ĐỘNG Lực HỌC MÁY
4.1. CHUYỂN ĐỘNG THỰC CỦA MÁY 1. Đặt vấn đề
4.1.2. Phương trình động nóng của máy
Xét một máy có n khâu động. Mỏi một trong số n khâu động ấy có thể cùng chịu sự
tác động của lực phát động; của lực cản kỹ thuật. Mỗi một khâu đều có trọng lượng bản thân; lực quán tính nếu chuyển động có gia tốc.
Điều đáng chú ý ở đây là, khi thành lập phương trình chuyển động của máy, không được tính tới lực quán tính của cơ hệ vì ở đây không phải xét sự cân bằng tĩnh học (cân bằng tĩnh-động tức thời) của cơ hệ.
Dựa vào định luật bảo toàn năng lượng, phương trình động năng của máy có thể viết
dưới dạng tổng quát như sau:
A = A E (4.1)
Trong đó:
+ A - Tổng công của tất cả các loại lực (trừ lực quán tính) tác động lên các khâu trong
máy trong khoảng thời gian từ t0 đến t, viết tắt là (/„, /).
+ A E - Biến thiên động năng của máy cũng trong khoảng thời gian (ro, t). Dưới đây sẽ
trình bày phương pháp tính tổng công A và biến thiên động năng A E của máy trong trường
hợp nó có khâu dẫn chuyển động quay và sau đó mở rộng cho trường hợp máy có khâu dẫn chuyển động tịnh tiến.
4.1.2.1. Trường hợp thứ nhất: Máy có khâu dẫn chuyển động quay a) Tính biểu thức của tổng công A của các lực
Lực phát động có tác dụng dẫn động máy, vì thế công của nó luôn luôn dương. Lực phát động có thể đặt ở chính khâu dẫn hay các khâu khác miễn là làm dẫn động máy để nó thực hiện được chức năng của mình. Ký hiệu công của tất cả các lực phát động và các mô men lực phát động là A j .
Các lực cản (có ích và có hại) chỉ có tác dụng cản lại chuyển động, vì thế công của chúng luôn luôn âm.
Trọng lượng của các khâu đóng vai trò có khi là lực phát động nếu nó sinh công dương, và có khi là lực cản nếu nó sinh công âm (xem Chương 3 - Phần phân loại lực). Vì thế, về nguyên tắc có thể xếp trọng lượng thuộc vào những lực phát động hoặc thuộc vào những lực cản đều được cả. Điều này không có ảnh hưởng gì tới việc thiết lập phương trình động năng của máy. Trong chương này, lực trọng trường (trọng lượng các khâu) được xếp vào loại những lực cản, vì thế công của lực cản (có ích, có hại và trọng lượng) có khi âm, có khi dương. Ký hiệu tổng công của tất cả các loại lực cản và mô men cản là Ặ .
Phương trình (4.1) có thể viết lại như sau:
A = Aj + Ac = A E (4.2)
Bây giờ tìm cách tính riêng các đại lượng trong phương trình (4.2)
- 1 8 7 -
• Tính biểu thức của tổng công động Aj .
Gọi: Mj - mô men phát động thu gọn về khâu dẫn của tất cả các lực phát động và mô men lực phát động; (xem Chương 3);
Cúị - vận tốc góc thực của khâu dẫn của máy. Vận tốc góc thực Củ\ của khâu dẫn (hoặc từ bây giờ trở về sau) còn gọi là vận tốc thực của máy. Sau khi thành lập được phương trình chuyển động của máy, chúng ta sẽ tìm cách xác định vận tốc thực C0ị này của máy.
Xét sự chuyển động của khâu dẫn có Md tác động chuyển dịch từ vị trí ạ>0 đến vị trí (Ọ
ứng với thời gian ự „, í), Hình 4.2.
Hình 4.2. Máy có khâu dẫn chuyển động quay
Công suất của mô men động thu gọn được tính theo biểu thức:
'9d = M đ.ữ, .
Vì các véc tơ M j và íữị luôn luôn cùng chiều, nên biểu thức trên có thể viết như sau:
’% = M d .ù)ị.
