A) Nội dung:
Bài toán vận tốc, gia tốc có các nội dung cụ thể sau:
a) Tìm vận tốc dài; gia tốc dài (bao gồm các đại lượng: phương, chiều, trị số) cúa từng điểm trên từng khâu bị dẫn của cơ cấu;
b) Tìm vận tốc góc; gia tốc góc (chiều và trị s ố (,)) của từng khâu bị dẫn;
c) Vẽ Hôđôgraph vận tốc và Hôđôgraph gia tốc của các điểm khảo sát trên các khâu.
Xác định chu kỳ động học của chúng và chỉ rõ sự biến đổi theo thời gian của các đại lượng đặc trưng cho vận tốc và gia tốc.
B) Phương pháp giải:
Để giải bài toán vận tốc và gia tốc, người ta phải dùng tới công cụ toán học là giải tích véc tơ. Phương pháp chung là: thành lập các phương trình liên hệ vận tốc (và các phương trình liên hệ gia tốc) dưới dạng véc tơ bằng cách xét chuyển động tương đối giữa điểm đang khảo sát với một điểm nào đó đã biết vận tốc (và đã biết gia tốc). Một điểm đã có vận tốc và gia tốc xác định được gọi là điểm biết trước. Điểm khảo sát và điểm biết trước có thể ở trên cùng một khâu hoặc trên hai khâu khác nhau nhưng nối trực tiếp với nhau bằng khớp động. Điều đáng chú ý là, nếu khảo sát chuyển động tương đối của hai điếm trên hai (*)
(*) Đối với cơ cấu không gian còn phải xác định cả mặt phắng chuyển động tức thời nừa.
- 7 6 -
khâu khác nhau, nhưng nối động trực tiếp với nhau, điểm khảo sát và điểm biết trước phải trùng nhau tại thời điểm khảo sát. Thường gặp hai trường hợp sau:
a) Trường hợp thứ nhất: Thành lập phương trình liên hệ vận tốc và gia tốc của hai điểm
trên cùng một khâu.
* Tìm vận tốc dài và gia tốc dài. Xét khâu k bất kỳ. Điểm biết trước là điểm M: vận tốc
và gia tốc dài của điểm M hoàn toàn xác định: VM và ã M . Điểm khảo sát là điểm N. Giả
sử biết phương của vận tốc dài của điểm /V là A| ; phương gia tốc dài : Ao.
Phương trình liên hệ véc tơ vận tốc:
Z n_
(A,) (
2.6)
Trong đó:
• VM - Vận tốc tuyệt đối của điểm biết trước M, đã biết cả suất, phương chiều (được
đánh dấu bằng hai gạch ngang ( ) dưới ký hiệu VM );
• VN - Vận tốc tuyệt đối của điểm khảo sát N, mới biết phương Aị (được đánh dấu bằng
một gạch dưới ký hiệu );
• VNM - Vận tốc tương đối của điểm N trong chuyển động quay đối với điểm M, mới
biết phương r ( r ± NM) (được đánh dấu bằng một gạch ngang ( ) dưới ký hiệu VNM ).
Phương trình liên hệ véc tơ gia tốc:
~ ~ r ì = ã M +ã NM (2.7)
(A2) ~
Trong đó:
• ã M - Gia tốc tuyệt đối của điểm biết trước M, đã biết cả suất, phương chiều (được
đánh dấu bằng hai gạch ngang ( ) dưới ký hiệu ã M);
• ã N - Gia tốc tuyệt đối của điểm khảo sát N, mới biết phương A2 (được đánh dấu bằng một gạch ngang ( ) dưới ký hiệu ãN );
• ã NM - Gia tốc tương đối của điểm N trong chuyển động quay đối với điểm M, được
phân thành hai thành phần:
Ũnm =ũ'nm + ã zNM (2.8)
- 7 7 -
Gia tốc pháp ã nNM hoàn toàn xác định: suất tính theo
„ n _ / _ v NM
a NM - co NM x ‘ NM - ~ r ~
‘NM
(2.9)
và chiều hướng từ điểm N tới điểm M. Còn gia tốc tiếp ã TNM mới biết phương r ’ ( r ’ -L NM).
