Chúng tôi xét một mô hình WSM tối thiểu, bao gồm hai điểm Weyl có Hamiltonian được cho bởi [24]
W = ℏvF(kxσx + kyσy) + Ma(k2 − k2)σz, (1.1)
(a) (b)
(c) (d)
H
c
x y c
c z
c
Hình 1.3: Sự thay đổi của phổ năng lượng theo kztrong trường hợp kx = ky = 0 khi điện trường (∆z = γMak2) thay đổi.
trong đó vF là vận tốc Fermi trong mặt phẳng (x, y) với ℏvF = 2.5 eV ˚A; k =
|⃗k| với ⃗k = (kx, ky, kz) là vectơ sóng; σx, σy và σz là các ma trận Pauli; kc = 0.1
˚A−1 và Ma = 10 eV ˚A2 là các tham số đặc trưng của mô hình [19] . Đặt một điện
trường đều
E⃗ = (0, 0, −Ez) vào hệ, tán sắc vùng năng lượng được tìm thấy có biểu thức như sau
E± = ± .
(ℏvF)2(k2 + k2) + [Ma(k2 − k2) − ∆z]2, (1.2) trong đó ∆z = eEzLz, với Lzlà chiều dày của hệ theo phương z. Tại kx = ky = 0, tán sắc năng lượng trở thành E± = ±|Ma(k2 − k2) − ∆z|. Sự phụ thuộc của năng lượng vào kz khi kx = ky = 0 khi điện trường thay đổi thông qua tham số γ = ∆z/(Mak2) được chúng tôi minh họa ở Hình 1.3. Khi không có điện trường, γ = 0 (xem Hình 1.3(a)), hai vùng E+ và E− giao nhau tại hai điểm (0, 0, ±kc).
c
e
c z c
Trong phạm vi giữa hai điểm, nghĩa là −kc < kz < kc, WSM hiển thị pha topo [24]
như được quan sát thấy trong silic [70],[71]. Khi điện trường tăng sao cho γ < 1 (xem Hình 1.3(b)), hệ vẫn ở pha topo nhưng với các giao điểm thay đổi đến vị trí gần hơn kz = ±ka với ka = (k2 − ∆z/Ma)1/2 = kc(1 − γ)1/2. Thuộc tính topo này có thể được đặc trưng thông qua số Chern khác không [72]. Cụ thể là số Chern
khác không (bằng không) trong (ngoài) phạm vi −ka < kz < ka [73]. Khi γ = 1 (xem Hình 1.3(c)), hai điểm hội tụ thành một, lúc này hai vùng chỉ giao nhau tại một điểm duy nhất và hệ hiển thị pha đặc biệt liên quan đến pha kim loại phân cực vùng trong silic [74]. Khi γtiếp tục tăng đến γ> 1 (xem Hình 1.3(d)), hai vùng trở nên tách biệt hoàn toàn và cho thấy tồn tại vùng cấm nhất định và hệ sẽ không còn là bán kim loại nữa mà là bán dẫn. Trong luận án này, pha bán kim loại của hệ, tương đương với giá trị γ < 1, sẽ được nghiên cứu chi tiết.
Ta xét một giếng lượng tử có bề rộng Lz theo phương z. Đặt một thế vô hạn V (z) = ∞ bên ngoài giếng, vectơ sóng theo phương z bị lượng tử hoá và trở thành kz = ±(nzπ/Lz), với nz = 1, 2, 3, .... Lúc này, hàm sóng tổng quát có dạng ψ = ϕnz (z)ψ(x, y), trong đó ϕnz (z) = √
2/Lz sin(nzπz/Lz) là hàm sóng theo phép thay thế Peierls p⃗ → ⃗π = (p⃗ + eA⃗) với chuẩn Landau A⃗ = (0, A(y), 0). Khi xét đến cả điện trường và từ trường, Hamiltonian trở thành
W = vF(πxσx + πyσy) + Mnσz, (1.3) trong đó, Mn = Ma(k2 − k2) − (2Ma/α2)(n + 1/2) − ∆z. Ở đây, ωc = vF
√2/αc và αc = [ℏ/eB(x)]1/2lần lượt là tần số và bán kính cyclotron.
