Chương 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.3. Các thành tố năng lực GQVĐ của học sinh trong dạy học toán THPT
1.3.4. NL phát hiện giải pháp khác để GQVĐ, năng lực phát hiện VĐ mới
Một VĐ có thể có nhiều hơn một giải pháp giải quyết. NL GQVĐ của HS trong DH toán THPT thể hiện khả năng phát hiện thêm giải pháp GQVĐ.
Ví dụ 1.18. Giải PTr cos3x - cos2x = 2cos 2x.cosx + 1 (1)
Giải pháp 1: PTr lƣợng giác vừa có tổng vừa có tích các hàm số lƣợng giác nên phần lớn HS thường nghĩ đến biến đổi PTr đã cho thành PTr tích.
Nhiều HS đã biến đổi nhƣ sau: 5x x
cos3x - cos2x = -2sin sin
2 2. Do đó, PTr (1) tương đương với PTr: 5x x
-2sin sin = 2cos2xcosx + 1
2 2 (2). Hướng biến đổi này
làm xuất hiện thêm 5x x sin và sin
2 2 nên bài toán trở nên phức tạp.
Hướng biến đổi khác: cos3x = 4cos3x - 3cosx, cos2x = 2cos2x - 1, khi đó biến đổi PTr đã cho thành PTr:
(4cos3x - 3cosx) - (2cos2x - 1) = 2(2cos2x - 1)cosx + 1
( )
cosx 2cosx + 1 = 0 cosx = 0 cosx = -1
2 Û
éê Û êê ờở
(việc giải các PTr này khá đơn giản).
HS thường chưa nghĩ ngay đến hướng biến đổi này vì các em “rất sợ” PTr lƣợng giác chứa hàm số lƣợng giác bậc cao.
Giải pháp 2: Khai thác đặc điểm các hệ số của biến số x trong PTr có quan hệ 3x = 2x + x, thực hiện phép biến đổi tích thành tổng 2cos2x.cosx = cos3x + cosx.
Khi đó PTr (1) tương đương với PTr: cos3x - cos2x = cos3x + cosx + 1 Û 1- 2cos x = cosx +12
Û cosx 2cosx +1 = 0( )
và cũng dẫn đến giải các PTr lƣợng giác cơ bản:
cosx = 0 cosx = -1
2 éê
êê ờở 1.3.4.2. Phát hiện vấn đề mới
G. Polya [70, tr.23], cho rằng: “Chúng ta có thể học tập đƣợc những thao tác tư duy cơ bản như khái quát hóa, đặc biệt hóa và nhận thức về tương tự. Có thể sẽ không có một phát minh nào trong toán học sơ cấp cũng nhƣ cao cấp, thậm chí trong bất cứ lĩnh vực nào, nếu ta không dùng những thao tác tƣ duy đó, đặc biệt nếu không dùng phép tương tự ”. HS biết sử dụng kết quả vừa có hoặc giải pháp vừa sử dụng để tìm ra VĐ mới và GQ đƣợc VĐ đó. NL phát hiện VĐ mới của HS trong DH toán thể hiện khả năng mở rộng VĐ tìm bài toán mới. Bài toán mới đó có thể là bài toán tương tự, bài toán tổng quát,…
Vẫn theo G. Polya [71, tr.63]: “Tìm đƣợc một bài toán mới vừa bổ ích lại vừa có thể giải được, không phải là việc dễ, cần phải có kinh nghiệm, sở trường, may mắn. Tuy vậy, mỗi khi đã giải đƣợc một bài toán thì ta không nên quên đi tìm một bài toán mới”.Trong DH toán, xuất phát từ một bài toán đã giải HS có thể thử thay đổi, thêm, bớt,… yếu tố nào đó hay điều kiện của bài toán để phát hiện bài toán mới tương tự hoặc từ việc GQ trường hợp riêng ban đầu thông qua HĐ khái quát hóa đề xuất bài toán tổng quát, thông qua HĐ cá biệt hóa hình thành bài toán đặc biệt.
HĐ khái quát hóa tìm VĐ mới là thao tác tƣ duy nhằm mở rộng tính chất nào đó trên tập các đối tƣợng A sang tập các đối tƣợng B chứa A (sơ đồ 1.4). Kết quả của HĐ khái quát hóa thu đƣợc VĐ tổng quát so với VĐ ban đầu. Trong dạy học toán NL khái quát hóa là một trong các NL trí tuệ cơ bản của HS. “NL này không những giúp HS nhìn nhận VĐ một cách có hệ thống mà còn là một trong các tiền đề để các em phát triển NL sáng tạo” [21, tr.33]
Sơ đồ 1.4. Minh họa HĐ khái quát hóa Sơ đồ 1.5. Minh họa HĐ cá biệt hóa B
A Tính chất
A A Tính
chất A1
HĐ cá biệt hóa tìm VĐ mới là thao tác tƣ duy, từ tính chất nào đó của tập các đối tƣợng A sang tập các đối tƣợng A1 con của A (sơ đồ 1.5). Kết quả HĐ cá biệt hóa thu được VĐ mới là trường hợp đặc biệt của VĐ ban đầu.
Ví dụ 1.19. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có PTr 3x - 2y - 4 = 0. Tìm ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vectơ v = -2; 3 .
Bài toán trên có thể khái quát thành bài toán tổng quát: Tìm ảnh của một hình (H) có phương trình cho trước qua phép tịnh tiến theo vectơ v = a; b
Giải pháp GQ bài toán tổng quát: Liên tưởng và huy động kiến thức về phép tịnh tiến và tính chất ảnh của (H) qua phép tịnh tiến theo vectơ v
. Nếu thay đổi phép tịnh tiến theo vectơ v
bởi phép đối xứng trục Đa, ta có bài toán tương tự: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường thẳng a:
x- y+ 1= 0 và đường thẳng d : 3x- 2y+ 6= 0. Tìm ảnh của d qua phép đối xứng Đa.
Sơ đồ dưới đây mô tả các thành tố năng lực GQVĐ
Sơ đồ 1.6. Các thành tố của năng lực GQVĐ Quá trình GQVĐ
Một số thành tố năng lực GQVĐ
Giai đoạn 2
Tìm giải pháp khác GQVĐ;
mở rộng VĐ Tìm hiểu vấn đề
Tìm, thực hiện, kiểm tra giải pháp GQVĐ
Trình bày giải pháp GQVĐ Giai
đoạn 1
NL phát hiện giải pháp khác GQVĐ;
phát hiện VĐ mới NL hiểu vấn đề
NL phát hiện, triển khai giải pháp
GQVĐ
NL trình bày giải pháp GQVĐ