- 39 TNKQ TL TNKQ TL TNKQ TL
2.1.2. Chủ đề phương trỡnh trong chương trỡnh Toỏn THPT hiện nay
Chương trỡnh THPT phõn ban mới (thực hiện từ năm học 2006 – 2007) chia thành 3 ban (Ban cơ bản, Ban KHTN và Ban KHXH&NV). Chương trỡnh THPT gồm chương trỡnh chuẩn cho tất cả cỏc mụn học; trờn cơ sở chương trỡnh chuẩn xõy dựng chương trỡnh nõng cao cho tỏm mụn phõn húa (Toỏn, Lớ, Húa, Sinh, Ngữ văn, Sử, Địa,Tiếng nước ngoài). Bộ SGK gồm hai loại được biờn soạn trờn cơ sở của hai chương trỡnh nờu trờn. SGK được biờn soạn theo chương trỡnh chuẩn cho tất cả cỏc mụn và SGK biờn soạn theo chương trỡnh nõng cao cho tỏm mụn phõn húa (Toỏn, Lớ, Húa, Sinh, Ngữ văn,
- 44 -
Sử, Địa,Tiếng nước ngoài). Chủ đề PT trong mụn toỏn THPT ở hai chương trỡnh (chương trỡnh chuẩn và chương trỡnh nõng cao) cú sự khỏc biệt tương đối cả về kiến thức và kĩ năng. Sự khỏc biệt này được quy định trong chuẩn kiến thức và kĩ năng (Phụ lục 1).
2.1.2.1. Mục tiờu dạy học chủ đề PT
Chương trỡnh Toỏn quy định cụ thể MT dạy học chủ đề PT về kiến thức và kĩ năng trong Chuẩn kiến thức và kĩ năng (tham khảo Phụ lục 1). Theo
Nguyễn Bỏ Kim [12,tr.67-68], mục đớch yờu cầu dạy học PT là:
(1) HS nắm vững khỏi niệm PT và những khỏi niệm liờn quan: nghiệm của PT, giải PT, quan hệ giữa hai PT.
Thụng qua chủ đề PT cần củng cố và đào sõu một số kiến thức về tập hợp và lụgic toỏn, cụ thể là những khỏi niệm tập hợp, phần tử, quan hệ bao hàm, quan hệ giao nhau giữa hai tập hợp, cỏc phộp toỏn tập hợp, giao của hai tập hợp, cỏc phộp toỏn lụgớc “kộo theo” và “tương đương”.
(2) HS cú kĩ năng giải PT, thành thạo với việc giải PT theo thuật giải, theo cụng thức hoặc theo một hệ thống quy tắc biến đổi xỏc định, chẳng hạn PT bậc nhất một ẩn, PT bậc hai một ẩn, hệ PT bậc nhất hai ẩn, PT trựng phương, đồng thời biết linh hoạt vận dụng những kiến thức về giải PT theo nội dung, chẳng hạn PT cú dấu giỏ trị tuyệt đối, một số PT mũ và PT lụgarit; biết nhỡn khỏi niệm PT về cả mặt ngữ nghĩa lẫn mặt cỳ phỏp trong giải PT.
HS biết cỏch giải PT bằng đồ thị, thụng qua đú HS thấy được mối liờn hệ giữa PT và hàm số. HS cú kĩ năng giải bài toỏn bằng cỏch lập PT, nhất là đối với PT bậc nhất và bậc hai, thụng qua đú rốn luyện khả năng toỏn học húa những tỡnh huống thực tế.
(3) HS được phỏt triển về tư duy thuật giải trong việc giải PT theo thuật giải hoặc theo một hệ quy tắc xỏc định, được rốn luyện về tớnh linh hoạt và khả năng sỏng tạo, đặc biệt là trong việc giải những PT theo nội dung, những PT khụng mẫu mực.
- 45 -
(4) HS được rốn luyện về tớnh quy củ, tớnh kế hoạch, tớnh kỉ luật trong việc giải PT theo thuật giải, theo cụng thức hoặc theo một hệ thống quy tắc biến đổi xỏc định, được giỏo dục về tớnh cẩn thận, chớnh xỏc và thúi quen tự kiểm tra trong việc giải PT.
HS thấy rừ ý nghĩa thực tế của PT thụng qua việc giải những bài toỏn cú nội dung vật lớ, kĩ thuật và thực tế.