Vậy có thể viết lại phương trình (2.7) như sau:
Việc giải các phương trình (2.6) và (2.10) bằng cách vẽ được chỉ rõ trên Hình 2.4.
* Tìm vận tốc góc và gia tốc góc.
Sau khi đã tìm được vận tốc dài tuyệt đối và gia tốc dài tuyệt đốiữyv của điểm khảo sát tại thời điểm đang xét, vận tốc góc Cú và gia tốc góc £ của khâu k được tìm như sau:
Vận tốc góc: Hai đường thẳng vuông góc với phương vận tốc VM và v v sẽ cắt nhau ở tâm quay tức thời p. Tại thời điểm đang xét, vận tốc góc của khâu k xác định theo:
(2.10)
„ V M V N
CO = --- = --- — (2.11)
(PM) (P N )
Từ lý luận của Cơ học lý thuyết [1], dễ dàng chứng minh được:
(2.12)
Gia tốc góc: Một cách tương tự, có:
(2.13)
* Đánh giá sự chuyển động của khâu.
K
a) Sự liên hệ vận tốc
- 7 8 -
©
b) Sự liên hệ gia tốc
Hình 2.4. Sự liên hệ vận tốc và gia tốc trên cùng một khâu
Xét tích số Cú . 8 , nếu tích này bằng không (0) thì khâu k sẽ quay đều (vì Cú luôn luôn
tồn tại, còn £ = 0); nếu tích này âm thì khâu sẽ quay chậm dần; ngược lại nếu tích này dương thì khâu sẽ quay nhanh dần.
Xác định gia tốc toàn phần trong chuyển động quay tương đối.
Suất tính theo:
Phương của véc tơ ã NM xác định bởi góc
t a _ a NM _ £nm
a"NM co2 N M
(2.14)
(2.15)
Chiều của véc tơ này do sự hợp hai véc tơ gia tốc pháp {ãnNM ) và gia tốc tiếp ( ã TNM ) quyết định, Hình 2.4h.
* Vẽ Hôđôgraph vận tốc và gia tốc.
Nếu khảo sát vận tốc và gia tốc của điểm N ở những thời điểm khác nhau, sẽ có được
dẫy số liệu VN , ã N . Chọn một điểm p làm gốc và đặt các véc tơ VN cùng gốc p ấy, sau
đó nối các nút véc tơ này bằng một đường cong trơn tru, sẽ được Hôđôgraph vận tốc, Hình 2.5a. Tương tự như vậy, có thể vẽ được Hôđôgraph gia tốc, Hình 2.5b.
- 7 9 -
a) b)
Hình 2.5. Hôđôgraph vận tốc (a) và gia tốc (b)
Tới đây bài toán vị trí, gia tốc coi như đã giải xong.
b) Trường hợp thứ hai: Thành lập phương trình liên hệ vận tốc và gia tốc của hai điểm
trùng nhau trên hai khâu khác nhau.
* Tìm vận tốc dài và gia tốc dài.
Giả sử khâu /■ nối với khâu k bằng khớp tịnh tiến, Hình 2.6. Nếu cố định tức thời khâu k
lại, khâu / sẽ chuyển động tịnh tiến trên khâu k này. Do đó khi cơ cấu chuyển động, ngoài
việc chuyển động theo khâu k ra, khâu i còn chuyển động tương đối so với khâu k nữa. Tại
thời điểm khảo sát luôn luôn có một điểm A trên hai khâu trùng nhau. Giả thiết rằng, điểm biết trước là điểm Akthuộc khâu k , vận tốc và gia tốc của nó hoàn toàn xác định: VA và
ã A . Điểm khảo sát là điểm Aị thuộc khâu /', mới biết phương vận tốc là A,; và phương gia tốc là A2 .
Phương trình liền hệ vận tốc: (2.16)
Trong đó:
• VA - Vận tốc tuyệt đối của điểm Ak, biết cả suất, phương, chiều;
• VA - Vận tốc tuyệt đối của điểm A ị, mới biết phương A,;
• Va, ỈA " Vận tốc của điểm Ai trong chuyển động tịnh tiến đối với điểm Ak, mới biết phương n (n IINM).
Gọi vận tốc VA ,A là vận tốc trượt tương đối.
