Hoạt động 1: Tỡm hiểu nội dung dạy học cỏc phộp tớnh số học ở TH trờn cơ sở của Lý thuyết tập hợp và cấu trỳc đại số
* Nhiệm vụ: Chia SV thành cỏc nhúm nhỏ để cựng nhau thực hiện cỏc nhiệm vụ của hoạt động 1:
1. Sử dụng cỏc định nghĩa hợp, giao và hiệu của hai tập hợp để giải thớch việc dạy học cỏc phộp tớnh trờn số tự nhiờn.
2. Hóy tỡm hiểu tư tưởng CTĐS của nội dung dạy học SH ở TH
3. Cho một số vớ dụ minh hoạ từ SGK Toỏn TH về tớnh sắp thứ tự của vị nhúm cộng cỏc số tự nhiờn và vị nhúm nhõn cỏc số tự nhiờn.
* Thụng tin cơ bản: Trước khi thực hiện nhiệm vụ, cỏc nhúm nghiờn cứu bài đọc được túm tắt như sau:
Hợp và giao của cỏc tập hợp: Sự thể hiện rừ nột nhất trong dạy học phộp cộng cỏc số tự nhiờn ở TH:
+ Hỡnh thành khỏi niệm ban đầu về phộp cộng: Nội dung dạy học cỏc phộp tớnh SH chiếm một vị trớ quan trọng trong chương trỡnh Toỏn TH. Tư tưởng chỉ đạo của việc xỏc định cỏc phộp toỏn đối với bản số là dựa trờn cơ sở của cỏc phộp toỏn tương ứng đối với tập hợp.
Giả sử ta cú hai tập hợp A và B khụng cú phần tử chung. Bản số của chỳng lần lượt là a và b. Gọi hợp của A và B là C thỡ C = A ∪ B. Nếu ta cú cỏc tập hợp A’ và B’ khụng cú phần tử chung sao cho A’ = A; B’ = B thỡ C’ = A’∪ B’ = A ∪ B. Từ đú suy ra C và C’ thuộc một lớp cú cựng lực lượng đặc trưng bởi bản số của C. Ta gọi c là tổng của
cỏc bản số a và b, kớ hiệu: c = a + b. Phộp toỏn cho biết tổng của hai bản số a và b là phộp cộng hai số tự nhiờn.
Trong trường hợp tổng quỏt: A và B cú phần tử chung (A ∩ B ≠ φ) thỡ bao giờ ta cũng cú thể biến đổi thành hợp của hai tập hợp khụng giao nhau. Chẳng hạn: A ∪ B thành A ∪ (B \ A)
Như vậy, theo quan điểm bản số: Phộp cộng hai số tự nhiờn được hiểu như là phộp hợp của hai tập hợp khụng cú phần tử chung. Với cỏch hiểu này cú thể hỡnh thành cho HS khỏi niệm phộp cộng như sau:
- Cho HS thực hiện thao tỏc “gộp” hai nhúm đồ vật rồi đếm tất cả số đồ vật trong hai nhúm. Chẳng hạn, gộp 3 que tớnh với 2 que tớnh nhận được 5 que tớnh. Ghi lại cỏc hoạt động này bằng phộp cộng 3 + 2 = 5.
- GV củng cố nhận thức của HS bằng cỏch cho cỏc em quan sỏt hỡnh ảnh trực quan (sơ đồ Ven) trong đú ngụ ý muốn bỏ qua những thuộc tớnh bề ngoài của sự vật, chỉ giữ lại một thuộc tớnh chung thuộc về số lượng của cỏc nhúm vật.
+ Tớnh chất giao hoỏn của phộp cộng: Từ đẳng thức trờn cỏc tập hợp: A ∪ B = B ∪ A ta cú được đẳng thức trờn cỏc số tự nhiờn: a + b = b + a. Như vậy, tớnh chất giao hoỏn của phộp cộng cỏc số tự nhiờn cú nguồn gốc toỏn học là tớnh chất giao hoỏn của phộp hợp cỏc tập hợp.