Công của mô men động thu gọn Mj trong khoảng thời gian (/„, t) được tính bằng :
/ /
Ađ = J '9đ.d t = \M d.cũvdt (4.4)
t„ t0
Nếu coi chuyển vị của khâu dẫn phụ thuộc vào thời gian, tức là cl(p = Cữịdt, có thể biểu
diễn công động A j theo vị trí của khâu dẫn như sau:
A j= \M đ.dẹ (4.5)
<Po
• Biểu thức của tổng công cản A r
Giả sử máy có n khâu động, được đánh số thứ tự từ khâu dẫn đến khâu cuối cùng lần
lượt là 1,2, 3, ..., n. Xét một khâu thứ k bất kỳ trong n khâu động của máy, Hình 4.3.
Giả sử hệ lực cản tác động trên khâu này gồm có / lực cản Pik (/■ = 1, 2, 3,...,/?) và j mô men lực cản M jk (j = 1, 2 , 3, ..., q). Có thể số lực cản Pik và số mô men lực cản M jk bằng nhau, nhưng thường p * CỊ. Gọi Cửk là vận tốc góc của khâu k này; và vịk là vận tốc dài
- 1ỈỈ8 -
của điểm đặt lực pịk . Để tính công cản Ack, có thể tiến hành cồng việc thu gọn hệ lực trên
khâu k đê’ được một véc tơ chính Pk và một mô men chính M k như trong [1]. Song, công việc này cũng mất thì giờ không kém việc vẽ hình dáng họa đồ vận tốc dài và xác định các đoạn biểu diễn vận tốc dài của các điểm đặt lực Pik ; vì thế ở phần này công cản A,.k của
các lực cản trên khâu k và tổng công cản A,. của máy dược xác định theo trình tự bình
thường không cần qua bước thu gọn các hệ lực cản.
Công suất của các lực cản trên khâu k tại thời điểm khảo sát được xác định từ:
Hình 4.3. Hệ lực cản trên khâu k và họa đồ vận tốc của khâu
Nếu xét toàn bộ các khâu trong máy, tức là từ khâu 1 tới khâu n, thì biểu thức tổng quát
của công suất của các lực cản và mô men cản tính theo:
n n
■ Z = Ỳ = ằ r , = Ĩ
k=[ k =1
p _ 9 _
T pik-Vik + ỵ M j k .ũ)k
/=| 7=1
(4.7) Vậy công cứa lực cản và mô men cản trong máy từ khoảng thời điểm t„ đến thời điếm t là:
Ac - J -9C .ch - J X X Pik ■ vik + z M jk -Cúk
í o t k =‘ơ I L /=1 7J = 1
ch (4.8)
Có thê biếu diễn công At. là hàm số của biến chuyển vị (góc quay) của khâu dẫn như sau. Đem nhân và chia biểu thức (4.7) với Cúị sẽ có:
JL p - [ V.-I.} JL -
Í h - A + t ũ j t
b — 1 1 V Củ1 / 1
k= 1 Ị_/=l \ CÚ\J 7=1
và nếu chú ý rằng d(p= co{d t, sẽ có:
í - \ Vcớ\J Cờ
<Po k=ì L /=I V / H \ ° h j
d (4.9)
- 18ằ -
Kết luận: Biểu thức của công động Aj và của công cản /4, đã được thành lập theo tham
số thời gian í - biểu thức (4.4) và (4.8), cũng như tham số góc quay của khâu dẫn ọ- biếu
thức (4.5) và (4.9).
b) Tính biểu thức biến thiên động năng A E.
• Động năng của khâu k.
Tại thời điểm khảo sát nào đó, động năng của khâu kđược xác định theo biếu thức:
E„ = + (4.10)
Trong đó: mk - Khối lượng của khâu thứ k ;
vsk - Vận tốc của khối tâm s của khâu k ;
Jsk- Mô men quán tính khối lượng của khâu kđối với trục đi qua khối tâm s
và vuông góc với mặt phẳng chuyển động của khâu knày.
• Động năng của máy.