2.1.2.2. Một số lưu ý khi dạy học giải phương trỡnh
a) Dạy học biến đổi phương trỡnh
Khi dạy học giải cỏc bài toỏn về PT, người ta thường hướng dẫn HS biến đổi PT đó cho về những PT đơn giản hơn và cuối cựng dẫn đến PT đó biết cỏch giải.
Biến đổi PT, hiểu theo nghĩa rộng, bao gồm những phộp biến đổi đồng nhất và những phộp biến đổi biến số (đặt ẩn phụ).
Theo Nguyễn Huy Tõn [25,tr.8], khi thực hiện phộp biến đổi đồng nhất
cần quan tõm đến miền xỏc định (điều kiện của PT). Khi sử dụng những biến đổi đồng nhất khụng làm thay đổi miền xỏc định của biểu thức biến đổi thỡ ta được PT tương đương. Khi sử dụng những phộp biến đổi đồng nhất làm thay đổi miền xỏc định của biểu thức biến đổi thỡ núi chung ta được PT khụng tương đương với PT đó cho. Nếu phộp biến đổi làm cho miền xỏc định mở rộng, núi chung dẫn đến PT hệ quả (cú thể thờm nghiệm) khi đú ta cần phải thử lại nghiệm tỡm được vào PT đầu để loại những nghiệm ngoại lai. Nếu phộp biến đổi làm thu hẹp miền xỏc định, núi chung sẽ làm mất nghiệm của PT đầu, ta cần phải căn cứ vào phộp biến đổi đú để tỡm những nghiệm đó mất. Việc thử nghiệm để loại những nghiệm ngoại lai, hoặc việc tỡm lại những nghiệm đó mất sẽ gõy những khú khăn trong khõu tớnh toỏn. Việc làm đú càng khú khăn hơn nếu HS khụng nắm chắc được những căn cứ làm thay đổi miền nghiệm của PT trong quỏ trỡnh biến đổi. Do vậy, khi thực hiện phộp biến đổi đồng nhất phải chỳ ý đến những phộp biến đổi đồng nhất làm thay đổi miền xỏc định.
- 46 -
Khi biến đổi PT cú thay đổi biến (đặt ẩn phụ) ta cần lưu ý cho HS về quan hệ hai miền xỏc định của hai PT đối với hai biến. PT f x 0, với xX
biến đổi thành PT g t 0, với tT, phải đảm bảo với mỗi tT ta đều tỡm
được xX và ngược lại, cú vậy hai bài toỏn này mới tương đương.
b) Giải quyết hợp lớ mối liờn hệ giữa hai phương diện ngữ nghĩa và cỳ phỏp.
Trong toỏn học, người ta phõn biệt cỏi kớ hiệu và cỏi được kớ hiệu, cỏi biểu diễn và cỏi được biểu diễn. Nếu xem xột phương diện những cỏi kớ hiệu, những cỏi biểu diễn, đi vào cấu trỳc hỡnh thức và những quy tắc hỡnh thức để xỏc định và biến đổi chỳng, thỡ đú là phương diện cỳ phỏp. Nếu xem xột phương diện những cỏi được kớ hiệu, những cỏi được biểu diễn, tức là đi vào nội dung, vào nghĩa của những cỏi kớ hiệu, những cỏi biểu diễn thỡ đú là phương diện ngữ nghĩa [12,tr.80]. Hai phương diện này cũng phản ỏnh hai loại hỡnh tư duy quan trọng trong toỏn học: tư duy ngữ nghĩa và tư duy cỳ phỏp.
Việc dạy học PT cú thể được khai thỏc tốt để rốn luyện cho HS cả hai loại hỡnh tư duy và hoạt động núi trờn. Muốn vậy ta cần giải quyết hợp lớ mối quan hệ giữa hai phương diện ngữ nghĩa và cỳ phỏp trong dạy học chủ đề này. Nhiều cụng trỡnh nghiờn cứu đó vạch rừ rằng trong việc dạy học PT, ban đầu cần chỳ trọng chủ yếu là phương diện ngữ nghĩa, càng về sau càng tăng cường thờm những yếu tố về mặt cỳ phỏp nhưng khụng bao giờ được lóng quờn mặt ngữ nghĩa. [12,tr.81]
Giải PT là phần quan trọng trong KT-ĐG chủ đề PT, bởi vậy, khi xõy dựng cỏc đề KT-ĐG, GV cần lưu ý và dự kiến cỏc biến đổi PT mà HS sẽ sử dụng và những khú khăn mà HS cú thể gặp phải, cỏc tư duy cỳ phỏp và ngữ nghĩa hàm chứa trong cỏc bài toỏn PT. Cú như vậy, chỳng ta mới xỏc định được yờu cầu về mức độ nhận thức của mỗi bài tập kiểm tra.
