2.3. PHƯƠNG PHÁP ĐỔ THỈ ĐỘNG HỌC 1. Định nghĩa
2.3.3. Phương pháp vi phân đồ thị và tích phân đồ thị
A. Cơ sở của phương pháp a) Vi phân đồ thị
Cơ sở khoa học của phương pháp vi phân đồ thị và tích phân đồ thị là dựa vào ý nghĩa hình học của phép vi phân và phép tích phân đã được nghiên cứu trong Hình giải tích. Ớ
đây chỉ nhắc lại rất vắn tắt cơ sở khoa học ấy để suy ra cách vẽ mà thôi.
Xét đường cong nguyên hàm y = y(x) như Hình 2.10a.
Tại điểm M trên đường cong nguyên hàm, nếu ta lấy đạo hàm sẽ có:
trong đó a là góc hợp bởi tiếp tuyến tại điểm M với chiều dương của trục hoành ox
( â = tt,ox). Như vậy, nếu trên trục tọa độ y ’ox đặt một tung độ M 'x = tg a , sẽ có một điểm M ’ trên đồ thị đường cong đạo hàm. Tiếp tục công việc này cho mọi điểm Mị (x ,, y,) thuộc đường cong nguyên hàm (tức là kẻ tiếp tuyến ự, và xác định góc a, ) sẽ suy ra hàng loạt các điểm M, tương ứng trên đồ thị đường cong đạo hàm. Nối các điểm M ' lại bằng một đường cong trơn tru, sẽ thu được đường cong đạo hàm y ’(x) hoàn chính.
Từ ý nghĩa hình học của phép vi phân (tung độ của đường cong đạo hàm chính là tg của góc hợp bởi tiếp tuyến và trục hoành), người ta suy ra thủ thuật vẽ như sau: trên trục tọa độ
ý o x , chọn một đoạn op' = 1 đơn vị chiều dài về phía trái điểm o theo phương trục ox. Từ
cực p’ kẻ tia p 'm ' II tt. Như vậy, nếu từ điểm M dóng xuống (Hình 2.10a), và từ điểm m'
A A
dóng ngang ra (Hình 2.10b) sẽ cho điểm M \ Vì hai tam giác vuông Mpx ~ m 'p'o' nên
Việc xác định điểm M ' như trên, được gọi là phương pháp vi phân đồ thị (theo tiếp
tuyến vì p 'm ' II tt).
/ ( , ) = t g a (2.48)
= tga = y ' ( x ) (2.49)
- 9 6 -
Hình 2.10. Vi phân và tích phân đổ thị
Trong thực tế, phương pháp vi phân đồ thị theo dây cung được sử dụng nhiều hơn. Nếu coi X, < X < x2 , tức điểm M nằm giữa hai điểm c I và C2 rất gần nhau, Hỉnh 2.10a, thì có
thể kẻ được cát tuyến C |C 2. Cát tuyến này làm với trục ox một góc cq . Nếu từ điểm p ’ kẻ
p ' m ’ị // CịC2 thì sẽ suy ra điểm M ,’ không trùng với điểm M ’. Phương pháp dây cung là phương pháp gần đúng, vì điểm M ị’ không trùng với điểm M \
b) Tích phân đồ thị
Phép tích phân đồ thị là phép làm ngược lại phép vi phân đồ thị. Ý nghĩa hình học của phép tích phân là: tung độ trên đường cong tích phân xác định chính bằng diện tích giới hạn bởi đường cong bị tích phân và trục hoành với hai cận tích phân. Cụ thể là:
tung độ Ị Mx) = diện tích hình (x|C'l c'2 x 2) (2.50)
Trong thực hành vẽ, không phải bao giờ cũng chọn H = po' = 1 đơn vị chiều dài.
Trường hợp p o' có chiều dài bất kỳ, đồ thị vi phân sẽ phải có tỷ lệ. Tương tự như vậy cho trường hợp tích phân đồ thị.
B. Ví dụ cụ thể
Phân tích động học của cơ cấu cam như Hình 2.11 bằng phương pháp đồ thị.
a) V ẽ đổ thị chuyển vị
Gọi ẹ là góc quay của cam 1. Giả sử nó chuyên động với quy luật ạ>= CỦỊ.r . Nói cách khác, có thể tìm được hàm thời gian t theo góc quay (p, tức t = t {(p).
