Một số HĐ cơ bản trong DH toán giúp HS bộc lộ năng lực GQVĐ

Chương 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.2. Hoạt động giải quyết vấn đề trong dạy học toán Trung học phổ thông

1.2.3. Một số HĐ cơ bản trong DH toán giúp HS bộc lộ năng lực GQVĐ

HĐ GQVĐ trong DH toán ở trường phổ thông là phức hợp của các thao tác tƣ duy đan xen nhau, những HĐ trí tuệ phổ biến trong toán học, những HĐ trí tuệ chung và HĐ ngôn ngữ,... Qua hoạt động GQVĐ, với KT, KN, kinh nghiệm vốn có của mình, HS bộc lộ các NL GQVĐ (một số NL tiềm ẩn có cơ hội bộc lộ).

1.2.3.1. Huy động tri thức phương pháp

VĐ biểu thị bởi một hệ thống những mệnh đề, câu hỏi “chưa có phương pháp có tính thuật toán để giải đáp câu hỏi hoặc thực hiện yêu cầu đặt ra”. Phương pháp GQVĐ là giải pháp GQVĐ đó. Phương pháp có thể được tích lũy trong quá trình học tập, nghiên cứu và từ kinh nghiệm sống.

Nghiên cứu HĐ nhận thức trong DH toán, tác giả Đào Tam [85, tr.33], đã viết: Quá trình tư duy phù hợp với những sự kiện đã tích lũy được. Con người trở thành chủ thể của tƣ duy với điều kiện họ nắm đƣợc ngôn ngữ, lôgic học; chúng là

GĐ 2

Tìm giải pháp khác

để GQVĐ;

mở rộng VĐ GP đúng

GP chưa đúng Tìm hiểu

VĐ

Tìm, thực hiện, kiểm tra giải

pháp GQVĐ

Trình bày giải pháp GQVĐ

GĐ 1

sản phẩm của sự phản ánh khái quát kinh nghiệm của thực tiễn xã hội. Họ đã nhấn mạnh tri thức vừa tham gia vào quá trình tƣ duy vừa là sản phẩm của tƣ duy. Tri thức phương pháp là một trong những yếu tố của HĐ tư duy, HĐ nhận thức.

Với một VĐ cụ thể, nếu có được hệ thống tri thức phương pháp đầy đủ thì HS có thuận lợi khi tiến hành nhiều HĐ tìm tòi, khám phá phát hiện các giải pháp GQVĐ.

Ví dụ 1.2. Bài toán chứng minh ba điểm A, B, C trong không gian thẳng hàng. Có thể sử dụng một trong các phương pháp chủ yếu sau:

- Chứng minh A, B, C cùng thuộc hai mặt phẳng phân biệt.

- Chứng minh A, B, C, là ảnh của ba điểm thẳng hàng nào đó qua một phép dời hình.

- Chứng minh ABk AC , (k 0)

- Chứng minh qua một phép chiếu song song theo phương song song với AB chúng có ảnh trùng nhau.

- Chứng minh tọa độ của một điểm trong ba điểm A, B, C thỏa mãn phương trình đường thẳng qua hai điểm còn lại.

- Chuyển về bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng trong hình học phẳng: A, B, C thỏa mãn điều kiện thẳng hàng trong mặt phẳng.

1.2.3.2. Hoạt động liên tưởng

Các quy luật tương tự, quy luật tương cận, quy luật nhân quả là các cơ sở để hình thành các mối liên tưởng. Các quy luật diễn ra trong không gian, bối cảnh;

diễn ra theo thời gian và diễn ra theo các tương phản giữa các cảm giác, các ý tưởng. Ý thức của con người đi từ ý tưởng này đến ý tưởng khác tương tự. Trong đó “quy luật nhân quả đóng vai trò đặc biệt quan trọng trong tiến trình nhận thức và phát triển trí tuệ của HS” [85, tr.59].

K. K. Plantônôv (dẫn theo [94, tr.105]), cho rằng: Tƣ duy là một quá trình gồm nhiều giai đoạn kế tiếp nhau, mà hai trong số các giai đoạn ấy là xuất hiện liên tưởng, sàng lọc liên tưởng và hình thành giả thuyết. Tác giả Bùi Văn Huệ (dẫn theo [94, tr.104]), chia liên tưởng thành bốn loại: liên tưởng gần nhau về không gian và thời gian, liên tưởng giống nhau về hình thức hoặc nội dung, liên tưởng trái ngược nhau, liên tưởng nhân quả. Trong học toán, GQVĐ là HĐ tư duy, chính vì vậy liên tưởng có vai trò rất quan trọng trong quá trình GQVĐ.

