Năng lực phát hiện và triển khai giải pháp GQVĐ

Chương 1. CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.3. Các thành tố năng lực GQVĐ của học sinh trong dạy học toán THPT

1.3.2. Năng lực phát hiện và triển khai giải pháp GQVĐ

Phát hiện và triển khai giải pháp GQVĐ bao gồm: phát hiện – thực hiện – kiểm tra giải pháp GQVĐ. Để hiểu VĐ, học sinh phải thực hiện một loạt các thao tác tƣ duy: phân tích, tổng hợp, khái quát hóa, đặc biệt hóa,… HS cũng phải tiến hành các HĐ trí tuệ: huy động tri thức phương pháp, dịch chuyển tri thức; liên tưởng, sàng lọc liên tưởng; huy động KT, KN; chuyển đổi ngôn ngữ; biến đổi VĐ,… nhằm tìm cách phát hiện giải pháp GQVĐ. Để phát hiện giải pháp GQVĐ, học sinh phải mò mẫm, dự đoán, dựa vào các suy luận có lí, xem xét các trường hợp đặc biệt, các trường hợp riêng, liên tưởng đến các VĐ tương tự đã gặp từ đó có thể phát hiện đƣợc giải pháp GQVĐ. NL phát hiện và triển khai giải pháp GQVĐ có các NL thành phần: dự đoán và suy diễn; phân tích, phát hiện mối liên hệ giữa các yếu tố của VĐ; kết nối KT, KN đã có và tri thức cần tìm để GQVĐ;

nhằm chỉ ra giải pháp GQVĐ và triển khai giải pháp GQVĐ đó.

Trong quá trình triển khai giải pháp GQVĐ, HS phải thường xuyên kiểm tra để phát hiện những sai, sót kịp thời sửa chữa, bổ sung điều chỉnh giải pháp GQVĐ. Khi kiểm tra cần lưu ý:

- Kiểm tra kết quả về mặt định tính: là kiểm tra sự đúng đắn của giải pháp GQVĐ,

- Kiểm tra kết quả về mặt định lƣợng: rà soát lại quá trình, các thao tác đã dùng để thực hiện GQVĐ và việc tính toán trong quá trình GQVĐ.

Kiểm tra về định lƣợng đƣợc thực hiện sau kiểm tra về định tính (khi tiến hành kiểm tra về định tính nếu phát hiện là sai thì không cần kiểm tra về định lƣợng).

1.3.2.1. Năng lực dự đoán và suy diễn

Trong quá trình hình thành và phát triển của toán học thì dự đoán, thực nghiệm và quy nạp có vai trò quan trọng trong việc tìm tòi, phát minh. Theo các tác giả Phạm Văn Hoàn, Trần Thúc Trình, Nguyễn Gia Cốc [27, tr.90]: “HS học toán ở trường phổ thông, bên cạnh những bài tập chỉ đòi hỏi chứng minh những

chân lí mà đề bài đã nói rõ, do đó HS chỉ cần đến suy diễn, cần coi trọng những bài tập trong đó điều gì phải chứng minh cũng chƣa rõ lắm, HS phải tự xác lập điều ấy thông qua mò mẫm, dự đoán, nghĩa là phải vận dụng quy nạp trước khi vận dụng đến suy diễn (toán tìm quĩ tích, toán tìm hệ thức giữa một số biến nào đó,…). Sáng tạo trong toán học là một loạt suy diễn và quy nạp kế tiếp nhau”.

Trong học toán, trước một VĐ cần GQ, HS biết xem xét, suy luận và dự đoán giải pháp GQVĐ. “Những bài tập về tìm tòi và dự đoán bằng qui nạp có nhiều tác dụng rèn luyện tƣ duy và gây hứng thú học tập cho HS” [11, tr.36]. HS mò mẫm, thử một số trường hợp, từ đó hình thành dự đoán. Dự đoán đó là cơ sở để HS suy diễn, phát hiện giải pháp GQVĐ. Tuy nhiên, dự đoán không phải bao giờ cũng đúng. Để có đƣợc giải pháp GQVĐ đúng, HS cần phải kiểm tra lại điều dự đoán để tránh sa vào “ngõ cụt” trong quá trình GQVĐ.

