cỏc dạng mụ hỡnh khỏi quỏt của toỏn cao cấp.
Như đó nờu ở chương 1, trong dạy học toỏn cao cấp cũn thiếu mối liờn hệ với nội dung dạy học toỏn ở TH dẫn đến hạn chế nhất định về chất lượng dạy học mụn học. Do đú, việc bổ sung vào chương trỡnh những dạng BT liờn quan với nội dung dạy học toỏn TH dựa trờn cỏc dạng mụ hỡnh khỏi quỏt của toỏn cao cấp là cần thiết. Bổ sung ở đõy cú nghĩa là bờn cạnh những dạng BT cơ bản đó được lựa chọn giữ nguyờn, chỳng tụi sẽ thờm vào giỏo trỡnh tài liệu một số dạng BT để làm rừ cơ sở, mối liờn hệ của nội dung dạy học toỏn ở TH gắn với cỏc kiến thức toỏn cao cấp đang được học. Đõy là những dạng BT mà chỳng tụi sẽ bổ sung vào, gúp phần phỏt triển cho SV năng lực khỏi quỏt hoỏ và trừu
tượng hoỏ toỏn học. Cỏc năng lực này phải thể hiện ở mức độ cao trờn cơ sở phõn tớch và tổng hợp ở trỡnh độ lý tớnh, cú năng lực tỏch bản chất khỏi hiện tượng, cỏi chung khỏi cỏi riờng và liờn kết chỳng lại thành một hệ thống chỉnh thể cỏc vấn đề toỏn học, cỏc vấn đề dạy học toỏn. Từ đú đi đến kết luận về cỏc tư tưởng toỏn học, tư tưởng dạy học toỏn ở TH. Đú là sự khỏi quỏt mang tớnh lý luận ứng với trỡnh độ tư duy khoa học.
Quỏn triệt những tư tưởng cơ bản nờu trờn chỳng tụi định hướng việc xõy dựng cỏc BT trờn cơ sở cỏc dạng mụ hỡnh khỏi quỏt của toỏn cao cấp như sau:
1. So sỏnh, đối chiếu sự giống nhau của cỏc BT cựng dạng ở TH để khỏi quỏt thành mụ hỡnh chung trờn cơ sở toỏn cao cấp..
Vớ dụ 2.1: Xem xột cỏc bài toỏn ở TH sau:
Bài toỏn 1: Cú bao nhiờu đoạn thẳng trong hỡnh vẽ sau? Bài toỏn 2: Cú bao nhiờu tam giỏc trong hỡnh vẽ sau?
Bài toỏn 3: Trong phũng họp cú 5 người. Tất cả họ đều bắt tay nhau một lần. Hỏi cú bao nhiờu cỏi bắt tay?
* Cỏc bài toỏn trờn đều cú chung một phương phỏp giải như sau:
- Từ đối tượng đó cho (điểm, người…) thứ nhất ta đếm được 4 đối tượng cần tỡm (đoạn thẳng, tam giỏc, cỏi bắt tay…).
- Từ đối tượng đó cho thứ hai ta đếm được 3 đối tượng cần tỡm. - Từ đối tượng đó cho thứ ba ta đếm được 2 đối tượng cần tỡm - Từ đối tượng đó cho thứ tư ta đếm được 1 đối tượng cần tỡm. - Từ đối tượng đó cho thứ năm ta đếm được 0 đối tượng cần tỡm. Như vậy, số đối tượng cần tỡm sẽ là: 4 + 3 + 2 + 1 + 0 = 10.
* Từ đú SV cú thể đưa ra bài toỏn tổng quỏt làm mụ hỡnh cho cỏc bài toỏn này trờn cơ sở của Lý thuyết tập hợp như sau: “Cho n phần tử (n ≥ 2). Số tập con gồm 2 phần tử của n phần tử đó cho là: C2 n = 2!(n−! 2)! n = 2 ) 1 (n− n = 1 + 2+ …+(n – 1) ”
Vớ dụ 2.2: Xuất phỏt từ bài toỏn đếm số tam giỏc tạo thành từ 4 điểm khụng thẳng hàng ở hỡnh vẽ 1. Cú thể đặt cõu hỏi mới cho bài toỏn tương tự ở hỡnh 2, hỡnh 3… Cứ như vậy, SV khỏi quỏt thành bài toỏn tổng quỏt sau: “Cho trước trong mặt phẳng n điểm bất kỳ sao cho khụng cú ba điểm nào thẳng hàng. Hỏi cú bao nhiờu tam giỏc tạo thành từ n điểm đó cho?”
Hỡnh 1 Hỡnh 2 Hỡnh 3
3. Trờn cơ sở cỏc bài toỏn tổng quỏt của toỏn cao cấp bồi dưỡng cho SV năng lực cụ thể hoỏ
Bồi dưỡng cho SV năng lực cụ thể hoỏ thụng qua hệ thống BT ở đõy nghĩa là yờu cầu SV nắm bắt được cỏc mụ hỡnh bài toỏn và sự thể hiện của cỏc mụ hỡnh đú trờn tinh thần toỏn cao cấp trong nội dung mụn Toỏn TH, sau đú cụ thể hoỏ thành cỏc bài toỏn TH. Từ đú SV sẽ cú nhiều sự vận dụng sỏng tạo trong dạy học và khả năng phỏt hiện, mở rộng cỏc bài toỏn mới.
Vớ dụ 2.3: Cho cụng thức tổng quỏt của LTTH sau: A ∪ B =A+ B-A ∩ B
Hóy cụ thể hoỏ cụng thức này thụng qua một số bài toỏn ở TH.
Trả lời: Chẳng hạn bài toỏn: “ Đội tuyển thi HS giỏi văn và toỏn của một trường TH cú 15 em, trong đú cú 10 em thi văn và 8 em thi toỏn. Hỏi cú bao nhiờu em chỉ thi một mụn ?”. Như vậy, việc chỉ ra mối liờn hệ giỳp SV một mặt thấy được rừ hơn ý nghĩa của cụng thức LTTH. Mặt khỏc, SV cú nhiều cơ hội tiếp xỳc với thực tiễn dạy học toỏn ở TH và nắm vững vàng bản chất của phương phỏp biểu đồ Ven trong giải toỏn.
Vớ dụ 2.4: Cho vấn đề: “Trong nhúm sắp thứ tự nghiờm ngặt (Z, +, ≤) ta luụn cú: Với mọi x, y, z ∈ Z thỡ x < y kộo theo x + z < y + z ”.
Hóy cụ thể hoỏ vấn đề này thụng qua một số bài toỏn ở TH.
Trả lời: Chẳng hạn bài toỏn : “Mẹ cho anh 7 viờn phấn, em 5 viờn phấn. Hỏi: a. Ai cú nhiều hơn và nhiều hơn mấy viờn?
b. Mỗi người viết hết một viờn. Mỗi người cũn mấy viờn ? c. Lỳc đú ai cú nhiều hơn, nhiều hơn mấy viờn ?”
(Nguyễn Danh Ninh, Toỏn TH nõng cao 1, NXBGD, 2001, tr 26)
Sau khi làm BT này, SV hiểu hơn về tớnh sắp thứ tự của nhúm cộng cỏc số nguyờn Z, đồng thời thấy được ý nghĩa thực tế của lý thuyết nhúm thể hiện trong chương trỡnh Toỏn TH.
c. Đề xuất bổ sung cỏc dạng BT giỳp SV phỏt triển năng lực chuyển hoỏ từ tri thứccủa toỏn cao cấp sang tri thức dạy học toỏn ở TH