Để tìm được biểu thức của hàm sóng điện tử và năng lượng tương ứng, trước hết ta định nghĩa hàm sóng ở trạng thái |η⟩ được khai triển dưới dạng
|η⟩ ≡ ψ = [exp(ikyy)/√
Ly]ϕnz ψx. Phương trình Weyl-Dirac không phụ thuộc thời phương z. Khi hệ chịu tác dụng của một NUMF B⃗ = (0, 0, B(x)), thì ta sử
dụng
H
e
√
z
F x y
iψ (x)
iψ (x)
Mn −iℏvF (∂x + W )
ψ+(x)
= E
ψ+(x)
, (1.8)
gian có dạng
HW ψ = E .ψ (1.4)
Thay (1.3) vào phương trình trên đồng thời sử dụng phép thay thế Peierls, ta có .vF[(px + eAx)σx + (py + eAy)σy] + Mnσz
Σψ(x, y) = Eψ(x, y), (1.5)
trong đó ψx,y = eikyy Lyψ với
ψ(x) =
ψ+(x)
, (1.6)
−
là thành phần hàm sóng theo phương x. Với Ax = 0 như đã chọn ở trên, ta biến đổi phương trình (1.4) như sau
.v [p σ +
(p + eA
)σ ] +
M σ Σ eikyy
ψ+(x)
= Eeikyy
ψ+(x)
. (1.7)
− −
Thay các biểu thức của ma trận Pauli vào biểu thức (1.7 ) với lưu ý p⃗ = −iℏ∇ ta được
iℏvF (−∂x + W ) −Mn
trong đó ta đã kí hiệu
iψ−(x)
iψ−(x)
W = ky + eAy/ℏ (1.9)
là hàm siêu thế [75].
x
n
x y y
iL+ −Mn
iψ−
iψ−
x
x
Đưa vào định nghĩa của toán tử vi phân cấp một
L± = ℏvF(∓∂x + W ), (1.10) khi đó ta viết lại biểu thức (1.8) như sau
Mn −iL−
ψ+
= E
ψ+
. (1.11)
Thực hiện phép nhân ma trận ta thu được hệ phương trình mô tả mối liên hệ liên kết giữa các thành phần ψ+ và ψ− của hàm sóng
L−ψ− = (E − Mn)ψ+ (1.12)
L+ψ+ = (E + Mn)ψ−. (1.13) Thay (1.10) vào (1.12) và (1.13) ta thu được dạng khai triển tường minh như sau
ℏvF(∂x + W )ψ− = (E − Mn)ψ+ (1.14) ℏvF(−∂x + W )ψ+ = (E + Mn)ψ−. (1.15) Các phương trình (1.14) và (1.15) gọi là các phương trình Dirac-Weyl cho elec- tron trong giếng lượng tử WSM. Sử dụng hai phương trình này, ta thu được các phương trình Schr¨odinger cho ψ+ và ψ−như sau (xem Phụ lục 1)
H±ψ± = [−(ℏvF)2∂2 + V±(x)]ψ± = [(E)2 − (Mn)2]ψ±, (1.16) trong đó H± là Hamiltonian đối tác SUSY [76] tương ứng với mỗi thành phần là
H± = −(ℏvF)2∂2 + V±(x), (1.17)
2
trong đó ta đã ký hiệu
V±(x) = (ℏvF)2[W 2 ± (∂xW )], (1.18) đóng vai trò là thế đối tác siêu đối xứng hoặc thế hiệu dụng [76].
Hai thành phần H+ và H− được thừa số hoá như sau (xem Phụ lục 2)
H+ = L−L+, H− = L+L−. (1.19) Các Hamiltonian đối tác SUSY có mối liên kết đan xen siêu đối xứng như sau [77]
H+L− = L−H+, H−L+ = L+H−. (1.20) Từ mối quan hệ siêu đối xứng này ta có nhận xét sau: Nếu ta biết phổ năng lượng của H+(H−) thì phổ năng lượng của đối tác tương ứng H−(H+) sẽ có cùng dạng, ngoại trừ mức không. Ta xét các trường hợp đặc biệt sau:
a. Trường hợp 1
Nếu trạng thái cơ bản của H− bị huỷ bởi L−, tức là
L−ψ−,0 = 0, (1.21)
khi đó, từ (1.19) ta có mức năng lượng zero hiệu dụng của H− bằng không, hay ε−,0 = (E−,0 + Mn) = 0 → E−,0 = −Mn, khi đó phổ năng lượng gián đoạn và hàm sóng tương ứng của H+ được tính bởi các biểu thức
E+,n−1 = E−,n, (1.22)
ψ+,n−1 1
=
−, n
L−ψ−,
n
= 1 L−ψ E−,n − Mn −,n
= ℏvF
E−,n − Mn
(∂x + W )ψ
−,
n . (1.23)
√ ε
cneikyy
ψ+,n−1(x)
n
Do đó hàm sóng và phổ năng lượng trong trường hợp này là c0eikyy
0
Ψ0(x, y) =
√Ly
iψ−,0(x)
E0 = E−,0 = −Mn, (1.24) Ψn(x, y) =
√Ly
iψ−,n(x)
E±,n = pE−,n = pE+,n−1, n = 1, 2, ... (1.25)
với p = +/− là ký hiệu cho vùng dẫn/vùng hoá trị; cn, với n = 0, 1, 2, ..., là các hệ số chuẩn hoá.