Ở TH, ngay từ khi bắt đầu học về phộp cộng giỏo viờn đó sử dụng cỏch thức này để ngầm hỡnh thành cho HS tớnh chất giao hoỏn. Chẳng hạn: Gộp 3 que tớnh với 2 que tớnh nhận được 5 que tớnh. Ghi lại hoạt động này bằng phộp cộng: 3 + 2 = 5. Sau đú, thực hiện hoạt động thứ hai, gộp 2 que tớnh với 3 que tớnh nhận được 5 que tớnh. Ghi lại bằng phộp cộng: 2 + 3 = 5. Cho HS nhận xột kết quả hai phộp tớnh và rỳt ra kết luận 3 + 2 = 2 + 3.
+ Tớnh chất kết hợp của phộp cộng: Từ đẳng thức trờn cỏc tập hợp: (A ∪ B) ∪ C = A ∪ ( B ∪ C) ta cú được đẳng thức trờn cỏc số tự nhiờn: (a + b) + c = a + (b + c). Như vậy, cũng tương tự như tớnh chất giao hoỏn, việc dạy học tớnh chất kết hợp của phộp cộng ở TH hoàn toàn cú thể thực hiện thụng qua thao tỏc gộp cỏc nhúm đồ vật. Tuy nhiờn, việc giới thiệu tớnh chất kết hợp phải được thực hiện sau khi HS đó được làm quen với biểu thức cú chứa dấu ngoặc. Khi này, HS đó bước sang giai đoạn giữa và cuối của bậc TH nờn những
thao tỏc trờn đồ dựng trực quan là khụng cần thiết. Vỡ vậy, ở TH tớnh chất kết hợp của phộp cộng được dạy học bằng phương phỏp quy nạp khụng hoàn toàn.
+ Phần tử 0 trong phộp cộng: 0 là phần tử cú tớnh chất đặc biệt trong phộp cộng: a + 0 = 0 + a = a. Việc giới thiệu phần tử 0 trong phộp cộng cũng tương tự như việc hỡnh thành khỏi niệm phộp cộng. Tuy nhiờn, xuất phỏt từ đẳng thức trờn cỏc tập hợp: A ∪φ = φ ∪ A = A và 0 là đặc trưng về số lượng của tập φ (tập khụng cú gỡ) ta thu được đẳng thức trờn cỏc số: a + 0 = 0 + a = a.
Hiệu của hai tập hợp: Chẳng hạn là sự thể hiện khỏi niệm trong việc dạy học hỡnh thành khỏi niệm ban đầu về phộp trừ ở TH
Cho B là tập con của tập hợp A (Cỏc phần tử của B đều thuộc A). Bản số của A, B lần lượt là a và b. Gọi C = A \ B, khi đú C là tập hợp gồm những phần tử thuộc A nhưng khụng thuộc B và C ∪ B = A. C được gọi là phần bự của B trong A.
Gọi c là bản số của C thỡ a sẽ là tổng bản số của b và c
A C B
viết là: a = b + c, khi đú ta núi c là hiệu của hai bản số a và b, kớ hiệu: c = a - b. Phộp toỏn cho biết hiệu của hai bản số a và b là phộp trừ hai số tự nhiờn.
Trong việc hỡnh thành cho HS khỏi niệm phộp trừ, vấn đề quan trọng là làm rừ ý nghĩa của cỏch viết a – b, tức là làm rừ ý nghĩa của hiệu coi như bản số của phần bự, từ đú giỳp HS hiểu phộp trừ là phộp toỏn ngược của phộp cộng.
Như vậy, theo quan điểm bản số: Phộp trừ hai số tự nhiờn được hiểu thụng qua thao tỏc “tỏch” một bộ phận từ tập hợp đó cho. Với cỏch hiểu này cú thể hỡnh thành cho HS khỏi niệm phộp trừ như sau:
- HS thực hiện thao tỏc “tỏch” một nhúm đồ vật từ một tập hợp đồ vật đó cho, rồi đếm số đồ vật cũn lại. Chẳng hạn, cú một nhúm gồm 5 que tớnh, tỏch ra 2 que tớnh thỡ bộ phận cũn lại cú 3 que tớnh. Ghi lại cỏc hoạt động này bằng phộp trừ 5 – 2 = 3.
- Để củng cố nhận thức cho HS, giỏo viờn cho cỏc em quan sỏt hỡnh vẽ trực quan (Sơ đồ Ven): Tập hợp cho trước được bao quanh bởi một đường cong khộp kớn lớn. Mỗi tập hợp bộ phận được bao quanh bởi một đường cong nhỏ. Cỏc phần tử trong mỗi tập hợp là cỏc chấm trũn nhằm ngụ ý muốn bỏ qua cỏc thuộc tớnh bề ngoài của sự vật chỉ giữ lại một thuộc tớnh về số lượng của cỏc phần tử trong mỗi tập hợp.
