Hoạt động 1: Tỡm hiểu nội dung dạy học số tự nhiờn ở TH trờn cơ sở LTTH
* Nhiệm vụ: Chia SV thành cỏc nhúm nhỏ để cựng nhau thực hiện cỏc nhiệm vụ của hoạt động 1:
1. Hóy trỡnh bày cơ sở LTTH đối với việc dạy học khỏi niệm số tự nhiờn ở TH.
2. Hóy trỡnh bày cơ sở LTTH đối với việc dạy học so sỏnh và sắp thứ tự cỏc số tự nhiờn ở TH.
3. Anh (chị) hóy tỡm một số vớ dụ trong SGK Toỏn TH thể hiện được mối liờn hệ giữa khỏi niệm quan hệ hai ngụi, quan hệ tương đương, quan hệ thứ tự đối với nội dung dạy học số tự nhiờn ở TH.
* Thụng tin cơ bản: Trước khi thực hiện nhiệm vụ, cỏc nhúm nghiờn cứu bài đọc được túm tắt như sau:
Quan hệ hai ngụi và cỏc tớnh chất của quan hệ hai ngụi: Tỡm kiếm sự thể hiện của khỏi niệm và cỏc tớnh chất này trong nội dung dạy học SH ở SGK Toỏn TH.
Quan hệ tương đương: Sự thể hiện ở TH, chẳng hạn như quan hệ tương đương là cơ sở quan trọng cho việc hỡnh thành khỏi niệm ban đầu về số tự nhiờn ở TH
Gọi P(X) là tập cỏc tập hợp. Trờn P(X) trang bị một quan hệ ∼: “cựng số lượng phần tử”. Quan hệ này cú cỏc tớnh chất phản xạ, đối xứng, bắc cầu nờn đõy là một quan hệ tương đương.
Quan hệ ∼ phõn chia tập P(X) thành cỏc lớp khỏc rỗng, rời nhau. Mỗi lớp bao gồm cỏc tập hợp cú cựng số lượng phần tử (những tập hợp cú số lượng bằng nhau thỡ cựng thuộc một lớp). Một quan hệ ∼ trờn P(X) đó chỉra cho ta cỏch chia lớp tập hợp này thành cỏc lớp tương đương như thế nào.
Chẳng hạn: Lớp thứ nhất gồm: Một ngụi nhà, một con cỏ, một cỏi mũ… Lớp thứ hai gồm: Hai ụtụ, hai cỏi ỏo, hai con chim…
Trong mỗi lớp cỏc tập hợp cú cựng số lượng phần tử ta cú thể chọn một tập hợp nào đú làm đại diện cho lớp. Số lượng phần tử của tập hợp đú gọi là bản số của lớp, hay bản số của mỗi tập hợp trong lớp.
Hai tập hợp cựng thuộc một lớp tương đương thỡ ta núi giữa chỳng cú tương ứng 1 – 1. Khỏi niệm bản số được hỡnh thành ở lớp 1 từ lớp cỏc tập hợp cú tương ứng 1 – 1. Tương ứng 1 – 1 giữa cỏc tập hợp cú những tớnh chất: phản xạ, đối xứng, bắc cầu nờn nú
là một quan hệ tương đương. Sự “tương ứng 1 – 1” thể hiện tớnh chất chung của tất cả cỏc tập hợp đang quan sỏt (2 ngụi nhà, 2 ụ tụ, 2 chấm trũn…)
Để ngụ ý muốn bỏ qua thuộc tớnh khụng thuộc về số của mỗi tập hợp trong lớp như: hỡnh thự, màu sắc, kớch thước…, mà chỉ lấy một thuộc tớnh chung về số của cỏc tập hợp đú là “cựng số lượng phần tử”. SGK Toỏn 1 đó cú bước mụ hỡnh hoỏ (hỡnh ảnh hoỏ) cỏc phần tử của tập hợp trong lớp bằng cỏc chấm trũn hay một dấu hiệu tượng trưng nào đú. Chẳng hạn:
Lớp thứ nhất (gồm cỏc tập hợp đều cú số lượng là một): •
Lớp thứ hai (gồm cỏc tập hợp đều cú số lượng là hai): ••
………..
