Khỏi niệm sơ khai về hàm số đó cú từ 1000 năm trước cụng nguyờn khi những người Babilon đó biết lập những bảng tỉ số thực nghiệm trong thiờn văn. Nhưng mói đến thế kỉ thứ XVII khỏi niệm này mới được hỡnh thành rừ ràng và cú hệ thống trong Toỏn học nhờ cỏc cụng trỡnh của Phermat và Descartes.
Giữa thế kỉ thứ XVII, khi đụng chạm đến bài toỏn về sự dao động của sợi dõy đó nảy sinh nhu cầu về một định nghĩa hàm số tổng quỏt. Khoảng năm 1694 danh từ hàm số được Leibniz dựng lần đầu tiờn. Lỳc này khỏi niệm hàm số gắn liền với biểu diễn hỡnh học của hàm số bằng một đường.
Thế kỉ thứ XVII cũng là giai đoạn chuyển biến việc biểu diễn tương quan hàm số từ trực giỏc hỡnh học sang biểu thức giải tớch. Năm 1718, Johann Bernoulli đĩnh nghĩa: "Hàm số của một biến lượng là một biểu thức giải tớch gồm biến lượng đú và cỏc đại lượng khụng đổi". Năm 1748, D'Alembert cũng đưa ra định nghĩa: "Hàm số là một biểu thức giải tớch". Trong thế kỉ thứ XVIII biểu thức giải tớch đúng vai trũ cơ bản trong việc xỏc định tương quan hàm số. Tuy nhiờn trong thế kỉ này cũng cú những định nghĩa tổng quỏt hơn, coi hàm số như một đại lượng phụ thuộc. Năm 1755, Euler định nghĩa: "Khi một đại
lượng phụ thuộc vào cỏc đại lượng khỏc sao cho sự thay đổi của cỏc đại lượng thứ hai kộo theo sự thay đổi của đại lượng thứ nhất thỡ đại lượng thứ nhất gọi là hàm số của đại lượng thứ hai" [20, tr. 92].
Trong thế kỉ thứ XIX với sự phỏt triển của giải tớch toỏn học, khỏi niệm hàm số đũi hỏi phải được mở rộng. Xõy dựng khỏi niệm này dựa vào sự tương ứng giữa cỏc giỏ trị của hai đại lượng. Năm 1837, Dirichler định nghĩa: "y là hàm số của x nếu với mỗi giỏ trị của x thỡ tương ứng một giỏ trị hoàn toàn xỏc định của y cũn sự tương ứng đú được thiết lập bằng cỏch nào thỡ điều này hoàn toàn khụng quan trọng". ễng đưa ra vớ dụ:
1 nếu x hữu tỉ ( ) 0 nếu x vô tỉ = = y D x
Định nghĩa này đó được tất cả cỏc nhà bỏc học lỳc bấy giờ chấp nhận. Nhưng về sau khi lớ thuyết tập hợp phỏt triển thành nền tảng của toỏn học đũi hỏi phải mở rộng hơn nữa khỏi niệm hàm số. Lỳc này khỏi niệm hàm khụng dựng đại lượng biến thiờn mà dựa vào lớ thuyết tập hợp. Đõy là một khuynh hướng hiện đại dẫn tới mở rộng khỏi niệm hàm vỡ nú nghiờn cứu những sự tương ứng khụng phải chỉ giữa cỏc giỏ trị của những đại lượng. Do đú nú cú khả năng phục vụ cho tất cả cỏc ứng dụng cổ truyền của Toỏn học cũng như nhiều ứng dụng mới xuất hiện. Sau đõy là bốn dạng định nghĩa (Dẫn theo [20, tr. 94]):
- Dạng định nghĩa tỡnh huống hàm - nghĩa là tỡnh huống mà trong đú cú thể núi rằng cú một hàm số:
+ "Giả sử A và B là hai tập hợp bất kỡ. Người ta núi rằng trờn A được xỏc định một hàm f nhận cỏc giỏ trị trong B nếu với mỗi phần tử x ∈ A đặt tương ứng một và chỉ một phần tử trong B". Trong trường hợp cỏc tập hợp cú bản chất bất kỡ thỡ thay từ "Hàm" người ta thường dựng từu " ỏnh xạ" và núi về ỏnh xạ của tập hợp A đến tập hợp B.