b. Trường hợp 2
Nếu trạng thái cơ bản của H+ bị huỷ bởi L+, tức là
L+ψ+,0 = 0, (1.26)
khi đó, từ (1.19) ta có mức năng lượng không "hiệu dụng" của H+ sẽ bằng không, tức là ε+,0 = (E+,0 − Mn)2 = 0 → E+,0 = Mn, khi đó phổ năng lượng gián đoạn và hàm sóng tương ứng của H− được tính bởi các công thức
E−,n−1 = E+,n, (1.27)
ψ−,n−1 1
= +,
n
L+ψ+, n
= 1 L+ψ E+,n + Mn +,n
= ℏvF
E+,n + Mn(∂x + W
)ψ +,n . (1.28)
Tóm lại, trong trường hợp này ta có hàm sóng và phổ năng lượng là c0eikyy
0
E0 = E+,0 = Mn, (1.29) Ψn(x, y) = c eikyy
ψ+,n(x)
√L
E±,n = pE+,n = pE−,n−1, n = 1, 2, ... (1.30)
√ ε
y iψ−,n−1(x )
Σ Σ
2
± c
ξ
2
η n,p n n
Tiếp theo, chúng ta sẽ giải các phương trình này trong hai trường hợp khác nhau của từ trường.
1.2.1.1. Từ trường không đổi
Khi đặt vào hệ là một UMF có dạng B(x) = B0, ta sẽ có Ay = B0x. Biểu thức của thế đối tác siêu đối xứng trong trường hợp UMF là (xem Phụ lục 3)
V±(x) = (ℏvF)
2
2c
(ξ
2 ± 1). (1.31)
Thực hiện phép thay thế biểu thức ở (1.31) vào biểu thức (1.16) ta được ..ℏ v F 2
∂2
−
.ℏ v F 2
(ξ2 ± 1) +
[(E)2 − (Mn) ] Σ
ψ± = 0. (1.32)
αc c αc ±
Đặt α± = [(E)2 − (Mn)2]α2/(ℏvF)2 ∓1, ta viết lại biểu thức (1.32) như sau [∂2 + (α± − ξ2)]ψ±(ξ) = 0. (1.33) Phương trình (1.33) có nghiệm như sau [78]
ψ±(ξ) = e−ξ /2w±(ξ), (1.34)
trong đó, hàm w±(ξ) có dạng (xem Phụ lục 4) [79].
w±(ξ) = Hν (ξ). (1.35)
Ở đây, 2ν= α± − 1, với ν= 0, 1, 2, .... Từ mối liên hệ này ta tìm được biểu thức của năng lượng như sau
Eu ≡ Enz,u = p .
n(ℏωc)2 + M 2 ≡ pEnz,u, (n ≥ 1), (1.36) α
n n
n
n
2
c
u
2
.
(pEnz,u)2 − M 2, ta tìm được biểu thức hàm sóng hai thành phần theo phương
với
Enz,u = .
n(ℏωc)2 + M 2, (1.37) và chỉ số trên u biểu thị trường hợp UMF để phân biệt với trường hợp NUMF ở trường hợp sau.