Sự phát triển nhận thức là quá trình tích lũy các mối liên tưởng. Số lượng các liên tưởng và sự linh hoạt khi liên tưởng trong học toán là một trong những cơ sở để phân định trình độ nhận thức, phân định NL GQVĐ của HS trong học toán.

Trong học toán, “sự liên tưởng giữa tình huống được xét và kho “lưu trữ”

các “dữ liệu” đã có ở HS phụ thuộc vào cấu trúc của tình huống và khối lƣợng các dữ liệu HS tích lũy được”. Cần hoạt động liên tưởng đúng quy luật, tổ chức tri thức đúng đắn trong tiến trình HĐ biến đổi đối tƣợng, HĐ chuyển hóa các liên tưởng từ đối tượng này đến đối tượng khác để phát hiện giải pháp GQVĐ.

Ví dụ 1.3. Chứng minh rằng, trong một hình hộp tổng bình phương tất cả các đường chéo bằng tổng bình phương tất cả các cạnh của hình hộp đó.

- Để giải bài toán: Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ (hình 1.1). Chứng minh:

 

2 2 2 2 2 2 2

AC' + A'C + BD' + B'D = 4 AA' + AB + AD

- Có sự liên tưởng tương tự: Hình hộp trong hình học không gian và hình bình hành trong hình học phẳng, từ đó HS nhớ lại, mệnh đề: Trong một hình bình hành tổng bình phương hai đường chéo bằng tổng bình phương bốn cạnh. Từ đây xác định hướng giải bài toán.

Hình 1.1 1.2.3.3. Hoạt động chuyển đổi ngôn ngữ

Mặc dù hiểu VĐ, tuy nhiên trong trạng thái ban đầu nhiều khi có những VĐ mà HS khó phát hiện ra giải pháp GQVĐ. Khi đó, nếu các em biết chuyển đổi ngôn ngữ và diễn đạt lại VĐ, sử dụng các thao tác tƣ duy và kết hợp với các HĐ khác thì việc phát hiện giải pháp GQVĐ có thể thuận lợi hơn. HĐ chuyển đổi ngôn

A'

B'

D'

C'

A

C B

D

ngữ đó có thể là chuyển đổi ngôn ngữ giữa các phân môn toán với nhau, cũng có thể là chuyển đổi ngôn ngữ của môn học khác hoặc ngôn ngữ thực tế về ngôn ngữ toán học (đối với các bài toán liên quan đến toán học).

Ví dụ 1.4. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Chứng minh AC’ vuông góc mặt phẳng (BDA’).

- Giả thiết: Hình lập phương ABCD.A’B’C’D’

- Kết luận: Chứng minh AC'mp(BDA')

HS liên tưởng và huy động KT về đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

+) Nếu suy nghĩ theo ngôn ngữ hình học không gian Ơclit, AC’ vuông góc với mp(BDA’) khi và chỉ khi AC’ vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mp(BDA’), HS chứng minh trực tiếp bài toán bằng cách sử dụng định lý ba đường vuông góc.

+) Nếu chuyển sang ngôn ngữ vectơ, chứng minh AC'

vuông góc với hai vectơ không cùng phương, nằm trong hoặc song song với mp(BDA’). Các em xét các tích vô hướng AC'.BD 

và AC'.BA' 

và chứng minh AC'.BD = 0 

, AC'.BA' = 0 

. +) Nếu dùng ngôn ngữ tọa độ, gọi độ dài cạnh hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ là a. Chọn A là gốc tọa độ và hệ trục tọa độ Axyz sao cho Ax

cùng hướng AB

, Ay

cùng hướng AD

, Az

cùng hướng AA'

(hình 1.2). Khi đó, B(a, 0, 0); D(0, a, 0); A’(0, 0, a), tính theo tọa độ các tích vô hướng:

AC'.BD = 0

 

, AC'.BA' = 0 

Hình 1.2 z

C'

D B

D'

B'

x

C A'

A y

a

a

a

Ví dụ 1.5. Xét bài toán vật lý: Một vật rơi tự do có phương trình (PTr) chuyển

động 1 2

S  2 gt , trong đó g9,8m 2

s và t đƣợc tính bằng giây (s). Tìm vận tốc tức thời của vật rơi tại thời điểm t = 5.

Hướng giải quyết bài toán vật lý này là các em chuyển ngôn ngữ vật lý sang ngôn ngữ toán học. PTr chuyển động của vật rơi S = S(t) là hàm số của biến số t.

Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm t0 là giá trị đạo hàm tại t0. Do đó, v(t0) = S’(t0).

