tớch phõn
Cỏc ý tưởng giỳp hỡnh thành mụn vi phõn, tớch phõn phỏt triển qua một thời gian dài và những người đi những bước tiờn phong là cỏc nhà toỏn học Hi Lạp. Xột về mặt lịch sử thỡ tư tưởng phộp tớnh tớch phõn ra đời trước và ớt lõu sau phộp tớnh vi phõn mới được nghĩ tới. Leucippus, Democritus và Antiphon đó cú những đúng gúp vào phương phỏp "vột kiệt" (Method of Exhaustion) của Hi Lạp. Nhưng mói về sau mới được Euxodus (408 - 355) nõng lờn thành lớ luận khoa học. (Sở dĩ gọi là phương phỏp "vột kiệt" vỡ xem diện tớch của một hỡnh được tớnh bằng vụ số hỡnh, càng lỳc càng lấp đầy hỡnh đú.)
Phương phỏp vột kiệt thừa nhận tớnh chia hết vụ hạn của cỏc độ lớn, được coi là cõu trả lời của trường phỏi Platon đối với những nghịch lớ của Zeno. Mệnh đề cơ sở như sau: "Nếu từ bất kỡ một đại lượng nào đú và bỏ đi một phần
khụng nhỏ hơn một nửa của nú, rồi từ chỗ cũn lại bỏ đi một phần khỏc khụng nhỏ hơn một nửa của nú, võn võn thỡ cuối cựng sẽ cũn lại một đại lượng nhỏ hơn bất kỳ đại lượng nào được ấn định cựng loại".
Tuy nhiờn, chỉ cú Archimedes (287 - 212) mới là người Hi Lạp kiệt xuất nhất với phương phỏp cõn bằng được tỡm thấy vào năm 1906. Tư tưởng chớnh của phương phỏp Archimedes là: "Để tỡm một diện tớch hoặc một thể tớch thỡ cắt nú ra thành một số rất lớn cỏc dải phẳng mỏng song song và (nghĩ trong úc) là treo chỳng ở đầu tõm đó biết". Thành tựu to lớn đầu tiờn của ụng là tỡm được diện tớch của hỡnh tam giỏc cong parabol bằng 4/3 diện tớch của tam giỏc cú cựng đỏy và đỉnh và bằng 2/3 diện tớch của hỡnh bỡnh hành ngoại tiếp. Kết quả này được tỡm ra bằng cỏch dựng một dóy vụ tận cỏc tam giỏc, bắt đầu với tam giỏc cú diện tớch bằng S và tiếp tục ghộp thờm cỏc tam giỏc mới nằm xen giữa cỏc tam giỏc đó cú với đường parabol. Hỡnh parabol dần dần được lấp đầy bởi cỏc tam giỏc cú diện tớch là:
S S S S S S
S, S + , S + + , S + + + ...
4 4 16 4 16 64
Từ đú diện tớch của tam giỏc cong giới hạn bởi parabol là:
1 1 1 4
S (1 + + + + ...) = ( )S.
4 16 64 3
Archimedes cũng đó tỡm ra được diện tớch hỡnh trũn bằng phương phỏp của mỡnh. Đõy là mụ hỡnh đầu tiờn của phộp tớnh tớch phõn, nhờ đú ụng tỡm được giỏ trị gần đỳng của số π ở khoảng giữa hai phõn số 310
71 và 1 3
7.
Trong tất cả những khỏm phỏ của mỡnh, Archimedes tõm đắc nhất là việc tỡm ra cụng thức tớnh thể tớch hỡnh cầu: "Thể tớch hỡnh cầu bằng 2/3 thể tớch hỡnh trụ ngoại tiếp ". Sau khi ụng mất, thể theo nguyện vọng lỳc sinh thời, người ta cho dựng một mộ bia cú khắc hoa văn một hỡnh cầu nội tiếp một hỡnh trụ.
Cũng từ khi ụng mất cho đến thế kỉ thứ XVII, nền toỏn học hầu như rơi vào trong búng tối. Lỳc này do nhu cầu của kỉ thuật, phộp tớnh vi tớch phõn trở lại để giải quyết những bài toỏn về sự biến thiờn của cỏc đại lượng vật lớ. Cỏc nhà toỏn học lớn như Ferrmat (1601 - 1665), Roberval, Descartes (1596 - 1650), Cavalieri đó tập trung giải quyết bốn bài toỏn lớn sau:
1. Tỡm tiếp tuyến của một đường cong. 2. Tỡm độ dài của một đường cong.
3. Tỡm giỏ trị lớn nhất, nhỏ nhất của một đại lượng, chẳng hạn tỡm khoảng cỏch gần nhất và xa nhất giữa một hành tinh và mặt trời hoặc khoảng cỏch tối đa mà một đạn đạo cú thể bay tới theo gúc bắn đi của nú.
4. Tỡm vận tốc và gia tốc của một vật thể.
Và thế kỉ XVII được xem là một bước ngoặt trong lịch sử Toỏn học khi phộp tớnh vi - tớch phõn được phỏt triển nhờ tỡm ra cỏch giải quyết cỏc bài toỏn trờn. Tất cả cố gắng của họ đó đạt đến đỉnh cao khi hai nhà toỏn học Isaac Newton (1643 - 1727) và Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) đó nghiờn cứu một cỏch cú hệ thống, hoàn thiện phộp tớnh vi - tớch phõn vào cuối thế kỉ này. Đõy cũng là thành tựu Toỏn học nổi bật nhất vào thời kỡ đú.