7. Đóng góp của luận văn
2.2.1.1Phƣơng pháp dạy học sinh nắm vững bản chất, ý nghĩa khái niệm
tạo cơ sở của toàn bộ kiến thức toán học của học sinh.
Dạy học khái niệm toán học là một trong các tình huống điển hình trong dạy học môn Toán. Việc dạy học các khái niệm toán học có vị trí quan trọng hàng đầu, một hệ thống các khái niệm toán học là nền tảng của toàn bộ kiến thức toán học của HS, là tiền đề hình thành khả năng vận dụng hiệu quả các kiến thức đã học, đồng thời có tác dụng góp phần phát triển năng lực trí tuệ và thới giới quan duy vật biện chứng cho ngƣời học.
Việc dạy học các khái niệm toán học ở trƣờng THPT phải dần dần làm cho HS đạt đƣợc các yêu cầu sau:
a) Nắm vững các đặc điểm đặc trƣng của một khái niệm.
b) Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tƣợng cho trƣớc có thuộc phạm vi một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thể hiện khái niệm, nghĩa là biết tạo ra một đối tƣợng thuộc phạm vi một khái niệm cho trƣớc.
c) Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một số khái niệm. d) Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoạt động giải toán và ứng dụng vào thực tiễn.
e) Nắm đƣợc mối quan hệ của khái niệm này so với khái niệm khác trong một hệ thống các khái niệm.
Các yêu cầu trên đây có quan hệ chặt chẽ với nhau, song vì lí do sƣ phạm, các yêu cầu trên không phải lúc nào cũng đƣợc đặt ra với mức độ nhƣ
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 56
nhau với mọi khái niệm. Chẳng hạn, khái niệm về "hƣớng của vectơ" không đƣợc nêu thành định nghĩa một cách tƣờng minh mà chỉ đƣợc diễn tả một cách trực quan dựa vào kinh nghiệm sống của HS. Nhƣng với các khái niệm "hàm số", "hàm số chẵn", "hàm số lẻ",... thì lại yêu cầu HS phải phát biểu đƣợc định nghĩa một cách chính xác và vận dụng đƣợc khi giải toán.
Trong dạy học GV có thể dạy học tiếp cận khái niệm bằng 3 con đƣờng: Con đƣờng quy nạp, con đƣờng thiết kế, con đƣờng suy diễn: [14].
Theo con đƣờng quy nạp , xuất phát từ một số trƣờng hợp riêng lẻ (nhƣ mô hình, hình vẽ, thí dụ cụ thể,...) GV dẫn dắt HS bằng cách trừu tƣợng hóa và khái quát hóa tìm ra dấu hiệu đặc trƣng của một khái niệm thể hiện ở những trƣờng hợp cụ thể, từ đó đi đến định nghĩa của khái niệm.
Cần phải chọn lọc một số lƣợng thích hợp những hình ảnh, thí dụ cụ thể, trong đó dấu hiệu đặc cho khái niệm đƣợc đọng lại nguyên vẹn, còn những thuộc tính khác của những đối tƣợng thì thay đổi.
Quá trình tiếp cận một khái niệm theo con đƣờng này thƣờng diễn ra nhƣ sau:
GV đƣa ra một số ví dụ cụ thể để HS thấy sự tồn tại của một loạt đối tƣợng nào đó. GV dẫn dẫn HS phân tích, so sánh và nêu bật những đặc điểm chung của các đối tƣợng đang đƣợc xem xét. GV gợi mở để HS phát biểu định nghĩa khái niệm bằng cách nêu các tính chất đặc trƣng của khái niệm. Con đƣờng này nên thực hiện khi trình độ nhận thức HS còn thấp, vốn kiến thức còn chƣa nhiều và thƣờng đƣợc sử dụng trong điều kiện: chƣa phát hiện đƣợc một khái niệm nào làm điểm xuất phát cho con đƣờng suy diễn; đã định hình đƣợc một số đối tƣợng thuộc ngoại diên của khái niệm cần hình thành, do đó đủ vật liệu để thực hiện phép quy nạp.
