Hệ số hấp thụ quang-từ và độ thay đổi chiết suất khi không xét ảnh hưởng của tương tác electron-phonon

1.4 Tổng quan về tính chất hấp thụ quang-từ

1.4.1 Hệ số hấp thụ quang-từ và độ thay đổi chiết suất khi không xét ảnh hưởng của tương tác electron-phonon

1.4.1.1. Tổng quan tình hình nghiên cứu

Tính chất hấp thụ quang-từ đóng vai trò rất quan trọng trong ngành khoa học vật liệu vì nó ảnh hưởng đến cách mà các vật liệu tương tác với ánh sáng và năng lượng điện từ. Do đó, sự hiểu biết về ảnh hưởng của các trường điện từ bên ngoài đối với các đặc tính quang học và truyền dẫn của vật liệu là rất quan trọng trong việc phát triển các thiết bị điện tử nano; một lĩnh vực đã thu hút sự quan tâm ngày càng lớn do những khả năng mà nó mở ra trong vật lý ứng dụng. Từ đó chủ đề này thu hút sự nghiên cứu đông đảo của các nhà khoa học trong và ngoài nước. Trong số đó chúng tôi chú ý đến các công trình của F. Ungan và cộng sự. Cụ thể, trong công trình [107], tính chất quang của giếng lượng tử vuông góc được nhóm nghiên cứu thông qua phương pháp ma trận mật độ tối thiểu. Nghiên cứu tập trung khảo sát vào đại lượng hệ số hấp thụ quang (OAC) và RIC, được thực hiện đối với giếng lượng tử đơn GaAs/AlxGa1−xAs.

Kết quả cho thấy cường độ trường laser, áp suất thuỷ tĩnh và nhiệt độ ảnh hưởng đáng kể đến tính chất quang của hệ. Bên cạnh đó, cùng một phương pháp, ảnh hưởng của điện trường và từ trường kết hợp lên OAC và RIC của giếng lượng tử

q

η

parabol nghịch đảo kép không đối xứng cũng được nhóm nghiên cứu [108]. Kết quả cho thấy một sự phụ thuộc vào năng lượng photon đối với các giá trị khác nhau của trường điện từ và các tham số cấu trúc như độ rộng giếng và nồng độ pha tạp. OAC và RIC bị ảnh hưởng mạnh không chỉ bởi độ lớn của điện trường và từ trường mà còn bởi các tham số cấu trúc của hệ. Tiếp theo, X. Yao và A.

Belyanin cũng đã sử dụng phương pháp ma trận mật độ tối thiểu để nghiên cứu phản ứng quang phi tuyến của graphene trong từ trường [43]. Nhóm đã chỉ ra rằng, trong phạm vi giữa hoặc hồng ngoại xa, graphene trong từ trường sở hữu một tính chất quang phi tuyến cực lớn và có lẽ là lớn nhất trong số các vật liệu được biết đến. Điều này bắt nguồn từ tính chất điện tử độc đáo và quy tắc lọc lựa gần điểm Dirac. Ngoài ra, bằng cách phương pháp khác nhau mà nhiều công trình về chủ đề tính chất quang của các hệ bán dẫn thấp chiều cũng được ghi nhận [109],[110],[111],[112],[113].