- ằ7 -
Đối với cơ cấu cam, khi phân tích động học bằng phương pháp đồ thị, người ta thường dùng phương pháp chuyển động tương đối hay thường gọi là “phương pháp dối giá". Nội
dung cụ thể của nó là: nếu cho cả cơ cấu (hệ thống các vật rắn gồm cam Ị và cẩn 2) một chuyển động quay (- C0ị) thì cam 1 sẽ được coi là đứng yên, còn cần 2 sẽ vừa quay quanh tâm o , với vận tốc (- &>,), vừa tịnh tiến (lên, xuống) trong rãnh động; trong quá trình ấy chuyển động tương đối giữa cam 1 và cần 2 không có gì thay đổi.
Chọn thời điểm ban đầu t0 = 0 ứng với lúc cần ở vị trí tiếp xúc với biên dạng cam có bán kính (cần 2 ở vị trí gần tâm nhất). Sau đó:
- Chia cam 1 thành n phần bằng nhau (thường /; = 12 -ỉ- 24) với /; = 12 thì mỗi phần ứng
với 360° /n = 30°. Đánh số thứ tự của các phần này theo chiều quay (- Cửị).
- Dựng hệ trục tọa độ S2Ot. Đặt trên trục hoành Ot đoạn L (nun) biểu thị thời gian quay
một vòng của cam ỉ. Với tỷ lệ xích JU, xác định từ :
T = — = JU,. L (2.51)
ô1
Hình 2.11: Cơ cấu cam cần đẩy đáy nhọn Hình 2.12: Đồ thị động học của cần đẩy 2
trong đó: T - Thời gian một vòng quay của cam 1. Hay
A =
60
ttị.I s e c / m i l i m é t . (2.52)
- 9 ô -
- Chia đoạn L trên trục Ot thành n = 12 phần tương ứng, đánh số các điểm chia lần lượt là 0 , 1, 2,...//= 1 2 ;
- Dùng phương pháp vẽ hình, dựng các tung độ s2ứng với các góc quay của cam (lúc cần 2 tiếp xúc với mặt cấm ở điểm 1, 2, 3,...// tức là ứng với thời điểm tị, t2, L ...), Hình 2.11- tức là trên đồ thị của hệ trục S,Ot sẽ có các tung độ 11 ’, 22’, 33’...;
- Lẩn lượt nối các điểm o , r , 2’ 3’... bằng một đường cong trơn tru. Đường cong đó là đổ thị chuyển vị của cần 2 .
Tý lệ xích của đồ thị S2Ơ):
Trục tung OS2: Theo cách vẽ như Hình 2.12, thì tý lệ xích
jus = Pi, mlmi-li-mét. (2.53)
Nếu không vẽ trực tiếp như Hình 2.11, mà các tung độ rút đi hay tăng lên m lần thì jUs
cũng sẽ biến đổi tương tự, nghĩa là
Ms - m ■ Mi (2.54)
Trục hoành Ot : Tính theo công thức (2.52)
Nếu trục hoành biểu thị góc q.uay (p của cam 1, thì đồ thị thu được sẽ biểu diễn hàm số :
s2= s2 {(py, lúc này tỷ lệ xích của trục hoành tính như sau:
Mọ = 2n
L ì/mi-li-mét (2.55)
b) V ẽ đồ thị vận tốc : V/(t).
- Dùng hệ trục V2O ị t, Hình 2.12. Trên trục Oịt về phía trái điểm o | \ đặt một đoạn hI = pOị (mi-ỉi-mét).
- Từ cực p(gọi là cực vi phân), kẻ các tia ipìy (p2y, (p3)..., song song tương ứng với các dây cung (Ơ I’); (1 ’2 ’); (2’3’); ... của đường cong S2(t). Các tia này cắt trục O xV2 ở các điểm 1, 2, 3,... và cho ta các tung độ ( ơ |l) ; (ơ ,2), (ơ,3)... tỷ lệ thuận với vận tốc trung bình trong khoảng thời gian từ t0 đến tx\ từ tị đến t2 ; từ t2 đến L,... (tức là ở các thời điểm:
ƠI - o / 2 ; /, + ơ2 - q) / 2; t2 + ơ2 - tị) / 2 ; t2 + Ơ3 - 12) / 2,...);
- Đặt các tung độ nêu trên ứng với các hoành độ tương ứng, thu được các điểm I, n, En,...