Lớp thứ nhất gồm cỏc tập hợp cú số lượng bằng nhau và đều bằng một. Viết số 1 để chỉ số lượng của lớp thứ nhất. 1 là một số tự nhiờn…
Quan hệ thứ tự: Liờn hệ với quỏ trỡnh dạy học ở TH, chẳng hạn việc hỡnh thành khỏi niệm ban đầu về số tự nhiờn trong SGK Toỏn 1 đó lồng ghộp với việc so sỏnh và sắp thứ tự cỏc số mới được hỡnh thành trong mối quan hệ với những số đó biết.
Quan hệ “cựng số lượng phần tử” trờn tập cỏc tập hợp P(X) đó phõn chia P(X) thành cỏc lớp. Cỏc tập hợp cựng một lớp thỡ cú số lượng phần tử như nhau. Cỏc tập hợp khụng cựng thuộc một lớp thỡ cú số lượng phần tử khỏc nhau (nhiều hơn hoặc ớt hơn). Nghĩa là, nếu hai tập hợp A, B cú số lượng khụng bằng nhau và A nhiều hơn B thỡ B phải ớt hơn A hoặc nếu A ớt hơn B thỡ B phải nhiều hơn A.
Như vậy, quan hệ “nhiều hơn hoặc bằng” hay “ớt hơn hoặc bằng” trờn cỏc tập hợp cú những tớnh chất: phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu, nờn đõy là những quan hệ thứ tự .
Việc xếp dóy cỏc số tự nhiờn trong phạm vi 5 được thực hiện theo những quan hệ này, nghĩa là sắp xếp cỏc tập hợp theo thứ tự từ tập ớt phần tử hơn đến tập nhiều phần tử hơn kể từ trỏi sang phải. Từ dóy cỏc lớp tập hợp chuyển sang bỡnh diện số được diễn đạt thành dóy số. SGK giới thiệu cỏc kớ hiệu “=”, “<”, “>” trờn cỏc số tự nhiờn. Để đi đến cỏc quan hệ này, chỳng ta nhận thấy cú thể so sỏnh số phần tử của hai tập hợp bằng khỏi niệm tương ứng 1 – 1.
Giữa hai tập hợp cú thể xảy ra cỏc khả năng sau:
- Nếu giữa A và B cú tương ứng 1 – 1. Khi đú A, B cú số phần tử bằng nhau hay tương đương với nhau. Cả hai tập hợp đều đặc trưng bằng cựng một kớ hiệu số.
- Nếu tập A chỉ tương ứng 1 – 1 với một bộ phận của B (nghĩa là cú những phần tử của B khụng tương ứng với phần tử nào của A) ta núi số phần tử của B lớn hơn số phần tử của A (hoặc số phần tử của A nhỏ hơn số phần tử của B). Nếu a là số tự nhiờn đặc trưng cho tập hợp A, b là số tự nhiờn đặc trưng cho tập hợp B thỡ ta viết b > a hoặc a < b.
- Nếu tập hợp B chỉ tương ứng 1 – 1 với một bộ phận của A (tức là cú những phần tử của A khụng tương ứng với phần tử nào của B) ta núi số phần tử của A lớn hơn số phần tử của B (hay số phần tử của B nhỏ hơn số phần tử của A) và ta viết: a > b hay b < a
Do vậy, giữa hai số tự nhiờn a, b bất kỳ luụn xảy ra một trong ba trường hợp sau: a = b hoặc a > b hoặc a < b hay cú thể viết a ≤ b hoặc b ≤ a (I)
Quan hệ “bộ hơn hoặc bằng” (≤) trờn tập cỏc số tự nhiờn cú cỏc tớnh chất: phản xạ, phản đối xứng, bắc cầu nờn nú là quan hệ thứ tự. Kết hợp với điều kiện (I), “≤” là một quan hệ thứ tự toàn phần trờn cỏc số tự nhiờn.
SGK Toỏn 1 giới thiệu cỏc bài học: Lớn hơn. Dấu >; Bộ hơn. Dấu <; Bằng nhau. Dấu =, trước khi vào học cỏc số 6, 7, 8… Vỡ vậy, từ bài “Số 6” HS được học số mới trong mối quan hệ thứ tự ≤. (1 < 2; 2 < 3; 5 < 6…). Số liền sau của một số tự nhiờn đặc trưng cho tập hợp A là bản số của một tập hợp B nhiều hơn tập hợp A một phần tử. Hay số liền sau của một số hơn số đú một đơn vị, số liền trước của một số kộm số đú một đơn vị. Chẳng hạn, một tốp 5 bạn, thờm 1 bạn nữa, tất cả cú 6 bạn. Như vậy 6 bằng 5 thờm 1; 5 bằng 6 bớt 1. Nhờ quan hệ thứ tự này mà cỏc số tự nhiờn cú thể sắp xếp thành dóy : 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9…..Ta núi tập hợp số tự nhiờn là một tập sắp thứ tự.