- 47 -
a) Nội dung chủ đề PT trong hai bộ SGK Đại số 10 (Chương III – 10
tiết) và Đại số 10 nõng cao (Chương III – 16 tiết): + Đại cương về PT:
- Trỡnh bày khỏi niệm PT và cỏc khỏi niệm liờn quan (nghiệm, giải
PT,...).
- Cỏc khỏi niệm PT tương đương, PT hệ quả, cỏc phộp biến đổi tương
đương và phộp biến đổi hệ quả. + PT quy về PT bậc nhất, bậc hai:
- Cỏch giải và biện luận PT ax b 0 và cỏc dạng PT đưa về dạng PT bậc
nhất này.
- Cỏch giải và biện luận PT 2
0
ax bx c và cỏc dạng PT đưa về dạng PT bậc hai này.
- Hệ thức Vi-ột cho PT bậc hai và cỏc ứng dụng.
- Giải bài toỏn bằng cỏch lập PT.
+ PT và hệ PT bậc nhất nhiều ẩn:
- Hệ hai PT bậc nhất hai ẩn.
- Cỏch giải hệ PT bậc nhất hai ẩn.
- Vớ dụ về hệ PT bậc nhất ba ẩn.
- Giải bài toỏn bằng cỏch lập hệ PT.
Ngoài những nội dung trờn, Đại số 10 nõng cao cú thờm cỏc nội dung:
+ Một số hệ PT bậc hai hai ẩn:
- Hệ PT bậc hai hai ẩn gồm một PT bậc nhất và một PT bậc hai.
- Hệ PT đối xứng với hai ẩn.
b) Cỏc dạng cõu hỏi và bài tập chủ đề PT trong SGK (Đại số 10 và Đại
số 10 nõng cao) gồm:
+ Kiểm tra tớnh tương đương của cỏc PT. + Bài tập giải PT và hệ PT với cỏc dạng:
- 48 -
- Giải PT bằng cỏch tỡm tập xỏc định, và tập xỏc định thường là tập rỗng
hoặc chỉ cú một vài phần tử, từ tập xỏc định chỳng ta khẳng định được tập nghiệm của PT.
- Giải PT bằng cỏch sử dụng hai phộp biến đổi tương đương được học
(cộng hai vế PT với cựng một biểu thức cú nghĩa trờn tập xỏc định của PT, nhõn hai vế của PT với cựng một biểu thức khỏc 0 trờn tập xỏc định của PT).
- Giải PT bậc hai bằng cỏch sử dụng cụng thức nghiệm.
- Giải PT chứa dấu giỏ trị tuyệt đối, PT chứa dấu căn bậc hai, PT chứa ẩn
ở mẫu thức.
- Giải một số PT quy về PT bậc nhất, bậc hai bằng phương phỏp đổi biến số.
- Giải một số PT bằng cỏch sử dụng tớnh chất của hàm số, sử dụng bất
đẳng thức.
- Giải hệ PT bậc nhất hai ẩn bằng phương phỏp thế, phương phỏp cộng
đại số, hoặc bằng cụng thức định thức Crame.
- Giải hệ PT hai ẩn gồm một PT bậc nhất và một PT bậc hai, hệ đối xứng.
- Giải bài toỏn bằng cỏch lập PT, hệ PT.
+ Cỏc bài tập liờn quan đến hệ thức Vi-ột:
- Tớnh giỏ trị của một biểu thức chứa tổng và tớch cỏc nghiệm của PT bậc hai.
- Xột dấu cỏc nghiệm của PT bậc hai.
- Tỡm điều kiện để PT bậc hai cú nghiệm thỏa món điều kiện cho trước.
- Tỡm điều kiện để PT bậc bốn trựng phương cú nghiệm.
+ Cỏc bài tập PT cú tham số:
- Giải và biện luận PT bậc nhất, bậc hai cú tham số.
- Giải và biện luận hệ PT.
- Tỡm điều kiện của tham số để PT cú nghiệm.
