Chương 2. TÍNH CHẤT TRUYỀN DẪN TỪ CỦA MỘT SỐ VẬT LIỆU BÁN KIM LOẠI TOPO 56
2.1 Độ cảm dọc và độ cảm Hall trong bán kim loại Weyl
2.1.2 Kết quả tính số và thảo luận
Trong phần này chúng tôi sẽ trình bày kết quả tính số độ cảm dọc χxxvà độ cảm Hall χyxtrong mặt phẳng (x, y) và độ cảm χzztheo phương z. Dựa vào mức độ pha tạp, chúng tôi chia kết quả làm hai phần chính: phần thứ nhất là WSM thuần không pha tạp trong đó thế hoá học nằm trong vùng cấm, phần thứ hai là trường hợp pha tạp trong đó thế hoá học nằm trong vùng dẫn.
2.1.2.1. Hệ không pha tạp
Trong trường hợp này, mật độ electron là ne = 0 và thế hoỏ học à nằm trong vùng cấm, phản ứng quang-từ chỉ được thực hiện bởi các dịch chuyển liên vùng.
Trên Hình 2.1(a) và Hình 2.1(b), phần thực (Re) và phần ảo (Im) của độ cảm dọc χxxvà độ cảm Hall χyxđược biểu diễn dưới dạng một hàm của năng lượng photon của ánh sáng tới. Vì các phần Im(χxx) và Re(χyx) mô tả quá trình hấp thụ, nên các phần Re(χxx) và Im(χyx) liên quan đến độ thay đổi chiết suất tương đối [47]. Cả phần thực và phần ảo của χxx và χyx đều hiển thị một loạt các đỉnh. Lưu ý rằng, ngoại trừ đỉnh đầu tiên được tạo bởi một dịch chuyển L0 → L1, mỗi đỉnh còn lại xuất hiện dưới dạng tổ hợp của cặp dịch chuyển L−n → Ln+1 và L−(n+1) → Ln, với n ⩾ 1, trong đó dấu trừ tại L−n chỉ ra rằng mức Landau ban đầu nằm trong vùng hóa trị. Điều này chứng minh rằng chiều cao của đỉnh đầu tiên nhỏ hơn chiều cao của đỉnh thứ hai - được hình thành bởi một cặp dịch chuyển với n = 1. Kết quả này phù hợp với đặc tính nửa đỉnh trong TMDC [83]. Như đã phân tích ở trên, ngoại trừ đỉnh thứ nhất, kể từ đỉnh
2ξ
0
2ξ
0
thứ hai độ cao của các đỉnh giảm khi chỉ số mức Landau tăng. Điều này có thể giải thích như sau: từ biểu thức (1.54), khi n tăng thì sự chênh lệch năng lượng
∆En,n±1inter = En + En±1 tăng, dẫn đến yếu tố ma trận lưỡng cực theo phương x giảm (xem biểu thức (2.8)), và do đó độ cao đỉnh của χxx giảm. Ngoài ra, ta thấy rằng khi chỉ số mức Landau tăng thì khoảng cách giữa các đỉnh giảm, tức là các đỉnh ngày càng gần nhau hơn. Để hiểu rõ hơn về điều này, chúng tôi khảo sát khoảng cách giữa hai đỉnh liền kề ∆En. Từ biểu thức năng lượng ở (1.54), ta có
∆En = En+2 − E n
∝ .
(n + 2).
1 − n + 2 Σ
− .
n.
1 − n Σ
, (2.10)
hiển thị dưới dạng một hàm suy giảm của n. Điều này khác với những gì thể hiện trong các hệ TMDC [83],[139], trong đó khoảng cách đỉnh không phụ thuộc vào n và như nhau ở một từ trường nhất định.
Trên Hình 2.1(c), chúng tôi chỉ ra Re[χ±] và Im[χ±] là hàm của ℏω. Từ biểu thức (1.87), ta có mối liên hệ Im[χ±] = Im[χxx] ± Re[χyx] và Re[χ±] = Re[χxx] ± Im[χyx]. Như được thể hiện trong Hình 2.1(a) cũng như Hình 2.1(b),
Im/Re[χxx] và Re/Im[χyx] có độ cao và vị trí gần như giống nhau nhưng trái dấu.