Ở Việt Nam, nhóm nghiên cứu của PGS. TS Huỳnh Vĩnh Phúc đã kế thừa và phát triển phương pháp ma trận mật độ để tính toán các tính chất quang-từ của graphene, các hệ đơn lớp. Cụ thể, trong công trình [51], tính chất quang-từ của graphene khi có mặt của từ trường vuông góc được quan tâm nghiên cứu thông qua tính toán MOAC và RIC. Kết quả cho thấy MOAC và RIC là hàm của năng lượng photon và từ trường ngoài, trong đó có ba nhóm dịch chuyển có thể xảy ra: nội vùng, hỗn hợp, liên vùng. MOAC và RIC xuất hiện dưới dạng một loạt các đỉnh đối với các dịch chuyển nội vùng và liên vùng giữa các mức Landau. Những kết quả này cho thấy một ứng dụng tiềm năng của graphene đơn lớp trong các thiết bị quang từ và điện tử có kích thước nano. Tiếp đến, nhóm chuyển sự quan tâm qua các vật liệu đơn lớp như phosphorene đơn lớp được đặt trong từ trường vuông góc [114]. Qua đó, nhóm tác giả đã nghiên cứu về mặt lý thuyết tính chất quang-từ của phosphorene đơn lớp được đặt trong từ trường vuông góc bằng cách tính toán MOAC tuyến tính và phi tuyến bậc ba. Kết quả cho thấy MOAC và RIC là hàm của năng lượng photon và từ trường. Kết quả của nhóm chứng minh tiềm năng của phosphorene đơn lớp như một vật liệu 2D

mới trong việc thiết kế, chế tạo thiết bị quang, điện tử nano, được xem như một giải pháp thay thế đầy hứa hẹn cho graphene. Ngoài ra, trong công trình [115], nhóm đã nghiên cứu các MOAC tuyến tính, phi tuyến bậc ba và MOAC tổng được gây ra bởi các dịch chuyển nội vùng và liên vùng trong MoSe2 đơn lớp khi có từ trường bằng cách sử dụng phương pháp ma trận mật độ tối thiểu. Kết quả cho thấy rằng MOAC thể hiện hành vi dịch chuyển xanh khi từ trường tăng.

Trường Zeeman không ảnh hưởng đến vị trí đỉnh nhưng làm giảm cường độ đỉnh một chút. SOC trong MoSe2 đơn lớp mạnh làm cho các đỉnh ứng với hai trường hợp spin-up và spin-down khác nhau đáng kể. Phổ MOAC do dịch chuyển nội vùng chỉ hiển thị một đỉnh trong vùng THz, trong khi đó khi so sánh với trường hợp liên vùng thì phổ MOAC hiển thị một loạt các đỉnh trong vùng cận hồng ngoại, khiến MoSe2 đơn lớp trở thành một ứng cử viên đầy hứa hẹn cho các ứng dụng quang điện tử mới. Nhóm cũng đã mở rộng nghiên cứu cho WSe2 [46]. Kết quả nghiên cứu cũng cho thấy điều tương tự với vật liệu MoSe2

đơn lớp. Từ những nhận xét trên cùng với những gì chúng tôi tìm hiểu được cho thấy chưa có công trình nào nghiên cứu một cách hệ thống tính chất hấp thụ quang-từ của các vật liệu WSM, do đó chúng tôi tiếp tục áp dụng phương pháp ma trận mật độ tối thiểu để nghiên cứu đặc tính phản ứng quang-từ của hệ màng mỏng WSM, trong đó chúng tôi sẽ khảo sát ảnh hưởng của điện trường, từ trường, nhiệt độ, nồng độ hạt tải lên MOAC và RIC của loại vật liệu này. Kết quả tính số được thực hiện đối với cả hai trường hợp hệ không pha tạp và hệ có pha tạp.

1.4.1.2. Biểu thức tổng quát của hệ số hấp thụ quang-từ và độ thay đổi chiết suất

Khi hệ được chiếu bởi ánh sáng tới có tần số ωcó dạng E(t) = E(ω)ei tω + E(ω)e−i tω, Hamiltonian của hệ có thể viết như sau

Hˆ = Hˆ0 + Hˆint, (1.92)

i

′η, η

Σ (n)

′ρ (t) = ρ

(t).(1.96)η,η

trong đó, Hˆ

0 là Hamiltonian của hệ lúc chưa nhiễu loạn, và

Hˆint = −dˆ.E(t) là Hamiltonian nhiễu loạn của hệ mô tả tương tác lưỡng cực giữa hệ với ánh sáng tới. Ở đây, dˆ = −erˆ là toán tử momen lưỡng cực với rˆ = (x, y, z) là toán tử vị trí.

