Chương 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.3. Các thành tố năng lực GQVĐ của học sinh trong dạy học toán THPT
1.3.1. Năng lực hiểu vấn đề
Năng lực hiểu VĐ gồm các NL thành phần: nhận diện VĐ, hiểu ngôn ngữ diễn đạt của VĐ, toán học hóa VĐ.
1.3.1.1. Năng lực nhận diện vấn đề
Nhận diện VĐ là HS nhận ra bài toán đó đối với mình có phải là VĐ hay không. Nếu là VĐ thì nó thuộc dạng nào (bài toán chứng minh, bài toán tìm tòi, bài toán tính toán,…). Sau khi đã nhận dạng HS phải nghiên cứu kĩ, nêu đƣợc dữ kiện (giả thiết), yêu cầu (kết luận) của VĐ, vẽ hình, viết điều kiện dưới dạng công thức (nếu cần). Biết tóm tắt VĐ (đôi khi dùng hình vẽ, mô hình).
Ví dụ 1.11. Cho tứ diện đều ABCD. Gọi M và N là hai điểm thay đổi lần lƣợt trên hai cạnh AD và BC, sao cho AM = BN. Chứng minh rằng MN luôn song song với mặt phẳng cố định.
Bài toán hình học không gian này, đối với học sinh A người đã gặp và giải nó thì nó không phải là VĐ. Ngược lại, đối với học sinh B, người chưa từng gặp bài toán thì đó là VĐ của chính bản thân học sinh này. Khi đó học sinh B cần nhận diện về bài toán:
- Giả thiết: tứ diện đều ABCD, M di động trên cạnh AD, N di động trên cạnh BC, AM = BN.
- Kết luận: Chứng minh MN luôn song song với mặt phẳng cố định.
- Vẽ hình (hình 1.8)
Hình 1.8
1.3.1.2. Năng lực hiểu ngôn ngữ diễn đạt của vấn đề
Ngôn ngữ toán học là ngôn ngữ khoa học, đáp ứng đƣợc các yêu cầu lôgic, chặt chẽ, chính xác. Nó là một hệ thống các thuật ngữ (ngôn ngữ công cụ), các ký
N
M
B D
C A
-
-
hiệu toán học chủ yếu ở dạng ngôn ngữ viết, các kí hiệu này có tính chất quy ƣớc dùng để diễn đạt nội dung toán học, đảm bảo tính chính xác, lôgic, ngắn gọn. Nếu hiểu theo nghĩa rộng, ngôn ngữ toán học là hệ thống các thuật ngữ, các kí hiệu toán học (thường ở dạng ngôn ngữ viết), các hình vẽ, mô hình, biểu đồ, đồ thị,…có tính chất quy ƣớc nhằm diễn đạt nội dung toán học một cách chính xác, lôgic và ngắn gọn. Để hiểu VĐ, người GQVĐ phải hiểu ngôn ngữ diễn đạt VĐ qua đó hiểu nội dung VĐ. Trước hết là hiểu ngôn ngữ, ngôn ngữ toán học của VĐ, đặc biệt là sự đan xen của ngôn ngữ tự nhiên và ngôn ngữ toán trong một VĐ nẩy sinh từ thực tiễn.
Ngôn ngữ đƣợc xét theo hai khía cạnh là ngữ nghĩa và cú pháp. Ngữ nghĩa là cấu trúc nội dung của đối tƣợng, quan hệ, quy luật,… và cú pháp là các biểu thức hình thức và các qui tắc thiết kế của dạng hình thức đó mô tả các đối tƣợng, các quan hệ, các quy luật,… HS hiểu rõ ngữ nghĩa của VĐ sẽ phát triển NL vận dụng toán học và nắm đƣợc cú pháp sẽ có KN giải toán trên các biểu thức hình thức. Tóm lại, hiểu ngôn ngữ toán học của VĐ là phải hiểu ngữ nghĩa, phải nắm đƣợc cú pháp và mối quan hệ giữa cú pháp và ngữ nghĩa. Hiểu ngôn ngữ diễn đạt của VĐ “mới biết cách khai thác hết mọi khía cạnh biểu hiện tinh vi của bài toán, mới “gọi” đƣợc những điều muốn nói của các con số, của các kí hiệu, các điều kiện chứa đựng trong bài toán” [30, tr.256].
Ví dụ 1.12. Từ các chữ số 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6 có thể lập đƣợc bao nhiêu số tự nhiên chẵn có ba chữ số (không nhất thiết phải khác nhau).
Dùng kí hiệu để diễn đạt lại nội dung số tự nhiên chẵn có ba chữ số cần tìm là abc. Khi HS hiểu đƣợc mối quan hệ giữa cú pháp và ngữ nghĩa, các em giải thích đƣợc bộ ba số (a; b; c) là tập con của tập hợp {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6}, a0,
0;2;4;6
c . Từ đó sử dụng quy tắc nhân và kiến thức tổ hợp để GQVĐ.
1.3.1.3. Toán học hóa vấn đề (khi vấn đề tiềm ẩn trong một tình huống phi toán học)
Toán học hóa VĐ là chuyển đổi ngôn ngữ diễn đạt VĐ về hình thức, đối tƣợng, hiện tƣợng của VĐ khi VĐ tiềm ẩn trong một tình huống phi toán học (VĐ
của môn học khác, VĐ thực tiễn) cho phù hợp với nội dung toán học. Có thể nói cách khác: Toán học hóa VĐ là xác định mô hình toán học của VĐ. Toán học hóa VĐ đặc biệt có ý nghĩa trong việc gắn kết toán học với thực tiễn và GQ các VĐ có liên quan đến toán học do thực tiễn đặt ra, xác nhận giá trị ứng dụng vào thực tiễn của tri thức toán học. “Để GQVĐ, HS phải sử dụng qui trình hành động, chiến lƣợc chung là “toán học hóa thực tiễn”: tìm hiểu VĐ thực tiễn; tổ chức nó theo các khái niệm toán học có liên quan; loại bỏ dần yếu tố thực tế, chuyển sang một VĐ toán học; GQVĐ; và chuyển ý nghĩa của giải pháp toán học về thực tiễn” [66, tr.23]
Ví dụ 1.13. Người ta tổ chức một cuộc chạy thi trên bãi biển với điều kiện sau: Các vận động viên xuất phát từ địa điểm A và đích là địa điểm B, nhưng trước khi đến B phải nhúng mình vào nước biển (ta giả sử rằng mép nước biển là một đường thẳng) [76, tr.12] (hình 1.9).
Để chiến thắng trong cuộc chạy đua này, ngoài tốc độ chạy, còn có một yếu tố quan trọng là vận động viên phải xác định vị trí M ở mép nước biển mà mình phải chạy từ điểm A tới để nhúng mình vào nước biển, rồi từ đó chạy đến B sao cho quãng đường phải chạy là ngắn nhất.
Hình 1.9 Hình 1.10
Đây là VĐ do thực tiễn cuộc sống đặt ra, mà có thể áp dụng Toán học để GQ. Trước tiên, cần toán học hóa VĐ: gọi điểm xuất phát là A, điểm đích là B, mép nước biển là đường thẳng d và vị trí nhúng mình ở mép nước biển là M. Từ ngôn ngữ tự nhiên chuyển sang ngôn ngữ toán học có thể hình thành bài toán:
A B
M
d
B’
Mo _
< _
Cho hai điểm A và B nằm về một phía của đường thẳng d (hình 1.10). Hãy xác định điểm M trên đường thẳng d sao cho AM + MB nhỏ nhất.