Do đó, theo hướng phân cực tròn trái, sự đóng góp từ Re/Im[χyx] làm tăng chiều cao của đỉnh trong Im/Re[χxx], dẫn đến sự gia tăng của đỉnh trong Im/Re[χ−].
Quá trình này ngược lại với trường hợp phân cực tròn phải. Trong trường hợp này, sự đóng góp từ Re/Im[χyx] làm giảm, thậm chí hủy bỏ, chiều cao của đỉnh trong Im/Re[χxx], dẫn đến sự biến mất của các đỉnh trong phổ của Im[χ+] và Re[χ+]. Re[χzz] và Im[χzz] của χzzđược hiển thị trong Hình 2.1(d).
Giống như các trường hợp của χxx, χyx và χ−, χzz cũng hiển thị một loạt các đỉnh, trong đó các dịch chuyển thỏa mãn điều kiện n′ = n, nghĩa là các đỉnh được hình thành bởi dịch chuyển L−n → Ln. Lưu ý rằng đối với trường hợp χzz, tất cả các đỉnh của Re[χzz] và Im[χzz] chỉ được tạo bởi một dịch chuyển;
đặc trưng nửa đỉnh
Hình 2.1: Độ cảm [tính theo đơn vị của χ0 = e2/(ϵ0Lz)eV] là một hàm của ℏω: (a) χxx, (b) -χyx, (c) χ±, và (d) χzz. Kết quả thu được khi B = 8 T, ne = 0, T = 0 K, Γ = 2 meV, γ= 0.5, và λ= 50 nm.
không tồn tại trong độ cảm theo phương z, mặc dù độ cao các đỉnh của chúng lớn hơn một chút so với độ cao của χxx, χyx. Kết quả này cũng được ghi nhận trong nghiên cứu về độ dẫn của WSM, trong đó độ dẫn theo phương z được tìm thấy lớn hơn ∼10 lần so với độ dẫn theo phương x [24].
Ảnh hưởng của nhiệt độ lên Im[χ−] và Im[χzz] lần lượt được mô tả trong Hình 2.2(a) cũng như Hình 2.2(b). Đối với Im[χ−], khi nhiệt độ tăng, do sự kích thích nhiệt nên một số dịch chuyển nội vùng có thể xảy ra và điều này dẫn đến sự xuất hiện các đỉnh dịch chuyển nội vùng như được thấy trong Hình 2.2(a). Nhiệt độ càng tăng thì đỉnh hấp thụ nội vùng càng cao. Đối với Im[χzz], do quy tắc lọc lựa với n′ = n (xem biểu thức (2.9)), nên tất cả các
Phần ảo Phần thực
Phần ảo Phần thực
Phần ảo Phần thực
Phần ảo Phần thực
dịch chuyển nội vùng
bị cấm. Do đó, không có dịch chuyển nội vùng nào theo phương z. Bên cạnh đó, ảnh hưởng của sự thâm nhập của từ trường λlên Im[χ−] và Im[χzz] cũng được
Hình 2.2: Độ cảm [tính theo đơn vị của χ0] là một hàm của ℏω: (a) Im[χ−] và (b) Im[χzz] ứng với các giá trị nhiệt khác nhau khi λ = 50 nm. (c) Im[χ−] và (d) Im[χzz] tại các giá trị λkhác nhau khi T = 0 K. Kết quả thu được tại B = 8 T,
ne = 0, Γ = 2 meV, và γ= 0.5.
chúng tôi mô tả trong Hình 2.2(c) và Hình 2.2(d). Trường hợp λ= ∞ tương ứng với một UMF. Với sự gia tăng của λ, các đỉnh thể hiện hành vi dịch chuyển về phía có năng lượng thấp hơn (gọi là dịch chuyển đỏ) do khoảng cách giữa hai mức năng lượng ∆Eη η, ′ giảm. Chúng ta cũng thấy rằng, các đường cong ứng với λ= 50 àm gần như trựng với cỏc đường cong ứng với trường hợp λ = ∞. Điều đú chỉ ra rằng khi sự thõm nhập của từ trường cú giỏ trị λ= 50 àm thỡ NUMF có thể được coi là UMF.