, ^ A ^ A - / A
Phương trình liên hê gia tốc: —— = ãA + ã cAJA + (2.17)
(A2) =2= (n)
- 8 0 -
Trong đó:
• ã A - Véctơ gia tốc tuyệt đối của điểm Ak, biết cả suất, phương, chiều
• ã 4 - Véctơ gia tốc tuyệt đối của điểm A, , mới biết phương À2 ;
• ăA - Véctơ gia tốc coriolít, hoàn toàn xác định, suất của nó tính theo
a =2 Cừ, A; ỈA, (2.18)
còn chiều của gia tốc này ( ã A ỊA ) là chiều của vận tốc trượt tương đối v Aị/Ak xoay đi 90°
theo chiều quay Cũk (vận tốc góc của khâu k).
Tóm lại: ã \ ịAk =2 ã k A v ( ,Ak (2.19)
Nghĩa là gia tốc Coriolít là một đại lượng hoàn toàn xác định vì biết cả suất, phương, chiều và đặt ở điểm A ị .
• ăA /At - Gia tốc trượt tương đối của điểm Aị so với điểm Ak, mới biết phương n (n IINM).
b) Sự liên hệ gia tốc
Hình 2.6. Sự liên hệ vận tốc và gia tốc của hai điểm trùng nhau thuộc hai khâu khác nhau.
Việc giải các phương trình (2.16) và (2.17) bằng cách vẽ được chỉ rõ trên Hình 2.6.
- ằ I -
Trong trường hợp thứ hai này, vận tốc góc và gia tốc góc của khâu / và khâu k bằng nhau, cụ thể là:
* Tìm vận tốc góc và gia tốc góc.
ũ)ị = Cũk= (ú ;
£j = £k - £ . (2 .2 0 )
Đánh giá sự chuyển động của khâu.
Xét nội tích hai véc tơ CO.S: Vì Củ.ĩ < 0 nên khâu / và khâu k chuyển động chậm
dần. Nói cách khác, chiều của ú\ và £k ngược nhau, Hình 2.6b.
Sau khi đã vẽ được các hình vẽ liên hệ vận tốc và gia tốc, đồng thời tính được vận tốc góc và gia tốc góc của các khâu trong cơ cấu, cũng như vẽ được hođograph vận tốc và gia tốc trong một chu kỳ động học, bài toán vận tốc và gia tốc coi như đã giải xong.
c) Các trường hợp của nhóm Atxua loại II.
Như trong chương 1 đã chỉ rõ, cơ cấu loại II thường được sử dụng rộng rãi trong thực tế;
vì thế việc nghiên cứu mối liên hệ vận tốc và gia tốc của các điểm trong nhóm Atxua loại II cho các dạng (5 dạng) là rất cần thiết. Trong Bảng 2.1 chi ra các phương trình liên hệ
vận tốc và gia tốc cho các dạng khác nhau ấy.
Chú ý: Khi vẽ họa đồ vận tốc và gia tốc cần phải chọn tỷ lệ xích. Nếu gọi đoạn biểu
diễn của véc tơ vận tốc VM là (p m ) tính theo milimét, tì tý lệ xích họa đồ vận tốc sẽ là:
g iá t r ị thự c, m /s e c _ V M m / s e c
/ A ~ g iá t r ị b iể u d iễ n , m m - (pm J ’ m i li m e t
Tương tự như vậy, tỷ lệ xích họa đồ gia tốc sẽ là :
a M m / s e c 2 Ba = 7 = - . - - - -
( m ỉ ) mm
(2.21)
(2.22)
Trong khi giải bài toán động học đôi khi phải dùng tới “phương pháp mở rộng khâu” (sẽ trình bày ở phần ví dụ dưới đây) dựa trên giả thiết b (phần Mở đầu). Trong Bảng 2.1, chi rõ khâu nào được mở rộng tới điểm nào. Chẳng hạn, dạng 4, khâu 1 và khâu 2 đều được mở
rộng tới điểm c, do đó tại điểm này có C0) = C(4) - /4(1) - Bm - c.