Tại thời điểm khảo sát nào đó kể trên, động năng của máy (tức của n khâu động) được
xác định theo biểu thức sau:
n n
E = ĩ E k = t mk
2
v sk + J c
coị1 \
sk k =IV
(4.11)
Nếu nhân và chia biểu thức (4.11) với {cúịý, sẽ có kết quả
( \ 2 ( ^
E = ị m k V sk
+ J sk
C O k
k = \ \ ú ) \ ) K c o ị )
Củ
+ Động năng của máy tại thời điểm t0 , ứng với vị trí (p0 , là:
E ' - = E " . = kị= 1 mkKC0\JỴsk + Jsk
/ A2
lKCO\J
Cú
>„:v,
+ Động năng của máy tại thời điểm t , ứng với vị trí cp, là:
E , = E . = Ễ -
k= 1
( \ 2 í \ 2 ” 2
v sk
+ Jsk
C O k C ù \
< m k — — J>
K C 0 \ ) K C ờ ị ) 2
I :ự>
(4.12)
(4.13)
(4.14)
• Biểu thức biến thiên động năng A E.
À E = E, - E t
- 190 -
Để dơn gián, biểu thức biến thiên động nàng của máy theo tham số thời gian / và tham số góc quay cp của khâu dẫn được quy ước viết gọn như sau:
n
A / ì = AE ( t t ) = ^ E ( ọ 0, ẹ) - X
k=\ mk
( ^
Ỵsk
KC0\) + JskM 2 ô ĩ (4.15)
( uj;(cp, <pj
c) Phương trình động năng của máy dưới dạng tích phân
• Theo tham số thời gian t :
Thay các biểu thức (4.4); (4.8) và (4.15) vào phương trình (4.2) sẽ thu được:
(4.16)
• Theo tham số góc quay ẹ \
Tương tự như trên, dùng các biểu thức (4.5); (4.9) và (4.15) thay vào biểu thức (4.2) sẽ thu dược:
V
I
<Po
M đ + Ế Ế 4 - N + Ế ũ n >
k = \ / = l 7=1 \CO ị J d (Ọ
n
= ỉk=
mk ( \ 2
\ co I ) + Jsk' V
KCỦ{ J
• ỉ
(4.17)
(<P-<Po)
Phương trình (4.17) sẽ được dùng để xác định chuyển động thực của máy ở phần tiếp theo. Trong phương trình (4.17) này, các đại lượng đã biết gồm có: lực phát động thu gọn
Mj ; hệ lực cản p tk và Ậpjk (i = 1 -r p ; j = 1 ~ Cị; k = 1 -ỉ- n)\ khối lượng của các khâu
rnk cũng như mô men quán tính khối lượng của các khâu J sk đối với trục đi qua khối tâm
svà vuông góc với mật phẳng chuyển động của khâu knày. Các đại lượng chưa biết gồm có: vận tốc thực: ã) ị ; cok ; Vịk và vsk. Mặc dù các đại lượng này chưa biết, nhưng các tý
số sau đây (v,JC0ị) ; (v jc ứ ị) lại có thể xác định được không có khó khăn gì, nhờ những
nhận xét trong Chương 2 về họa đồ vận tốc.
d) Các dại lượng thay th ế (hay các đại lượng thu gọn).
Khi thành lập phương trình chuyển động của máy có thể tiến hành như đã trình bày ở trên, hoặc có thể tiến hành như sau:
- Thu gọn tất cả các lực phát động, mô men lực phát động về khâu dẫn, để được M đ
thu gọn;
- 191 -
- Thu gọn tất cả các lực cản, mô men cản về khâu dẫn để được một mô men càn Mc
thu gọn.
Việc thu gọn một lực nào đó về khâu dẫn đã được giới thiệu trong Chương 3. Vấn để này cũng có thể suy ra từ phương trình (4.17).
- Mô men lực thay thế của các lực cản và các mô men cản:
Trong phương trình (4.17), đặt:
Mc: = Ễ k=1
p _
t h - + T , M jk
( - >
COk
/ = l \ C O \ J 7=1 \ C O \ J
(4.18)
và gọi là mô men lực thay th ế của các lực cản và các mô men cản. Y nghĩa của nó là: M,
được coi như một mô men cản đặt trên khâu dẫn, công suất của nó bằng tổng công suất của tất cả các lực cản và tổng công suất của các mô men lực cản.
Chiều của Mc được quy ước xác định như sau.