2.1.2.2. Hệ pha tạp
Bây giờ chúng tôi khảo sát trường hợp hệ WSM pha tạp, trong đó ne ̸= 0 và à nằm trong vựng dẫn. Trong trường hợp này, cả dịch chuyển nội vựng và liờn
Phần ảo Phần ảo
Phần ảo Phần ảo
c
vùng đều khả dĩ. Từ Hình 2.1 và Hình 2.2 ta có thể thấy biểu hiện của χzzgần giống với χ−. Do đó, trong phần này, luận án chủ yếu tập trung vào χ−.
Dịch chuyển nội vùng
Hình 2.3 mô tả ảnh hưởng của nhiệt độ, mật độ electron, độ thâm nhập của từ trường và điện trường (do γ = ∆z/Mak2) lên Im[χ−] và Re[χ−] do dịch chuyển nội vùng. Bởi vì năng lượng dịch chuyển ∆Eη η, ′ trong trường hợp dịch chuyển nội vùng là rất nhỏ, nên chúng tôi chọn giá trị của Γ là Γ = 0.2 meV, giá trị này nhỏ hơn khoảng cách mức Landau đối với các đỉnh có thể quan sát được. Nhìn chung, thang năng lượng (trọng lượng phổ) của các đỉnh dịch chuyển nội vùng nhỏ hơn nhiều (lớn hơn) so với trường hợp dịch chuyển liên vùng, kết quả này phù hợp với những gì quan sát được trong các hệ TMDC [83] và graphene [140]. Điều này là do trong dịch chuyển nội vùng thang năng lượng được xác định bởi
biểu thức ∆Eintra
n,n±1
trong đó ∆Einter
n,n±1
= |En±1 − En|, và nhỏ hơn nhiều so với dịch chuyển liên vùng
= |En±1 + En|. Trong khi đó, trọng lượng phổ của các đỉnh dịch chuyển nội vùng lớn hơn khi so với trường hợp của dịch chuyển liên vùng và điều này xuất phát từ hai nguyên nhân. Nguyên nhân thứ nhất là do thanh năng lượng dịch chuyển của nó nhỏ (lưu ý rằng giá trị của Im[χ−] và Re[χ−] tỷ lệ với (∆Eintra )−1). Nguyên nhân thứ hai là do ta đã chọn giá trị của Γ là nhỏ
n,n±1
để có thể quan sát các đỉnh dịch chuyển nội vùng.
Trong Hình 2.3a, chúng tôi biểu diễn ảnh hưởng của nhiệt độ lên Im[χ−] và Re[χ−] tại ne = n0, λ = 50 nm, và γ = 0.5, trong đú à nằm giữa L2 và L3. Do đó, tại T = 0, chỉ dịch chuyển nội vùng L2 → L3 ứng với năng lượng photon ℏω2,3 = 10.15 meV là được phép còn những dịch chuyển khác bị cấm do sự chặn Pauli. Khi T tăng, một vài mức Landau nằm dưới thế hoá học (L0, L1, và L2) trở nên suy giảm nhiệt và không còn bị chiếm hoàn toàn. Do đó, các electron ở các mức Landau bên dưới có thể nhảy lên để lấp đầy các chỗ trống này tạo nên một vài dịch chuyển nội vùng mới. Ở đây, chúng ta có thể quan sát dịch chuyển nội vùng mới L1 → L2 ở ℏω1,2 = 11.97 meV. Trong khi đó, các mức Landau nằm trên à (Ln⩾3) khụng cũn trống hoàn toàn do quỏ trỡnh kớch thớch nhiệt. Cỏc electron
Hình 2.3: Im[χ−] và Re[χ−](tính theo đơn vị của χ0) do dịch chuyển nội vùng là một hàm của ℏωtại B = 8 T và Γ = 0.2 meV: (a) đối với một số giá trị của T , (b) đối với một số giá trị của ne, (c) đối với một số giá trị của λ, và (d) đối với một số giá trị của γ. Kết quả thu được tại T = 0 K, ne = n0, λ= 50 nm, và γ= 0.5.
có thể nhảy lên mức Landau cao hơn để tạo nên các đỉnh mới, đó là kết quả của các dịch chuyển Ln → Ln+1 với n ⩾ 3. Tất cả các đỉnh này nằm ở vùng năng lượng thấp hơn so với đỉnh chính L2 → L3. Những kết quả này cũng được ghi nhận trong graphene [140] và các hệ màng mỏng cách điện topo [86].