Ta có một nhận xét rằng trạng thái ứng với n = 0 là không suy biến. Thật vậy, với n = 0, trạng thái w+ ứng với ν = −1, trong khi đó trạng thái w− ứng với ν = 0. Do ν là một số không âm nên khi n = 0 trạng thái w+ không tồn tại, hay
wn−1 = 0, tương ứng với trường hợp 1. Lúc này, ta sẽ tìm ψ− ≡
ϕu trước. Thay
biểu thức (1.35) vào biểu thức (1.34), thành phần hàm sóng có dạng như sau ϕu(ξ) = Nn
e−ξ 2 / Hn(ξ). (1.38) Chuẩn hoá hàm sóng (1.38) đồng thời áp dụng tính chất trực giao của các đa thức Hermite, ta tìm được hệ số chuẩn hoá có dạng
1 Nn= √
2nn!α √
π . (1.39)
Lúc này ta có hàm sóng đã chuẩn hoá có dạng là hàm sóng điều hoà như sau ϕn(ξ) = √
2n 1 n!
αc
e−ξ 2 / π
Hn(ξ), với ξ
=
x − x0
αc . (1.40)
Thay biểu thức (1.40) vào biểu thức (1.23) và áp dụng công thức đạo hàm của đa thức Hermite ∂ξHn(ξ) = 2nHn−1(ξ) đồng thời sử dụng mối liên hệ ℏωc
√n
=
n n
x như sau
√
iϕn
ψ
+
p
.pEnz,u+M
n ϕu
ψn(x) = cn = cn pEnz,u−Mu n n−1 . (1.41) iψ−
−∞
ΣpE + Mn
.pE − Mn
.
nz,u
n n
ϕu(x)
n,pz n
n n
Anz,u = n ,u
0 0 0
λ Từ điều kiện chuẩn hoá ∫ +∞
[ψn(x)]†ψn(x) = 1, ta có
|cn| nz,u
1 + n
pE − M = 1 → cn = p
nz,u n
2pEnz,u . (1.42) Thay (1.42) vào (1.41), ta được biểu thức hàm sóng đã chuẩn hoá như sau
Anz,uϕu
n,p
(x)
ψ(x) ≡ ψnz,u = n,p
n ,un−
1 , (n = 1, 2, 3, ...) (1.43) trong đó ta đã kí hiệu
.pEnz,u + Mn
2pEnz
.pEnz,u − Mn
Hàm sóng và năng lượng ứng với n = 0 là
Enz,u = −M0 và ψnz,u = (0, ϕu)T , (1.45) trong đó T là toán tử chuyển vị.
1.2.1.2. Từ trường không đều
Xét trường hợp khi một NUMF, cụ thể là một EDMF [33] đặt vào hệ có dạng B(x) = B0exp .
− x Σ
, (1.46)
với B0 là cường độ từ trường tại x = 0 và λ là độ thâm nhập của từ trường (tức là độ sâu mà tại đó từ trường giảm đi e lần so với giá trị của nó ở x = 0). Biểu thức của thế đối tác SUSY trong trường hợp này là (xem Phụ lục 5)
V±(x) = (ℏvF)2(W 2 ± ∂xW )
2
n
B
n,p
, Bnz,u
= n,p 2pEnn ,uz . (1.44)
Σ
= λ .ℏ v F
2
[(ξ0 − ξ)2 ± ξ]. (1.47)
∂ξ+
ξ∂ξ − ξ2
+ ξ −
1
ξ
2 2
0 n
n η n,p 2ξ
0
c n
Thay (1.47) vào (1.16) đồng thời chia hai vế cho (ℏvFξ λ)/ 2, ta được Σ
2 1 β2 2 ξ 0 ∓ 1 Σ
Nghiệm tổng quát của (1.48) có dạng
ψ±(ξ) = ξβe−ξw±(ξ), (1.49)
trong đó w±(ξ) là một hàm cần tìm. Ta tiến hành đổi biến như sau z = 2ξ → ∂ξ = ∂ ∂z
z ∂ξ
= 2∂z
, và ∂2 = 4∂z
. (1.50)
Từ đó ta tìm được hàm w±(z) có dạng (xem Phụ lục 6)
w±(z) = 1F1(α±; γ∗, z). (1.51) Do nghiệm phải chuẩn hoá, đại lượng α± phải là một số nguyên âm, tức là α± = −ν(ν= 0, 1, 2, ...). Từ mối liên hệ này ta có
β− ξ + 1/2 ± 1/2 = −ν → β =
ξ −
. ν + 1
± 1 Σ
. (1.52)
Mặt khác ta có λ= αc(x0)√
ξ0 đồng thời thay biểu thức (1.52) vào biểu thức
E = p ..
ℏvF
λ
2
(ξ2 − β2) + M 2, (1.53)
ta tìm biểu thức phổ năng lượng điện tử có dạng như sau
E ≡ Ed ≡ Enz,d = p .
n .