+ "Cho hai tập hợp A và B. Ta núi rằng đó xỏc định một ỏnh xạ f của tập hợp A vào tập hợp B và kớ hiệu f: A→B nếu bằng cỏch nào đú đặt tương ứng với mỗi phần tử a ∈ A một phần tử xỏc định b ∈B".
- Hàm như một quy tắc tương ứng của hai tập hợp:
"A và B là hai tập hợp đó cho. Một ỏnh xạ f từ A đến B là một quy tắc cho tương ứng với mỗi phần tử a ∈ A một phần tử duy nhất b ∈ B".
- Hàm như một sự tương ứng: "Hàm là một sự tương ứng mà theo đú với mỗi phần tử x của tập hợp X tương ứng một phần tử y của tập hợp Y nào đú".
Rừ ràng cỏc định nghĩa hàm thuộc ba dạng trờn đó dựa vào tập hợp nhưng chưa triệt để: Dạng thứ nhất chưa chỉ được đớch danh hàm là gỡ, cũn cú những thuật ngữ chưa rừ như "quy tắc" ở dạng 2, "sự tương ứng" ở dạng 3. Dạng cuối cựng sau đõy sẽ khắc phục được cỏc nhược điểm trờn.
- Định nghĩa hàm triệt để dựa vào tập hợp của Bourbaki: + Định nghĩa đầy đủ:
Một tập hợp G mà mỗi phần tử của nú là những cặp được gọi là một đồ thị. Tập hợp tất cả cỏc phần tử thứ nhất của cỏc cặp trong G được gọi là miền xỏc định của đồ thị G. Kớ hiệu là pr1G. Tập hợp tất cả cỏc phần tử thứ 2 của cỏc cặp trong G được gọi là miền giỏ trị của G, kớ hiệu là pr2G.
Một bộ ba (G, A, B), trong đú G là một đồ thị sao cho pr1G ⊂ A và pr2G ⊂ B, được gọi là một sự tương ứng giữa cỏc tập hợp A và B, A gọi là nguồn và B gọi là đớch của sự tương ứng đú.
Một đồ thị được gọi là một đồ thị hàm nếu trong đú khụng cú hai cặp phõn biệt nào cựng chung phần tử thứ nhất. Một sự tương ứng (F, A, B) được gọi là một hàm nếu F là một đồ thị hàm và A = pr1F.
Như vậy theo những định nghĩa trờn của Bourbaki thỡ một bộ ba tập hợp (F, A, B), trong đú F là tập những cặp sao cho pr1G ⊂ A và pr2G ⊂ B, được gọi là một hàm nếu mỗi phần tử của A đều là thành phần thứ nhất của một và chỉ một cặp thuộc F.
+ Định nghĩa rỳt gọn: "Một hàm là một tập hợp những cặp (x, y) sao cho đối với mỗi x bất kỡ trong tập hợp đú khụng cú quỏ một cặp (x, y) với phần tử thứ nhất x cho trước.
Như vậy nguồn và đớch khụng cú mặt trong định nghĩa rỳt gọn cũn hàm chớnh là đồ thị hàm theo định nghĩa đầy đủ.
Ta thấy rằng khỏi niệm hàm số phỏt sinh, phỏt triển, ngày càng mở rộng, chớnh xỏc hoỏ và hoàn thiện là do nhu cầu của thực tiễn. Và những định nghĩa dạng cuối cựng (theo cỏch đầy đủ hay rỳt gọn) là tiờu biểu nhất cho khuynh hướng hiện đại - khuynh hướng lớ thuyết tập hợp.