lạ =lEai tay €g3| = By, fy Eye . (1.102)
Far #az ga [Pex .E„. 8z 1; là định thức của sự.
Hoặc viết theo các biến dạng chính sị, ez và se; như sau:
‘ I, =, +€, +€3
Ty, = 8489 + S983 + €g8) (1.108)
lạ = EiBaB;
Thế giá trị các biến dạng chính eạ, s; và sa từ lời giải của phương trình bậc ba (1.100) vào (1.97) thì xác định được các phương của các biến đạng chính tương tự như trường hợp đối với ứng suất.
Tương tự đối với ứng suất, có thể chứng tổ rằng các biến dạng chính là các giá trị dừng.
1.2.5 Biến dạng trượt chính
Các biến dạng trượt đối với một số thớ vật liệu tại mộtzđiểm là những giá trị đừng được gọi là biến dạng trượt chính. Để tìm phương của một số thớ vật liệu như vậy chúng ta có thể áp đụng quá trình tương tự như đối với ứng suất. Xét một thớ vật liệu tại điểm P có
phương ứ và vectơ biến dạng Š ứng với trục ứng suất chớnh. Thành phân biến dạng pháp tuyến đối với thớ vật liệu này là e„ và thành phân biến dạng trượt ký hiệu là 8, (biến đạng cắt thuần túy). Vậy:
Qt = 8,5,-22 a
Thế & va cq te (1.86) và (1.90), chúng ta có:
GỆ = 6 je qj, — (eam + gyn + sạn)?
hoặc: @2 = (en? + edn? + 68H) — (e,n? + sgnỆ + sạng)? (1.104)
So sánh (1.104) và (1.83), dễ dàng nhận thấy chúng có dạng giống nhau với 6„ thay thé cho S, va biến dạng chính thay cho ứng suất chính. Cho nên các biến dạng trượt chính và các phương tương ứng có thể xác định bằng cách tương tự như trường hợp của ứng suất.
Vậy néu goi 61, 42, và 0; là các biến dang trugt chinh thuần túy thì chúng ta có thể viết:
1 1 1
6y = glee ~ ea ằ Oy = gles —8al: 9 = sa el (1.05)
và các biến dạng trượt chính kỹ thuật yị, y2 va y3 được xác định như sau:
n= lee - £q|; Ta = ley —a|; Tạ = la - £9 (1.06)
Biến dạng trượt tối da là giá trị lớn nhất của biến dạng trượt chính. Đối với sị > s¿ > c¿ thì biến dạng trượt tối đa như sau:
Tmax = 20 max = |€, ~ sạ] _—— (07)
1.2.6 Biến dạng bát điện
~ ˆ Thớ bát điện là một thớ vật liệu có phương của mặt bát diện và
trước khi biến dang tao với các trục biến dạng chính 1, 2 và 3 thành
„ các góc bằng nhau. Biến đạng pháp tuyến và biến dạng trượt của một
thớ bát diện được ký hiệu là co¿ và y.ạ. Đối với thớ vật liệu bát diện
thì vectơ đơn vị có các thành phần ava , 1⁄3, 1/13). Từ phương
trình (1.90) biến dạng pháp tuyến:
1 E
Sect = sứ + By +Eg) = TỦ (1.108)
cũng là biến dạng trung bình của ba biến đạng chính.
Với định nghĩa của biến dạng trượt kỹ thuật, biến dạng trượt bát điện, y„„ có thể xác định theo (1.104) với y„„ = 28,„,. Vậy:
You = (6) =2)? t6 —ạ)# + (ey =e,)P] "2 2 (1.109)
Biến dạng trượt bát diện có thể viết theo các bất biến biến đạng như sau:
_ 9⁄2
Yor = 3
cũng có thể viết theo các biến dạng tổng quát, không phải là biến
dạng chính như sau:
Œ2 ~31¿)12 (1.110)
2 .
Z. “SE, ~s)Ÿ +(8,~e,)? +(6,~e,Ý! +6@3 +e‡ +e‡)Ì”— d110)
UNG SUAT VA BIEN DANG 37
Biểu thức trên điễn tả biến dang trượt bát diện theo các thành phần biến đạng trong hệ trục bất kỳ +, y và z.
1.2.7 Tensơ biến dạng lệch
Giống như trường hợp tensơ ứng suất, tensơ biến đạng cũng có thể tách thành hai thành phần, một phần biến dạng cầu liên quan đến sự thay đổi thể tích và một phần là biến dạng lệch liên quan đến sự thay đổi hình dạng. Chúng ta có thể viết:
by = ey tẻ thu (1.112)
trong đó e¿ là tensơ biến dạng lệch và Feuby =(e,+e8,+8,)/3 1a
biến đạng trung bình hoặc biến dang thủy tĩnh. Vậy tensơ biến dạng lệch s„ trở thành:
xo đụ One
Sự = [Pye Cy Oye Cer Cy &
(26, ~8, —€,)/3 By tự,
= Eye (2e, -e, -,)/8 bye (1.113)
tư xy (26, -8, ~8,)/3
hoặc theo biến dạng chính:
(2e, —&, -£4)/3 0 0
ey = 0 (Qe, -2, ~£,)/3 0 (1.114)
0 0 (26, -€, -e,)/8
Cho ¥ ring, diéu kién dé xdy ra trạng thái biến đạng trượt thuần túy cũng tương tự như điêu kiện để xảy ra trạng thái ứng suất cắt thuần túy. Điều kiện cần và đủ để xảy ra biến dạng trượt thuần túy là s„ = 0. Điều này dẫn đến e¿ là tensơ trạng thái biến đạng trượt thuần túy, và e„ và sự có cùng trục chỉnh,
Nếu xét một khối lập phương có thể tích bằng đơn vị và các
cạnh song song với các trục biến dạng chính 1, 2 và 3 thì sau khi biến đạng ba trục chính này vẫn còn trực giao lẫn nhau sau khí chuyển động. Thể tích khối lập phương trở thành khối chữ nhật có các cạnh lần lượt la (1 + €1), (1 + €2) va (1 + sạ). Biến dạng thé tich tương đối s„ có thể tính như sau: :
& =p are ME + QM ad 1 _AV (1.115)
Đối với biến đạng nhỏ thì c„ như sau:
5 = t) +f, +e, =L, =e, +e, +8, (1.116)
Vì vậy cho nên thành phần tensơ ứng suất cầu tỷ lệ thuận với sự thay đổi thể tích s„ = s. Sự thay đổi thể tích tương đối (thay đổi thể tích trên một đơn vị thể tích) e, gọi là sự dan nd, hoặc sự thay
đổi thể tích. `
Các bất biến của tensơ biến dạng lệch ey tương tự như những bất biến từ sự. Các bất biến biến dạng đều xuất hiện trong phương trình | su — eõ„ |= 0.