Quá trình hình thành khái niệm theo con đƣờng quy nạp có tác dụng phát triển những năng lực trí tuện nhƣ trừu tƣợng hóa, khái quá hóa, so sánh thuận lợi cho hoạt động tích cực của HS. Tuy nhiên, con đƣờng này đòi hỏi
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 57
phải tốn nhiều thời gian và cần có các điều kiện đã nói trên. Con đƣờng thứ hai là con đường suy diễn, trong đó định nghĩa khái niệm mới xuất phát từ định nghĩa của khái niệm mà HS đã biết. Quá trình tiếp cận một khái niệm theo con đƣờng này thƣờng diễn ra nhƣ sau:
Xuất phát từ một khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của khái niệm đó một số đặc điểm mà ta quan tâm. Phát biểu định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và định nghĩa nó nhờ một khái niệm tổng quát hơn cùng với những đặc điểm hạn chế một bộ phận trong khái niệm tổng quát đó.
Đƣa ra ví dụ đơn giản minh họa cho khái niệm vừa đƣợc định nghĩa Con đƣờng này nên thực hiện khi trình độ nhận thức của HS đã khá hơn vốn kiến thức đã nhiều lên phát hiện ra một khái niệm làm điểm xuất phát cho con đƣờng suy diễn .
Con đƣờng hình thành khái niệm này có tác dụng tốt để phát huy tính chủ động và sáng tạo cho HS, tiết kiệm thời gian. Tuy nhiên con đƣờng này hạn chế phát triển năng lực trí tuệ chung nhƣ phân tích, tổng hợp, so sánh...
Một trong dạy các hoạt động dạy học khái niệm thƣờng Định nghĩa khái niệm: Việc hình thành khái niệm thƣờng kết thúc bằng định nghĩa khái niệm.
Trong toán học và trong giảng dạy toán học có những cách khác nhau để định nghĩa khái niệm. Định nghĩa bằng cách nêu rõ loại và chủng là cách định nghĩa có cấu trúc dạng B(x) A(x) và P(x) .
Xét tập hợp T gồm các phần tử x có tính chất A và trong T có những phần tử mang tính chất P nào đó và những phần tử không có tính chất này, thì nhờ tính chất P, ta chia tập hợp T thành hai tập hợp con không rỗng, không giao nhau: B x T P x| ( ) và B x T P x| ( ) . Nhƣ vậy một phần tử có tính chất B thì phải có tính chất A và P và viết là: B(x) A(x) và P(x).
Trong cấu trúc trên, tính chất B gọi là tính chất của khái niệm chủng còn tính chất A là tính chất của một khái niệm loại, thƣờng là loại gần nhất với đối tƣợng phần tử x đƣợc định nghĩa, còn P là sự khác biệt đặc trƣng giữa các đối
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 58
tƣợng có tính chất B và các đối tƣợng còn lại mang tính chất A. Các khái niệm đƣợc định nghĩa và khái niệm dùng để định nghĩa là tách bạch với nhau. Điều đó cho phép ta thay thế cái đƣợc định nghĩa bằng cái dùng để định nghĩa hay ngƣợc lại. Sự thay thế nhƣ vậy rất hay đƣợc sử dụng khi chứng minh định lý hay giải toán.
Chú ý rằng, định nghĩa bằng cách nêu rõ loại và chủng nhƣ trên phải thỏa mãn yêu cầu logic sau: "Trong tập hợp T có những phần tử có tính chất P và có những phần tử không có tính chất P".
Tất nhiên, không phải tất cả các khái niệm toán học đều đƣợc định nghĩa theo cấu trúc trên, vì sẽ có những khái niệm xuất phát đầu tiên không đƣợc định nghĩa thông qua khái niệm nào khác. Những khái niệm này đƣợc định nghĩa một cách không tƣờng minh, giáp tiếp bằng mô tả để làm nổi bật nội dung của chúng (ở trình độ thấp) hay bằng những tiên đề (ở trình độ xây dựng lí thuyết chặt chẽ. Tóm lại, trong dạy học ở trƣờng phổ thông, có những khái niệm không đƣợc định nghĩa vì hai lí do khác nhau: hoặc vì chúng là những khái niệm xuất phát trong khoa học toán học, hoặc vì lí do sƣ phạm. Đối với những khái niệm nhƣ vậy thì cần mô tả, giải thích thông qua những ví dụ cụ thể để giúp HS hình dung đƣợc hình ảnh, hiểu đƣợc ý nghĩa của khái niệm ấy.