Trong Hình 2.3b, chúng tôi biểu diễn ảnh hưởng của nồng độ điện tử lên Im[χ−] và Re[χ−] tại T = 0, λ = 50 nm, và γ = 0.5. Từ Hình 1.4a chúng ta có thể thấy rằng, khi ne tăng, thế hoá học dịch chuyển lên trên, dẫn đến sự thay đổi
trong các dịch chuyển được phép. Các dịch chuyển nội vùng được phép và năng lượng tương ứng của chúng được liệt kê trong ba cột đầu tiên của Bảng 2.1. Với
Phần ảo Phần thực
Phần ảo Phần thực
Phần ảo Phần thực
Phần ảo Phần thực
ne = n0 (2n0, 3n0), à nằm giữa L2(5,7) và L3(6,8) dẫn đến dịch chuyển được phép là Ln → Ln+1, với n = 2 (5, 7), tạo nên một đỉnh tại ℏω= 10.15 (7.28, 6.22) meV.
.
Bảng 2.1: Bảng các dịch chuyển nội vùng được phép Ln → Ln+1 và năng lượng tương ứng của chúng (tính theo đơn vị meV) đối với các ne, λ và γ khác nhau từ Hình 2.3(b), Hình 2.3(c) và Hình 2.3(d).
ne n ℏω λ n ℏω γ n ℏω
n0 2 10.15 50 nm 2 10.15 0.3 1 9.18 2n0 5 7.28 100 nm 3 8.65 0.5 2 10.15 3 n 0 7 6.22 ∞ 3 7.95 0.7 3 10.35
Khi netăng, các đỉnh dịch chuyển đến vùng năng lượng thấp hơn và tăng chiều cao của chúng. Từ Bảng 2.1 rõ ràng rằng, khi ne tăng thì chỉ số mức Landau của các dịch chuyển được phép n tăng, dẫn đến sự chênh lệch năng lượng giảm:
∆Eintran,n±1 = |En±1 − E n |
∝ .
(n ± 1) .
1 − n ± 1 Σ
− .
n .
1 − n Σ
, (2.11)
. bởi vì ∆Eintra
n,n±1 trong biểu thức (2.11) là một hàm giảm dần của n.
Ảnh hưởng của sự thâm nhập từ trường λlên Im[χ−] và Re[χ−] được thể hiện trong Hỡnh 2.3(c). Sự thay đổi λ cũng dẫn đến sự thay đổi vị trớ của à và do đó
cũng làm thay đổi bậc mức Landau liên quan đến dịch chuyển được phép. Các dịch chuyển được phép và năng lượng tương ứng của chúng được liệt kê theo ba cột giữa của Bảng 2.1. Trong trường hợp λ= 50 nm, dịch chuyển là từ L2 → L3, trong khi đó khi λ= 100 nm và λ= ∞ (UMF) dịch chuyển là từ L3 → L4. Lưu ý rằng, mặc dù các dịch chuyển được phép trong hai trường hợp λ = 100 nm và UMF có cùng bậc mức Landau (n = 3) nhưng các dịch chuyển năng lượng của chúng lại khác nhau. Bởi vì khi λ thay đổi dẫn đến phổ năng lượng thay đổi (xem biểu thức 1.54), dẫn đến ∆Eintra
n,n±1 thay đổi. Giống như Hình 2.2(c), khi λ tăng, các đỉnh dịch chuyển nội vùng cũng dịch chuyển đỏ do ∆Eintra
n,n±1 giảm.
Ảnh hưởng của điện trường γlên Im[χ−] và Re[χ−] được minh họa trong Hình 2.3(d). Giống như mật độ điện tử và sự thâm nhập từ trường, sự thay đổi
2ξ
0
2ξ
0
điện trường cũng thay đổi vị trớ của à dẫn đến sự thay đổi của dịch chuyển được phép, như được liệt kê trong ba cột cuối của Bảng 2.1. Khi điện trường tăng, các đỉnh dịch chuyển nội vùng thể hiện sự dịch chuyển xanh do ∆Eintra
n,n±1 tăng.