Ví dụ 1.14. Cho dãy số (un) xác định bởi

1

n * n+1

u = 1

u + 8

u = n

5



  

 

Tìm un theo n.

Để có hướng GQVĐ này, HS có thể dự đoán công thức un theo n và dùng quy nạp chứng minh công thức đó đúng với mọi n thuộc *.

Học sinh thứ nhất:

Trước hết thực hiện các phép thử:

+) Với n = 1, bài toán đã cho u1 = 1, +) Với n = 2, ta có

2 2

9 3

u = =

5 5 , +) Với n = 3, ta có

2

3 2 2

49 7

u = =

5 5 .

- Suy luận, học sinh này dự đoán (có vẻ đúng) công thức  n 2

n n -1

u = 2 -1

5 (1), - Dùng quy nạp để chứng minh công thức (1) đúng  n * nhƣng không thể đƣợc và HS này “sa lầy” ở đây do dự đoán (1) không đúng.

Học sinh thứ hai:

- HS này cũng thực hiện các phép thử (suy luận khác với HS thứ nhất):

+) Với n = 1, bài toán đã cho u = 1 = 2 -1 10 5 , +) Với n = 2, ta có u2 = 9 = 2 - 11

5 5

+) Với n = 3, ta có 3 2 2

49 1

u = = 2 -

5 5

- Đến đây, HS thứ hai suy luận và dự đoán công thức n n -1

u = 2 - 1

5 (2) Dùng quy nạp chứng minh đƣợc n n-1

u = 2 - 1

5 đúng

n *

  .

Ở VD này, cùng thực hiện các phép thử giống nhau (những tiền đề) nhƣng hai HS dự đoán hai công thức khác nhau. Việc thực hiện các phép thử của hai HS đều đúng, các suy luận trên đều có lí. Tất nhiên, các công thức (1) và (2) đều có tính chất dự đoán, giả thuyết. Trong VD trên, các tiền đề đều đúng nhƣng dự đoán của HS thứ nhất sai, dự đoán của HS thứ hai đúng. Tính đúng, sai của dự đoán đều có thể xảy ra, mặc dù các dự đoán đó đều xuất phát từ các tiền đề đúng.

1.3.2.2. Năng lực phân tích mối liên hệ giữa các yếu tố của vấn đề

Đối với toán học, các khái niệm, các quan hệ, các quy luật có mối quan hệ chặt chẽ giữa các chương, các mục, các phân môn; đồng thời có quan hệ với các môn học khác. Khi có một VĐ đặt ra cần giải quyết HS phân tích mối liên hệ giữa các yếu tố của VĐ, tìm giải pháp GQVĐ; có thể phân tích thuận từ giả thiết đi đến kết luận của VĐ, nhiều khi cần biết phân tích nghịch đi từ kết luận ngƣợc về giả thiết, phát hiện mối liên hệ giữa các yêu tố và biết phân tích VĐ thành các VĐ nhỏ để có thể dễ nhìn ra giải pháp. Phân tích VĐ, năng lực GQVĐ của HS thể hiện qua năng lực “nhìn” VĐ. Có thể “nhìn” trực tiếp vào đặc điểm chủ yếu của VĐ, từ cách “nhìn” này ta có thể phát hiện đƣợc các đặc điểm đơn giản, cơ bản không bị che khuất bởi các hình thức rắc rối, phát hiện yếu tố “ẩn tàng” của VĐ. Đồng thời, cũng phải biết “nhìn” VĐ dưới dạng đặc thù, riêng lẻ; “nhìn” VĐ trong bối cảnh chung và trong từng hoàn cảnh cụ thể; “nhìn” VĐ trong mối tương quan với những VĐ khác. Khi “nhìn” VĐ phải biết liên tưởng tới các VĐ trong cùng một

phạm vi, có thể là phạm vi rộng hoặc phạm vi hẹp; hoặc các phạm vi khác nhau.

Chẳng hạn, một bài toán hình học không gian được liên tưởng với bài toán hình học phẳng, hoặc bài toán đại số được liên tưởng đến bài toán lượng giác hay bài toán hình học,… và ngƣợc lại. Có VĐ thì các yếu tố của nó đƣợc diễn đạt rõ ràng dễ nhìn thấy, nhưng có những VĐ người đặt ra VĐ cố tình cho một số yếu tố “ẩn tàng” sau các yếu tố khác. Người GQVĐ phải phát hiện được dụng ý của người đặt VĐ để phát hiện giải pháp GQVĐ.