Phương trình tiến hoá theo thời gian của phần tử ma trận mật độ ρη′, η =

⟨η′| | ρ η⟩được mô tả bởi

∂ ρη ′ ,η (t)

= − i [Hˆ,

ρˆ(t)] = η′|[Hˆ, ρˆ(t)]|η⟩. (1.93)

∂t ℏ η′,η −

ℏ⟨

Có nhiều hiệu ứng khác nhau gây ảnh hưởng đến yếu tố ma trận mật độ, chẳng hạn như va chạm giữa các electron, va chạm giữa electron với tạp chất. Chúng tôi đưa vào số hạng tốc độ suy giảm Γη′,η để mô tả tốc độ suy giảm của ρ(t)η′,η

về giá trị cân bằng của nó ρ(eq) ứng với lúc chưa nhiễu loạn. Lúc này, phương trình ma trận mật độ có dạng như sau

∂ρ η ′ ,η ( t ) i ˆ (eq)

∂t = −

ℏ[H, ρˆ(t)]η′,η − Γη′,η[ρη′,η(t) − ρη′,η ]. (1.94) Thay biểu thức (1.92) vào biểu thức (1.94), ta có

∂ρ η ′ ,η ( t ) i ˆ i ˆ (eq)

∂t = −

ℏ[H0, ρˆ(t)]η′,η − ℏ[Hint, ρˆ(t)]η′,η − Γη′,η[ρη′,η(t) − ρη′,η ]. (1.95) Ta giải phương trình (1.95) bằng phương pháp nhiễu loạn, trong đó khai triển ρη′,η(t) theo luỹ thừa như sau [116]

∞ , η η n

Thay công thức (1.96) vào phương trình (1.95) với lưu ý [Hˆ

0, ρˆ(t)]η′,η = ⟨η′|[Hˆ

0, ρˆ(t)]|η⟩ = (Eη′ − Eη)ρη′,η(t), (1.97)

′η, η

′η, η

′η, η ,

ηη η′,η′ η , η

η′,η η′,η η′,η

ta được

∂ρ(n) (t)

= −(i ω′ + Γ ′ )ρ(n) (t) − i

[Hˆ , pˆ(n−1)

(t)] , n = 1, 2, 3, ... (1.98)

∂t η

,η η ,

η η′,η

ℏ int η′,η

trong đó, ta đã ký hiệu ωη′,η = (Eη′ − Eη)/ℏ = ∆Eη′,η/ℏ. Phần tử ma trận mật độ xuất hiện trong biểu thức (1.98) mô tả phản ứng quang của vật liệu ở các bậc khác nhau, chẳng hạn như ứng với n = 1 mô tả phản ứng quang tuyến tính, còn các số hạng ứng với bậc n cao hơn thì mô tả cho phản ứng quang phi tuyến của vật liệu. Do đó, khi xét quá trình tuyến tính, ta thay n = 1 vào biểu thức (1.98), ta được

∂ρ(1) (t)

(1) i ˆ (0)

∂t = −(iωη′,η + Γη′,η)ρη′,η(t) −

ℏ[Hint,

pˆ (t)]η′,η. (1.99)

Sử dụng biểu thức Hˆint = −dˆ.E(t) và thay vào giao hoán tử [Hˆint, pˆ(0)(t)] ta được (xem Phụ lục 9)

[Hˆ , pˆ(0)

(t)] = −(ρ(0) − ρ(0)

)d ′ E(t). (1.100)

Ngoài ra, số hạng nhiễu loạn bậc thứ n (với n lẻ), ρn (t), có thể được viết như sau [117]

ρ(n) (t) = ρ(n) (ω)e−i tω + ρ(n) (−ω)ei tω. (1.101) Thay các kết quả (1.101) và (1.100) vào (1.99) rồi cân bằng các hệ số của e−i tω, ta thu được

