Xét một DSM nằm trong mặt phẳng (xy). Một điện tử được mô tả bởi mô hình bốn vùng hiệu dụng có dạng như sau
H0 = ε0(⃗k)I + HD + HZ, (1.67) trong đó ε0(⃗k) = C0+C1k2+C2k2 với C0, C1, C2 là thông số mô hình và k2 = k2 +k2,
z ∥ ∥ x y
I là ma trận đơn vị. Số hạng thứ hai trong biểu thức (1.67) là phần Dirac của Hamiltonian được cho bởi [67]
HD = M⃗kI ⊗ τz + ℏvF(kxσz ⊗ τx − kyI ⊗ τy), (1.68) ở đây M⃗ = M0 − M1k2 − M2k2
với M0, M1, M2 là thông số mô hình, σvà τx(y,z)
k z ∥
lần lượt là ma trận Pauli và bậc tự do quỹ đạo, và ℏvFlà năng lượng Fermi. Số hạng thứ ba trong biểu thức (1.67) là số hạng Zeeman và được cho bởi [85]
HZ = ∆+σz ⊗I + ∆−σz ⊗ τz, (1.69) với ∆± là các đại lượng liên quan đến năng lượng Zeeman theo phương z.
Khi có điện trường E⃗ spin s có dạng như sau
= (0, 0, −Ez), phổ năng lượng điện tử đối với trạng thái
Es = s∆ ± . (ℏv
)2k2 + ΣM
+
s∆ − ∆ Σ2
, (1.70)
trong đó ∆z = eEzLzvới Lzlà độ dày tấm và s = ±1 để chỉ hai vùng con. Khi
+
F ⃗k −
z
1/2
c
Hình 1.5: Tán sắc năng lượng của DSM tại k∥ = 0: (a) và (b) ứng với trường hợp khi không có trường Zeeman; (c) và (d) khi có trường Zeeman. Các số hạng Zeeman (∆+, ∆−) cho Cd3As2 và Na3Bi lần lượt là (10.0 meV, 8.1 meV) và (5.3 meV, 0 meV).
không có trường Zeeman, tại k∥ = 0, phổ năng lượng ở biểu thức (1.70) rút gọn lại thành E± = ±|M0 − M1k2 − ∆z|. Khi điện trường yếu sao cho γ = ∆z/M0 < 1, tán sắc năng lượng của DSM hiển thị hai điểm Dirac tại (0, 0, ±kD) với kD = kc(1 − γ) , kc = (M0/M1) như trong Hình 1.5a và Hình 1.5b, và DSM thể hiện trạng thái topo [19]. Khi điện trường tăng sao cho γ = 1, hai điểm Dirac được tích hợp thành một với điểm Dirac suy biến gấp bốn lần, DSM hiển thị trạng thái kim loại phân cực vùng [74]. Khi γ> 1 hai vùng E+ và E− trở nên tách biệt hoàn toàn bởi một vùng cấm, hệ chuyển từ bán kim loại thành bán dẫn. Luận án tập trung vào trạng thái bán kim loại (γ < 1). Khi có mặt của trường Zeeman, mỗi điểm Dirac tách thành hai điểm Weyl được đặt tại vị trí (0, 0, ±kW ), trong đó kW = (k2 − γ + s∆−/M0)1/2và tính chiral phụ thuộc vào s [85].
HD =
H1 0
, (1.71)
2
n,nz z c
z
√
Trong trường hợp của Na3Bi, trong đó gs = gpđồng thời ∆svà ∆p có cùng giá trị, điều này dẫn đến ∆− = 0, khiến cho giá trị của kWkhông còn phụ thuộc vào trạng thái spin. Do đó, sự phân tách các điểm Dirac trong Na3Bi chỉ do số hạng s∆+, dẫn đến hai vùng con spin dịch chuyển theo hướng ngược nhau trên thang năng lượng và sự xuất hiện của hai cặp điểm Weyl có năng lượng riêng biệt.
Mặt khác, đối với Cd3As2, trong đó ∆− 0, cùng với sự phân tách trên thang năng lượng, các vùng con spin cũng bị dịch chuyển theo hướng ngược nhau trên trục kz. Kết quả là, trong Cd3As2, sự phân tách các điểm Dirac mạnh hơn so với trong Na3Bi, như được minh họa trong Hình 1.5c và Hình 1.5d.
Xét một UMF
B⃗ = (0, 0, B0) đặt vào hệ, đồng thời sử dụng phép thay thế Peierls ⃗k → ⃗k + eA⃗/ℏ với chuẩn Landau A⃗
trở thành
= (0, B0x, 0), Hamiltonian ở (1.67)
e
0 H
trong đó Hamiltonian thành phần là
Ms1/2 + s ∆+ iL−/+
H1/2 = n,nz
−iL 1/
+/−2
−Mn,nz +
s1/2∆+ . (1.72)
Ở đây Msj = M0 − M1k2 − (2M2/α2)(n + 1/2) − ∆z + sj∆− với (s1, s2) = (+1, −1), kz = ±(nzπ/Lz) với nz = 1, 2, 3, ..., ∆± = (∆s ± ∆p)/2 với ∆s/p = gs/pàBB0/2 xuất phỏt từ một thừa số phụ thuộc quỹ đạo gs/p, àB là Bohr mag- neton, và L+/− = ℏvF(±∂x + W ) với W = ky + eAy/ℏ là hàm siêu thế.