Trong các khái niệm toán học, có những khái niệm về một đối tƣợng và có hững khái niệm về một quan hệ.
Trong cách định nghĩa về một khái niệm quan hệ, rõ ràng đó là một cách định nghĩa tƣờng minh nhƣng không thể tách đƣợc khái niệm loại gần nhất và sự khác biệt đặc trƣng. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
* Củng cố khái niệm.
Để củng cố khái niệm cho HS, GV cần cho HS tập luyện những hoạt động: nhận dạng và thể hiện khái niệm, hoạt động ngôn ngữ, khái quát hóa và đặc biệt hóa, hệ thống hóa khái niệm, vận dụng khái niệm,...
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 59
Nhận dạng và thể hiện .
Một trong những biểu hiện của chủ nghĩa hình thức trong quá trình học môn toán là HS học thuộc cách phát biểu định nghĩa nhƣng lại không nhận biết đƣợc một đối tƣợng cụ thể trong những tình huống khác nhau có thỏa mãn định nghĩa ấy hay không, không tự mình tạo ra đƣợc những đối tƣợng thỏa mãn định nghĩa. Vì vậy, cần phải cho HS tiến hành những hoạt động "nhận dạng" và "thể hiện" để tránh và khắc phục tình trạng này.
Việc nhận dạng và thể hiện khái niệm có thể dựa vào định nghĩa khái niệm cũng có thể dựa vào các điều kiện cần, điều kiện đủ khác.
Hoạt động ngôn ngữ. Để giúp HS củng cố khái niệm và phát triển ngôn ngữ, cần chú ý hƣớng dẫn và khuyến khích họ diễn đạt một định nghĩa dƣới nhiều hình thức khác nhau, bằng lời lẽ của bản thân.
Khái quát hóa, đặc biệt hóa : Khái quát hóa khái niệm - một hoạt động quan trọng cần rèn luyện cho HS. Chẳng hạn, từ khái niệm tiếp tuyến của một đƣờng tròn tới khái niệm tiếp tuyến của một đƣờng cong, từ các khái niệm vận tốc tức thời của một chuyển đọng, hệ số góc của một tiếp tuyến tới khái niệm đạo hàm của một hàm số,... Ngƣợc lại với hoạt động khái quát hóa là đặc biệt hóa
Hệ thống hóa : Hệ thống hóa khái niệm, tức là biết nhận ra những mối quan hệ giữa những khái niệm, ví dụ nhƣ khái niệm đạo hàm là một khái niệm khái quát của khái niệm vận tốc tức thời,...
Vận dụng: Sau khi truyền thụ một khái niệm, cần tạo cơ hội cho HS vận dụng nó vào những bài toán, những hoạt động khác nhau, đặc biệt là những bài toán chứng minh. Điều đó vừa có tác dụng củng cố, đào sâu khái niệm, lại vừa góp phần phát triển năng lực giải toán.
Trong các hoạt động trên thì hoạt động "nhận dạng và thể hiện" khái niệm có vai trò đặc biệt quan trọng vì các hoạt động này có tác dụng tích cực không chỉ trong giai đoạn củng cố khái niệm mà còn cả trong giai đoạn hình thành khái niệm và vận dụng khái niệm, hơn nữa chúng là biện pháp chủ yếu để chống và khắc phục chủ nghĩa hình thức trong học tập.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 60
Phân chia khái niệm : Biết phân chia khái niệm là một trong những biểu hiện của việc nắm vững khái niệm toán học cũng nhƣ những khái niệm thuộc môn học khác. Chẳng hạn, HS sẽ nắm vững khái niệm hàm số hơn nếu cùng với việc hiểu định nghĩa, HS còn biết rằng có những hàm số chẵn và hàm số không chẵn, những hàm số lẻ và hàm số không lẻ. “Trong quá trình phân chia (phân loại) phải tuân theo một quy tắc nhất định: Sự phân chia (phân loại) phải triệt để, không đƣợc bỏ sót; sự phân chia (phân loại) không đƣợc trùng lặp; cùng một lúc không đƣợc đƣa vào các dấu hiệu khác nhau để phân chia (phân loại); phân chia phải liên tục” [2, tr. 141]. Theo Đ. P. Goocki trong Lôgíc học: “Điều quan trọng khi phân chia khái niệm là tìm ra dấu hiệu để có thể đứng trên quan điểm đó chia ngoại diên của khái niệm cần phân chia thành những bộ phận lấp đầy ngoại diên của nó”[30].