Dịch chuyển liên vùng
Trong Hình 2.4(a), chúng tôi biểu diễn Im[χ−] do các dịch chuyển liên vùng như là hàm của ℏω đối với các giá trị khác nhau của mật độ điện tử. Ở đây, Im[χ−] do các dịch chuyển liên vùng cũng hiển thị một loạt các đỉnh. Do sự chặn Pauli, trong đó tất cả các dịch chuyển có mức Landau cuối cùng bên dưới à đều bị cấm, cỏc đỉnh đầu tiờn của mỗi chuỗi (ngưỡng năng lượng) nằm ở cỏc vị trớ khỏc nhau tựy thuộc vào vị trớ của à. ne tăng đẩy à lờn, dẫn đến sự gia tăng bậc mức Landau tham gia vào quá trình dịch chuyển. Do đó, ngưỡng năng lượng chuyển sang vùng năng lượng cao hơn. Điều này được minh họa trực quan trong Hình 2.4(b), trong đó các mũi tên chấm (có ký hiệu x trên đó) minh họa cỏc dịch chuyển bị cấm. Vớ dụ, với ne = n0, à nằm giữa L2 và L3, và dịch chuyển đầu tiên là từ L2 sang L3 (được minh họa bằng mũi tên nét liền màu lục lam đầu tiên trong Hình 2.4(b)), trong khi đó dịch chuyển L−3 → L2 bị cấm (được minh họa bằng mũi tên chấm chấm màu lục lam). Dịch chuyển này tạo thành đỉnh đầu tiên trong chuỗi các đỉnh của trường hợp ne = n0 (đường cong màu lục lam) trong Hình 2.4(a). Đỉnh thứ hai của nó bắt nguồn từ một cặp dịch chuyển L−3 → L4 và L−4 → L3, được minh họa bằng mũi tên liền nét màu lục lam thứ hai và thứ ba trong Hình 2.4(b). Tương tự, đỉnh thứ ba là từ L−4 → L5
và L−5 → L4, v.v. Các trường hợp ne = 2n0 và ne = 3n0 cũng có thể được biểu diễn theo cách tương tự. Ngoài ra, đặc tính nửa đỉnh vẫn thấy được trong các dịch chuyển liên vùng. Đặc tính này được ghi nhận trong hệ màng mỏng chất cách điện topo [141] và đặc tính nửa đỉnh trong các lớp đơn lớp TMDC [83].
Trong Hình 2.5, chúng tôi biểu diễn Im[χ−] do dịch chuyển liên vùng dưới dạng hàm của ℏω tại B = 8 T, Γ = 2 meV, ne = n0, λ = 50 nm, và γ = 0.5 tại các giá trị khác nhau của nhiệt độ. Giống như trường hợp không pha tạp (xem Hình 2.2(a)), trong trường hợp pha tạp, Im[χ−] cũng hiển thị một loạt các đỉnh.
Hình 2.4: (a) Im[χ−] (tính theo đơn vị của χ0) do dịch chuyển liên vùng là một hàm của ℏω tại các giá trị ne khác nhau. (b) Sơ đồ dịch chuyển liên vùng quang học, trong đó các đường chấm chấm hiển thị các thế hóa học tương ứng.
Kết quả thu được tại B = 8 T, Γ = 2 meV, T = 0 K, ne = n0, λ = 50 nm, và γ= 0.5.
Tuy nhiên, không giống như trong trường hợp không pha tạp trong đó tất cả các dịch chuyển liên vùng đều được phép, trong trường hợp pha tạp, không phải tất cả mà chỉ cỏc dịch chuyển liờn vựng cú mức Landau cuối cựng ở trờn à mới được phép, như được thảo luận trong Hình 2.4. Với các thông số được sử dụng
Phần ảoNăng lượng (meV)
T = 0
T = 150 K
T = 300 K
1.
0 0.
8 0.
6 0.
4 0.
2 0.