Tương tự như trong trường hợp WSM, ở trạng thái |η⟩ hàm sóng điện tử cũng được khai triển dưới dạng | η⟩ ≡ ψ = (eikyy/ Ly)ϕn (z)ψ(x) với ψ(x) và ϕnz (z) lần lượt là hàm sóng theo phương x và phương z. Thay Hamiltonian ở biểu thức (1.71) vào phương trình Weyl-Dirac (1.4), phổ năng lượng được tìm
s1/2
n,nz
A ϕn
≡ ψ
n,nz
−iBs1,p ϕn−1
s2,p
thấy là
n,ns,p z = s∆+ + p .
n(ℏωc)2 + (Ms )2, (1.73) trong đó, n là chỉ số mức Landau, p = ±1 kí hiệu cho vùng dẫn và vùng hoá trị, và ℏωc = ℏvF
√2/ωc. Các trạng thái riêng tương ứng của điện tử là
s1,p n,nz
x n,ns,pz n,nz
Cs2,p ϕn−1
−iDn,nz ϕn
, (1.74)
trong đó
.
pEs1,p + Ms1,p 2pE
.
pEs1,p − Ms1,p 2pE
E
ψ =
,
n,nz
n,nz
s1,p n,nz
n,nz s1,p
n,nz
n,nz
s1,p n,nz
n,nz
. (1.75)
n,nz
0,n
z
0,n
z
n,nz
Các hệ số chuẩn hoá Cs2,p sn,n2,pz cũng có dạng tương tự với As1,p n,ns1,pz
nhưng s1 lúc này được thay thế bằng s2; ϕnlà các hàm dao động chuẩn hóa.
Trường hợp trạng thái có n = 0, hàm sóng và năng lượng của điện tử là
s0,n
z = (ϕ0, 0, 0, −iϕ0)T và Es,p = s∆− −
pMs . (1.76)
Hình 1.6a, 1.6c, 1.6e, 1.6g thể hiện sự phụ thuộc của năng lượng vào từ trường B0 tại nz = 1 của Cd3As2 và Na3Bi ứng với trường hợp s = ±1. Mật độ điện tử được lấy theo đơn vị của n0 = 5.0 × 1023 m−3. Đại lượng để phân biệt phổ năng
lượng của các hệ DSM với các hệ bán dẫn khác như phosphorene hay các TMDC chính là Ms
, một đại lượng cũng phụ thuộc vào từ trường. Do đó, năng lượng trong DSM không còn tỉ lệ với √B0. Trong Cd3As2 kết quả này thể hiện rõ ràng hơn so với Na3Bi. Hơn nữa, do giá trị đáng kể của ℏvF (xem Bảng 2.2), vùng cấm và do đó năng lượng mức Landau trong Na3Bi lớn hơn Cd3As2. Trong trường
Asn,n1,pz = =
và D và B
ψ
0, 0,
0,
0,
hợp s = −1 (xem Hình 1.6c và Hình 1.6g), do s∆+ có giá trị âm, phổ năng lượng ứng với mức Landau bậc thấp trong vùng dẫn giảm khi từ trường tăng. Một kết quả thú vị được quan sát từ mức Landau bậc không trong Cd3As2: trong trường hợp s = +1 (Xem hình 1.6a), E1,−1 luôn dương trong khi giá trị của E1,1 phụ thuộc vào giá trị của B0: Cụ thể, khi B0 nhỏ, E1,1 âm và phổ các mức Landau vẫn duy trì tính đối xứng electron-lỗ trống, nhưng khi B0 lớn thì E1,1
dương, tính đối xứng electron-lỗ trống không còn và hệ hiển thị pha topo [86]. Kết quả tương tự cũng được quan sát thấy trong trường hợp s = −1 (Xem hình 1.6c), nhưng E1,−1 và E1,1 được hoán đổi cho nhau. Điểm trung hoà điện hay chính là0,1 0,1
điểm mà tại đó sự chuyển pha xảy ra được đặt tại B0 = 15.83 T (2.46) T đối với trường hợp s = +1(−1).
Trong Hình 1.6b, 1.6d, 1.6f, 1.6h, chúng tôi minh hoạ phổ mức Landau dọc theo phương z như là hàm của nz tại B0 = 5 T tương ứng với các trường hợp Cd3As2 và Na3Bi. Phổ năng lượng của DSM cũng lượng tử hóa thành một tập hợp các mức Landau, tán sắc theo kz, như dự đoán trong nghiên cứu trước đây [24]. Trong tất cả các trường hợp ở Hình 1.6, các đường cong màu hồng đậm hiển thị mức Fermi EF ứng với các giá trị khác nhau của mật độ hạt tải ne. Chúng ta thấy rằng EF tăng khi netăng.