ρ(1) (ω) = (ρ(0) −

ρ(0) ) d η ′ ,η E ( ω )

. (1.102)

η′,η η η, η′,η′ ∆Eη′,η − ℏω − iℏΓη′,η int

η′,η

V ηη, η′,η′

àν à

ν

0 à

ν V ηη, η′,η′

η, η

η, η (0

Biểu thức tenxơ độ phân cực bậc nhất có dạng P(1)(t) = 1

Tr[ρˆ(1)(t).dˆ]

àν V

= 1 Σ Σ

ρ(1)(ν) (ω)dà

e−i tω V

η′,η ky′ ,ky

η′,η η η, ′

(d(à) )∗d(ν)

= 1 Σ Σ

(ρ(0) −

ρ(0) )

η′,η η′,η E(ω)e−i tω, (1.103)

trong đó, V là thể tích của hệ và dη,η′ = ⟨η|dˆ|η′⟩ = (dη′,η)∗.

Mặt khác, độ phân cực điện P(t) và độ cảm χ(t) do trường quang học E(t) gây ra có thể biểu diễn như sau [117]

Pàν (t) ≈ ϵ0χ(1)(ω)E(ω)e−i tω + ϵ0χ(3)(ω)E2(ω)E(ω)e−i tω + c.c, (1.104) với χ(1) là tenxơ độ cảm tuyến tính và χ(3) là tenxơ độ cảm phi tuyến bậc ba. Để

àν àν

đơn giản, ta chọn Γη η, ′ = Γη′, η= Γη η, = Γη′,η′ = Γ. Đối chiếu biểu thức (1.103) và biểu thức (1.104) với nhau, biểu thức của độ cảm tuyến tính có dạng như sau

(d(à) )∗d(ν) ϵ χ(1)(ω) = 1 Σ Σ

(ρ(0) − ρ(0)

)

η′,η η′,η . (1.105)

Lưu ý, các phần tử chéo của ma trận mật độ không nhiễu loạn ρ(0) (0) η′,η′

các trạng thái bị chiếm của electron ở trạng thái cân bằng, chúng không phụ thuộc vào thời gian và được xác định từ mức năng lượng Fermi, nên ρ(0) = fη

và ρη′,η′ = fη′ . Cuối cùng, ta có

1 η η (à) ∗ (ν)

ϵ0χ(1)(ω) = Σ Σ (f

− f ′ )(dη′,η)

η′,η ky′ ∆Eη′,η − ℏω − iℏΓη′,η

η′,η ky′ ∆Eη′, η− ℏω − iℏΓ

và ρ l à

àν y

y

dη′,η

. (1.106)

V η′, ηk′ ,k ∆Eη′, η− ℏω − iℏΓ

Hệ số hấp thụ và độ thay đổi chiết suất được thu nhận từ độ cảm quang được

r

. Σ

nr 2n

2

cho ở biểu thức (1.106) như sau [115]

αàν(ω) = ω à0 Im ϵ ϵ0n2

0 χà

ν

(ω)Σ

; (1.107)

∆nàν (ω)

= 1 ReΣ

χ (ω)Σ

, (1.108)

trong đú, à0 là độ từ thẩm của hệ; ϵ0 là hằng số điện mụi của chõn khụng; nrlà chiết suất của vật liệu.