+ Hỡnh thành khỏi niệm ban đầu về phộp nhõn: SGK Toỏn 2 hỡnh thành khỏi niệm phộp nhõn trờn cơ sở là tổng của cỏc số hạng bằng nhau (phộp nhõn a với b là phộp cộng b số a). Cỏch định nghĩa này phự hợp với đặc điểm nhận thức của HSTH, song xột về mặt toỏn học thỡ “nú coi phộp nhõn là phộp toỏn phụ thuộc vào phộp cộng. Trong khi về bản chất và vị trớ, nú cú tớnh độc lập đối với phộp cộng”
Do đú, việc định nghĩa phộp nhõn dựa vào khỏi niệm tớch Đềcỏc là cần thiết. Giả sử cho hai tập hợp A và B cú bản số lần lượt là a và b.
A = {x1, x2,…xa} ; B = {y1, y2, …yb}
Tớch ĐềCỏc A x B là tập tất cả cỏc cặp (xi, yj) với i = 1,a ; j = 1,b như sau: (x1, y1), (x1, y2),.…, (x1, yb) (x2, y1), (x2, y2),…., (x2, yb) ……… (xa, y1), (xa, y2), …., (xa, yb) Khi đú tập A x B cú b a a a+ +....+ phần tử
Gọi c là bản số của lớp cỏc tập hợp tương đương với A x B thỡ c =
b
a a
a+ +....+ hay c là tớch của a và b. Kớ hiệu: c = a x b .
- Việc hỡnh thành khỏi niệm phộp nhõn ở TH cú thể mụ tả như sau: Mỗi tấm bỡa cú 2 hỡnh trũn. Nếu lấy 5 tấm bỡa cú tất cả: 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10 (hỡnh trũn).
2 + 2 + 2 + 2 + 2 là tổng của 5 số hạng bằng nhau và đều bằng 2 nờn ta viết: 2 x 5 = 10. GV giới thiệu dấu nhõn (x).
Tuy nhiờn với cỏch này ta vẫn cú thể hiểu nú là một “biến thể” của định nghĩa phộp nhõn theo khỏi niệm tớch Đềcỏc.
Nếu ta xem A là tập cỏc tấm bỡa, chẳng hạn A = {a1, a2, a3, a4, a5}. B là tập cỏc hỡnh trũn trờn mỗi tấm bỡa, chẳng hạn B = {b1, b2}. Khi đú, vị trớ mỗi hỡnh trũn trờn một tấm bỡa là một phần tử (ai, bj) của tập tớch ĐềCỏc A x B. Bản số của A là 5, bản số của B là 2. Tập A x B = {(a1, b1), (a1, b2), (a2, b1), (a2, b2), (a3, b1), (a3, b2), (a4, b1), (a4, b2), (a5, b1), (a5, b2)}. Bản số của lớp cỏc tập hợp tương đương với A x B là 10. Vậy: 5 x 2 = 10.
+ Tớnh chất kết hợp của phộp nhõn: Cho ba tập hợp A, B, C cú bản số lần lượt là a, b và c. Khi đú: (A x B) x C = {((x, y), z)/ x ∈ A, y ∈ B, z ∈ C} cú bản số là (a x b) x c; A x (B x C) = {(x,(y, z))/ x∈ A, y ∈ B, z ∈ C} cú bản số là a x (b x c).
Nhận thấy (A x B) x C ≠ A x (B x C) nhưng số phần tử của hai tập hợp này là bằng nhau hay núi cỏch khỏc chỳng cú cựng bản số. Suy ra: (a x b) x c = a x (b x c).
Ở TH, dạy học tớnh chất kết hợp của phộp nhõn khụng theo quan điểm bản số của cỏc tập hợp như trờn mà bước đầu cho HS nhận biết tớnh chất kết hợp của phộp nhõn qua cỏc vớ dụ cụ thể (Chẳng hạn, từ (2 x 3) x 4 = 24; 2 x (3 x 4) = 24 suy ra liờn hệ: (2 x 3) x 4= 2 x (3 x 4). Sang cỏc lớp cuối cấp, dạy học tớnh chất kết hợp của phộp nhõn đó sử dụng phương phỏp quy nạp khụng hoàn toàn vào việc so sỏnh giỏ trị của hai biểu thức để rỳt ra kết luận bằng chữ và bằng lời.