- 49 -
* Nhận xột: SGK Đại số 10 và Đại số 10 nõng cao chỉ đưa ra nội dung dạy học mà khụng chỉ ra MT học tập cho từng chủ đề, từng bài học, bởi vậy HS sẽ khụng thể hỡnh dung ra được MT trọng tõm của bài học và mức độ đạt
được với từng chủ đề. Hệ thống cõu hỏi, bài tập về PT trong SGK Đại số 10
và Đại số 10 nõng cao và trong sỏch Bài tập Đại số 10 và Bài tập Đại số 10 nõng cao chủ yếu là cỏc bài tập tự luận. SGK Đại số 10 [6,tr.71-72] đưa ra 4 cõu hỏi trắc nghiệm dạng nhiều lựa chọn. Trong cỏc bài tập này, GV và HS cũng khú xỏc định yờu cầu về mức độ nhận thức của từng cõu hỏi.
SGV Đại số 10 và Đại số 10 nõng cao cũng đó đưa ra MT cho từng bài học, nhưng SGV cũng khụng trỡnh bày cỏch xõy dựng hoặc cỏch xỏc định mức độ nhận thức của cõu hỏi và bài tập. Điều này gõy khú khăn cho GV trong việc xõy dựng cỏc bài tập đỏnh giỏ kết quả học tập của HS theo MT chương trỡnh và SGV đưa ra.
Tỡm hiểu cỏch đặt cõu hỏi và bài tập kiểm tra chủ đề PT trong SGK, tài liệu tham khảo, trong cỏc kỡ thi tuyển sinh, cỏc đề kiểm tra ở cỏc trường
THPT chỳng tụi thấy một vấn đề nổi lờn là: Với yờu cầu nào thỡ cõu hỏi và
bài tập về PT ở mức độ Nhận biết, Hiểu, Vận dụng,...?
Cựng một PT 3x4x 5xnhưng với cỏc cỏch đặt cõu hỏi khỏc nhau thỡ
mức độ nhận thức hoàn toàn khỏc nhau.
Với yờu cầu: Chứng minh PT 3x4x 5x chỉ cú nghiệm duy nhất x = 2, HS hiểu và biết sử dụng tớnh chất đồng biến và nghịch biến của HS mũ là làm
được. Nhưng với yờu cầu: Chứng minh PT 3x4x 5x cú nghiệm duy nhất, HS
cần phải tỡm ra được nghiệm x = 2 và thực hiện tiếp cỏc yờu cầu như trờn. Nếu yờu cầu: Giải PT 3x4x 5x, thỡ HS cần phải phõn tớch, lựa chọn kiến thức toỏn đó học và tỡm cụng cụ thớch hợp để giải bài toỏn.
Như vậy, để xỏc định đỳng MT bài học chủ đề PT, chỳng tụi cho rằng
- 50 -
Phõn tớch, Tổng hợp, Đỏnh giỏ. Xỏc định cụ thể cỏc cõu hỏi và bài tập cho cỏc mức nhận thức này, đõy là một vấn đề luận văn cần làm rừ.
Về hệ thống cỏc bài tập chủ đề PT trong SGK và sỏch bài tập Đại số 10: chủ yếu là những bài tập tương tự như cỏc vớ dụ đó trỡnh bày trong SGK, hoặc cỏc bài tập chỉ cần ỏp dụng trực tiếp kiến thức đó học vào giải cỏc PT. Trong sỏch bài tập Đại số 10 nõng cao cú đưa ra một số bài tập đũi hỏi HS vận dụng kiến thức được học để giải cỏc bài toỏn về PT: như cỏc bài toỏn tỡm điều kiện của tham số để PT thỏa món điều kiện cho trước nào đú, hay cỏc bài tập yờu cầu HS biết cỏch vận dụng định lớ Vi-ột cho PT bậc hai để biện luận số nghiệm PT trựng phương, tỡm điều kiện để PT trựng phương cú số cỏc nghiệm thỏa món yờu cầu. Nhưng nhỡn chung SGK và sỏch bài tập Đại số 10 chưa cú nhiều cỏc bài tập đũi hỏi HS khả năng phõn tớch, tổng hợp và đỏnh giỏ, một số bài học lại chưa chỳ trọng tới cỏc bài tập ở mức độ nhận biết, những bài tập dành cho HS yếu kộm và trung bỡnh. Như vậy, cú thể khẳng định hệ thống bài tập toỏn phần PT trong SGK và sỏch bài tập Đại số 10 chưa phủ hết cỏc cấp độ nhận thức. Trong một đề KT - ĐG lại cần phải đầy đủ cỏc bài tập đũi hỏi cỏc yờu cầu nhận thức từ thấp đến cao, phự hợp cho cỏc đối tượng HS trong một lớp học.