1.4.2. Hệ số hấp thụ quang-từ dưới ảnh hưởng của tương tác electron- phonon

1.4.2.1. Tổng quan tình hình nghiên cứu

Nghiên cứu tính chất quang-từ có tính đến ảnh hưởng của tương tác electron- phonon là một lĩnh vực quan trọng, nhận được sự quan tâm đáng kể từ các nhà vật lý. Trong lĩnh vực nghiên cứu liên quan đến đề tài luận án, tại Việt Nam, một số công trình tiêu biểu về quá trình hấp thụ hai photon và độ rộng vạch phổ dưới ảnh hưởng của tương tác electron-phonon có thể được liệt kê như sau: nhóm nghiên cứu Nguyễn Ngọc Hiếu và Huỳnh Vĩnh Phúc đã khảo sát quá trình hấp thụ quang phi tuyến trong graphene xét tới quá trình hấp thụ hai photon [118]. Bằng phương pháp nhiễu loạn, tác giả đã thu được biểu thức của MOAC và FWHM. Kết quả cho thấy rằng với sự gia tăng của từ trường, phổ hấp thụ quang tăng về cường độ và cũng tạo ra sự dịch chuyển xanh trong cả quá trình hấp thụ một và hai photon. Ngoài ra, FWHM được tìm thấy gần như không phụ thuộc vào nhiệt độ, nhưng tỉ lệ với căn bậc hai của từ trường, kết quả này phù hợp với các quan sát thực nghiệm trước đó. Cùng một phương pháp, tác giả Huỳnh Vĩnh Phúc và cộng sự cũng đã khảo sát sự hấp thụ quang phi tuyến thông qua quá trình hai photon trong giếng lượng tử GaAs/Ga1−xAlxAs [119], giếng lượng tử Gauss bất đối xứng [50], giếng lượng tử parabol [120], giếng lượng tử bán parabol không đối xứng [121], chấm lượng tử [122], các hệ

r à

ν

TMDC [18].

Cadmium arsenide (Cd3As2) – một vật liệu được tôn vinh và được khám phá rộng rãi trong vật lý chất rắn trong thời gian qua đã thu hút được sự chú ý đáng kể. Lí do là vì sự hiện diện của các fermion Dirac không khối lượng được bảo vệ đối xứng 3D, chúng có thể biến Cd3As2 thành chất tương tự của graphene 3D. Tính chất của vật liệu này đã và đang là chủ đề của các cuộc thảo luận cả về lý thuyết và thực nghiệm. Tính chất quang và tính chất quang-từ của Cd3As2 là chủ đề nghiên cứu trong hơn 50 năm qua. Bằng cách sử dụng bức tranh fermion Dirac không khối lượng 3D, có thể kể ra những công trình tiêu biểu sau: trong công trình [123], D. Neubauer và cộng sự đã nghiên cứu hệ số phản xạ quang trong trường hợp dịch chuyển liên vùng của Cd3As2 pha tạp loại n định hướng [001] trong dải tần số 50–22 000 cm−1 và nhiệt độ 10 đến 300 K.

Độ dẫn quang được tìm thấy là đẳng hướng, phần thực của nó tuân theo quy luật luỹ thừa ∝Ω1.65 trong một khoảng lớn từ 2000–8000 cm−1 , với Ω là tần số ánh sáng tới. Tiếp đến, trong công trình quan sát trực tiếp sự cộng hưởng mức Landau và sự tạo khối trong hệ màng mỏng DSM Cd3As2 được chiếu bởi sóng điện từ [124], trong phạm vi hồng ngoại các tác giả đã quan sát thấy cộng hưởng dịch chuyển liên vùng trong hệ có mối quan hệ căn bậc hai với từ trường, đây là một dấu hiệu quan trọng của trạng thái không khối lượng siêu tương đối tính không thể tiếp cận được trong các thí nghiệm quang học trước đây. Sự giao thoa từ hành vi lượng tử đến hành vi gần như cổ điển giúp người ta có thể thăm dò trực tiếp khối lượng của fermion Dirac. Điều quan trọng là pha tạp Crom cho phép thu được khối lượng Dirac và chuyển pha topo cho phép điều khiển động các fermion Dirac. Việc điều khiển đối xứng hệ và khối lượng Dirac trong màng mỏng Cd3As2 cung cấp một núm điều chỉnh để khám phá các trạng thái kỳ lạ xuất phát từ pha gốc của bán dẫn Dirac. Trong công trình [125], các tác giả cũng đã nghiên cứu quang phổ quang học về sự chuyển pha do áp suất gây ra trong DSM Cd3As2 3D, kết quả cho thấy sự gia tăng độ dẫn quang do áp suất gây ra ở năng lượng thấp và sự dịch chuyển đỏ liên tục trong vùng năng lượng cao cho thấy hệ phát triển theo hướng trạng thái kim loại về mặt cấu trúc. Hơn