Tóm lại, trước một VĐ đặt ra cần giải quyết, HS nhận dạng VĐ, phát hiện mối liên hệ giữa các yêu tố và tách những yếu tố chính của VĐ. Đây là hướng phát hiện giải pháp GQVĐ và cũng thể hiện năng lực GQVĐ của HS.

Ví dụ 1.15. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. M và N lần lượt là trung điểm của AB và DD’. Chứng minh MN và A’C vuông góc với nhau.

Mặc dù bài toán không nhắc gì tới tọa độ, đây chính là yếu tố “ẩn tàng” sau giả thiết hình lập phương, HS phân tích mối liên hệ giữa các yếu tố của bài toán “nhìn thấy” nó, từ đó phát hiện giải pháp khá “hay”, sử dụng kiến thức tọa độ để giải.

Giả sử cạnh hình lập phương là a > 0. Chọn A là gốc tọa độ và hệ trục tọa độ Axyz sao cho Ax

cùng hướng AB

, Ay

cùng hướng AD

, Az

cùng hướng AA'

 (hình 1.11). Ta tìm tọa độ của các đỉnh hình lập phương, của M, N ; và của MN



, A'C

. Chứng minh MN.A'C 0

. Do đó MNA'C.

Hình 1.11

1.3.2.3. Năng lực kết nối kiến thức, kĩ năng đã có và tri thức cần tìm z

C'

D

B

D'

B'

x

C A'

A y

a

a M a

N

HS thực hiện các thao tác phân tích, tổng hợp, dự đoán, liên tưởng, kết nối tri thức cần tìm với KT, KN đã có để có thể phát hiện VĐ tương tự, VĐ có liên quan, VĐ tổng quát, VĐ đặc biệt,… của VĐ cần giải quyết; từ đó dùng suy luận, biến đổi Toán học HS phát hiện đƣợc giải pháp GQVĐ. Giải pháp đƣợc phát hiện có thể giải quyết trực tiếp VĐ đặt ra, nhƣng nhiều khi phải giải quyết thông qua GQVĐ trung gian (bài toán phụ).

Ví dụ 1.16. Giải phương trình cosx + 2 - cos x + cosx. 2 - cos x = 32 2 (1)

Tuy PTr lƣợng giác chỉ có một hàm số cosin của một ẩn x nhƣng đây là bài toán khó với nhiều học sinh lớp 11 THPT vì tính chất phức tạp của nó, cosx vừa ở trong vừa ở ngoài dấu căn. Nếu không kết nối đƣợc KT, KN đã có và tri thức cần tìm thì các em khó phát hiện ra giải pháp GQVĐ. HS nào biết kết nối tri thức giải PTr lƣợng giác với các KT, KN của các em về giải PTr, giải hệ PTr, bất đẳng thức,… đã học ở các phân môn Đại số, Lƣợng giác họ sẽ phát hiện đƣợc giải pháp GQVĐ. Sau đây nêu ra một số giải pháp:

Giải pháp 1. Phân tích vế trái của PTr (1), nhận thấy có tổng cosx + 2 - cosx và tích cosx. 2 - cosx , từ đó có thể nghĩ đến việc đặt ẩn số phụ u = cosx,

v = 2 - cosx , (u £ 1)đƣa vể bài toán phụ, giải hệ PTr u + v + uv = 32 2

u + v = 2 ớùùỡù

ùợ (2).

Giải hệ (2), ta cú u = v = 1Û cosx = 1Û x = k2π, (kẻ Â).

Giải pháp 2. Vế trái PTr (1) có đặc điểm 1.cosx +( 2 - cos x .1+ cosx. 2 - cos x2 ) 2 , kết nối với bất đẳng thức Bunhiakốpski

( )

(1.cosx + 2 - cos x .1+ cosx. 2 - cos x2 2 )2

(1+ 2 - cos x + cos x cos x +1+ 2 - cos x = 92 2 )( 2 2 )

£