- Nối các điểm I, II, III,... bằng một đường cong trơn tru, ta sẽ thu được đồ thị V2Ơ).
Cần chú ý rằng, ở các khoảng đồ thị s2(t)đạt cực trị khi biến số tở khoảng (7-8) trên
Hình 2.12, trục hoành tcần được chia thêm thành các khoảng nhỏ bằng một nửa khoảng khác để việc vẽ cho thêm chính xác..
c) V ẽ đồ thị gia tốc: a2(t).
Sau khi đã có dồ thị V2Ơ), tương tự như trên, dựng hệ trục tọa độ a20 2t, và vẽ đồ thị gia tốc như Hình 2.12.
- 9 ằ -
Vẽ các đồ thị v2(0 và a 2(t) bằng phương pháp nói trên, không thê xác định được đoạn đồ thị ứng với hai nửa khoảng ở hai đầu mút trục hoành, trên Hình 2.12, hai khoảng đó là
khoảng đầu ld và khoảng cuối /(. của chu trình. Muốn vẽ hoàn chính đồ thị v2( 0 và a 2{t),
phải dựng thêm một vài tung độ biểu thị v2( 0 và a 2(t) trên một vài khoảng nữa trong chu trình tiếp theo. Cách làm ấy được thể hiện bằng việc vẽ đồ thị v2(/) và a 2(t) bởi các nét chấm trên Hình 2.12 trong các khoảng lj và /,. kể trên.
Tỷ lệ xích của đồ thị v2(0 và a 2(t) xác định như sau:
Trục h o à n h biểu thị thời gian: Tỷ lệ xích ỊU,tính theo công thức (2.52).
Trục tung của đồ thị v2(t):
JUV = —— — , m. sec'/m i-li-m ét (2.56)
M ,ỉỉ\
Trục tung của đồ thị a 2{t):
ỊẦU = —— — = —5--- , m . s e c 2/m i- li- m é t (2.57)
Nếu trục hoành không biểu thị thời gian t, mà biểu thị góc quay ẹ - Cúịt, thì trong các
công thức trên phải thay /u, = / Cúị và có:
JUV = ^i s ' COị , m .s e c '1 lm i- ỉi- m é t (2.58)
Mcp-H I
= M y(01 _ V s ụ v .H 2 HvH 2 \Mạ> J m . s e c 2 /m i-li-m é t (2.59)
Từ các công thức trên đây thấy rằng, tỷ lệ xích của các đường cong vi phân phụ thuộc vào chiều dài cự ly gốc HI và H2 (khoảng cách cực vi phân; tích phân). Các khoảng cách này cần chọn một cách thích hợp để các đồ thị vẽ ra nằm gọn đẹp trong phạm vi giấy vẽ.
Trên Hình 2.12, ta thấy phải dành cho đồ thị v2(0 một khoảng giấy có chiều cao là:
-Vv ' > ' > y1max y2max !
Trong đó y inuáX = Hịtgữị ; y2mux = H xtga2 .
Vậy, sau khi đã chọn cực vi phân p, khoẳng cách giữa hai trục hoành Ot và ơ |/ phải
cách nhau một khoảng là:
/t,>yv >Hị (tgdị + tga2), (2.60) Tương tự như vậy, trục hoành 0 2t phải cách trục hoành Oịt một khoảng là:
h2 > y ,> H 2 ựg a 2 + tg a 4) (2.61)
Trong các công thức trên: a,; a 2 ; a 2 ; a4 - là các góc nghiêng lớn nhất của các dãy
cung ở đoạn đi lên và đoạn đi xuống của các đường cong nguyên hàm s2ự)và v2(0 -
- 1 00 -
Bây giờ, giả sử có đồ thị a2(t), muốn vẽ đồ thị v2(0 và 52(0 của cần, ta cần tiến hành
ngược lại. Việc tiến hành ngược lại ấy gọi là phép tích phân đồ thị. Từ đồ thị 52(0 có thể suy ra biên dạng cam 1, và được gọi là tổng hợp (hay thiết kế) động học cơ cấu cam. Tuy
nhiên ở đây không xét tới vấn để: cơ cấu cam vừa thiết kế ra ấy đã tối ưu chưa và có chuyển động dược không'? Trong Chương 3, sẽ chú ý tới vấn đề này, và nếu như bạn đọc
muốn tìm hiểu thêm có thể sử dụng tài liệu [6].