V0NΩ ηη

′ η

′ηη

∞ ηη′ ℏ3Ω

2

|Mη′,η′′ | |Mη′′,η′ |

⃗q

nữa, nhóm cũng thấy có thể tồn tại trạng thái trung gian trong khoảng từ 2 đến 4 GPa, đó có thể là tiền thân của quá trình chuyển pha cấu trúc hoặc do sự suy biến của các nút Dirac. Ngoài ra, cũng có có công trình khác nghiên cứu tính chất quang và quang-từ của Cd3As2 nhưng được thực hiện theo mô hình Kane/Bodnar [126],[127],[128]. Qua phân tích ở trên cho thấy chưa có một công trình nào nghiên cứu tính chất hấp thụ quang-từ khi tính đến ảnh hưởng của tương tác electron-phonon cho hệ DSM. Bằng cách kế thừa phương pháp nhiễu loạn và phương pháp profile của các công trình kể trên, chúng tôi sẽ vận dụng để nghiên cứu tính chất hấp thụ quang của DSM này khi được đặt trong từ trường và điện trường ngoài.

1.4.2.2. Biểu thức tổng quát của hệ số hấp thụ quang-từ

Khi hệ được đặt trong một trường điện từ có năng lượng ℏΩ, MOAC do hấp thụ photon bao gồm hấp thụ hoặc phát xạ phonon nhánh νđược cho bởi [129]

Kν (Ω) = 1 Σ Wν,

±f

(1 − f ′ ), (1.109)

trong đó, V0 là thể tích của hệ, NΩ là mật độ photon có năng lượng ℏΩ, fη(η′) là hàm phân bố Fermi-Dirac ở trạng thái η(η′) và Wν,± đóng vai trò là yếu tố ma trận dịch chuyển do tán xạ phonon trong đó bao gồm quá trình hấp thụ ℓ- photon và được xác định dựa trên quy tắc vàng thứ hai của Born có dạng như sau [130]

Wν,± = 2 π Σ Σ

ν,±

2 rad 2

(α0q)2ℓ ν

× (ℓ!)222ℓ δ(Eη′ − Eη ± ℏω⃗q − ℓℏω). (1.110)

Ở đây, dấu (+)/(-) tương ứng với quá trình phát xạ/hấp thụ phonon có năng

lượng ℏων

, η η′

η

η′′,⃗q ℓ=1

và vectơ sóng ⃗q = (q∥, qz); α0 = 7 nm là tham số biểu diễn [129] . Lưu

|Mη′,η′′ | = Nq | gq|

2

Fn′z ,n′z′ (±qz)|

q q

q⃗

Σ

2 ′ ±iq .⃗r ′′ −u j∥

Fn′ ,n ”(±qz) = e±iqzzϕ∗n′′ (z)ϕn′ (z)dz, (1.112)

rad r

ý rằng, yếu tố ma trận trong biểu thức (1.110) mô tả tương tác hạt tải-photon- phonon. Ý nghĩa vật lý của nó như sau: các hạt tải điện ở trạng thái ban đầu

| η⟩ hấp thụ ℓ-photon để dịch chuyển đến trạng thái |η′′⟩ và sau đó phát xạ hoặc hấp thụ một phonon để đạt đến trạng thái cuối |η′⟩.