Phộp toỏn hai ngụi: Khỏi niệm này là cơ sở cho việc dạy học cỏc phộp toỏn ở TH. + Phộp cộng: Cho hai số tự nhiờn a và b. Khi đú tồn tại hai tập hợp hữu hạn A, B sao cho a là bản số của A, b là bản số của B. Vỡ đối với hai tập hợp A, B bất kỡ, hợp của chỳng bao giờ cũng tồn tại và duy nhất nờn bản số của tập A ∪ B cũng tồn tại và duy nhất là a + b. Do đú, phộp cộng hai số tự nhiờn cú thể định nghĩa là một ỏnh xạ : f : N x N → N
(a, b) a + b và phộp cộng là phộp toỏn đúng kớn trờn tập cỏc số tự nhiờn.
Theo quan điểm của phộp toỏn thỡ thụng qua quỏ trỡnh trừu tượng hoỏ và khỏi quỏt hoỏ, giỳp HS nhận thức được phộp cộng như là một phộp tớnh đặt hai số đó cho tương ứng với một số xỏc định. Khi đú, khỏi niệm phộp cộng tiếp tục được củng cố và hoàn chỉnh qua cỏc vũng số tiếp theo của số tự nhiờn thụng qua việc làm cho HS nắm được cỏc thuật toỏn tớnh. Về sau, vấn đề được HS nhỡn nhận đầy đủ hơn khi mở rộng phộp cộng trờn cỏc loại số khỏc như: phõn số, số thập phõn. Phộp cộng theo nghĩa phộp toỏn ngày càng thể hiện rừ: “Khi cho hai số bất kỳ nào đú, ta luụn tỡm ra được số thứ ba tương ứng”.
Vớ dụ:
1. Viết số thớch hợp vào ụ trống: (Toỏn 2, tr44)
Số hạng 34 45 63 17 44 Số hạng 17 48 29 46 36 Tổng 2. Tớnh: (Toỏn 5, tr50) a. 58,2 b. 19,36 + 24,3 + 4,08
+ Phộp nhõn: Tương tự như phộp cộng. Cho a là bản số của A, b là bản số của B. Vỡ đối với hai tập hợp A, B bất kỡ, tớch Đềcỏc của chỳng là A x B hoặc B x A. Mà A x B và B x A là hai tập hợp tương đương với nhau nờn chỳng cú cựng bản số. Hay núi cỏch khỏc bản số của chỳng tồn tại và duy nhất là a x b. Do đú, phộp nhõn hai số tự nhiờn cú thể định nghĩa là một ỏnh xạ :
f : N x N → N (a, b) a x b và phộp nhõn là phộp toỏn đúng kớn trờn tập cỏc số tự nhiờn.
Theo quan điểm của phộp toỏn thỡ thụng qua quỏ trỡnh trừu tượng hoỏ và khỏi quỏt hoỏ, giỳp HS nhận thức được phộp nhõn như là một phộp tớnh đặt hai số đó cho tương ứng với một số xỏc định. Khi đú, khỏi niệm phộp nhõn tiếp tục được củng cố và hoàn chỉnh qua cỏc vũng số tiếp theo của số tự nhiờn thụng qua việc làm cho HS nắm được cỏc thuật toỏn tớnh. Về sau, vấn đề được HS nhỡn nhận đầy đủ hơn khi mở rộng phộp nhõn trờn cỏc loại số khỏc như: phõn số, số thập phõn. Phộp nhõn theo nghĩa phộp toỏn ngày càng thể hiện rừ: “Khi cho hai số bất kỳ nào đú, ta luụn tỡm ra được số thứ ba tương ứng”.
Nửa nhúm và nhúm: Trỡnh bày một số sự thể hiện của cỏc cấu trỳc này trong SGK Toỏn TH. Chẳng hạn:
+ Tập số tự nhiờn cựng với phộp cộng: Phộp cộng cỏc số tự nhiờn cú những tớnh chất : giao hoỏn, kết hợp (SGK Toỏn 4), phần tử trung lập là 0 (trong bài “Số 0 trong phộp cộng”- Toỏn 1). Vỡ vậy, tập số tự nhiờn cựng với phộp cộng đó được hỡnh thành “ẩn tàng” cấu trỳc vị nhúm cộng giao hoỏn.