- ô 2 -
Bảng 2.1: Bảng động học của các dạng thuộc nhóm Atxua loại II
C á c
d ạ n g
c ủ a
n h ó m
C á c
y ê u
t ô
đ ô n g
h ọ c
r* = v  + y M Vb= Vl + V ^
Vha VV' ¿y2 co}
a„ = aA + a"M + a rM ả H - ãc + ãnHC +
a BA a B C
n ( It a y c ) Cl BA
n ( l u ty c )
a B C "ỉ
1
ỗ
1 A B L B C
v h ỉ BA
1 I & 4
y 2v B C
K c '
1 Iổ c
7*.
a BA
¡ B A
y K
Kc
a B C
Ib c
2
"23 3
I I ô23 1 CB 2F'*,.đ 2
1 1 /2 2,
c 2r z?c
Kc
1 l f l C
Cú,
--- C VfíC
2 /
A <j
1/
J J \ c
ị SP)
'b c
a B C Ib c
3
H s ĩ ị ì
L \ ^ ỉt
I I /2,2 1 C B 2VÁ‘ỵ BA
_L 77 p /*■
1 l f l C
co,
£\
ý *
l B C
a B C
>BC
4
i / \ <t
A h \^ ~
I I /1,2 1 /7 2 3
2Vba.cú,
-Lô12
2VtìC.co2
1 t723
cư,
£\
co2
¿2
5
A{ỊÌP^\
\ Hn h3ư
1 1/1,2 1 1/2,4
2Vbam i
1 n,2
2Vbc.(o,
1 / 2 , 4
cư,
*1
cư4
£4
- 8 3 -
c/ Ví du:
ã) Trình tự giải bài toán vận tốc. Định lý đồng dạng.
- Bài toán: Cho cơ cấu 4 khâu bản lể phẳng ABCD (tức là đã biết chiéu dài thực / iB, lBC, lCD và ỈAD ) và quy luật chuyển động của khâu dẫn (0, = 5, 1/sec = const, Hình 2.7a. Hãy tìm vận tốc của các điểm trên các khâu BC và CD cũng như vận tốc góc của các khâu này.
- Trình tự giải:
a) Hình vẽ vị trí cơ cấu b) Hình vẽ liên hệ vận tốc
Hình 2.7. Cơ cấu 4 khâu bản lề tại vị trí <p, = 45° và họa đố vận tốc của nó + Lập phương trình liên hệ vận tốc:
• VA =VD =0 (a);
• VB = VA + V BA , VBA = C0ị. 1BA ; Chiểu, điểm đặt như hình vẽ (b);
y — y + y ,
y c ' D y ' CD
ỷ - V + V
y c y_B_ ~ r CB
ỹ - V + V
' M r U T r MB
ỷ = V + y
r M y Ç. ~ r A /r
V V
CD =v„+ CB
(1 CD) = ( 1 CB)
_ V _ V
y 4- _____-M ấ______- V + _______-M £_____
= ( 1 M B ) = ( 1 MC)
(c);
(d ).
+ Giải các phương trình véc tơ: Các phương trình (a) 4- (d) được giải bằng cách vẽ như trê/; Hình 2.7b. Cụ thể như sau:
• Chọn một điểm p tùy ý, gọi là cực họa đồ;
T V L . < I - i t V ò Cỷ\ Ir a s e c ~ l .m
• Tính tý lê xích U., : = — — = — , ---
( pb) ( pb) mm
- 8 4 -
Giả sứ chiều dài thật /AB = 0,200m; dùng một đoạn AB = 20 mm để biểu diễn chiều dài thật này, tỷ lệ xích chiều dài sẽ là:
0 , 2 0 0 m _ n
ỊUị = =0 , 0 1 , — - hay |i| = 1 : 1 0 0
2 0 mm
Với co, = 5 sec' 1 , và dùng đoạn pb = 25 mm để biểu diễn vận tốc thật của điểm B :
VH = 5. 0,20 = 1,00 m sec' 1 thì tỷ lệ xích vận tốc trên họa đồ còn có thể viết như sau:
a>\(AB).pi 5.20.0,01 sec~\m
ụ = — 1--- = — —— = 0,04 , ---
( pb) 25 mm
hay pv = 1 : 25 . Theo (a), vì VA =VD =0 , nên các véc tơ này trùng với điểm cực p\
Từ (b) suy ra: đặt véc tơ pb 1 A B có môđun là 20 mm, hướng theo chiểu co, (theo À,)
Theo (c): từ cực p vẽ A3 _L CD ; sau đó từ mút b của véc tơ vẽ đường À2 _L CB ; giao của đường
---- >
A, và A2 sẽ cho điểm c. Véc tơ ( pc ) biểu diễn vận tốc tuyệt đối của điểm c trên cơ cấu.