1.2.3.4. Huy động kiến thức

Trong quá trình học tập, HS đã tích lũy đƣợc vốn KT, KN nhất định.

HS huy động KT là các em huy động, tổ chức các KT, KN, kinh nghiệm vốn có để GQVĐ. Trước một VĐ cần GQ (cụ thể là bài toán), HS cần huy động KT, KN đã tích lũy được, đương nhiên không phải là tất cả. Việc tích lũy KT, KN mới chỉ là cái “vốn” ban đầu của HS. Cái khó đối với HS là phải biết huy động KT, KN nào, tổ chức chúng ra sao, xét đến mối liên hệ nào để GQVĐ đặt ra. Điều đó phụ thuộc nhiều vào khả năng chọn lọc của HS. Người giải toán đã tích lũy đƣợc những tri thức ấy trong trí nhớ, giờ đây rút ra và vận dụng một cách thích hợp để giải toán. G. Polya gọi việc nhớ lại có chọn lọc các tri thức nhƣ vậy là sự huy động, việc làm cho chúng thích ứng với bài toán đang giải là sự tổ chức.

Ví dụ 1.6. Chứng minh rằng, tổng bình phương các cạnh của một tứ diện bằng bốn lần tổng bình phương các đoạn thẳng nối hai trung điểm các cặp cạnh đối.

Tứ diện ABCD; E, F, G, H, I, J lần lƣợt là trung điểm các cạnh AB, CD, AC, BD, AD, BC (hình 1.3); các tứ giác EIFJ, EGFH, GIHJ là các hình bình hành. HS huy động KT sẵn có (tính chất của hình bình hành): “Trong một hình bình hành tổng bình phương hai đường chéo bằng tổng bình phương bốn cạnh”

để giải bài toán.

Hình 1.3

NL liên tưởng và huy động KT của mỗi người khác nhau. Cùng GQ một VĐ, có người liên tưởng và huy động được nhiều định lí, khái niệm, công thức,…phù hợp và nhiều thao tác tƣ duy giúp họ GQVĐ nhanh và tốt hơn. Trái lại, do NL yếu; KT, KN tích lũy không được bao nhiêu thì đối với những người này, việc liên tưởng và huy động KT sẽ gặp khó khăn thậm chí là không thực hiện được. Nói cách khác năng lực liên tưởng và huy động KT, KN phụ thuộc vào khả năng tích lũy KT, KN; phụ thuộc vào sự nhạy cảm của người GQVĐ khi gặp một VĐ cụ thể cần GQ.

Tác giả Nguyễn Văn Thuận [94, tr.107], viết: “NL liên tưởng và huy động KT không phải là điều bất biến, một bài toán cụ thể nếu đặt vào thời điểm này có thể HS không giải đƣợc hoặc giải đƣợc nhƣng bởi một cách máy móc và dài dòng, nhưng khi đặt vào thời điểm khác (có thể không xa lắm) nếu có NL liên tưởng và huy động tốt, HS có thể giải đƣợc bài toán bằng một cách rất hay, rất độc đáo, thậm chí còn hình thành đƣợc một cách giải khái quát cho một lớp các bài toán”.

Ví dụ1.7. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M và N là hai điểm lần lƣợt chia hai đoạn thẳng CA và DC’ theo tỷ số

1

k   2 . Chứng minh MN song song BD’.

Phân tích các thông tin học sinh thu nhận đƣợc từ bài toán:

- Hình hộp ABCD.A’B’C’D’, ta cần huy động các KT về hình hộp;

E I A

C

B D

J F

- M, N lần lƣợt chia hai đoạn thẳng CA, DC’ theo cùng tỷ số 1 k   2 , nên M thuộc đoạn thẳng CA, N thuộc đoạn thẳng DC’, MC =1MA,

2

ND =1NC' 2 ; - Chứng minh hai đường thẳng MN và BD’ song song, cần huy động kĩ năng chứng minh hai đường thẳng song song;

Liên tưởng và huy động KT, KN đã có, HS có thể “nghĩ” tới các giải pháp:

Giải pháp 1. Chuyển hóa bài toán đã cho về bài toán phẳng, huy động các KT về song song trong mặt phẳng.

Đa số HS lúng túng vì độ “khó” của bài toán. Ở đây năng lực GQVĐ của HS đƣợc bộc lộ: “Nhìn” ra đƣợc mặt phẳng để có thể chuyển hóa bài toán không gian về bài toán phẳng. Tách bộ phận phẳng trong hình không gian, chuyển những hiểu biết có hệ thống về hình học phẳng vào những hiểu biết có hệ thống về hình học không gian. Cụ thể là: Xét các mp(DJC’), mp(BCD’) và áp dụng định lí Ta- let trong mặt phẳng chứng minh MN // IJ và IJ // BD’ (với I, J lần lƣợt là trung điểm của CD’ và BC) (hình 1.4).