+ Tập số tự nhiờn cựng với phộp nhõn: Phộp nhõn cỏc số tự nhiờn cú cỏc tớnh chất: giao hoỏn, kết hợp (SGK Toỏn 4), phần tử trung lập là 1 (trong bài “Số 1 trong phộp nhõn và phộp chia” – Toỏn 2). Vỡ vậy, tập số tự nhiờn cựng với phộp nhõn đó được hỡnh thành “ẩn tàng” cấu trỳc vị nhúm nhõn giao hoỏn.
+ Tập phõn số cựng với phộp nhõn: Phộp nhõn cỏc phõn số cú những tớnh chất: giao hoỏn, kết hợp (SGK Toỏn 4), phần tử trung lập là
1 1
(Thực chất là số 1 trong tập cỏc số tự nhiờn), mọi phần tử khỏc 0 đều khả nghịch (tức là nghịch đảo của một phõn số khỏc 0
cũng là một phõn số khỏc 0 và gọi là phõn số đảo ngược). Vỡ vậy, tập phõn số cựng với phộp nhõn đó được hỡnh thành “ẩn tàng” cấu trỳc nhúm nhõn giao hoỏn.
+ Tập số thập phõn với phộp nhõn: Phộp nhõn cỏc số thập phõn cú cỏc tớnh chất: giao hoỏn, kết hợp (SGK Toỏn 5), phần tử trung lập là 1, mọi phần tử khỏc 0 đều khả nghịch (nghịch đảo của một số thập phõn khỏc 0 cũng là một số thập phõn). Vỡ vậy, tập số thập phõn cựng với phộp nhõn đó hỡnh thành “ẩn tàng” cấu trỳc nhúm nhõn giao hoỏn.
Nửa nhúm (nhúm) sắp thứ tự : + Tớnh sắp thứ tự của vị nhúm cộng cỏc số tự nhiờn thể hiện thụng qua dạng bài toỏn như:
1. (Toỏn 4, tr 43)
a) 2975 + 4017 …4017 + 2975 b) 8264 + 927 …927 + 8300 2975 + 4017 …4017 + 3000 8264 + 927 …900 + 8264 2975 + 4017 …4017 + 2900 927 + 8264 …8264 + 927
+ Tớnh sắp thứ tự của vị nhúm nhõn cỏc số tự nhiờn thể hiện thụng qua dạng bài toỏn như: 2. (Toỏn 2, tr 106)
2 x 3 … 3 x 2 4 x 9 … 5 x 9 4 x 6 …4 x 3 5 x 2 … 2 x 5 5 x 8 … 5 x 4 3 x 10 …10 x 4
Đỏnh giỏ hoạt động 1: Sau khi thảo luận nhúm để thực hiện cỏc nhiệm vụ của hoạt động thỡ SV tự thực hiện cỏc bài tập đỏnh giỏ hoạt động này (phục lục 3)
Hoạt động 2: Thực hành định hướng giải quyết cỏc bài toỏn SH ở TH bằng kiến thức LTTH và CTĐS.
* Nhiệm vụ: Chia SV thành cỏc nhúm nhỏ để cựng nhau thực hiện cỏc nhiệm vụ của hoạt động 2:
1. Anh (chị) hóy trỡnh bày cơ sở toỏn học của bài học: “Phõn số và phộp chia số tự nhiờn” (Toỏn 4, tr 108)
2. Nờu định hướng cao cấp cho hai bài toỏn SH sau và từ đú tỡm ra cỏch giải bài toỏn phự hợp với đối tượng HSTH.
Bài1: Cú bao nhiờu số cú ba chữ số nhỏ hơn 600 chia hết cho 3 hoặc 4. [35, tr128]
> < = > < =
Bài 2: Cho cỏc số tự nhiờn từ 1 đến 9 và hỡnh gồm 3 x 3 ụ vuụng. Hóy điền mỗi số vào một ụ sao cho tổng cỏc số của ba ụ trờn cựng một hàng, một cột và trờn đường chộo đều bằng 15.
* Thụng tin cơ bản : Trước khi thực hiện nhiệm vụ của hoạt động 2, SV tham khảo một