Yếu tố ma trận do tán xạ hạt tải-phonon được cho bởi [129]

,

ν± 2 ν,± ν 2

2

.θ Σ

2

2

× |Jη′,η′′ (q∥)| δs′,s′′ δky′′,ky′ ∓qy , (1.111) trong đó, thừa số Nν,± = Nν + 0.5 ± 0.5 diễn tả mật độ phonon trong tinh thể với Nν = Σ

eℏων /kBT − 1Σ−1

là hàm phân bố phonon xác định số phonon ứng với

nhánh q ν và có vectơ sóng ⃗q; θ là góc tán xạ. Ngoài ra, gν đóng vai trò là thế tương tác hạt tải-phonon có dạng tuỳ thuộc vào mode phonon và

∫ +∞

|J ′ ′′

(q k !

)| = ⟨η |e | η ⟩ = e u (A ′ A

+ D ′

D )Lj (u)

ξ ,ξ ∥ .(k + j)!

k + j j

η η”

Σ2

η η” k

+ (Bη′ Bη” + Cη′ Cη”)

k Lk−1(u) . (1.113)

Trong biểu thức (1.110), phần tương tác hạt tải-photon của yếu tố ma trận có dạng

|Mη′′,η| 2 = ω2A2e2 2

4 |⃗erad.Bη′′η| , (1.114) trong đó, ⃗erad là vectơ phân cực của trường điện từ và được giả sử phân cực theo phương x; Arlà độ lớn của thế vectơ của trường điện từ. Sử dụng hàm riêng (1.74 ) và thay vào công thức Bη′′η = ⟨η′′|[x, H0]|η⟩ℏvF/∆Eη′′η, ta tìm được

cos

q

z z

−∞ z z

δ(Gν,±) +0 ∥ δ(Gν,±)

× Nν,

±

0 r

ℓ q

L biểu thức

Bη′′η = δs′

′,s

δky′

′,ky

δn′z

′,nz

ℏvF

∆Eη′′η

Σ.Aη′′ Bη + Cη′′ Dη

Σδn′′,n+1

− .

Bη′′ Aη + Dη′′ Cη

Σδn′′,n−1

Σ, (1.115)

trong đó, ∆Eη′′η = Eη′′ − Eη. Kết quả ở biểu thức (1.115) cho thấy rằng, quá trình dịch chuyển xảy ra trong DSM khi chỉ số mức Landau thay đổi một đơn vị (∆n = ±1). Kết quả này phù hợp với những phát hiện được báo cáo về graphene [50],[131],[132], MoS2 đơn lớp [18],[83], ZrTe5 trong 3D [69], và trong giếng lượng tử WSM [57].

Yếu tố ma trận dịch chuyển trong biểu thức (1.110) gồm sự đóng góp của quá trình ℓ-photon, tuy nhiên, ta chỉ xét đến quá trình hai photon, tức là ℓ = 1, 2. MOAC lúc này được tính như sau: thay biểu thức (1.110) vào biểu thức (1.109) đồng thời thay ℓ = 1, 2, ta được

ν Σ ∫ ∞

3 ν 2 2

K (Ω) =η η, ′,η′′

q

(η) . 0

1

dq∥q∥|gq| α2q2

16

|Jη′,η′′ (q∥)|

Σ

2 , (1.116)

trong đó, ta đã kí hiệu

S0e2α2 2 ℏ2Ωα2 |Bη′

′η|

Jn′z′,n′z fη(1 − fη′ ), (1.117) Gν,± = Eη′ − Eη ± ℏων − ℓℏΩ, (ℓ = 1, 2). (1.118) Ở đây, tích phân theo phương z được cho bởi [133]

∫ +∞

Jn′z′,n′z = π−∞

|Fn′z ,n′z′ (±qz)| dqz

= (2 + δn′z′,n′z ), (1.119)

z

P

0 c

2

trong đó, S0 = V0/Lz là diện tích của hệ, nr là chiết suất của vật liệu, c là tốc độ ánh sáng trong chân không. Biểu thức MOAC được cho bởi (1.116) thu được trong trường hợp tổng quát và có thể được tính toán trong các trường hợp tán xạ electron-phonon ứng với các loại phonon khác nhau, bao gồm phonon âm và phonon quang.