1 − n Σ [ℏω (x
)]2 + M 2, (1.54)
ψ± = 0. (1.48)
0
Σ
0
với ωc(x0) = vF
√2/αc(x0) là tần số cyclotron tại x = x0. Ký hiệu d ở trên để phân
0
1 − 2 ∓
2
n Γ(n + 1)Γ(β+ 1) 1 1
n
.
n
− n λΓ(n + 2β + 1)
n
biệt với trường hợp UMF.
Trở lại với biến ξ, hàm sóng tương ứng là w±(2ξ) = N F
Σ
− .
n 1 1 Σ
, 2β + 1; 2ξ Σ
. (1.55)
Do trạng thái cơ bản của H− bị huỷ bởi L−, nên bài toán thuộc trường hợp 1.
Do đó ta sẽ tìm ψ− trước. Ta có
ψ− = ξβe−ξw−(2ξ) = ξβeξ 1F1(−n, 2β+ 1; 2ξ). (1.56) Sử dụng mối liên hệ giữa hàm siêu bội và đa thức Laguerre liên kết [80]
Lβ(x) = Γ( n + β + 1) F (−n, β+ 1; x), (1.57) ta viết lại biểu thức hàm sóng (1.56) như sau
ψ− = Nnξβe−ξL2β(2ξ), (1.58) với Nnlà hệ số chuẩn hoá. Hệ số này được tìm từ điều kiện chuẩn hoá và có biểu thức là (xem Phụ lục 7)
N = 2β (2 β )Γ( n + 1)
. (1.59)
λΓ(n + 2β+ 1) Từ đó ta có biểu thức của hàm sóng đã chuẩn hoá như sau
ψ ≡ ϕd (x) =
. (2β)Γ(n + 1)
2ξβe−ξL2β(2ξ). (1.60) Thành phần hàm sóng ψ+ thu được từ biểu thức (1.23). Thực hiện tính toán ta
1
iϕn(x)
−∞
. Σ
→|
.
n,p n−
ipBnz ϕ1d (x).
được (xem Phụ lục 8)
ψ = p
.pEn + M n
ϕd
+ pE (2ξ). (1.61)
n − Mn n−1
Do đó, ta có biểu thức hàm sóng hai thành phần như sau
ψ+
p
.pEn M+ nϕd (x)
ψ(x) = cn = pEn−M
n
d n−
1 . (1.62)
Từ điều kiện chuẩn hoá ∫ +∞
[ψn(x)]†ψn(x)dx = 1, ta có
|cn 2 pEn + Mn
+ 1 = 1
c pEn − Mn = p pEn − Mn
. (1.63)
2pEn
Thay (1.63) vào (1.62) ta được biểu thức hàm sóng đã chuẩn hoá
Anz ϕd
n,p
(x)
iψ−
n
ψ(x) ≡ ψnn,pz =
n
. . pE
pE
n
n λ¯αc(x0)(n + 2β)n!
λ¯ với các hằng số chuẩn hoá như sau
Anz = nz
n,p+ Mn, Bnz = n,pnz − Mn. (1.65)
n,p nz
n,p n,p nz
n,p
Đối với n = 0, hàm sóng và năng lượng tương ứng là Enz = −Mnvà ψnz
= (0, ϕ0)T.
0 0
Ta biểu diễn hàm sóng thành phần ϕd (x) ở (1.60) ở dạng sau
ϕd (x) = .
(2 β ) n !
2ξ
βexp .
− βX Σ
× exp Σ
−ξ0 exp .
− ΣΣ X
×L2β Σ
2ξ0 exp .
− ΣΣ
, (1.66)
X
, (1.64)
2pE 2pE
0
λ¯
n λ
¯
a U M kz F
= 0
c
N U M F kz
= 0
n
0.2 0.2
0.1 0.1
0.0 0.0
–0.1 –0.1
–0.2 0
0.2
2 4 6 8 10 12 14 B0 T
–0.2
0.2
0 10 20 30 40 50 nz
0.1 0.1
0.0 0.0
–0.1 –0.1
–0.2
0 2 4 6 8 10 12 14 B0 T
–0.2
0 10 20 30 40 50 nz
Hình 1.4: (a) và (c) Sự phụ thuộc vào từ trường B0 khi nz = 1 của các mức Landau; (b) và (d) Sự phụ thuộc vào nzkhi B0 = 8 T trong các trường hợp UMF và NUMF. Các đường màu xanh da trời biểu thị mức Landau n = 0. Các đường màu đỏ và màu hồng đậm biểu thị à tại T = 0 K: cỏc đường liền nột, nột đứt và chấm chấm lần lượt ứng với ne = n0, 2n0 và 3n0. Kết quả thu được khi γ= 0.5 và λ= 50 nm.