Bài “Số 0”, SGK Toỏn 1 hỡnh thành trờn cơ sở kết hợp giữa số 0 là bản số của một tập hợp rỗng (tức là tập khụng chứa phần tử nào) và coi nú là đặc trưng của tập hợp cú được nhờ việc bớt đi một phần tử từ tập chỉ cú một phần tử (bản chất của phộp trừ hai số tự nhiờn bằng nhau). Vỡ số 0 khụng cú mặt trong phộp đếm, nờn ngoài việc giới thiệu kớ hiệu số 0, cũn gợi cho HS nhận thức về vị trớ của nú trong dóy cỏc số đó học. (tập hợp xếp trước tập một phần tử là tập khụng phần tử. Khụng cú tập hợp nào đứng trước tập khụng phần tử nữa. Vỡ vậy, số 0 là số tự nhiờn bộ nhất và đứng liền trước số 1. Ta cú dóy số: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10…..
Liền sau bất kỳ số tự nhiờn nào cũng lại cú một số tự nhiờn và số này là duy nhất (vỡ đặc trưng cho lớp cỏc tập hợp nhiều hơn tập hợp cho trước một phần tử là số tự nhiờn ), số tự nhiờn liền sau của một số tự nhiờn lớn hơn nú một đơn vị. Ngược lại, ngay
trước bất kỳ số tự nhiờn nào (trừ số 0) cũng lại cú một số tự nhiờn duy nhất. Thờm một đơn vị vào một số tự nhiờn nào đú ta cũng được một số tự nhiờn kế tiếp sau nú. Bớt một ở một số tự nhiờn ta được số tự nhiờn đứng ngay trước nú,
Cỏch lập số như thế chứng tỏ rằng, khụng cú số tự nhiờn nào là lớn nhất. Vỡ nếu lấy một số rất lớn chẳng hạn 100.000.000 thờm 1 ta được 100.000.001 kế tiếp sau nú. Dự nú rất lớn nhưng vẫn là đặc trưng của một tập hợp hữu hạn.
Như vậy, dóy số tự nhiờn cú thể kộo dài mói, khụng cú số cuối cựng. Mỗi số tự nhiờn là một phần tử của tập hợp số tự nhiờn nờn tập hợp số tự nhiờn là một tập hợp vụ hạn.
* Đỏnh giỏ hoạt động 1: Sau khi thảo luận nhúm để thực hiện cỏc nhiệm vụ của hoạt động thỡ SV tự thực hiện cỏc bài tập đỏnh giỏ hoạt động 1 (phụ lục 1)
Hoạt động 2: Thực hành định hướng giải quyết cỏc bài toỏn SH ở TH bằng kiến thức LTTH
* Nhiệm vụ: Cỏc nhúm cựng nhau thực hiện cỏc nhiệm vụ của hoạt động 1:
Hóy nờu định hướng lời giải cho cỏc bài toỏn SH sau bằng kiến thức LTTH. Từ đú tỡm ra cỏch giải bài toỏn phự hợp với đối tượng HSTH.
Bài 1: Dựng bốn chữ số 0, 1, 2, 3 cú thể viết được bao nhiờu số cú bốn chữ số ấy?
Bài 2: Lớp 5B cú 40 HS. Liệu cú 4 bạn HS lớp 5B cựng tổ chức sinh nhật trong một thỏng hay khụng?
Bài 3: Cú bao nhiờu đoạn thẳng được tạo thành từ n điểm phõn biệt trờn một đoạn thẳng?
* Thụng tin cơ bản: Trước khi thực hiện nhiệm vụ, cỏc nhúm tham khảo một số vớ dụ sau: Vớ dụ1: Cú bao nhiờu số cú 3 chữ số mà chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị ?
Định hướng cao cấp: Số cỏc số cú hai chữ số mà chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là: C2 10 = ! 2 ! 8 ! 10 = 45 (số)
Thờm 9 chữ số từ 1 đến 9 vào trước cỏc số đú ta được cỏc số cú ba chữ số thoả món bài toỏn. Vậy số cỏc số cần tỡm là: 45 x 9 = 405 (số)
Chuyển sang cỏch giải TH: Trước hết tớnh số cỏc số cú hai chữ số mà chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị.