Hình 1.4

Giải pháp 2. Chuyển sang ngôn ngữ vectơ, huy động KT vectơ chứng minh hai vectơ cùng phương

C' B'

B D'

M A'

D

C

A N

I

J

Từ thông tin thu nhận được của vấn đề, HS có năng lực GQVĐ, liên tưởng vectơ. Tiến hành chuyển hóa đối tƣợng, dùng ngôn ngữ vectơ và huy động KT vectơ để GQVĐ.

Chuyển ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ vectơ, đặt AB a , AD b AA , 'c

, (hình 1.5) Biểu diễn các vectơ MN

và BD ' theo a b c  , ,

, suy ra hai vectơ MN

và BD'



cùng phương. Do đó, MN//BD’. Vậy hai đường thẳng MN và BD’ song song với nhau.

1.2.3.5. Hoạt động biến đổi đối tượng

Theo tác giả Đào Tam [85, tr.27]: “HĐ biến đổi đối tƣợng là quá trình chủ thể dùng hành động trí tuệ, các thao tác tƣ duy dựa trên các tri thức kinh nghiệm đã có để xâm nhập vào đối tƣợng nghiên cứu thông qua biến đổi cấu trúc của đối tƣợng, bao gồm các mối liên hệ, quan hệ chứa trong đối tƣợng và kể cả hình thức của đối tƣợng nhằm biến đối tƣợng thành sản phẩm”. Khi gặp một VĐ cần giải quyết, HS dùng các hành động trí tuệ, sử dụng các thao tác tƣ duy, huy động vốn tri thức đã có của các em xâm nhập vào VĐ để hiểu VĐ, thấy mối quan hệ giữa các yếu tố của VĐ, biến đổi cấu trúc VĐ. Từ đó, phát hiện giải pháp GQVĐ.

Ví dụ 1.8. Giải phương trình cos x + cos y - cosx - cosy = cosxcosy -12 2 B

C' B'

D'

M A'

D

C

b A N

a

c



Hình 1.5

Ta có thể xem cosx (hoặc cosy) là biến số. Giả sử xem cosx là biến số, khi đó biến đổi cấu trúc từ bài toán lƣợng giác về bài toán liên quan đến tam thức bậc hai (phân môn đại số). Xét tam thức bậc hai:

 

2 2

f(x) = cos x - cosx cosy +1 + cos y - cosy +1 = 0 (biến số cosx) V= cosy +1 - 4 cos y - cosy +1( )2 ( 2 )

( )

2

2

= -3cos y + 6cosy - 3

= -3 cosy -1 £ 0, "y Ta có f(x)³ 0 "cosx, nên

f(x) = cos x - cosx cosy +1 + cos y - cosy +1 = 02   2 khi và chỉ khi V= 0 Do đú, f(x) = 0 Û ỡ ớùù

ùùợ

cosx = 1 cosy = 1

Việc giải hệ phương trình khá đơn giản.

1.2.3.6. Hoạt động điều ứng

Theo Đào Tam [85, tr.24], “HĐ điều ứng diễn ra khi vốn tri thức đã có của chủ thể chưa tương hợp với môi trường tri thức mới cần nhận thức; khi sơ đồ nhận thức đã có và tri thức mới không tương thích. Khi đó HĐ điều ứng nhằm tạo lập sơ đồ nhận thức khác để tiếp nhận tri thức mới, tạo sự cân bằng mới”.

Hoạt động điều ứng trong GQVĐ diễn ra khi vốn KT, KN đã có của HS chƣa thích hợp với tri thức cần có để GQVĐ; khi các sơ đồ GQVĐ hiện có trong bộ nhớ của HS chưa tương thích với tri thức cần tìm để GQVĐ. Sử dụng các thao tác tƣ duy, kết hợp HĐ toán học để làm thay đổi cấu trúc diễn dịch VĐ (không làm thay đổi nội dung VĐ) có thể phát hiện giải pháp GQVĐ (một hoặc nhiều hơn một giải pháp).

Ví dụ 1.9. (Trở lại với bài toán trong VD 1.6) Chứng minh rằng, tổng bình phương các cạnh của một tứ diện bằng bốn lần tổng bình phương các đoạn thẳng nối hai trung điểm các cặp cạnh đối.

