt dựa trên các tần số riêng đo được từ thực nghiệm. Tuy vậy, việc xác định
dạng dao động riêng ứng với các tần số riêng đo được còn tồn tại chưa nghiên cứu.
Để xác định được các dạng dao động riêng thì cần thiết phải xác định hàm dạng dao động cho phần tử dầm chịu, kéo, nén, uốn, xoắn với tham số là vị trí và độ sâu của các vết nứt, hoặc có kể đến các hệ số cản khác nhau. Vấn đề này khá phức tạp và chưa thấy công bố trong công trình nào.