e3 — Sie? + J;e — Jy = 0 (1.117)
Jy = ej =O, bey +e, =, + ly +e, =0 (1.118) 2= 29/88 = Heyes + epg + 6ạỉ) 1
== 1 ~e.y* - 2 2 2 2
= i lee By) +(e, —€,)° +(e, —€,) ]+ 02, +22, +02,
= ale: —gg)” + (6; ~€3)? + (eg ơ.
= ylce teh tes + Rel, + Dey, + Bef.) 1 (1.119)
1 & Sự tự 1
đạ= 390960 = lạằ ey e,,.| = se + +e) = €6: (1.120)
ey e
e, et
UNG SUAT VA BIEN DANG tố 38
trong đó ¢1, e¿, es la các giá trị chính của tensơ biến dạng lệch. Các bất biến Zị, J và 2; cũng có quan hệ với các bất biến biến dạng
1, 1¿ và lạ theo các biểu thức sau đây:
Jị=0; Sha sư? -3h); Jy = cus -81/Tÿ +27.) (1.121)
Sau cùng có thể nhận thấy rằng, biến dạng trượt bát diện Yor liên hệ với bất biến thứ hai của tensơ biến dạng lệch, J¿, như trường hợp của ứng suất:
Yoot = 2|, (1.422)
1.3. BÀI TẬP 5
1.1 a) Từ điều kiện: |ứ¿ - ứỗy| = 0
Hãy rút ra các:bất biến ứng suất (sfress invariants) sau đây:
Ty = Oy, + Ogg + Ogg = 91 +g +93
2 2 2
Ty = 0418299 + Go25gg + 51533 — O12 — Fag ~ 931 = F192 + 5253 + 9301
2 2 2
Ig = 04599533 + 2012023531 — ỉag71¿ — 522913 — 911523 = 515253 Giải thích tại sao Uy, la, Is là các bất biến ứng suất.
Tương ty rat ra cdc bat bign bign dang (strain invariants) sau day:
Tị = Eịi + Eạa + £93 = Eị + Ép + 3
* = ey. 2, - 23, —e8, = + EgEạ + BạE:
l§ = EiiEap + EazEaa + EitÊsa — E]a — P2a — Đại = 6¡Eạ + Cabs + aby
; EanBŸ — Eạgéùa — 8,iS la = E1828 ạ = EtiEasEaa + 2#taEasEai — PazE1a — #agSla — Eit£as = PqEaBa
b) Tens¢ ting sudt léch (stress deviator tensor) và tensơ biến dạng lệch được định nghĩa như sau:
By = Sy ~shỗy 1
e, =e 516; i, .
3
và từ điều kiện:
| - s8;| = 0
Hãy rút ra các bất biến sau đây:
Jy = 811 + Sap + Sgg = 8, + So + 83 = 0
1 - lie, 2,2
Jq = 5h + 93 + S35 + Qsf, + Dez, +253, = —(s? + 52 + 52
tò
d] = 6i + pp + €gg = €, + ey + ey = 0
Ty 2 = 5 ei + eae + Cag + 201g + ZOD = 12, +2, +2 2e2 2e3, + 2e2, )= +(e? + ef + |) SIE 21192 t6
c) Hay viét hy, Io, Is, Jz theo tng suất trục ơ„ và ứng suất bình ơ,;
và viết I\, J'\ theo biến đạng dọc trục s„ e và biến dang theo bán kính „ trong thí nghiệm ba trục.
1.2 Cho một tensơ ứng suất như sau:
1 2 1 oj =|2 21
113
Hay tinh:
a) Xác định ứng suất pháp và ứng suất tiếp trên mặt bát điện.
b) Ứng suất thủy tĩnh p và tensơ ứng suất lệch, sự
©) Các giá trị chính ( 81, ss, sạ) của tensơ ứng suất lệch.
1.3 Trạng thái ứng suất tại một điểm được dién tả bởi tensa ứng suất.
sau đây:
30 45 60 oj =|45 20 50| MPa
60 50 10
a) Hãy xác định các bất biến ứng sudt I), Jo, Ja va 0.
b) Dựa trên các biểu thức tính ứng suất chính theo các bất biến ứng suất, hãy tính các ứng suất chính ƠI, Ga, VA G3.