Theo (d): từ mút b của véc tơ vẽ đường A4 1 MB ; sau đó từ mút c vẽ đường A5 1 MC;
---- >
giao của đường A_, và A4 sẽ cho điểm m. Vectơ ( pm ) biểu diễn vận tốc tuyệt đối của điểm M trên cơ cấu.
+ Tính các giá trị thực: sau khi vẽ được hình liên hệ vận tốc, dùng thước đo trực tiếp các đoạn trên hình vẽ vừa thu được Hình 2.7b. Tích số của đoạn thằng vừa đo được và tý lệ xích //, sẽ cho suất của các véc tơ vận tốc thực. Kết quả tính toán các giá trị thực cho trong Bảng 2.2.
Bảng 2.2
Véc tơ vận tốc Các y ế u \ ^ tố của
Tuyệt đôi Tương đối
Va II
VD II Q VM
^CB Vmb V,MC
Vận tốc dài misée
Suất Pv(pb) PÁPC) Mv(pm) jp(bc) fu(bm) /.ự an)
0 1,0 0 1,0 0,6 1,08 0,52 0,64
Phương chiều
Trùng với cực
p
Xem Hình 2.7
Trùng với cực
p
Xem Hình 2.7b.
Vận tốc góc sec1
Khâu 2
CỚ2 = = = = 30,0 , 1/sec \ chiều xem Hình 2.7a.
l CD P ị ( B C ) 0,38
Khâu
3 Củ3 = = = ’ = 62,5 , 1/sec ; chiều xem Hình 2.7a.
ỈCD M i ( C D ) 0,16
- 85 -
Xét chuyển động quay tương đối của hai điểm trên cùng một khâu.
Ví dụ, đối với khâu 2, đem véc tơ VCBđặt vào điểm c , thấy điểm c quay quanh điểm B
ngược chiều kim đồng hồ. Vậy co2 quay ngược chiều kim đồng hồ. Tương tự với khâu 3, tìm được © 3 quay cùng chiều kim đổng hồ.
- Định lý đồng dạng.
Xét hai tam giác : A BCM trên hình vẽ vị trí cơ cấu, Hình 2.7a\ (là hình nối các điểm
trên cùng một khâu 2), và tam giác A bcm trên hình vẽ liên hệ vận tốc của các điểm ấy, Hình 2.7b\ (là hình nối các mút véc tơ vận tốc tuyệt đối của chính các điểm B, c và M trên cùng một khâu 2 ấy). Rất dễ dàng nhận thấy rằng, hai tam giác này đồng dạng thuận với nhau theo tiêu chuẩn “các góc có cạnh tương ứng vuông góc với nhau từng đôi một” . Do đó có thể viết:
Để xác định chiều vận tốc góc của các khâu, cần phải:
A BCM ~ A bcm Khi đi từ điểm B -> c —ằ M ; Khi đi từ điểm mỳt b —> c —ằ m
đều theo cùng một chiều (ngược chiều kim đồng hồ) nhất định.
Từ điều kiện đồng dạng (2.23) viết được:
bc cm bm
BC CM BM = h. (2.24)
Người ta gọi hv là hệ số đồng dạng. Có thể dễ dàng suy ra:
hv =co2Ạ (2.25)
Mv
Từ đó người ta đi đến định lý đồng dạng về vận tốc như sau.
Định lý đồng dạng: '‘Hình nối các điểm thuộc cùng một khâu trên hình vẽ vị trí của cơ cấu đồng dạng thuận với hình nối các mút véc tơ vận tốc tuyệt đối của các điểm đỏ trên hình v ẽ liên hệ vận tốc
Như vậy, nếu đã biết vận tốc của hai điểm trên cùng một khâu, thì vận tốc của điểm thứ ba bất kỳ thuộc khâu đó bao giờ cũng xác định được nhờ định lý đồng dạng. Cũng vì lẽ đó mà trong một cơ cấu khi đã biết vận tốc tuyệt đối của hai điểm trên từng khâu của nó, thì có th ể xác định được vận tốc của bất kỳ điểm nào trên một khâu, nên ta xem như bài toán vận tốc của cả cơ cấu đã hoàn toàn giải xong. Với lý luận đó, bài toán vận tốc của cơ cấu
4 khâu bản lề, Hình 2.7a, theo đầu bài phải xác định vận tốc dài của tất cả các điểm thuộc
khâu BC và khâu CD đều đã được giải quyết trọn vẹn.