Có thể viết lại biểu thức (4.9) dưới dạng:
A'. = \M C .d (Ọ (4.19)
V o
Nếu trị số của Ặ tính toán theo (4.19) mà âm (Ạ < 0) thì chiều của M, sẽ đặt ngược chiều với vận tốc góc Cùị của khâu dẫn 1. Sở dĩ như vậy vì lúc này M có tác dụng tiêu hao năng lượng tức là cản lại chuyển động của máy. Ngược lại, nếu trị số của A, tính toán theo (4.19) mà dương (Ar > 0) thì chiều của Mt. sẽ đặt cùng chiều với vận tốc góc Cũị cúa khâu dẫn ỉ (nghĩa là cùng chiều với Mj)\ sở dĩ như vậy vì lúc này M,. có tác dụng giúp cho máy
chuyển động chứ không phải cản lại chuyển động của máy.
Vậy mô men ì ực thay th ế của các lực cản và các mô men cản là một mô men lực dặt trên khâu dẫn có công suất bằng tổng công suất của các lực cản và các mô men lực cản đặt trên các khâu trong máy.
Nhân đây, trở lại việc định nghĩa mô men lực Mj thu gọn hay còn gọi là mô men lực
thay thế của các lực động và các mô men lực động. Đó là một mô men lực đặt trên khâu dẫn (cùng chiều với vận tốc thực (ũị của khâu dẫn) có công suất bằng tổng công suất của
các lực động và các mô men lực động đặt trên tất cả các khâu trong máy. Có thể viết:
Mư= Ế
k=1 Í P Ỉ
' ỵ í _
( - \
0)k
ị=\ 7 = 1 \CO\J
(4.20)
Trong đó: Pịị và M Jjk cũng là lực phát động thứ i và mô men lực phát động thứ j đặt
trên khâu k; vfk - vận tốc dài của điểm thứ i có lực tác động Pịị ; r là số lực phát động; V -
số mô men lực phát động.
- Mô men quán tính thay thế.
■ 192 -
Xét vế phải của phương trình (4.17). Đ ậ t:
k = \ V © ]\CO\J \CỦ\J
(4.21)
và gọi là mô men quán tính khối lượng thay thế.
Ý nghĩa của mô men quán tính khối lượng thay thế J là: đây là mô men quán tính khối
lượng của một khâu đối với khối tâm s của nó. Khâu này có kích thước động như kích thước động của khâu dẫn thực của máy, có vận tốc góc và có động năng đúng bằng vận tốc thực cứa máy và bằng động năng thực của máy.
- Khâu dẫn thay thế:
Một khâu có kích thước động như kích thước động của khâu dẫn thực của máy, chịu tác động một M j và Mt. tính theo (4.20) và (4.18) có khối lượng hay mô men quán tính khối lượng tính theo (4.21) được gọi là khâu dẫn thay thế.
Qua lý luận phân tích trên đây thấy rằng, khi nghiên cứu chuyển động thực của máy có khâu dẫn chuyển động quay gồm n khâu động chịu hệ lực phát động ( Pịk và Md ịk) và
hệ lực cản ( p k và Mjk) có thể đưa về nghiên cứu chuyển động thực của máy đơn gián
nhất chỉ có một khâu dẫn có mô men quán tính khối lượng bằng mô men quán tính khối lượng thay thế tính theo (4.21) chịu tác động của mô men lực phát động Md thay thế (4.20) và mô men lực cản Mc thay thế (4.18).
Phương trình chuyển động của máy dưới dạng động năng (4.17) có thể được viết gọn như sau:
Căn cứ vào phương trình (4.22), sau khi đã tìm được trị số vận tốc thực Củị của khâu dẫn tại mọi thời điểm trong một chu kỳ chuyển động bình ổn chúng ta dùng lý thuyết của Chương 2 để nghiên cứu chuyển động thực của (/;-l) khâu còn lại ở những thời điểm tương ứng.
4.1.2.2. Trường hợp thứ hai: Máy có khâu dẫn chuyển động tịnh tiến
Trường hợp này hệ lực động ( Pịị , M Jjk ) và hệ lực cản ( Pik và M Jk ) được thu gọn về
khối tâm s của khâu dẫn tịnh tiến bằng một lực động thu gọn P1 và một lực cản thu gọn
p , Hình 4.4.