.
trong đó λ¯ = λ α/ c(x0) = √
ξ0, X = (x − x0)/αc(x0), β = ξ0 − n, và Lm(x) là đa thức Lagueree liên kết.
Hình 1.4a và 1.4c mô tả sự phụ thuộc vào từ trường B0 của các giá trị năng lượng ở biểu thức (1.36) và biểu thức (1.54) khi nz = 1 ứng với trường hợp
b B0 = 8 T
U M F
nzEn, peV
d
B0 = 8 T
NU MF
nEeVz n, p
n,p
UMF và NUMF. Giá trị của n0 là n0 = 5 × 1023 m−3. Trong trường hợp UMF, ta thấy phổ các mức Landau tỉ lệ với √B0, với vùng cấm bằng M0 + M1 tương ứng với giá trị năng lượng 0.1 eV khi B0 = 0. Điều này cũng được ghi nhận trong graphene có vùng cấm [81] hoặc silic [26],[27],[82], nhưng khác với các hệ TMDC [18],[28],[83]. Lưu ý, trong trường hợp UMF, tất cả các mức Landau bắt đầu từ B0 = 0, còn đối với trường hợp NUMF thì phổ các mức Landau cũng tỉ lệ với √B0 nhưng các mức Landau bắt đầu từ các giá trị khác nhau của B0, kí hiệu là B0s. Bậc của các mức Landau càng cao, tức là giá trị của n càng lớn thì giá trị của B0s càng lớn. Kết quả này giống như quan sát được trong graphene [30] và phốt pho đen [35]. Điều này xuất phát từ thực tế là, trong trường hợp NUMF, số mức Landau là hữu hạn. Số lượng các mức Landau lớn nhất, kí hiệu là Nmax, được tìm thấy từ điều kiện [Enz ]2 < V±(X → ∞), với V±(X) = (ℏvF)2[W 2 ±
∂xW ] là thế hiệu dụng [34], dẫn đến Nmax = Int[ξ0 −s√
2ξ0] + δ. Ở đây, s = M0/ℏωc(x0), Int[b] là phần nguyên của b, và δ = 0 (1) ứng với vùng dẫn (vùng hoá trị). Sự khác biệt về giá trị của Nmax trong vùng hóa trị và vùng dẫn được giải thích là do sự tồn tại của mức năng lượng không. Mức năng lượng này nằm trong vùng hóa trị và phá vỡ tính đối xứng electron-lỗ trống trong WSM. Với các tham số đã cho trong Hình 1.4, ta có Nmax= 30 (31) khi B0 = 8 T đối với vùng dẫn (vùng hoá trị). Cần lưu ý rằng, không giống như trong graphene hai lớp [84] và phốt pho đen đơn lớp [35], các mức Landau trong WSM không thể chéo nhau, tức là không có sự trộn lẫn các trạng thái Landau. Điều này có thể giải thích như sau, từ biểu thức (1.54) ta có điều kiện hai mức Landau n1 và n2
giao nhau là 2ξ0 = n1 + n2. Từ đó, ta tìm được giá trị của từ trường tại giao điểm là B0c = (ℏ/λ2)(n1 + n2) exp(x0/λ). Kết quả này nhỏ hơn nhiều so với B0s (giá trị từ trường trong đó các mức Landau bắt đầu như đã đề cập ở trên) đối với tất cả các giá trị của n1 và n2. Đó là lý do tại sao không có sự giao nhau giữa các mức Landau khác nhau trong WSM.
Trong Hình 1.4(b) và Hình 1.4(d), chúng tôi biểu diễn sự tán sắc của các mức Landau dọc theo phương z tại B0 = 8 T ứng các trường hợp UMF và NUMF.
±
∥ z
Cấu trúc tán sắc trong WSM dẫn đến kết quả phong phú hơn trong các dịch chuyển quang ngay cả theo phương z. Các đường màu hồng đậm và màu đỏ thể hiện thế hoỏ học à tại nc = n0 ứng với cỏc trường hợp UMF và NUMF.