Nhiều khi, HS phải nắm vững chẳng những định nghĩa mà cả cách phân chia khái niệm mới có thể giải toán hay xem xét các vấn đề liên quan. Chẳng hạn: khi giải và biện luận PT (m − 1)x2 − mx + 3 = 0, HS phải xét trƣờng hợp
m = 1 PT trở thành PT bậc nhất thì giải theo kiểu PT bậc nhất và trƣờng hợp
m ≠ 1, HS cần phân biệt PT ax2+bx+c=0 và PT bậc hai ax2+bx+c=0 (a≠0) với bất PT ax2+bx+c>0 và bất PT bậc hai…
Thực tiễn dạy học cho thấy, GV cần khai thác và sử dụng tốt các bài tập dạng trắc nghiệm khách quan kiểu "Các mệnh đề sau đây đúng hay sai: A)... B)... " vì có tác dụng tốt trong việc rèn luyện cho HS kĩ năng phân chia khái niệm. Muốn trả lời đúng câu hỏi, HS cần tiến hành phân chia khái niệm, tức là xét tất cả các khả năng có thể xảy ra. Từ đó tìm ra lời giải bài toán.
Biết phân chia khái niệm mới có thể hệ thống hóa các khái niệm sau mỗi phần, mỗi chƣơng,...
GV giúp HS dẫn vào khái niệm (tiếp cận khái niệm) có thể thực hiện bằng thông qua ví dụ thực tiễn. Tiếp theo hình thành khái niệm, giúp HS có khái niệm, có thể bằng khái quát hóa…Hoạt động củng cố khái niệm,
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn/ 61
thông qua nhận dạng và thể hiện khái niệm, khắc sâu khái niệm thông qua ví dụ, phản ví dụ.
PT là một khái niệm quan trọng của toán học. Kiến thức về PT đƣợc đƣa ra dạy cho HS xuyên suốt chƣơng trình toán phổ thông theo hƣớng phát triển tiềm tàng đến tƣờng minh, từ đơn giản đến phức tạp, ngày càng mở rộng hoàn thiện hơn : Chẳng hạn ở tiều học
Điền vào ô trống : + 2=7 Tìm a biết a+ 2=8
Lớp 7 HS đã học cách giải phức tạp hơn tiểu học Tìm x biết x:7 =6, 12 (2+x)=10,
Lớp 8 Khái niệm PT một ẩn( Giả sử A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa biến một biến x. Khi đó A(x)=B(x) là một PT, ta hiểu rằng phải tìm giá trị của x để các giá trị tƣơng ứng của hai biểu thức này bằng nhau.
Biến x gọi là ẩn. Giá trị tìm đƣợc là nghiệm. Việc tìm nghiệm gọi là giải PT) Lớp 10 HS phát biểu mức độ chính xác, rõ ràng hơn . “ Phƣơng trình ẩn
x là mệnh đề chứa biến có dạng f(x)=g(x) (1) trong đó f(x) và g(x) là những biểu thức của x. Ta gọi f(x) là vế trái, g(x) là vế phải của phƣơng trình (1) Nếu có số thực x(0) sao cho f(x0)=g(x0) là mệnh đề đúng thì x0 đƣợc gọi là một nghiệm của phƣơng trình (1)
Giải phƣơng trình (1) là tìm tất cả các nghiệm của nó (nghĩa là tìm tập nghiệm) Nếu phƣơng trình không có nghiệm nào cả thì ta nói phƣơng trình vô nghiệm (hoặ nói tập nghiệm của nó là rỗng) ” [8].