(4.22)
- 193 -
y
K h â u dổn 1
t o
r ~ ~ i
'4-J £> t / im
/ / / / / / / / / / / T~/
Asỉ / / / . s,
H ìn h 4 .4 . Máy có khâu dẫn chuyển động tịnh tiến
a) Lực thay thế của các lực phát động và các mô men lực phát động:
( - \ n
p d = Ẻ
k= 1 Ỷ.ktị—ị + ÌM
/= 1 c 1 ' i= 1
ư
j k
C ử k
<vslJ
(4.23)
b) Lực thay th ế của các lực cản và mô men lực cản:
n p _
p , = ẳ
k = 1 [ _ / =
c) Khối lượng thay thế:
M = ỉ
ik Ỹ ỉt
+ ẳ M
j = \ 7 v v , , y
(4.24)
k= 1
( \ 2 ( \ 2 "
mk v k 1 + J sk
Cúk (4.25)
d) Phương trình chuyển động của máy dưới dạng dộng năng.
Ị{P ,+ P Jds= ví
M .—
V 2
(4.26) As,s„)
Trong các phương trình trên:
+ v ị - vận tốc dài của điểm đặt lực động P ịị trên khâu thứ k (i = ỉ + r)
+ vik - vận tốc dài của điểm đặt lực cản Pịk trên khâu thứ k ( i = ỉ + p )
+ P ịị ; Pìk - lần lượt là lực phát động thứ / và lực cản thứ i đặt trên khâu thứ k ;
+ M j k ; M jk lần lượt là mô men phát động thứ j và mô men lực cản thứ j tác động trên khâu thứ k. Đối với M jk thì j = 1 4- 5; đối với Mjk thì j = 1 CỊ ;
+ Cũk - vận tốc góc của khâu thứ k {k = 1 + n)\
+ vV| - vận tốc thực của máy, chính là vận tốc thực của khối tâm 5, trên khâu dẫn tịnh tiến 7.
- 194 -
Bạn đọc có thể tự mình thành lập lấy phương trình động năng của máy trong trường hợp thứ 2 này theo biến số thời gian.
Ở đây chỉ giới thiệu kết quả cuối cùng:
'ịpđằ,\-dt + ÍẾ ẫ h -ịk + ẫ M jk A dt=
/,, i *=• L/=| ỹ=i
- i*=1
( \ 2
Ya .
V v5l J
+ Jsk( Củ, ^
V v, l)
(4.27)
Trong phương trình (4.26) và (4.27), ẩn số phải tìm là vận tốc thực vy| của máy.
Mở rộng:
• Trong phương trình (4.22), tất cả các đại lượng đểu phụ thuộc vào biến số cp . Nêu ớ thời điếm ban đầu, tức tại vị trí (pa coi như máy đứng yên, sau đó tới vị trí ọ nó có vận tốc góc là ÍU|(<P), vi phân phương trình (4.22) theo biến số (p sẽ có:
2
M d (Ọ) + M c(<p) = + J(<p).ex( ẹ ) (4.28)
2 d cp
Trong đó: s { (ọ) - Gia tốc góc của máy.
• Phương trình (4.28) được gọi là phương trình chuyển động của máy có khâu dẫn chuyển động quay dưới dạng vi phân.
• Tương tự, có thể vi phân phương trình (4.26) theo biến số í (tức chuyển vị của khâu dẫn) sẽ có:
2
PA s) + p, (s) = + M (s ). ư,B) (4.29)
2 ds
Trong đó: ơ|(5) - Gia tốc dài của máy.
• Phương trình (4.29) được gọi là phương trình chuyển động của máy có khâu dẫn chuyển động tịnh tiến dưới dạng vi phân.
Những phương trình trên sẽ có dịp được sử dụng khi khảo sát vấn đề làm đều chuyển động máy ở phần sau.
Sau khi thành lập được phương trình chuyển động của máy, vấn đề quan trọng còn lại là tìm được vận tốc thực (trị số, chiều) của khâu dẫn trong cả chu kỳ động lực học.
Dưới đây chỉ giới thiệu phương pháp tìm vận tốc thực của máy, có khâu dẫn chuyến động quay. Đối với máy có khâu dẫn chuyển động tịnh tiến, phương pháp tiến hành (khối lượng tính toán, thứ tự các bước vẽ đồ thị, v.v...) hoàn toàn tương tự vì thế bạn đọc tự nghiên cứu.
- 195 -