Nếu chữ số hàng chục là 1, cú 1 số là 10 Nếu chữ số hàng chục là 2, cú 2 số là 21; 20 Nếu chữ số hàng chục là 3, cú 3 số là 32; 31; 30
………
Nếu chữ số hàng chục là 9, cú 9 số là 98; 97; 96; 95; 94; 93; 92; 91; 90
Vậy số cỏc số cú hai chữ số mà chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 (số)
Lần lượt ghộp thờm cỏc chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 vào hàng trăm, thỡ số cỏc số cú ba chữ số mà chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là: 45 x 9 = 405 (số)
Mở rộng bài toỏn: Cú bao nhiờu số cú bốn chữ số mà chữ số hàng trăm lớn hơn chữ số hàng chục, chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị ?
- Cỏch làm hoàn toàn tương tự. Số cỏc số cú ba chữ số mà chữ số hàng trăm lớn hơn chữ số hàng chục, chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị là: C3 10 = ! 3 ! 7 ! 10 = 120 (số). (Bằng sự biểu diễn sơ đồ hỡnh cõy, dễ dàng giải thớch được cho HS kết quả đú chớnh là: 1 x 8 + 2 x 7 + 3 x 6 + 4 x 5 + 5 x 4 + 6 x 3 + 7 x 2 + 8 x 1 = 120 (số))
Vậy số cỏc số cần tỡm là: 9 x 120 = 1080 (số)
Vớ dụ 2: Chứng tỏ rằng trong bốn số tự nhiờn bất kỳ luụn tồn tại hai số mà hiệu của chỳng chia hết cho 3.
Định hướng cao cấp: Chia một số tự nhiờn cho 3, số dư cú thể là 0, 1, 2. Khi thực hiện chia bốn số tự nhiờn a, b, c, d bất kỳ nào đú cho 3 ta được một sự xỏc định ỏnh xạ f : {a, b, c, d} → {0, 1, 2}. Bốn số dư lấy trong 3 số 0, 1, 2 thỡ phải cú ớt nhất hai số dư bằng nhau. Chẳng hạn, a và b cú cựng số dư khi chia cho 3, nghĩa là a ≡ b (mod 3) nờn (a – b) 3.
Chuyển sang cỏch giải TH: Trong cỏc phộp chia cho 3 chỉ cú ba số dư khỏc nhau là 0, 1, 2. Theo nguyờn lý Đirichlờ, khi chia bốn số tự nhiờn bất kỳ cho 3 phải cú hai phộp chia cú số dư bằng nhau. Vỡ vậy, hiệu của hai số tự nhiờn (là số bị chia của hai phộp chia này) sẽ chia hết cho 3.
Mở rộng bài toỏn: Chứng tỏ trong n số tự nhiờn bất kỳ luụn tồn tại hai số mà hiệu của chỳng chia hết cho n – 1
Cỏch giải: Một số tự nhiờn khi chia cho n – 1 cú thể cú n – 1 số dư. n số tự nhiờn khi chia cho n – 1 cho n số dư xỏc định trong tập n – 1 số, suy ra cú ớt nhất hai số cú cựng số dư khi chia cho n – 1. Vậy hiệu của hai số đú chia hết cho n – 1.
* Đỏnh giỏ hoạt động 2: Sau khi thảo luận nhúm để thực hiện cỏc nhiệm vụ của hoạt động thỡ SV tự thực hiện cỏc bài tập để đỏnh giỏ hoạt động 2 (phụ lục 2)
MễĐUN 2:
DẠY HỌC CÁC PHẫP TÍNH SỐ HỌC TRấN QUAN ĐIỂM CỦA Lí THUYẾT TẬP HỢP VÀ CẤU TRÚC ĐẠI SỐ
1. Mục tiờu: Giỳp người học:
- Cú điều kiện để rốn luyện khả năng phõn tớch, giải thớch nội dung dạy học cỏc phộp tớnh SH trong SGK Toỏn TH trờn tinh thần của LTTH và CTĐS.
- Biết vận dụng kiến thức LTTH, CTĐS định hướng lời giải cỏc bài toỏn SH ở TH. - Hỗ trợ người học nắm vững hơn một số khỏi niệm, tớnh chất cơ bản của LTTH và CTĐS.