- 8 6 -
ỨIIIỊ dụng: Hãy tìm vận tốc thực của khối tám Sĩ trên khâu 3, ta làm như sau:
/J>s3
+ chiều chỉ rõ trên Hình 2.7a.
ở trên mới chỉ nghiên cứu bài toán vận tốc của cơ cấu 4 khâu bản lề ứng với lúc khâu dẫn ở vị trí (Pi = 45", Hình 2.7a. ở bất kỳ một vị trí nào khác đều phải tiến hành nghiên cứu tương tự theo trình tự nêu trên, sau đó mới có thể vẽ hôđôgraph vận tốc được.
+ Hình vẽ liên hệ vận tốc không phụ thuộc vào vị trí của vận tốc khâu dẫn. Thật vậy, khi vận tốc góc coI nhận các trị số khác nhau thì mối quan hệ trong chuyển động tương đối giữa các điểm trên các khâu của cơ cấu không hề thay đổi. Điều đó có nghĩa là, nếu cho (0, những giá trị lớn dần (hoặc nhỏ dần) theo thứ tự coI ị , co,2 , con v.v... thì cũng chỉ cần một hình vẽ duy nhất để biểu diễn mối liên hệ vận tốc của các điểm trong cơ cấu ứng với một vị trí xác định của khâu dẫn, khi vận tốc góc co, của nó thay đổi theo những giá trị kể trên mà thôi, nghĩa là vẫn dùng Hình 2.7b đối với cơ cấu 4 khâu bản lề ở vị trí cp, = 45°. Từ đó
thấy rằng, tại vị trí xác định của khâu dẫn, tỷ lệ giữa các đoạn thẳng biểu diễn các véc tơ vận tốc trên hình v ẽ liên hệ vận tốc không phụ thuộc vào giá trị vận tốc ũ)Ị. Chẳng hạn, Hình 2.7b, các tý lệ:
— / ~ ; v.v... không phu thuôc vào giá tri của vân tốc góc khâu dẫn (0,.
pb pb pb
Nhận xét này có ý nghĩa rất quan trọng trong việc xác định chuyển động thực của máy.
Điều này giải thích tại sao khi xác định vận tốc thực của máy, mặc dù chưa biết giá trị cụ thể của a>i, người ta vẫn vẽ hình vẽ liên hệ vận tốc để xác định các đại lượng thu gọn (hay
còn gọi là các đại lượng thay thế) (Chương 4).
+ Khi đổi chiều chuyển động của khâu dẫn, hình vẽ liên hệ vận tốc sẽ đối xứng qua cực
p. Trên Hình 2.7b, khi C0ị có chiều ngược kim đồng hồ, hình vẽ liên hệ vận tốc được biểu thị bằng các nét đứt.
+ Khi đổi khâu dẫn, hình dáng hình vẽ liên hệ vận tốc không thay đổi. Giả sử trong cơ cấu 4 khâu bản lề, nếu lấy khâu 3 là khâu dẫn, chiều cch, như chỉ rõ trên Hình 2.7a, hình vẽ liên hệ vận tốc không thay đổi, nghĩa là vẫn giữ nguyên hình dáng như khi khâu ì là khâu dẫn, tức vẫn là Hình 2.7b.
+ Hình dáng hình vẽ liên hệ vận tốc phụ thuộc vào lược đồ động của cơ cấu và phụ thuộc vào vị trí của khâu dẫn trong cơ cấu ấy. Hình dáng hình vẽ liên hệ vận tốc của cơ cấu
4 khâu bản lề khác hình dáng hình vẽ liên hệ vận tốc của cơ cấu tay quay- con trượt. Trong
- Nhân xét:
- ô 7 -