HĐ điều ứng của HS là sử dụng các thao tác tƣ duy làm thay đổi cấu trúc diễn dịch bài toán để tạo lập thích nghi giữa vốn KT, KN đã có với tri thức cần tìm nhằm phát hiện cách giải bài toán; liên tưởng với bài toán trong VD 1.3 “chợt đến”

khi nhận thấy hình thức của bài toán này và bài toán đã giải gần “giống nhau”.

Nhưng nếu chỉ có vậy, HS chưa phát hiện được hướng GQVĐ. Ở đây, HS phải tiếp tục HĐ điều ứng nhằm thay đổi cấu trúc bài toán, chuyển nghiên cứu tứ diện sang mô hình hình hộp ngoại tiếp tứ diện đó để sử dụng cách chứng minh bài toán trên. Cụ thể là:

Tứ diện ABCD, các đoạn thẳng nối trung điểm các cặp cạnh đối của tứ diện tương ứng bằng độ dài ba cạnh xuất phát từ một đỉnh của hình hộp ngoại tiếp tứ diện ABCD (hình 1.6), đƣa về giải bài toán có giả thiết là hình hộp này (chính là bài toán ở VD 1.3).

Hình 1.6

1.2.3.7. Biểu diễn trực quan các quan hệ giữa các yếu tố của vấn đề

Theo P. Linxey và D. Norman (dẫn theo [47, tr.27]): Trực quan cảm tính trong không gian và thời gian là đặc trƣng cần thiết của các quá trình tƣ duy nói chung và nhận thức toán học nói riêng. Ta có thể thấy nhiều KT toán học sơ cấp đƣợc xây dựng xuất phát từ những sự vật, hiện tƣợng, hình ảnh khách quan.

Nguyễn Bá Kim [39, tr.110], cho rằng: “…cần chú ý đặc điểm của hình thức trực quan đƣợc sử dụng rộng rãi nhất trong môn Toán là trực quan tượng trưng: hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, bảng, kí hiệu,…”. Theo Hoàng Chúng (dẫn theo [39, tr.111]:

A

D

E F

c

B a

C b O

“Phương tiện trực quan tượng trưng là một hệ thống kí hiệu quy ước nhằm biểu diễn tính chất muốn nghiên cứu tách ra khỏi tất cả các tính chất khác của đối tƣợng và hiện tƣợng, nó nhằm cụ thể hóa cái trừu tượng trong đối tƣợng và hiện tƣợng”.

Tuy nhiên [39, tr.110], “…trong môn Toán, trực quan là chỗ dựa để khám phá chứ không phải là phương pháp để xác nhận tri thức. Cần làm cho HS đừng vội ngộ nhận những điều phát hiện đƣợc nhờ trực quan. Cần gợi ra nhu cầu, hình thành thói quen chứng minh chặt chẽ những phát hiện nhƣ vậy”.

Vì vậy, đối với một số VĐ toán học cần GQ, năng lực GQVĐ của HS còn thể hiện ở chỗ biết biểu diễn trực quan các quan hệ giữa các yếu tố của VĐ toán học, từ đó việc phát hiện giải pháp GQVĐ sẽ thuận lợi hơn, lập luận sẽ có căn cứ, chặt chẽ hơn, hạn chế đƣợc những sai lầm trong tính toán.

Ngày nay công nghệ thông tin phát triển mạnh, với việc sử dụng máy tính và các phần mềm. HS biểu diễn các yếu tố, dữ kiện của VĐ trên máy tính, tiến hành các thao tác động lên đối tƣợng trong biểu diễn (biểu diễn trực quan động) có thể góp phần tích cực cho việc dự đoán “chính xác” kết quả trong nhiều trường hợp, từ đó gợi ý cho việc tìm kiếm giải pháp GQVĐ.

Ví dụ 1.10. Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. M là điểm di chuyển trên nửa đường tròn đó. Vẽ hình vuông MBCD ở ngoài AMB. Tìm quĩ tích điểm C.

- Phân tích và xử lí thông tin: Giả thiết MBCD là hình vuông, điểm B cố định và BM = BC, MBCã

2

= p không đổi. Suy ra phép quay Q B;

2 ổ p ữử ỗ - ữ

ỗ ữ

ỗố ứ biến điểm M thành điểm C. Điểm M thuộc nửa đường tròn đường kính AB.

- Định hướng phát hiện giải pháp GQ bài toán. Biểu diễn trực quan quan hệ giữa các yếu tố của bài toán (sử dụng phần mềm Cabri) nhƣ sau :

 Vẽ nửa đường tròn (O) đường kính AB.

 Xác định M thuộc nửa đường tròn (O).

 Vẽ hình vuông MBCD.

 Tạo ” vết” cho C khi M di động trên nửa đường tròn (O) đường kính AB.