0
n
= 2
n
= 3 n = 1 n 0 100= 0
200 T K
30 0
Ph ần ả o [Χ–]/ Χ 0
35 30 25 20 15 10 5
0 100 150 200
kΩ meV 250 300
Hình 2.5: (a) Im[χ−] (tính theo đơn vị của χ0) do dịch chuyển liên vùng là một hàm của ℏω tại các giá trị nhiệt độ khác nhau. Bản đồ lồng cho thấy
∆f = |f−n −fn+1| là hàm của nhiệt độ. Kết quả thu được tại B = 8 T, Γ = 2 meV, T = 0 K, ne = n0, λ= 50 nm, và γ= 0.5.
trong Hỡnh 2.5, à nằm giữa L2 và L3. Do đú, tại T = 0, tất cả cỏc dịch chuyển có chỉ số mức Landau cuối cùng < 2 đều bị chặn và các dịch chuyển được phép bắt đầu từ n = 2 (xem lại trường hợp ne = n0 trong Hình 2.4). Khi nhiệt độ tăng lên, do sự kích thích nhiệt mà một vài dịch chuyển liên vùng mới có mức Landau cuối cựng dưới à trở nờn khả dĩ, tạo thành cỏc đỉnh dịch chuyển nội vùng mới, như được quan sát rõ ràng từ các đường cong màu xanh lam và xanh lục của Hình 2.5 đối với T = 150 K và T = 300 K.
Ngoài việc tạo ra các đỉnh mới, kích thích nhiệt ảnh hưởng đến chiều cao của các đỉnh. Ảnh hưởng này không giống nhau đối với tất cả các dịch chuyển mà phụ thuộc vào vị trí của các mức Landau cuối cùng của chúng. (i) Đối với cỏc dịch chuyển cú mức Landau cuối cựng của chỳng dưới à (bao gồm n = 0 và n = 1), chiều cao của các đỉnh tăng khi nhiệt độ tăng. Lưu ý rằng hai đỉnh
Af
n,n±
1
2ξ
0
2ξ
0
này được hình thành do sự kích thích nhiệt và chỉ xuất hiện trong trường hợp T ̸= 0 K. Khi các mức Landau L0 và L1 bị suy giảm nhiệt, các electron trong các mức Landau này nhận năng lượng nhiệt và nhảy lên các mức cao hơn, tạo ra các lỗ trống ở đó. Kết quả là các electron khác trong vùng hóa trị có thể nhảy vào để lấp đầy các lỗ trống đó. Nhiệt độ càng cao, sự kích thích nhiệt xảy ra càng mạnh, dẫn đến tăng xác suất dịch chuyển, từ đó dẫn đến tăng chiều cao đỉnh. (ii) Trong khi đó, đối với các dịch chuyển có mức Landau cuối cùng cao hơn à, chiều cao của cỏc đỉnh giảm theo nhiệt độ. Trong trường hợp này, cỏc mức Landau bị kích thích nhiệt và bị chiếm một phần. Nhiệt độ càng cao thì càng xuất hiện nhiều electron nhiệt ở đó, dẫn đến giảm xác suất dịch chuyển, do đó dẫn đến giảm chiều cao của các đỉnh. Về mặt toán học, lưu ý rằng từ biểu thức (1.86) ta thấy χ(ω) tỉ lệ thuận với ∆f = f(Eη′ ) − f(Eη), điều mà tăng theo nhiệt độ khi n < 2 và giảm theo nhiệt độ khi n ⩾ 2, như thể hiện rõ trong đồ thị lồng.
Ảnh hưởng của λlên Im[χ−] được mô tả trong Hình 2.6(a) và Hình 2.6(b). Từ Hình 2.6(b) chúng ta có thể thấy rằng, λ thay đổi không chỉ làm thay đổi phổ năng lượng mà còn thay đổi vị trí của thế hóa học, do đó làm thay đổi ngưỡng năng lượng. Khi λtăng, Eηgiảm nhẹ, dẫn đến giảm chênh lệch năng lượng, gây ra dịch chuyển đỏ của các vị trí đỉnh. Lưu ý rằng dịch chuyển đỏ chỉ xuất hiện đối với các dịch chuyển có cùng bậc mức Landau n. Đỉnh đầu tiên trong trường hợp λ= 50 nm tương ứng với dịch chuyển L−2 → L3, trong khi đó trong cả hai
trường hợp còn lại là L−3 → L4(xem Hình 2.6(b)). Bởi vì ℏωn,n±1 = ∆Einter , với
∆Eintern,n±1 = En± 1 − E n
∝ .
(n ± 1) .
1 − n ± 1 Σ.
n .
1 − n Σ
, (2.12)
là một hàm tăng của n, đỉnh đầu tiên của trường hợp λ = 50 nm (có n = 2) nằm ở phía bên trái của các đỉnh đầu tiên của trường hợp λ= 100 nm và λ=
∞ (cả